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[套卷]安徽省望江中学2014届高三上学期9月月考数学理试题


安徽省望江中学 2014 届高三上学期 9 月月考数学理试题
第一部分(选择题,共 50 分)
1.已知全集 U=R,集合 A={x|-2≤x<0},B={x|2x-1< },则 CR(A∩B)=( A. (-∞,-2)∪[-1,+∞] C. (-∞,+∞) 2.以下有关命题的说法错误的是 B. (-∞,-2]∪(-1,+∞) D. (-2,+∞)

( )
1 4



A.命题“若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 则 x=1”的逆否命题为“若 x ? 1, 则x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ” B. “ x ? 1 ”是“” x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 的充分不必要条件 C.若 p ? q 为假命题,则 p、q 均为假命题 D.对于命题 p : ?x ? R使得x 2 ? x ? 1 ? 0, 则?p : ?x ? R, 均有x 2 ? x ? 1 ? 0 3.若函数 y ? f ( x ) 的定义域是[0,2],则函数 g( x ) ? A.[0,1] 4.函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? A. (3,4)
f (2 x ) 的定义域是( x ?1



B.[0,1]∪(1,4)C.[0,1]
2 的零点所在的大致区间是 x B. (2,e) C. (1,2)

D. (0,1) ( )

D. (0,1)

1 1 5. 已知函数 f( x ? ) ? x 2 ? 2 则 f(3)= ( ) x x A.8 B.9 C.10

D.11 ( )

6.函数 y ? ? ?

?3 x ,

x ? (? ?,1) 的值域为 ? ?log2 x, x ? ?1,? ??

A. (0,3)

B.[0,3]

C. ?? ?,3?

D. ?0,? ??

7.设 a ? R ,函数 f ( x) ? e x ? a ? e? x 的导函数是 f ' ( x) ,且 f ' ( x) 是奇函数。若曲线 y ? f ( x) 的一条切 线的斜率是 3 ,则切点的横坐标为 2 A. ln 2 B. ? ln 2 (
2 C. ln 2

) D. ?ln2 2

1 8.已知偶函数 f ( x) 在区间 ?0, ??) 单调增加,则满足 f (2 x ?1) < f ( ) 的 x 取值范围是( ) 3 1 2 1 2 1 2 1 2 A. ( , ) B. [ , ] C. ( , ) D. [ , ] 3 3 3 3 2 3 2 3 9.设函数 f(x)满足 f(x)=f(4–x) ,当 x>2 时,f(x)为增函数,则 a =f(1.10.9) 、b =f(0.91.1) 、 c =f(log 1 4 )的大小关系是 ( )
2



1第

A.a>b>c

B.b>a>c

C.a>c>b

D.c>b>a

? 2x3 ?1 ? , x ? ? ,1?, ? ? ? ?2 ? 10.已知函数 f ( x) ? ? x ? 1 函数 g ( x) ? a sin( x) ? 2a ? 2(a ? 0) , 若存在 x1 , x2 ? ?0,1?, 6 ?? 1 x ? 1 , x ? ?0, 1 ?. ? 2? ? 6 ? ? ? 3
使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是
1 4 A. ? , ? ? ?2 3? ? 1? B. ? ? 0, ? ? 2? 2 4 C. ? , ? ? ?3 3? ? 1 D. ? ,1? ? ?2 ? ?

(

)

第二部分(选择题,共 100 分)
二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11.已知 f(x)是 R 上的奇函数,且 f(x+4)=f(x) ,当 x∈(0,2)时,f(x)=x2,则 f(7) =____________。 12.设 f(x)表示-x+6 和-2x2+4x+6 的较小者,则函数 f(x)的最大值为_________。
(3 ? a ) x ? a, x ? 1 13. 已知 f ( x ) ? ? 是 (??, ??) 上的增函数, 那么实数 a 的取值范围是 2 ? ?loga x , x ? 1 ? ? 1

_________。

14.若函数 f ( x) 满足:“对于区间(1,2)上的任意实数 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) , .给出以下四个函数 | f ( x2 ) ? f ( x1 ) |?| x2 ? x1 | 恒成立”,则称 f ( x) 为完美函数 ....
1 ① f ( x) ? x

② f ( x) ?| x |

1? 2 ③ f ( x) ? ? ? ? ④ f ( x) ? x 2 ? ?


x

其中是完美函数的序号是 15.给出下列四个结论:

① 函数 y ? sin x 在第一象限是增函数;② 函数 y ? cos x ? 1 的最小正周期是 ?
2

③若 am2 ? bm2 , 则 a ? b ;④函数 f ( x) ? x ? sin x (x ? R )有 3 个零点; ⑤对于任意实数 x,有 f (? x) ? ? f ( x), g (? x) ? g ( x), 且 x>0 时, f ?( x) ? 0, g ?( x) ? 0, 则 x<0 时 f ?( x) ? g ?( x). 其中正确结论的序号是 .(填上所有正确结论的序号

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分.解答须写出文字说明,证明过程和演算
页 2第

步骤.
16. (本题满分 12 分) 条件 p:2x2-3x+1≤0,条件 q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求 实数 a 的取值范围; 17. (本题满分 12 分) (12 分) ? ? 已知函数 f ( x) ? sin( 2 x ? ) ? sin( 2 x ? ) ? cos 2 x ? a(a ? R, a为常数 ). 6 6 (1)求函数的最小正周期; (2)求函数的单调递减区间; ? (3)若 x ? [0, ]时, f ( x)的最小值为 ? 2, 求a的值 . 2 18.(本题满分 12 分) 已知定义在 R 的的函数 f(x)对任意实数 x,y 恒有 f(x)+f(y)=f(x+y) ,且当 x>0 时,f(x) 2 <0,又 f(1)= ? , 3 (1)求征,f(x)为奇函数; (2)求证:f(x)在 R 上是减函数; 19.(13 分) 已知函数 f ( x) ? ex ? kx,x ? R (1)若 k ? e ,试确定函数 f ( x) 的单调区间; (2)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? (0,??) , f ( x) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围. 20. (本小题满分 13 分) 学校食堂改建一个开水房,计划用电炉或煤炭烧水,但用煤时也要用电鼓风及时排气,用煤 烧开水每吨开水费为 S 元,用电炉烧开水每吨开水费为 P 元,且

S ? 5 y ? 0.2x ? 5, P ? 10.2x ? 20 76 ? x.
其中 y 为每吨煤的价格, x 为每百度电的价格,如果用煤时的费用不超过用电炉时的费用,则 仍用原备的锅炉烧水,否则就用电炉烧水. (1)如果两种方法烧水费用相同,试将每吨煤的价格 y 表示为每百度电的价格 x 的函数; (2)如果每百度电的价格不低于 60 元,则用煤烧水时 每吨煤的最高价是多 ..... (3)求 f(x)在 [-3,6]上的最大值与最小值; 21.(本题满分 13 分) 定义 F ( x, y) ? (1 ? x) y , x, y ? (0,??)
页 3第

(1)令函数 f ( x) ? F (1, log2 ( x 2 ? 4 x ? 9)) 的图象为曲线 c1,曲线 c1 与 y 轴交于点 A(0,m) ,过 坐标原点 O 作曲线 c1 的切线,切点为 B(n,t) (n>0)设曲线 c1 在点 A、B 之间的曲线段与 OA、OB 所围成图形的面积为 S,求 S 的值; (2)当 x, y ? N *且x ? y时, 证明F ( x, y) ? F ( y, x).



4第

数学参考答案

一、选择题:ACCC D 二、填空题: 11:-1 三、解答题:

DAAD A 12:6 13:[2,3) 14:(1),(3) 15:③⑤

16. (本小题满分 12 分) 解:命题 p 为:{x| 1 ≤ x ≤1 },命题 q 为:{x|a≤x≤a+1}
2
?p 对应的集合

A={x/ x > 1, 或x < 1 } ,
2

?q 对应的集合为

B={x/x>a+1,或 x<a}
2 2

∵ ? p 是 ?q 的必要不充分条件, ∴a+1≥1 且 a ≤ 1 ∴0≤a≤ 1 17. (本小题满分 12 分) 解: f ( x) ? 2 sin 2 x cos ?
6 ? cos 2 x ? a ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? a ? 2 sin( 2 x ?

?
6

)?a

∴函数 f ( x) 的最小正周期 T ? 2? (2) 2k? ?
?
2 ? 2x ?

?
6

? 2k? ?

故所求区间为 [k? ? ? , k? ? 2? ]( k ? Z ) . (3)当 x ? [0, ? ]时,2 x ? ? 当 2 x ? ? 7? 6 6 ∴ 2 sin( 2 ?
?
2 ? 6 2

3? ? 2? 即k? ? ? x ? k? ? (k ? Z )时, 函数 f ( x) 单调递减, 2 6 3

?

,即 x ? ? 时, f ( x) 取得最小值.
?
6 2 ) ? a ? ?2. ? a ? ?1.

? 7? ? [ , ], 6 6 6

3

18(本小题满分 12 分) .解:(1)证明:令 x=y=0,由 f(x)+f(y)=f(x+y),得 f() )=0,再令 y=-x 得,f
页 5第

(x)+f(-x)=0,∴F(x)在 R 上为奇函数. (4 分) (2)设 x1,x2∈ R, 且 x1<x2,则 f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1) ∴f(x2-f(x1)=f(x2-x1),∵x2-x1>0,由题意得 f(x2-x1)<0,即 f(x2)-f(x1)<0 ∴f(x)在 R 是减函数;

19.(本小题满分 12 分) 解: (1)由 k ? e 得 f ( x) ? ex ? ex ,所以 f ?( x) ? ex ? e 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x) 的单调递增区间是 (1, ? ?) , 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x) 的单调递减区间是 (??, 1) . (2)由 f ( x) ? 0 ,得 e x ? kx ? 0 , ∵ x ? (0,??) ,∴ k ? e ,
x
x

即不等式 k ? e 对任意 x ? (0,??) 恒成立.
x

x

记 g ( x) ? e ,则 g ' ( x) ? (e
x

x

x

)'?x ? e x ? x' e x x ? e x e x ( x ? 1) ? ? x2 x2 x2

令 g ' ( x) ? 0 ,得 x ? 1 , 当 0 ? x ? 1 时, g ' ( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, g ' ( x) ? 0 . ∴当 x ? 1 时, g ( x) 取得极小值,也是 x ? (0,??) 上的最小值 g (1) ? e ,∴k<e 20.解: (1)由题意,得 5y+0.2x+5=10.2x+20 76 ? x , 即
y ? 2x ? 4 76 ? x ? 1(0 ? x ? 76)

(2)因为用煤炉烧开水,所以 S≤P, 得 5y+0.2x+5 ? 10.2x+20 76 ? x
? y ? 2x ? 4 76 ? x ? 1 ? ?2(76 ? x) ? 4 76 ? x ? 151? ?2( 76 ? x ? 1) 2 ? 153.




60 ? x ? 76 .∴

0 ? 76 ? x ? 4 .
6第



当 76 ? x ? 1 即 x ? 75 时, ymax ? 153,

答:每吨煤的最高价为 153 元. 21. 解: (1)? F ( x, y) ? (1 ? x) y
? f ( x) ? F (1, log2 ( x 2 ? 4x ? 9)) ? 2log2 ( x
2

?4 x?9)

? x 2 ? 4x ? 9 故

A(0,9)

f ' ( x) ? 2 x ? 4 ,过

O 作 C1 的切线,切点为 B(n, t )(n ? 0) , B(3,6)

?t ? n 2 ? 4n ? 9 ? 解得 ?? t ? ? 2n ? 4 ?n

3 1 ? S ? ? ( x 2 ? 4 x ? 9 ? 2 x)dx ? ( x 3 ? 3x 2 ? 9 x) |3 0? 9 0 3 x ? ln(1 ? x) (2)令 h( x) ? ln(1 ? x) ( x ? 1) h' ( x) ? 1 ? x 2 x x x ? ln(1 ? x)( x ? 0) 令 P( x) ? 1? x

? P' ( x) ?

1 1 ?x ? ? ?0 2 (1 ? x) 1 ? x (1 ? x) 2

? P( x)在?0,??? 单调递减。

?当x ? 0时, 有P( x) ? P(0),?当x ? 1时有h' ( x) ? 0
? h( x)在?1,??? 上单调递减。
?1 ? x ? y时, 有 ln(1 ? x) ln(1 ? y) ? x y



7第


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