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三角函数的概念、图像、性质


三角函数的概念、性质和图象
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应用

弧长公式

同角三角函数 的基本关系式

诱导 公式

应用

计算与化简 证明恒等式

应用

任意角的概念

角度制与 弧度制

>任意角的 三角函数

三角函数的 图像和性质

应用

已 知 三角 函 数值求角 图像和性质

和角公式
应用

应用

倍角公式

差角公式

一、角的概念和弧度制:

应用

(1)在直角坐标系内讨论角: 角的顶点在原点,始边在 x 轴的正半轴上,角的终边在第几象限,就说过角是第几象 限的角。若角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于任何象限,它叫象限界角。 (2)①与 ? 角终边相同的角的集合( ? 为第一象限角) :

{? | ? ? 3600 k ? ? , k ? Z}或{? | ? ? 2k? ? ? , k ? Z}
与 ? 角终边在同一条直线上的角的集合: 与 ? 角终边关于 x 轴对称的角的集合: 与 ? 角终边关于 y 轴对称的角的集合: 与 ? 角终边关于 y ? x 轴对称的角的集合: ②一些特殊角集合的表示: 终边在坐标轴上角的集合: 终边在一、三象限的平分线上角的集合: 终边在二、四象限的平分线上角的集合: 终边在四个象限的平分线上角的集合: ; ; ; ; ; ; ; ;

1

(3)区间角的表示: ①象限角:第一象限角: 第一、三象限角: ②写出图中所表示的区间角: y y

;第三象限角: ;



O

x

O

x

(4)弧度制:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零;任一 已知角 ? 的弧度数的绝对值 | ? |? 的长, r 为圆的半径。 (5)弧长公式: 扇形面积公式: ; ;

l ,其中 l 为以角 ? 作为圆心角时所对圆弧 r

二、任意角的三角函数:
(1)任意角的三角函数定义: 以角 ? 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系,在角 ? 的终边上任取 一个异于原点的点 P ( x, y ) ,点 P 到原点的距离记为 r , 则 sin ? ? ; cos? ? ; sec? ? ; tan ? ? ; cot ? ? ; ; 。

csc ??

如:角 ? 的终边上一点 (a,? 3a) ,则 cos ? ? 2 sin ? ? (2)在图中画出角 ? 的正弦线、余弦线、正切线; y y a O y a O

y x O

O

a

x

x

a

比较 x ? (0,

?
2

) , sin x , tan x , x 的大小关系:



2

(3)特殊角的三角函数值:

?
sin ? cos ?

0

? 6

? 4

? 3

? 2

?

3? 2

tan ?

cot ?

三、三角函数的图象与性质和性质
y ? A sin??x ? ? ?

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

y ? cot x

定义域 值域 周期性 奇偶性

R
[?1,?1]

R
[?1,?1]

?x | x ? R且x ? k? , k ? Z ?
R
?

(A、 ? >0) R

R
?

?? A, A?
2?

2?

2?

奇函数

偶函数
[?2k ? 1?? , 2k? ]

奇函数
? ? ? ? ? ? ? k? , ? k? ? 上 2 2 ? ?

奇函数

? 当 ? ? 0, 非奇非偶 当 ? ? 0, 奇函数

[?

?
2

? 2k? ,

?k? , ?k ? 1?? ? 上为减函
数( k ? Z )

?
2

? 2k? ]

上为增函 数 ; 单调性
[

; 上为增函 数 [2k? , ?2k ? 1?? ] 上为减函 数 ( k ?Z )

为增函数( k ? Z )

? ? ? ? 2k? ? 2 ? ? ? ( A), ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 2k? ? ? ? ? ? 2 ? (? A)? ? ? ?
上为增函数; ? ? ? 2k? ? ? ?
? ? 2 ( A), ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 2k? ? 2 ? ? ? ? (? A)? ? ? ? ?

?

2 3? ? 2k? ] 2

? 2k? ,

上为减函 数 ( k ?Z )

上 为 减 函 数 ( k ?Z )

3

四、同角三角函数的关系与诱导公式:
(1)同角三角函数的关系

平方关系 sin2 ? + cos2 ? =1, 1+tan2 ? =
1 1 , 1+cot2 ? = 2 2 cos ? sin ?

倒数关系 tan ? · cot ? =1

商数关系 sin ? =tan ? cos ?

作用:已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值。 (2)诱导公式:

2k? ? ? ? ? :

, , , , , , , ,

, , , , , , , ,

; ; ; ; ; ; ; ;

? ? ? ?? :
?? ?? :

? ? ? ?? :
(2k ? 1)

?
2

?? ? ? :

?? ? ? : 2 3? ?? ? ? : 2 3? ?? ? ? : 2 诱导公式可用概括为:

?

? 3? ±? ,? ±? , ± ? 的三角函数 2 2

奇变偶不变,符号看象限

? 的三角函数

五、三角函数公式
两角和与差的三角函数关系 sin( ? ? ? )=sin ? · cos ? ? cos ? · sin ? cos( ? ? ? )=cos ? · cos ? ? sin ? · sin ?
tan( ? ? ?) ? tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ?

2 倍角公式 sin2 ? =2sin ? · cos ? 2 cos2 ? =cos ? -sin2 ? =2cos2 ? -1 =1-2sin2 ? 2 tan ? tan 2? ? 1 ? tan 2 ?

4

积化和差公式 1 sin ? · cos ? = [sin( ? + ? )+sin( ? - ? )] 2 1 cos ? · sin ? = [sin( ? + ? )-sin( ? - ? )] 2 1 cos ? · cos ? = [cos( ? + ? )+cos( ? - ? )] 2 1 sin ? · sin ? = - [cos( ? + ? )-cos( ? - ? )] 2 和差化积公式 sin ? +sin ? = 2 sin

半角公式

sin

?
2

??

1 ? cos? ? 1 ? cos? , cos ? ? 2 2 2
sin ? 1 ? cos? 1 ? cos ? ? = sin ? 1 ? cos ? 1 ? cos?

tan

?
2

??

???

2 2 ??? ??? sin sin ? -sin ? = 2 cos 2 2 ??? ??? cos cos ? +cos ? = 2 cos 2 2 ??? ??? sin cos ? -cos ? = - 2 sin 2 2 1 2 ? tan ? + cot ? = sin ? ? cos ? sin 2? tan ? - cot ? = -2cot2 ?

cos

???

升幂公式 1+cos ? = 2 cos 2 1-cos ? = 2 sin 2 1±sin ? =( sin
2 2

?
2

?

?

2 ? cos

?
2

1+cos ? = 2 cos 2 1-cos ? = 2 sin 2 1±sin ? =( sin

?

?

2

?

2

2

? cos

?
2

)2

1=sin ? + cos ? ? ? sin ? = 2 sin cos 2 2 降幂公式 1 ? cos 2? sin2 ? ? 2 1 ? cos 2? cos2 ? ? 2 2 2 sin ? + cos ? =1 1 sin ? · cos ? = sin 2? 2

2

)2

辅助角公式: a sin ? ? b cos ? ?

= ; )



?? (其中 t a n
典型例题 A、三角函数的定义:

4.已知角 α 的终边经过点 P(5,-12),则 sin ? ? cos ? 的值为____。 5.设 ? 是第三、四象限角, sin ? ?

2m ? 3 ,则 m 的取值范围是__________。 4?m

5

B.三角函数线 ? 6.若 ? ? ? ? 0 ,则 sin ? , cos ? , tan ? 的大小关系为________
7.若 ? 为锐角,则 ? , sin ? , tan ? 的大小关系为____. 8.函数 y ? 1 ? 2 cos x ? lg(2 sin x ? 3 ) 的定义域是____

8

C.同角三角函数的基本关系式:
m?3 4 ? 2m ? , cos ? ? ( ? ? ? ? ) ,则 tan ? =_______ m?5 m?5 2 tan ? ? ?1 ,则 sin ? ? 3 cos ? =______; sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2 =______ 10.已知 tan ? ? 1 sin ? ? cos ?
9.已知 sin? ? 11.已知 f (cos x) ? cos 4 x ,则 f (sin 30? ) 的值为_________

D.三角函数诱导公式 9? 7?
12. cos

4

? tan(?

6

) ? sin 21? 的值为_________ 4 ,则 cos(? ? 270? ) =____,若 ? 为第二象限角,则 5

13.己知 sin(540 ? ? ? ) ? ?

[sin(180? ? ? ) ? cos(? ? 360? )] 2 =______. tan(180? ?? )

E、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:
14.下列各式中,值为

1 的是( ) 2
B. cos 2

A、 sin15? cos 15?

?
12

? sin 2

?
12

C.

tan 22.5? 1?tan2 22.5o

D.

1 ? cos120o 2

15.命题 P : tan( A ? B) ? 0 ,命题 Q : tan A ? tan B ? 0 ,则 P 是 Q 的( ) A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 16.已知 sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? ) sin ? ? 17.

3 ,那么 cos 2? 的值为_________ 5

1 3 ? 的值是____ sin10? sin80?
0

18.己知 tan 1100 ? a ,求 tan50 的值(用 a 表示)甲求得的结果是

a? 3 ,乙求得的结果 1? 3a



1? a2 ,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是_____ 2a

6

F.三角函数的化简、计算、证明
(1)巧变角:

2 1 ? ? , tan(? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) 的值是_________ 5 4 4 4 3 20.已知 α ,β 为锐角, sin ? ? x , cos ? ? y , cos(? ? ? ) ? ? ,则 y 与 x 的函数关系为 5
19.已知 tan(? ? ? ) ? ___________________ (2)三角函数名互化(切割化弦) , 21.求值 sin 50?(1 ? 3 tan 10? )

22.已知

2 sin ? cos ? 的值 ? 1 , tan(? ? ? ) ? ? ,求 tan(? - 2? ) 3 1 ? cos 2?

(3)公式变形使用 23.设△ABC 中, tan A ? tan B ? ______ 三角形 (4)三角函数次数的降升 24 函数 f ( x) ? 5 sin x cos x ? 5 3 cos 2 x ? (5)式子结构的转化 25.化简 tan ? (cos ? ? sin ? ) ?

3 ? 3 tan A tan B , sin A cos A ?

3 ,则此三角形是 4

5 3( x ? R) 的单调递增区间为_________ 2

sin ? ? tan ? cot ? ? csc ?

? 2 ; ? 26.求证: ? 2 ? 1 ? tan 1 ? 2 sin 2 2
1 ? sin ?
1 ? tan

7

2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ?
27.化简:

2 tan(

?
4

? x) sin 2 (

?
4

1 2

? x)

(6)常值变换主要指“1”的变换 28.已知 tan ? ? 2 ,求 sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 3 cos 2 ?

(7)“知一求二” 29.(1)若 sin x ? cos x ? t ,则 sin x cos x =_________ (2)若 ? ? (0, ? ) , sin ? ? cos ? ?

1 ,求 tanα 的值。 2

G、辅助角公式中辅助角的确定:
30.若方程 sin x ? 3 cos x ? c 有实数解,则 c 的取值范围是_________ 31.当函数 y ? 2 cos x ? 3 sin x 取得最大值时,tanx 的值是_________ 32.如果 f ( x) ? sin ( x ? ? ) ? 2 cos( x ? ? ) 是奇函数,则 tan ? =_________ 33.求值:

1 3 ? ? 64 sin 2 20 o =____________ 2 ? sin 20? cos 20
2

8


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