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导数专项训练及答案


导数专项训练 例题讲解 【1】导数的几何意义及切线方程 1.已知函数 f ( x) ? a 在 x ? 1 处的导数为 ?2 ,则实数 a 的值是________. x 2. 曲线 y=3x-x3 上过点 A(2,-2)的切线方程为___________________. 3. 曲线 y ?

1 2 和 y ? x 在它们的交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形的面积是 x



4.若直线 y=kx-3 与曲线 y=2lnx 相切,则实数 k=_______. 5.已知直线 y ? x ? 2 与曲线 y ? ln?x ? a ? 相切,则 a 的值为 _______. 6. 等比数列 {an } 中, a1 ? 1, a2012 ? 9 ,函数 f ( x) ? x( x ? a1 )( x ? a2 )
y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为_____________.

( x ? a2012 ) ? 2 ,则曲线

7.若点 P 是曲线 y=x2-lnx 上的任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为________. 8. 若点 P、 Q 分别在函数 y=ex 和函数 y=lnx 的图象上,则 P、 Q 两点间的距离的最小值是_____. 9. 已知存在实数 a ,满足对任意的实数 b ,直线 y ? ? x ? b 都不是曲线 y ? x3 ? 3ax 的切线,则 实数 a 的取值范围是_________. 10. 若关于 x 的方程 ex ? 3x ? kx 有四个实数根,则实数 k 的取值范围是_____________. 11. 函数 f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1, c)处具有公 共切线,则 c 的值是___________. 【2】常见函数的导数及复合函数的导数 x x ? ? 2 2 , 则 f ’(2) =______. 1.f(x)=2 ? e ? e ? ? ? ? ln x 2. 设曲线 y = 在点(1, 0)处的切线与直线 x-ay+1=0 垂直,则 a=_______. x ?1 3.函数 f ( x) ? ( x3 ? 1)( x3 ? 2)
( x3 ? 100) 在 x ? ?1 处的导数值为___________.

4. 已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程是 ____________. 5. 若函数 f ( x) ? xn?1 n ? N * 的图像与直线 x ? 1 交于点 P ,且在点 P 处的切线与 x 轴交点 的横坐标为 xn ,则 log 2013 x1 ? log 2013 x2 ? log 2013 x3 ?

?

?

? log 2013 x2012 的值为
*



6. 设 f1(x)=cos x,定义 f n ?1 ( x) 为 f n ( x) 的导数,即 f n?1 ( x) ? f ' n ( x) , n ?N ,若 ?ABC 的 内角 A 满足 f1( A) ? f2( A) ? 【3】导数与函数的单调性

? f2013( A) ? 0 ,则 sin A 的值是______.

1. 函数 y ?

1 2 x ? ln x 的单调递减区间为______. 2
f ? x2 ? ? f ( x1 ) ,则实数 t x2 ? x1

2. 已知函数 f ( x) ? ln x(a ? R) ,若任意 x1、x2 ? [2,3] 且 x 2 ? x1 ,t = 的取值范围____________.

3. 已知函数 f(x)=x3-6x2+9x+a 在 x ? R 上有三个零点,则实数 a 的取值范是



4.设 f '( x) 和 g '( x) 分别是 f (x)和 g ( x) 的导函数, 若 f '( x) g '( x) ? 0 在区间 I 上恒成立, 则称 f(x)

1 2 和 g(x)在区间 I 上单调性相反.若函数 f(x)= x3 ? 2ax 与 g(x)=x +2bx 在开区间 (a, b)上单调性 3
相反 (a>0),则 b-a 的最大值为 【4】导数与函数的极值、最值 1. 已知函数 f ( x) ? x ? 3mx ? nx ? m 在 x ? ?1 时有极值 0,则 m ? n ?
3 2 2





2. 已知函数 f ( x) ? 2 f ?(1) ln x ? x ,则 f ( x) 的极大值为

.

3. 已知函数 f(x)=x4+ax3+2x2+b,其中 a, b ? R .若函数 f(x)仅在 x=0 处有极值,则 a 的取值范 围是______________. 4. 设曲线 y ? (ax ? 1)e x 在点 A?x0 , y1 ? 处的切线为 l1 ,曲线 y ? ?1 ? x?e ? x 在点 B( x0 , y2 ) 处的切
? 3? 线为 l 2 .若存在 x0 ? ?0, ? ,使得 l1 ? l2 ,则实数 a 的取值范围为____________. ? 2?

5.已知函数 f(x)=ex-1, g(x)= -x2+4x-3 若有 f(a)=g(b),则 b 的取值范围为______.

1 6. f '( x) 是函数 f ( x) ? x3 ? mx2 ? (m2 ? 1) x ? n 的导函数,若函数 y ? f [ f '( x)] 在区间[m, 3
m+1]上单调递减,则实数 m 的取值范围是__________. 【解答题】 1. 某企业拟建造如上图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左 右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为

80? 立方米,且 l ? 2r .假设该容器的建造 3

费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球形部分每平方米 建造费用为 c ? c ? 3? .设该容器的建造费用为 y 千元. (1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的 r
l r

r

r

r

2. 已知函数 f(x)= ax 2 -(a+2)x+lnx. (1)当 a=1 时,求曲线 y = f(x)在点(1, f(1))处的切线方程; (2)当 a>0 时,若 f (x)在区间[1,e)上的最小值为-2,求 a 的取值范围.

3. 已知函数 f ( x) ? ( x ? a) ln x ,( a ? 0 ). (1)当 a ? 0 时,若直线 y ? 2 x ? m 与函数 y ? f ( x) 的图象相切,求 m 的值; (2)若 f ( x) 在 ?1,2? 上是单调减函数,求 a 的最小值; (3)当 x ? ?1,2e?时, f ( x) ? e 恒成立,求实数 a 的取值范围.( e 为自然对数的底).

2a , a?R . x (1)若函数 f ( x) 在 [2, ??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f ( x) 在 [1, e] 上的最小值为 3,求实数 a 的值.
4.已知函数 f ( x) ? ln x ?

5.设函数 f ( x) ? e x ? 1 ? x ? ax 2
(1)若 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间; (2)若当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围

导数专项练习答案 【1】导数的几何意义及切线方程 1. 2; 6. y ? 32012 x ? 2 ; 2. y=-2 或 9x+y-16=0 7. 2; 3. 8.

3 ; 4
2;

4. 9.

2 e;

5. 3; 10.

a?

1 3

? 0,3 ? e?

11. 4 【2】常见函数的导数及复合函数的导数 1. e -

1 ; e

2. ?

1 2

3. 3 ? 99!

4. 2x-y-1=0;

5. -1 ;

6. 1;

【3】导数与函数的单调性 ?1 1? 1. (0, 1); 2. ? , ? ; ?3 2?

3.

(-4, 0);

4.

1 2

【4】导数与函数的极值、最值

1. 11; [5] 解答题 1. 答案

2. 2ln2-2;

? 8 8? 3. ? ? , ? ; ? 3 3?

4. 1 ? a ?

3 ; 2

5. ?1,3? ;

6. m ? 0

解:(1)由题意可知 ? r l ?
2

4 3 80 80 4 ? r ? ? ? l ? 2 r ? ,即 l ? 2 ? r ? 2 r ,则 0 ? r ? 2 . 3 3 3r 3

容器的建造费用为 y ? 2? rl ? 3 ? 4? r 2 ? c ? 6? r ? 即y?

? 80 4 ? ? r ? ? 4? r 2c , 2 3 ? ? 3r

160? ? 8? r 2 ? 4? r 2c ,定义域为 ? x 0 ? r ? 2? . r
160? 20 ? 16? r ? 8? rc ,令 y? ? 0 ,得 r ? . 2 r c?2
3

(2) y? ? ?
3

令r ?

9 20 ? 2 ,得 c ? , 2 c?2
3

9 20 ①当 3 ? c ? 时, ? 2 ,当 0 ? r ? 2 时, y? ? 0 ,函数单调递减,∴当 r ? 2 时 y 2 c?2
有最小值; ②当 c ?

9 20 20 20 时, 时, y? ? 0 ;当 r ? 时, y? ? 0 , ? 2 ,当 0 ? r ? 2 c?2 c?2 c?2
3

3

3

3

∴当 r ?

20 时 y 有最小值. c?2
3

9 9 20 综上所述,当 3 ? c ? 时,建造费用最小时 r ? 2 ;当 c ? 时,建造费用最小时 r ? 2 2 c?2
2. 答案

(2)函数f ? x ? ? ax 2 ? ? a ? 2 ? x ? ln x的定义域是 ? 0, +? ?, 当a ? 0时,f ? ? x ? ? 2ax ? ? a ? 2 ? ?
2 1 2ax ? ? a ? 2 ? ? 1 ? ? x ? 0 ? ......5分 x x

令f ? ? x ? ? 0,即f ? ? x ? ?

2ax 2 ? ? a ? 2 ? ? 1 ? 2 x ? 1?? ax ? 1? = ? 0, x x

1 1 所以x ? 或x ? .???.............................................................6分 2 a

3. 解答

4.

① 若 2a ? 1 ,则 x ? 2a ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立,此时 f ( x) 在 [1, e] 上是增 函数.

5. 解答


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