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高三一轮复习(6.4基本不等式)


高三一轮复习 ?不等式
2014 届理科数学高考复习教学案 基本不等式
【知识点】 (1)基本不等式 (2)利用基本不等式求最值 【基础训练】
1 1、已知 f(x)=x+ -2(x<0),则 f(x)有 x A.最大值为 0
2

华侨城中学 2013 年 11 月 10 日

姓名

r />( C.最大值为-4 D.最小值为-4 ( C.2 3 D.2

)

B.最小值为 0

2、函数 y=

x +2 (x>1)的最小值是 x-1 B.2 3-2

)

A.2 3+2

1 4 3、正项等比数列{an }满足:a7 =a6 +2a5 ,若存在两项 am ,an 使得 am an =4a1 ,则 + 的最小值为( m n A. 3 2 B. 5 3 C. 25 6 D.不存在

)

4、已知 x,y 为正实数,且满足 4x+3y=12,则 xy 的最大值为________. p 5、 已知函数 f(x)=x+ (p 为常数, p>0)若 f(x)在(1, 且 +∞)上的最小值为 4, 则实数 p 的值为________. x-1 6、某公司购买一批机器投入生产,据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润 y(单位:万元)与机器 运转时间 x(单位:年)的关系为 y=-x +18x-25(x∈N ).则当每台机器运转________年时,年平均利润 最大,最大值是________万元. 7、已知直线 x+2y=2 分别与 x 轴、y 轴相交于 A、B 两点,若动点 P(a,b)在线段 AB 上,则 ab 的最大值 是________. 8、已知函数 f ( x) ? log 2 ( x ? 2) ,若实数 m,n 满足 f (m) ? f (2n) ? 3, 则m ? n 的最小值是 .
2 *

【适当提高】
1 1 k 9、设 a>0,b>0,且不等式 + + ≥0 恒成立,则实数 k 的最小值等于 a b a+b A.0 B.4 C.-4 D.-2 ( ) ( )

10、已知正数 x,y 满足 x+2 2xy ≤λ(x+y)恒成立,则实数 λ 的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.4

11、已知 x>0,a 为大于 2x 的常数, (1)求函数 y=x(a-2x)的最大值; 1 (2)求 y= x 的最小值. a-2x

1 9 12、正数 x,y 满足 + =1. x y

(1)求 xy 的最小值;

(2)求 x+2y 的最小值.

13、若 x,y∈(0,+∞),x+2y+xy=30. (2)求 x+y 的取值范围.

(1)求 xy 的取值范围;

高三一轮复习 ?不等式
2014 届理科数学高考复习教学案 基本不等式教师版
【基础训练】
1 1、已知 f(x)=x+ -2(x<0),则 f(x)有 x A.最大值为 0 B.最小值为 0 C.最大值为-4

华侨城中学 2013 年 11 月 10 日

( D.最小值为-4

)

1 ? 1 解析:选 C ∵x<0,∴f(x)=- ??-x?+ -2≤-2-2=-4,当且仅当-x= ,即 x=-1 时取等 ? ?-x?? -x 号. 2、函数 y= x2 +2 (x>1)的最小值是 x-1 B.2 3-2 C.2 3 D.2 ( )

A.2 3+2

解析:选 A ∵x>1,∴x-1>0.∴y=
2

x2 +2 x2 -2x+2x+2 x2 -2x+1+2?x-1?+3 = = x-1 x-1 x-1 ?x-1? 3 +2=2 3+2. x-1

?x-1? +2?x-1?+3 3 = =x-1+ +2≥2 x-1 x-1 当且仅当 x-1=

3 ,即 x=1+ 3时,取等号. x-1 )

1 4 3、正项等比数列{an }满足:a7 =a6 +2a5 ,若存在两项 am ,an 使得 am an =4a1 ,则 + 的最小值为( m n A. 3 2 B. 5 3 C. 25 6 D.不存在

解析:选 A 设正项等比数列{an }的公比为 q,由 a7 =a6 +2a5 ,得 q2 -q-2=0,解得 q=2. m+n-2 由 am an =4a1 ,即 2 =4,得 2m +n -2 =24 ,即 m+n=6. 2 1 4 1 1 4 5 1 4m n 5 4 3 4m n 故 + = (m+n)? + ?= + ? + ? ≥ + = ,当且仅当 = 时等号成立. ?m n? 6 6? n m? 6 6 2 m n 6 n m 4、已知 x,y 为正实数,且满足 4x+3y=12,则 xy 的最大值为________.

?x= , ?4x=3y, ? ? 解析:∵12=4x+3y≥2 4x×3y ,∴xy≤3.当且仅当? 即? 2 ? ? 4x+3y=12, ? ?
3 y=2

时 xy 取得最大值 3.

p 5、 已知函数 f(x)=x+ (p 为常数, p>0)若 f(x)在(1, 且 +∞)上的最小值为 4, 则实数 p 的值为________. x-1 解析:由题意得 x-1>0,f(x)=x-1+ p +1≥2 p+1,当且仅当 x= p+1 时取等号,因为 f(x)在(1, x-1

9 9 +∞)上的最小值为 4,所以 2 p+1=4,解得 p= .答案: 4 4 6、某公司购买一批机器投入生产,据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润 y(单位:万元)与机器

运转时间 x(单位:年)的关系为 y=-x2 +18x-25(x∈N* ).则当每台机器运转________年时,年平均利润 最大,最大值是________万元. y 25 y 解析:每台机器运转 x 年的年平均利润为 =18-?x+ ?,而 x>0,故 ≤18-2 25=8,当且仅当 x=5 ? x? x x 时,年平均利润最大,最大值为 8 万元.答案:5 8

7、已知直线 x+2y=2 分别与 x 轴、y 轴相交于 A、B 两点,若动点 P(a,b)在线段 AB 上,则 ab 的最大值 是________. 解析:∵A(2,0),B(0,1),∴0≤b≤1,由 a+2b=2,得 a=2-2b,

??1-b?+b? 2 =1.当且仅当 1-b=b,即 b=1时等号成立,此时 a=1, ab=(2-2b)b=2(1-b)· b≤2· ? ? 2 2 2
1 1 1 因此当 b= ,a=1 时,(ab)max= . 答案: 2 2 2 8、已知函数 f ( x) ? log 2 ( x ? 2) ,若实数 m,n 满足 f (m) ? f (2n) ? 3, 则m ? n 的最小值是____. 【答案】7

【适当提高】
1 1 k 9、设 a>0,b>0,且不等式 + + ≥0 恒成立,则实数 k 的最小值等于( a b a+b A.0 B.4 C.-4
2 2

)

D.-2
2

?a+b? ?a+b? b a ?a+b? 1 1 k 解析:选 C 由 + + ≥0 得 k≥- ,而 = + +2≥4(a=b 时取等号),所以- ≤ a b a+b ab ab a b ab ?a+b?2 -4,因此要使 k≥- 恒成立,应有 k≥-4,即实数 k 的最小值等于-4. ab 10、已知正数 x,y 满足 x+2 2xy ≤λ(x+y)恒成立,则实数 λ 的最小值为( A.1 B.2 C.3 D.4 )

x+2 2xy 解析:选 B 依题意得 x+2 2xy≤x+(x+2y)=2(x+y),即 ≤2(当且仅当 x=2y 时取等号),即 x+y x+2 2xy x+2 2xy 的最大值是 2;又 λ≥ ,因此有 λ≥2,即 λ 的最小值是 2. x+y x+y 11、已知 x>0,a 为大于 2x 的常数, (1)求函数 y=x(a-2x)的最大值; 1 (2)求 y= -x 的最小值. a-2x

1 1 ?2x+?a-2x??2 a2 a 解:(1)∵x>0,a>2x,∴y=x(a-2x)= ×2x(a-2x)≤ × ? ? = 8 ,当且仅当 x=4时取等号, 2 2 2 a-2x a a2 1 故函数的最大值为 .(2)y= + - ≥2 8 a-2x 2 2 1 a -x 的最小值为 2- . a-2x 2 1 9 12、正数 x,y 满足 + =1. x y (1)求 xy 的最小值; (2)求 x+2y 的最小值. a- 2 1 a a - = 2- .当且仅当 x= 时取等号.故 y= 2 2 2 2

高三一轮复习 ?不等式
1 9 解:(1)由 1= + ≥2 x y

华侨城中学 2013 年 11 月 10 日

19 1 9 ·得 xy≥36,当且仅当 = ,即 y=9x=18 时取等号,故 xy 的最小值为 36. xy x y 2y 9x 2y 9x · =19+6 2,当且仅当 = ,即 9x2 x y x y

1 9 2y 9x (2)由题意可得 x+2y=(x+2y)? + ?=19+ + ≥19+2 ?x y ? x y =2y2 时取等号,故 x+2y 的最小值为 19+6 2. 13、若 x,y∈(0,+∞),x+2y+xy=30. (1)求 xy 的取值范围; (2)求 x+y 的取值范围. 解:由 x+2y+xy=30,(2+x)y=30-x,则 2+x≠0,y=
2 2

30-x >0,0<x<30. 2+x

-x +30x -x -2x+32x+64-64 64 (1)xy= = =-x- +32 x+2 x+2 x+2 =-??x+2?+ ? 64 ? +34≤18,当且仅当 x=6 时取等号,因此 xy 的取值范围是(0,18]. x+2?

(2)x+y=x+

?x=4 2-2, 30-x 32 32 =x+ -1=x+2+ -3≥8 2-3,当且仅当? 时等号成立, 2+x x+2 x+2 ?y=4 2-1

又 x+y=x+2+

32 -3<30,因此 x+y 的取值范围是[8 2-3,30). x+2

高三一轮复习 ?不等式
“不等式二”课堂独立作业

华侨城中学 2013 年 11 月 10 日

姓名
?y ? 2 ? 错误!未指定书签。 1、已知变量 x . y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 3x ? y 的最大值为 ?x ? y ? 1 ?
A.12 B.11 C.3 D. ?1 ( )





1 1 2、设 a>0,b>0,若 3是 3a 与 3b 的等比中项,则 + 的最小值为 a b A.8 B.4 C.1 1 D. 4

1 a 3、已知不等式(x+y)? + ?≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为 ?x y ? A.2 B.4 C.6 D.8 ( D.5

(

)

1 1 4、已知 a>0,b>0,则 + +2 ab的最小值是 a b A.2 B.2 2 C.4

)

?3x-y-6≤0 ? 5、设 x,y 满足约束条件?x-y+2≥0 ?x≥0,y≥0 ?
小值为 A. 25 6 B. 8 3

2 3 ,若目标函数 z=ax+by (a>0,b>0)的最大值为 12,则 + 的最 a b ( 11 C. 3 D.4 )

6、若正实数 x,y 满足 2x+y+6=xy,则 xy 的最小值是________. 7、已知 f(x)=32x-(k+1)3x+2,当 x∈R 时,f(x)恒为正值,则 k 的取值范围为________________.

? x ? 1, ? 8、实数 x, y 满足 ? y ? a ( a ? 1), 若目标函数 z ? x ? y 取得最大值 4,则实数 a 的值为 ? x ? y ? 0, ?



?x ? y ? 2 ? 0 ? 9 、 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 设 z ? kx ? y , 其 中 实 数 x, y 满 足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 , 若 z 的 最 大 值 为 12 , 则 ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?

k ? __________.
4 10、(1)已知 0<x< ,求 x(4-3x)的最大值; (2)点(x,y)在直线 x+2y=3 上移动,求 2x+4y 的最小值. 3

?y ? 2 ? 错误!未指定书签。 1、已知变量 x . y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 3x ? y 的最大值为 ?x ? y ? 1 ?
C.3 D. ?1 【答案】B 1 1 a b 2、设 a>0,b>0,若 3是 3 与 3 的等比中项,则 + 的最小值为 a b 1 A.8 B.4 C.1 D. 4 1 a? 3、已知不等式(x+y)? + ≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为 ?x y ? A.2 B.4 C.6 D.8 1 1 4、已知 a>0,b>0,则 + +2 ab的最小值是 a b A.2 B.2 2 C.4 D.5 A.12 B.11
[ 来源: 学科 XXK ] 网Z





(

)

(

)

(

)

?3x-y-6≤0 ? 5、设 x,y 满足约束条件?x-y+2≥0 ?x≥0,y≥0 ?

2 3 ,若目标函数 z=ax+by (a>0,b>0)的最大值为 12,则 + 的最 a b

小值为( ) 25 8 11 A. B. C. D.4 6 3 3 6、若正实数 x,y 满足 2x+y+6=xy,则 xy 的最小值是________. 2 7、在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 f(x)= 的图象交于 P,Q 两点,则线段 PQ x 长的最小值是________. 8、已知 f(x)=32x-(k+1)3x+2,当 x∈R 时,f(x)恒为正值,则 k 的取值范围为__________________.

? x ? 1, ? 9、实数 x, y 满足 ? y ? a ( a ? 1), 若目标函数 z ? x ? y 取得最大值 4,则实数 a 的值为_____【答案】 a ? 2 ? x ? y ? 0, ? ?x ? y ? 2 ? 0 ? 10、错误!未指定书签。设 z ? kx ? y ,其中实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,若 z 的最大值为12 ,则 k ? ___【答案】 2 ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?

高三一轮复习 ?不等式

华侨城中学 2013 年 11 月 10 日

“不等式三”课堂独立作业 姓名
1、下列命题中的真命题是 A.若 a ? b, c ? d ,则 ac ? bd C.若 a ? b 则 a 2 ? b 2 B.若 | a |? b 则 a 2 ? b 2 D.若 a ?| b | 则 a 2 ? b 2 ( ) ( )

2、已知 a , b 为实数,且 a ? b ? 0 ,则下列命题错误的是 .. A.若 a ? 0 , b ? 0 ,则 C.若 a ? b ,则
a?b ? ab 2

B.若 D.若

a?b ? ab ,则 a ? 0 , b ? 0 2 a?b ? ab ,则 a ? b 2

a?b ? ab 2

3、已知实数 x,y 满足 ? 范围是 A. a≤-2

?x ? y ?1 ? 0 , ?2 x ? y ? 2 ? 0 .

若 (-1,0) 是使 ax+y 取得最大值的可行解,则实数 a 的取值

( B. a≤2 C. a≥-2 D. a≥2

)

?x ? 0 ? x ? 2y ? 3 4、设 x, y 满足约束条件 ? y ? x ,则 取值范围是 x ?1 ? 4 x ? 3 y ? 12 ?



)]

A. [1,5]
?

B. [2, 6]

C. [3,10]

D. [3,11]

5、设 a . b ? R , a ? b, x, y ? (0, ??) ,则 结论,可以得到函数 f ( x) ? A.169 B.121

a 2 b 2 ( a ? b) 2 a b ? ? ,当且仅当 ? 时,上式取等号,利用以上 x y x? y x y
( D.16 ( ) )

2 9 1 ? ( x ? (0, )) 的最小值为 x 1 ? 2x 2
C.25

a2 ? b2 6、已知 a ? b, ab ? 1, 则 的最小值是 a?b
A. 2 2 B. 2 C.2 D.1

?x ? 0 ? (k为常数),若z ? x ? 3 y 的最大值为 8,则 k = 7、已知 x, y满足条件? y ? x ?2 x ? y ? k ? 0 ?

.

8、若直线 l : ax ? by ? 1 ? 0 (a ? 0, b ? 0) 始终平分圆 M : x 2 ? y 2 ? 8 x ? 2 y ? 1 ? 0 的周长,则 的最小值为 9、设 a ? 0且a ? 1 ,函数 . 10、若不等式 | x ? 1 | ? | x ? 3 | ? a ? 。

1 4 ? a b

f ( x) ? a lg( x

2

? 2 x ? 3)

有最大值,则不等式 loga ( x2 ? 5x ? 7) ? 0 解集为

4 对任意的实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是 a



11、若不等式 取值范围是

1 1 ? >0 对于满足条件 a > b > c 的实数 a 、 b 、 c 恒成立,则实数 ? 的 ? ? a ?b b?c c?a
.

12 、 已 知 函 数 f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 3 , 若 a ? b ? 1 , 且 f (a) ? f (b) , 则 u ? 2a ? b 的 取 值 范 围 为 .

13、某书商为提高某套丛书的销量,准备举办一场展销会.据市场调查,当每套丛书售价定为 x 元时,销 售量可达到 15-0.1x 万套.现出版社为配合该书商的活动,决定进行价格改革,将每套丛书的供货价格 分成固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为 30 元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成 反比,比例系数为 10.假设不计其他成本,即销售每套丛书的利润=售价-供货价格.问: (1)每套丛书售价定为 100 元时,书商所获得的总利润是多少万元? (2)每套丛书售价定为多少元时,单套丛书的利润最大?

高三一轮复习 ?不等式

华侨城中学 2013 年 11 月 10 日

“不等式”再强化

教师版 姓名

1、下列命题中的真命题是 A.若 a ? b, c ? d ,则 ac ? bd C.若 a ? b 则 a 2 ? b 2 B.若 | a |? b 则 a 2 ? b 2 D.若 a ?| b | 则 a 2 ? b 2





【答案】D ( )

2、已知 a , b 为实数,且 a ? b ? 0 ,则下列命题错误的是 .. A.若 a ? 0 , b ? 0 ,则 C.若 a ? b ,则
a?b ? ab 2

B.若 D.若

a?b ? ab ,则 a ? 0 , b ? 0 2 a?b ? ab ,则 a ? b 2

a?b ? ab 2

【答案】C

3、已知实数 x,y 满足 ? 范围是 A. a≤-2

?x ? y ?1 ? 0 , ?2 x ? y ? 2 ? 0 .

若 (-1,0) 是使 ax+y 取得最大值的可行解,则实数 a 的取值 ( A )

B. a≤2

C.

a≥-2

D. a≥2

?x ? 0 ? x ? 2y ? 3 4、设 x, y 满足约束条件 ? y ? x ,则 取值范围是 x ?1 ? 4 x ? 3 y ? 12 ?



D )]

A. [1,5]
?

B. [2, 6]

C. [3,10]

D. [3,11]

5、设 a . b ? R , a ? b, x, y ? (0, ??) ,则 结论,可以得到函数 f ( x) ? A.169 6、已知 a ? b, ab ? 1, 则 B.121

a 2 b 2 ( a ? b) 2 a b ? ? ,当且仅当 ? 时,上式取等号,利用以上 x y x? y x y
( D.16 ) 【答案】C ( )

2 9 1 ? ( x ? (0, )) 的最小值为 x 1 ? 2x 2
C.25

a2 ? b2 的最小值是 a?b
B. 2 C.2 D.1

A. 2 2

【答案】A

?x ? 0 ? (k为常数),若z ? x ? 3 y 的最大值为 8,则 k = 7、已知 x, y满足条件? y ? x ?2 x ? y ? k ? 0 ?

.

【答案】-6【解析】由可行域可知,目标函数 z 的最大值在 y ? x 与 2 x ? y ? k ? 0 的 交点处取得,联立

方程组可得交点 (? ,? ) ,? z ? ?

k 3

k 3

k 4 ? k ? ? k ? 8,? k ? ?6 ,填-6. 3 3
1 4 ? 的 a b

8、若直线 l : ax ? by ? 1 ? 0 (a ? 0, b ? 0) 始终平分圆 M : x 2 ? y 2 ? 8 x ? 2 y ? 1 ? 0 的周长,则 最小值为 。16

9 、 设 a ? 0且a ? 1 , 函 数 为 .(2,3)

f ( x) ? a lg( x

2

? 2 x ? 3)

有 最 大 值 , 则 不 等 式 log a ( x2 ? 5x ? 7) ? 0 解 集

10 、 若 不 等 式 | x ? 1 | ? | x ? 3 | ? a ? 是 .

4 对任意的实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围 a

(?? , 0) ? {2}

11、若不等式

1 1 ? ? ? >0 对于满足条件 a > b > c 的实数 a 、 b 、 c 恒成立,则实数 ? 的 a ?b b?c c?a
【答案】(-∞,4)

取值范围是_______.

12、已知函数 f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 3 ,若 a ? b ? 1 ,且 f (a) ? f (b) ,则 u ? 2a ? b 的取值范围为____. 【答案】 [3 ? 2 10 , 3 ? 4 2 ) 13、某书商为提高某套丛书的销量,准备举办一场展销会.据市场调查,当每套丛书售价定为 x 元时,销 售量可达到 15-0.1x 万套.现出版社为配合该书商的活动,决定进行价格改革,将每套丛书的供货价格 分成固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为 30 元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成 反比,比例系数为 10.假设不计其他成本,即销售每套丛书的利润=售价-供货价格.问: (1)每套丛书售价定为 100 元时,书商所获得的总利润是多少万元? (2)每套丛书售价定为多少元时,单套丛书的利润最大? 解:(1)每套丛书售价定为 100 元时,销售量为 15-0.1×100=5(万套), 10 此时每套丛书的供货价格为 30+ =32(元), 5 书商所获得的总利润为 5×(100-32)=340(万元). 故每套丛书售价定为 100 元时,书商所获得的总利润为 340 万元. ? ?15-0.1x>0 (2)每套丛书售价定为 x 元时,由? ,得 0<x<150.由题意,单套丛书利润 ? ? x>0 10 100 P=x-(30+ )=x- -30,∵0<x<150,∴150-x>0. 15-0.1x 150-x 100 100 100 P=-[(150-x)+ ]+120,∵(150-x)+ ≥2 ?150-x?· =2×10=20, 150-x 150-x 150-x 100 当且仅当 150-x= ,即 x=140 时等号成立. 150-x ∴此时,P ma x=-20+120=100. 故每套丛书售价定为 140 元时,单套丛书的利润取得最大值.


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