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选修4-4第2讲:参数方程(教师版)


参数方程
1.了解直线参数方程,曲线参数方程的条件及参数的意义 2.会选择适当的参数写出曲线的参数方程 3.掌握参数方程化为普通方程几种基本方法 4.了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义 5.利用圆锥曲线的参数方程来确定最值,解决有关点的轨迹问题

一.参数方程的定义 1.一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线 C 上任一点 P 的坐标 x 和 y 都可

以表示为某个变量

? x ? f (t ) ? x ? f (t ) t 的函数: ? ;反过来,对于 t 的每个允许值,由函数式 ? 所确定的点 P(x,y)都在 ? y ? g (t ) ? y ? g (t ) ? x ? f (t ) 曲线 C 上,那么方程 ? 叫作曲线 C 的参数方程,变量 t 是参变数,简称参数.相对于参数方 ? y ? g (t )
程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程,参数方程可以转化为普通方程. 2.关于参数的说明. 参数方程中参数可以有物理意义、几何意义,也可以没有明显意义. 3.曲线的参数方程可通过消去参数而得到普通方程;若知道变数 x、y 中的一个与参数 t 的关

? x ? f (t ) 系,可把它代入普通方程,求另一变数与参数 t 的关系,则所得的 ? ,就是参数方程. ? y ? g (t )

二.圆的参数方程

? x ? r cos t 点 P 的横坐标 x、纵坐标 y 都是 t 的函数: ? (t 为参数). ? y ? r sin t
我们把这个方程叫作以圆心为原点,半径为 r 的圆的参数方程. 圆的圆心为 O1(a,b),半径为 r 的圆的参数方程为:

? x ? a ? r cos t (t 为参数). ? ? y ? b ? r sin t

1

2 2 x y ? x ? a cos? 三. 椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的参数方程为 ? (θ 为参数). 规定 θ 的范围为 θ ∈[0, a b ? y ? b sin ?

2π ).这是中心在原点 O、焦点在 x 轴上的椭圆参数方程.
2 2 x y ? x ? asec? 四.双曲线 2- 2=1 的参数方程为 ? (φ 为参数).规定 φ 的范围为 φ ∈[0,2π ), a b ? y ? b tan ?

π 3π 且φ ≠ ,φ ≠ .这是中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线参数方程. 2 2
? ?x=2pt , 五.曲线 C 的参数方程为? (t 为参数,t∈R)其中 p 为正的常数.这是焦点在 x 轴正半 ?y=2pt ?
2

轴上的抛物线参数方程. 六.直线的参数方程

? x ? x0 ? t cos ? 1.过定点 M0(x0,y0)、倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数),这一形 ? y ? y0 ? t sin ?
式称为直线参数方程的标准形式,直线上的动点 M 到定点 M0 的距离等于参数 t 的绝对值.当 t>0 → → 时,M0M的方向向上;当 t<0 时,M0M的方向向下;当点 M 与点 M0 重合时,t=0. 2.若直线的参数方程为一般形式为:
?x=x0+at, ? ? (t为参数), ? ?y=y0+bt

? x ? x0 ? t ? cos ? 可把它化为标准形式: ? (t′为参数). ? y ? y0 ? t ? sin ?
b 其中 α 是直线的倾斜角,tanα = ,此时参数 t′才有如前所说的几何意义. a

类型一.参数方程与普通方程的互化 π? ? x ? 3cos? ? 例 1:指出参数方程 ? ?θ 为参数,0<θ < 2 ?表示什么曲线 ? ? y ? 3sin ? ?

? x ? 3cos? 2 2 解析:由 ? (θ 为参数)得 x +y =9. ? y ? 3sin ?
π 又由 0<θ < ,得 0<x<3,0<y<3, 2
2

所以所求方程为 x +y =9(0<x<3 且 0<y<3). 这是一段圆弧(圆 x +y =9 位于第一象限的部分). 答案:这是一段圆弧(圆 x +y =9 位于第一象限的部分).
2 2 2 2

2

2

? x ? 3 ? 15cos? 练习 1:指出参数方程 ? (θ 为参数,0≤θ <2π ).表示什么曲线 ? y ? 2 ? 15sin ? ? x ? 3 ? 15cos? 2 2 2 解析:由参数方程 ? (θ 为参数)得(x-3) +(y-2) =15 ,由 0≤θ <2π 知这是 ? y ? 2 ? 15sin ?
一个整圆弧. 答案:一个整圆弧 例 2:设直线 l1 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? t, (t 为参数),直线 l2 的方程为 y=3x+4,则 l1 与 l2 间的距 ? y ? 1 ? 3t

离为______. 解析:由条件知,l1∥l2,在 l1 中令 t=0,则得坐标为(1,1). 由点到直线距离公式得 l1 与 l2 距离为:

| 3 ? 1 ? 4 | 3 10 ? . 5 10
答案:

3 10 5

练习 2:若直线 l1 : ?

? x ? 1 ? 2t , ? x ? s, (t 为参数)与直线 l2: ? (s 为参数)垂直,则 k=______. ? y ? 2 ? kt ? y ? 1 ? 2s
k k k x ? 2 ? , 斜率为- . 由 l2 消去参数 s 得, y ? 1 ? 2x ,斜率 2 2 2

解析:由 l1 消去参数 t 得, y ? ? 为-2.

∵两直线垂直,? ( ?2) ? (? ) ? ?1,得 k=-1. 答案:-1 类型二.曲线参数方程 例 3:已知点 P(x, y)在曲线 ?

k 2

y ? x ? ?2 ? cos ? , ( ? 为参数)上,则 的取值范围为______. x ? y ? sin?

解析:曲线 ?

y y ? x ? ?2 ? cos ? , ( ? 为参数)是以(-2,0)为圆心,以 1 为半径的圆,设 ? k ,求 的取值 x x ? y ? sin?

范围,即求当直线 y=kx 与圆有公共点时 k 的取值范围, 如图 22-60 结合圆的几何性质可得 ?

3 3 ?k? . 3 3
3

故填 [?

3 3 , ] 3 3

答案: [?

3 3 , ] 3 3
1 ? x ? 2cos ? , ( ? ? R)上任一点,设 P 到直线 l:y= ? 的距离为 2 ? y ? 1 ? cos 2?

练习 1:已知点 A(1,0),P 是曲线 ? d,则|PA|+d 的最小值是______.

解析:y ? 1 ? cos 2? ? 2cos2 ? , 消去 ? 得x2 ? 2y(0 ? y ? 2) 其图像是一段抛物线弧,如图 22-61, F (0, ) 是它的 焦点,l 是准线,d=|PF|,当 A,P,F 三点共线时, | PA | ? d 最小,其值是 | AF |?

1 2

5 . 2

答案:

5 2

例 4:已知 ? 为参数,则点(3,2)到方程 ?

? x ? cos ? ,的距离的最小值是______. ? y ? sin?

解析:把 ? 值是 13 ? 1.

? x ? cos ? ? x ? cos? 2 2 ,化为普通方程为 x ? y ? 1, 所以点(3,2)到方程 ? ,的距离的最小 ? y ? sin? ? y ? sin?

答案: 13 ? 1.
4

练习 1:已知圆 C 的参数方程为 ? 是______. 解析:由 ?

? x ? cos ? ? 1, ( ? 为参数),则点 P(4,4)与圆 C 上的点的最远距离 ? y ? sin?

? x ? cos ? ? 1, 得 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 , 则 点 P(4,4) 与 圆 C 上 的 点 的 最 远 距 离 是 y ? sin ? ?

(4 ? 1) 2 ? 42 ? 1 ? 6
答案:6 例 5:已知双曲线方程为 x2-y2=1,M 为双曲线上任意一点,点 M 到两条渐近线的距离分别 为 d1 和 d2,求证:d1 与 d2 的乘积是常数. 答案:设 d1 为点 M 到渐近线 y=x 的距离,d2 为点 M 到渐近线 y=-x 的距离, 因为点 M 在双曲线 x -y =1,则可设点 M 坐标为(secα ,tanα ). |sec α -tan α | d1= , 2 |sec α +tan α | d2= , 2 |sec α -tan α | 1 d1·d2= = , 2 2 故 d1 与 d2 的乘积是常数.
2 2 2 2

a? 1? t+ ?, ? ?x=2? ? t? 练习 1:将参数方程? (t 为参数,a>0,b>0)化为普通方程. b? 1? t- ? ? ?y=2? ? t? 1 2x 1 2y 解析:∵t+ = ,t- = , t a t b
2 2 1 4x ? 1? 2 又?t+ ? =t + 2+2= 2 , t a ? t?

?t-1? =t2+ 1 -2=4y , ? t? 2 2 t b ? ?
2 2 2 2 4x 4y ? 1? ? 1? ∴?t+ ? -?t- ? =4= 2 - 2 , a b ? t? ? t?

2

2

x y 即 2- 2=1. a b x y 答案: 2- 2=1 a b
2 2

2

2

5

类型三.直线参数方程

1 ? x ? ?2 2 ? t , ? ? x ? 1 ? cos ? , ? 2 例 6:曲线 C1: ? ( ? 为参数)上的点到曲线 C2: ? (t 为参数)上的点的 1 y ? sin ? , ? ? y ? 1? t ? ? 2
最短距离为______. 解析:C1: ?

? x ? 1 ? cos ? , ? ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1; 则圆心坐标为(1,0). ? y ? sin ?

1 ? x ? ? 2 2 ? t, ? ? 2 C2 : ? ? x ? y ? 2 2 ?1 ? 0. 1 ? y ? 1? t ? ? 2
由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为 d= d-1=1. 答案:1

|1 ? 2 2 ? 1| ? 2 , 所以要求的最短距离为 2

? ?x=2+3t, 练习 1:直线? (t 为参数)上对应 t=0,t=1 两点间的距离是( ? ?y=-1+t

)

A.1

B. 10

C.10

D.2 2

解析:根据点到直线的距离公式可以得出结果. 答案:B

类型四.曲线参数方程的应用 例 7: 在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的方程为 x-y+4=0, 曲线 C 的参数方程为 ? 为参数). (1)已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为

? ? x ? 3cos? (α ? ? y ? sin ?

? π? 极轴)中,点 P 的极坐标为?4, ?,判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2? ?
(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

? π? 解析:(1)把极坐标系下的点 P?4, ?化为直角坐标,得 P(0,4). 2? ?
因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x-y+4=0,所以点 P 在直线 l 上. (2)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为( 3cosα ,sinα ),
6

从而点 Q 到直线 l 的距离 | 3cos α -sin α +4| 2 π? ? 2cos?α + ?+4 6? ? 2 π? ? = 2 cos ?α + ? + 2 2 . 由 此 得 , 当 cos 6? ?

d=



?α +π ?=-1 时,d 取得最小值,且最小值为 2. ? 6? ? ?
答案:(1)点 P 在直线 l 上. (2)最小值为 2. 1 ? ?x=2(e +e 练习 1:已知曲线 C 的方程为? 1 y= (e -e ? ? 2
t t
-t

)cos θ , )sin θ .

-t

当 t 是非零常数,θ 为参数时,C 是什么曲线?当 θ 为不等于


2

(k∈Z)的常数,t 为参数时,

C 是什么曲线?两曲线有何共同特征?
答案:当 θ 为参数时,将原参数方程记为①, 将参数方程①化为 2x ? ?e +e ? 2y ? ?e -e
t t -t

=cos θ , =sin θ ,

-t

平方相加消去 θ ,得 x
2

t -t 2 ?e +e ? ? 2 ? ? ?



=1.② t -t 2 e - e ? ? ? 2 ? ? ?
t -t 2

y

2

∵(e +e ) >(e -e ) >0, ∴方程②表示的曲线为椭圆. 当 t 为参数时, 2x ? ?cos θ =e +e 将方程①化为? 2y ?sin θ =e -e ?
t t 2 -t

t

-t 2

, .
2

-t

x y 平方相减,消去 t,得 2 - =1.③ 2 cos θ sin θ ∴方程③表示的曲线为双曲线,即 C 为双曲线.

?e +e ? -?e -e ? =1,则 c=1,椭圆②的焦点为(-1,0),(1,0).因此椭 又在方程②中? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ?
7

t

-t

2

t

-t

2

圆和双曲线有共同的焦点. 类型五.极坐标与参数方程的综合应用 例 8:(2015·广东卷Ⅱ,数学文 14)在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系.曲线 C1 的极坐标方程为 ρ (cos θ +sin θ )=-2,曲线 C2 的参数方程为

?x=t (t 为参数),则 C1 与 C2 交点的直角坐标为________. ? ?y=2 2t
? ?x+y=-2 2 解析:曲线 C1 的直角坐标方程为 x+y=-2,曲线 C2 的普通方程为 y =8x,由? 2 得: ?y =8x ? ?x=2 ? ? ,所以 C1 与 C2 交点的直角坐标为(2,-4). ? ?y=-4

2

答案:(2,-4) 练习 1:求圆 ? ? 3cos ? 被直线 ?

? x ? 2 ? 2t , (t 是参数)截得的弦长. ? y ? 1 ? 4t

解析:将极坐标方程转化成直角坐标方程:

? ? 3cos? , 可得x2 ? y 2 ? 3x,
即 (x ? ) ? y ?
2 2

3 2

9 ? x ? 2 ? 2t , ,? 可得 2 x ? y ? 3, 4 ? y ? 1 ? 4t ,

所以圆心到直线的距离 d ?

3 2? ? 0 ? 3 2 22 ? (?1) 2

? 0,

即直线经过圆心,所以直线截得的弦长为 3. 答案:3

? ?x=2+sin θ , 1.将参数方程? (θ 为参数)化为普通方程是( 2 ?y=sin θ ?

2

)

A.y=x-2 C.y=x-2(2≤x≤3) 答案:C 2.椭圆 ?

B.y=x+2 D.y=x+2(0≤y≤1)

? x ? 4 ? 2cos ? (θ 为参数)的焦距为( ? y ? 1 ? 5sin?
8

)

A. 21 答案:B

B.2 21

C. 29

D.2 29

?x=e -e , ? 3.参数方程? (t 为参数)表示的曲线是( t -t ? ?y=e +e

t

-t

)

A.双曲线 C.双曲线的上支 答案:C 4.双曲线 ?

B.双曲线的下支 D.圆

? x ? 2 ? 3tan ? ,( ? φ 为参数)的渐近线方程为 ? y ? sec ?

1 答案:y=± (x-2) 3 5.(2015·惠州市高三第二次调研考试)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为?
?x=t, ?

?y=4+t ?

(t

为参数).以原点 O 为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ =4 2 π? ? sin?θ + ?,则直线 l 和曲线 C 的公共点有________个. 4? ? 答案:1 6 .若直线 3x+4y+m=0 与圆 ? ______. 答案: (??,0) ? (10, ??) 7.在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程
? ?x=t , 为 ρ cosθ =4 的直线与曲线? (t 为参数)相交于 A,B 两点,则|AB|=________. 3 ?y=t ?
2

? x ? 1 ? cos? , ( ? 为参数), 没有公共点 ,则实数 m 的取值范围是 ? y ? ?2 ? sin?

答案:16

8.已知直线 l: 3x ? 4y ? 12 ? 0 与圆 C: ?
2

? x ? ?1 ? 2cos ? , ( ? 为参数),试判断它们的公共点的个数. y ? 2 ? 2sin ? ?
2

答案:圆的方程可化为 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4, 其圆心为 C(-1,2),半径为 2. 由于圆心到直线 l 的距离

d?

| 3 ? (?1) ? 4 ? 2 ? 12 | 3 ?4
2 2

?

7 ? 2, 5

故直线 l 与圆 C 的公共点个数为 2.

9

9.求直线 ?

? ? x ? 2 ? t, (t 为参数)被双曲线 x2-y2=1 截得的弦长 ? ? y ? 3t , ? ? x ? 2 ? t, (t 为参数)化为普通方程为 y ? 3x ? 2 3. ? ? y ? 3t

答案:把直线 ?

把它代入双曲线方程并整理得,

2x2 ?12x ? 13 ? 0,
设直线交双曲线于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点, 则 x1 ? x2 ? 6, x1 ? x2 ?

13 , 2

则直线被双曲线截得的弦长

| AB |? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ? 2 10.

_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________

基础巩固 1.当参数 θ 变化时,动点 P(2cosθ ,3sinθ )所确定的曲线必过( A.点(2,3) 答案:B 2.双曲线 ? B.点(2,0) C.点(1,3) )

? π? D.点?0, ? 2? ?

? x ? 2 3 tan ? ? (α 为参数)的两焦点坐标是( ? ? y ? 6sec ?

)

A.(0,-4 3),(0,4 3) C.(0,- 3),(0, 3) 答案:A

B.(-4 3,0),(4 3,0) D.(- 3,0),( 3,0)

α α ? ?x=sin 2 +cos 2 , 3.参数方程? (α 为参数)的普通方程为( ? ?y= 2+sin α
10

)

A.y -x =1 C.y -x =1(|x|≤ 2) 答案:C
2 2

2

2

B.x -y =1 D.x -y =1(|x|≤ 2)
2 2

2

2

?x=cos2θ , ? 4.参数方程? (θ 为参数)表示的曲线是( 2 ?y=sin θ ?

) D.射线

A.直线 答案:C

B.圆

C.线段

π ? x ? 3cos ? 5.设 O 是椭圆 ? ( ? 为参数)的中心, P 是椭圆上对应于 ? = 的点, 那么直线 OP 的斜 6 ? y ? 2sin ? 率为( A. 3 3 ) B. 3 C. 3 3 2 D. 2 3 9

答案:D

? x ? 1 ? 2cos? 6.将参数方程 ? (θ 为参数)化为普通方程是____________. ? y ? 2sin ?
答案:(x-1) +y =4 7.点 P(x,y)在椭圆 4x +y =4 上,则 x+y 的最大值为______,最小值为________. 答案: 5 - 5
2 2 2 2

? ?x=1+s, 8.在平面直角坐标系中,已知直线 l 与曲线 C 的参数方程分别为 l:? (s 为参数)和 C: ?y=1-s ? ? ?x=t+2, ? (t 为参数),若 l 与 C 相交于 A、B 两点,则|AB|=________. 2 ? ?y=t

答案: 2 能力提升

? x ? 4cos? 9.点(2,3 3)对应曲线 ? (θ 为参数)中参数 θ 的值为( ? y ? 6sin ?
π A.kπ + (k∈Z) 6 π C.2kπ + (k∈Z) 6 答案:D x y 10.椭圆 + =1 的点到直线 x+2y-4=0 的距离的最小值为( 9 4
11
2 2

)

π B.kπ + (k∈Z) 3 π D.2kπ + (k∈Z) 3

)

A.

5 5 答案:A

B. 5

C.

6 5 5

D.0

1 x=2- t, ? ? 2 11.(2015·湛江市高三(上)调考)直线? (t 为参数)被圆 1 y =- 1 + t ? ? 2 ________. 答案: 14 12.在平面直角坐标系 xOy 中,若 l:? 右顶点,则常数 a 的值为________. 答案:3

x +y =4 截得的弦长为

2

2

? x ? 3cos? (t 为参数)过椭圆 C: ? ( ? 为参数)的 ? ?y=t-a ? y ? 2sin ?
? ?x=t,

13.(2015·惠州市高三第一次调研考试)已知在平面直角坐标系 xOy 中圆 C 的参数方程为:

? x ? 3 ? 3cos? π? ? ? (θ 为参数), 以 Ox 为极轴建立极坐标系, 直线极坐标方程为: ρ cos?θ + ?=0, ? 6? ? ? ? y ? 1 ? 3sin ?
则圆 C 截直线所得弦长为________. 解析:圆 C ?

? ? x ? 3 ? 3cos? (θ 为参数)表示的曲线是以点( 3,1)为圆心,以 3 为半径的圆, y ? 1 ? 3sin ? ? ?

π? ? 将直线 ρ cos?θ + ?=0 的方程化为 3x-y=0,圆心( 3,1)到直线 3x-y=0 的距离: 6? ? | 3× 3-1| 2 2 d= =1,故圆 C 截直线所得弦长为 2 3 -1 =4 2. + 2 ( 3) 1 答案:4 2 14.(2014·辽宁卷)将圆 x +y =1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲 线 C. (1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极 坐标系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程.
?x=x1, ? 2 2 答案:(1)设(x1,y1)为圆上的点,经变换为 C 上点(x,y),依题意,得? 由 x1+y1=1 ?y=2y1, ?
2 2 y ?y? 2 2 得 x +? ? =1,即曲线 C 的方程为 x + =1. 4 ?2? 2 2

12

? ?x=cos t, 故 C 的参数方程为? (t 为参数). ?y=2sin t ?

y ? ?x=1, ? ?x=0, ?x2+ =1, ? 4 (2)由? 解得? 或? ? ? ?y=0 ?y=2. ? ?2x+y-2=0 1 ?1 ? 不妨设 P1(1,0),P2(0,2),则线段 P1P2 的中点坐标为? ,1?,所求直线斜率为 k= ,于是所 2 2 ? ? 1? 1? 求直线方程为 y-1= ?x- ?, 2? 2? 3 化为极坐标方程并整理得 2ρ cosθ -4ρ sinθ =-3,即 ρ = . 4sin θ -2cos θ

2

13


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