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2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)专题研究一 曲线与方程


高考调研

高三数学(新课标版· 理)

2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)

第九章 平面解析几何

第九章

平面解析几何

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专题研究一

曲线

与方程

第九章

专题研究一

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第九章

专题研究一

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题型一
例1

定义法

(2011· 广东理)设圆 C 与两圆(x+ 5)2+y2=4,(x-

5)2+y2=4 中的一个内切,另一个外切.求 C 的圆心轨迹 L 的方程.

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专题研究一

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【解析】 依题意得两圆的圆心分别为 F1(- 5, 0), F2( 5,0),从而可得 |CF1|+2=|CF2|-2 或|CF2|+2=|CF1|-2, 所以||CF2|-|CF1||=4=2a<|F1F2|=2 5=2c, 所以圆心 C 的轨迹是以原点为中心,焦点在 x 轴上, 且实轴长为 4,焦距为 2 5的双曲线, 因此 a=2,c= 5,b2=c2-a2=1, x2 2 故 C 的圆心轨迹 L 的方程为 4 -y =1.
第九章 专题研究一

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探究 1

通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何

种图形,再求其轨迹方程,这种方法叫做定义法,运用定 义法,求其轨迹,一要熟练掌握常用轨迹的定义,如线段 的垂直平分线,圆、椭圆、双曲线、抛物线等,二是熟练 掌握平面几何的一些性质定理.

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思考题 1

(2010· 重庆)到两互相垂直的异面直线的

距离相等的点, 在过其中一条直线且平行于另一条直线的 平面内的轨迹是( A.直线 C.抛物线 ) B.椭圆 D.双曲线

第九章

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【解析】 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中建立如图所 示的空间直角坐标系,

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易知直线 AD 与 D1C1 是异面垂直的两条直线,过直 线 AD 与 D1C1 平行的平面是面 ABCD,设在平面 ABCD 内动点 M(x,y)满足到直线 AD 与 D1C1 的距离相等,作 MM1⊥AD 于 M1,MN⊥CD 于 N,NP⊥D1C1 于 P,连接 MP,易知 MN⊥平面 CDD1C1,MP⊥D1C,则有|MM1|= |MP|,|y|2=x2+a2(其中 a 是异面直线 AD 与 D1C1 间的距 离),即有 y2-x2=a2,因此动点 M 的轨迹是双曲线.
【答案】 D

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题型二

直接法

例 2 (2010· 北京)在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称, 是动点, P 且直线 AP 与 BP 的斜率 1 之积等于- .求动点 P 的轨迹方程. 3

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【解析】 因为点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称, 所以点 B 的坐标为(1,-1). 设点 P 的坐标为(x,y), y-1 y+1 1 由题意得 · =-3, x+1 x-1 化简得 x2+3y2=4(x≠± 1). 故动点 P 的轨迹方程为 x2+3y2=4(x≠± 1).
【答案】 x2+3y2=4(x≠± 1)

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探究 2 设出动点所满足的方程(或等式)代入坐标直 接化简,称为直接法.

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思考题 2 设动直线 l 垂直于 x 轴, 且与椭圆 x2+2y2 → → =4 交于 A、B 两点,P 是 l 上满足PA· =1 的点,求点 PB P 的轨迹方程.

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【解析】 设 P 点的坐标为(x,y), 则由方程 x2+2y2=4, 得 y=± 4-x2 , 2

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由于直线 l 与椭圆交于两点 A、B,故-2<x<2, 即 A,B 两点的坐标分别为 A(x, B(x,- 4-x2 2 ), 4-x2 ), 2

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→ ∴PA=(0,

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4-x2 → -y),PB=(0,- 2

4-x2 -y). 2

→ → 由题知PA· =1, PB 即(0, 4-x2 (0,- 2 -y)· 4-x2 2 -y)=1,

4-x2 ∴y2- 2 =1,即 x2+2y2=6, x2 y2 所以点 P 的轨迹方程为 6 + 3 =1(-2<x<2). x2 y2 【答案】 6 + 3 =1(-2<x<2).
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题型三
例3

相关点(坐标转移)法

(2011· 陕西理)如图, P 是圆 x2+y2=25 上的动点, 设

4 点 D 是 P 在 x 轴上的投影,M 为 PD 上一点,且|MD|= |PD|. 5 当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程.

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【解析】 设 M 的坐标为(x, P 的坐标为(xp, p), y), y ?xp=x, ? 由已知得? 5 ?yp=4y, ? 5 2 x2 y2 ∵P 在圆上,∴x2+(4y) =25,即 C 的方程为25+16 =1.

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探究 3 (1)相关点法求曲线方程时一般有两个动点, 一个是主动的,另一个是次动的,如本题中 P 是主动点, M 是次动点. (2)当题目中的条件同时具有以下特征时,一般可以 用相关点法求其轨迹方程: ①某个动点 P 在已知方程的曲线上移动; ②另一个动点 M 随 P 的变化而变化; ③在变化过程中 P 和 M 满足一定的规律.

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思考题 3 已知 A(-1,0),B(1,4),在平面上动点 Q → → 满足QA· =4,点 P 是点 Q 关于直线 y=2x-8 的对称 QB 点,求动点 P 的轨迹方程.

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【解析】 设 Q(x,y),

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→ → 则QA=(-1-x,-y),QB=(1-x,4-y), → → 故由QA· =4? QB (-1-x)(1-x)+(-y)(4-y)=4, 即 x2+(y-2)2=32. 所以点 Q 的轨迹是以 C(0,2)为圆心,以 3 为半径的 圆. ∵点 P 是点 Q 关于直线 y=2(x-4)的对称点.
第九章 专题研究一

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∴动点 P 的轨迹是一个以 C0(x0,y0)为圆心,半径为 3 的 圆,其中 C0(x0,y0)是点 C(0,2)关于直线 y=2(x-4)的对 称点,即直线 y=2(x-4)过 CC0 的中点,且与 CC0 垂直, ?y0-2 ? ×2=-1 ?x0-0 于是有? x0+0 ?y0+2 ? 2 =2? 2 -4? ?

,即

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?2y +x -4=0 ? 0 0 ? ?y0-2x0+18=0 ?

?x =8 ? 0 ?? ?y0=-2. ?

故动点 P 的轨迹方程为(x-8)2+(y+2)2=9.
【答案】 (x-8)2+(y+2)2=9

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题型四
例4

参数法

过点 M(-2,0)作直线 l 交双曲线 x2-y2=1 于 A、B

→ → → 两点,已知OP=OA+OB. (1)求点 P 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线; (2)是否存在这样的直线 l,使 OAPB 为矩形?若存在,求 出 l 的方程;若不存在,说明理由.

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【解析】 (1)设 l 的方程为 y=k(x+2),代入方程 x2 -y2=1,得(1-k2)x2-4k2x-4k2-1=0. 当 k≠± 时,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 1 4k2+1 4k2 则 x1+x2= , 2,x1x2= 2 1-k k -1 y1+y2=k(x1+2)+k(x2+2) =k(x1+x2)+4k k· 2 4k 4k = +4k= . 1-k2 1-k2
第九章 专题研究一



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→ → → 设 P(x,y),由OP=OA+OB,

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4k2 4k 得(x,y)=(x1+x2,y1+y2)=( 2, 2). 1-k 1-k ? ?x= 4k 2, ? 1-k ∴? ?y= 4k . ? 1-k2 ?
2

② ③ ④

x ②÷ ③得 =k, y

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4x y 将④代入③得,y= ,化简, x2 1-? ? y 得 x2-y2+4x=0,即(x+2)2-y2=4. ⑤

当斜率不存在时,易知 P(-4,0)满足方程⑤,故所求 轨迹方程为(x+2)2-y2=4,其轨迹为双曲线.

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→ → (2)平行四边形 OAPB 为矩形的充要条件是OA· = OB 0, 即 x1x2+y1y2=0.⑥ 当 k 不存在时,A、B 坐标分别为(-2, 3)、(-2, - 3),不满足⑥式. 又 x1x2+y1y2=x1x2+k(x1+2)k(x2+2) =x1x2+k2x1x2+2k2(x1+x2)+4k2

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?1+k2??4k2+1? 2k2· 2 4k = - 2 +4k2=0,化简得 2 k -1 k -1 k2+1 =0, 此方程无实数解, 故不存在直线 l 使 OAPB k2-1 为矩形.

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探究 4

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求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本

问题之一, 求符合某种条件的动点的轨迹方程, 其实质就 是利用题设中的几何条件, 通过“坐标互化”将其转化为 寻求变量间的关系. 在确定了轨迹方程之后, 有时题目会就方程中的参数 进行讨论; 参数取值的变化使方程表示不同的曲线; 参数 取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同; 参数取值的 变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等.

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思考题 4

y2 设椭圆方程为 x2+ =1,过点 M(0,1)的 4

直线 l 交椭圆于点 A、B,O 是坐标原点,l 上的动点 P 满 1 1 → 1 → → 足OP=2(OA+OB),点 N 的坐标为(2,2),当 l 绕点 M 旋转时,求: (1)动点 P 的轨迹方程; → (2)|NP|的最小值与最大值.

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【解析】 方法一 直线 l 过点 M(0,1),当 l 的斜率 存在时,设其斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题设可得点 A、B 的坐标 ?y=kx+1 ? (x1,y1)、(x2,y2)是方程组? 2 y2 ?x + 4 =1 ? ① ② 的解.

将①代入②并化简得,(4+k2)x2+2kx-3=0,

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? ?x +x = -2k2 ? 1 2 4+k 所以? 8 ? ?y1+y2=4+k2 ?



x1+x2 y1+y2 → 1 → → 于是OP=2(OA+OB)=( 2 , 2 ) -k 4 =( 2, 2) 4+k 4+k

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? ?x= -k 2 ? 4+k 设点 P 的坐标为(x,y),则? 4 ? ?y=4+k2 ? 消去参数 k 得 4x2+y2-y=0

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当直线 l 的斜率不存在时,A、B 的中点坐标为原点 (0,0),也满足方程③, 所以点 P 的轨迹方程为 4x2+y2-y=0.

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方法二 设点 P 的坐标为(x,y), 因 A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上, y2 1 2 所以 x1+ =1 4 y2 2 2 x2+ 4 =1 ④-⑤得 ⑤ 1 2 2 2 2 x1-x2+ (y1-y2)=0,所以 4 ④

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1 (x1-x2)(x1+x2)+ (y1-y2)(y1+y2)=0. 4 当 x1≠x2 时,有 y1-y2 1 x1+x2+4(y1+y2)· =0 x1-x2 ? x1+x2 ?x= 2 ? ? y1+y2 并且?y= 2 ? ?y-1 y1-y2 ? x =x -x ? 1 2 ⑥

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将⑦代入⑥并整理得 4x2+y2=y

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当 x1=x2 时,点 A、B 的坐标分别为(0,2)、(0,-2), 这时点 P 的坐标为(0,0),也满足⑧, 12 ?y-2? x2 所以点 P 的轨迹方程为 1 + 1 =1. 16 4

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1 (2)由点 P 的轨迹方程知 x ≤ , 16
2

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1 1 即-4≤x≤4. 12 12 →2 所以|NP| =(x- ) +(y- ) 2 2 12 1 =(x-2) +4-4x2 12 7 =-3(x+6) +12,

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1 1 故当 x= 时,|NP|取得最小值,最小值为 ; 4 4 1 21 → 当 x=-6时,|NP|取得最大值,最大值为 6 .

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1.要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件,也就是 曲线上点的坐标的取值范围.由曲线和方程的概念可知, 在求曲线方程时一定要注意它的“完备性”和“纯粹 性”,即轨迹若是曲线的一部分,应对方程注明 x 的取值 范围,或同时注明 x,y 的取值范围.

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2.“轨迹”与“轨迹方程”既有区别又有联系,求 “轨迹”时首先要求出“轨迹方程”,然后再说明方程 的轨迹图形,最后“补漏”和“去掉增多”的点,若轨 迹有不同的情况,应分别讨论,以保证它的完整性.

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