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福建省厦门市2009-2010学年下高一数学质量检测试题


厦门市 2009—2010 学年(下)高一质量检测 数 学 试 题
试卷分 A 卷和 B 卷两部分,其中 B 卷分甲卷和乙卷,供学校选用。 满分 150 分,考试时间 120 分钟。 参考公式: 柱体体积公式: V ? Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高

1 Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高 3 4 4 球的表面积、体积公式: S ? ?R 2 ,V ? ?R 3 。其中 R 为球的半径 3 3
锥体体积公式: V ?

A 卷(共 100 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,在答题卷上相应题目的答题区域内作答。 1.已知 a ? b ? 0 ,下列不等式成立的是 ( ) A. ? a ? ?b B. a ? c ? b ? c C. 2a ? 2b D. (

1 1 ? a b


2.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,异面直线 AA1 与 BC1 所成的角为 A.30° B.45° C.60° D.90° 3. ?ABC 中,AB=5,AC=3,BC=7, 则 ?BAC 的大小为 ( )

? 3 3? C. 4
A.

2? 3 5? D. 6
B.

4.已知 0 ? A ? ? ,且 cos A ? A. ?

24 25

3 ,那么 sin 2 A 等于 5 7 12 B. C. 25 25

( D.



24 25
( )

5.下列说法不正确 的是 ...

A.过一条直线且只有一个平面与已知平面垂直 B.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 C.同一平面的两条垂线一定共面 D.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且所作直线都在同一个平面内 6.若 x ? 0,则函数 y ? 3 x ? A.最大值 2 3

4 有 x
C.最大值 4 3 D.最小值 4 3





B.最小值 2 3

-1-

7.设等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 S1 ? 18, S 2 ? 24, 则S 4 等于 A.





76 3

B.

79 3

C.

80 3

D.

82 3


8. ?ABC 中,角 A、B、C 所对边分别为 a, b, c ,若 a ?

5 b, A ? 2 B ,则 cos B 等于( 2
D.

A.

5 3

B.

5 4

C.

5 5

5 6

9.等差数列 {a n } 中, a3 ? a7 ? a10 ? 8, a11 ? a4 ? 4, 记S n ? a1 ? a 2 ? ? ? an , 则S13 ? ( A.78 B.152 C.156 D.168 10.用与球心距离为 1 的平面截球体,所得截面面积为 2? ,则该球体的体积为 A. ( ) )

4? 3

B.4 ?

C.

4 3? 3

D. 4 3?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。在答题卷上相应题目的答题区域内作 答。 11.不等式
0

x?2 ? 0 的解集是 x ?1
0 0 0

。 。

12. sin 75 cos15 ? cos 75 isn15 的值等于

13.右边的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成 等差 数列,每一纵列成等比 数列,则 a ? b ? c 的值为 .. .. 。 14.如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面是正三角形且侧棱垂直于底面, 三棱柱 ABC—A1B1C1 的每条棱长均为 4,E、F 分别是 BC,A1C1 的中点,则 EF 的长等于 。 三、解答题:本大题共 3 小题,共 34 分,解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤,在答题卷上相应题目的答题区域内作答。 15. (本小题满分 10 分) 已知某几何体的正视图、侧视图都是直角三角形,俯视图是矩形(尺寸如图所示) 。 (I)利用所给提示图,作出该几何体的直观图; (Ⅱ)求该几何体的体积 V

-2-

16. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? x ? ax ? b ,不等式 f ( x) ? 0 的解集为 {x | ?3 ? x ? ?2}
3

(Ⅰ)求 a ? b 的值; (Ⅱ)设函数 g ( x) ?

f ( x) , x ? [1,3] ,求函数 y ? g ( x) 的最小值与对应 x 的值。 x

17. (本小题满分 12 分)

3 ?ABC 中,已知 cos A ? . 5 A 2 (Ⅰ)求 sin ? cos(B ? C ) 的值; 2 (Ⅱ)若 ?ABC 的面积为 4,|AB=2,求 BC 边的长。

-3-

B 卷(共 50 分)
(由学校选择作答甲卷或作答乙卷)

甲卷
四、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。在答题卷上相应题目的答题区域内作 答。 18.用一根长为 100 米的绳子围出一块矩形场地,则可围成场地的 最大面积是 (单位:平方米) 19.如图,正方形 ABCD 中,M 是边 CD 的中点, 设 ?MAC ? ? ,那么 tan? 的值等于 。 20.已知三棱锥 P—ABC 的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为 1,则该三棱锥外接球的表面积 是 。 21.有一个数阵如下:

记第 i 行的第 j 个数字为 a1 1 (如 a 4 3 ? 19 ) ,则 a 4 7 ? a 6 5 等于



五、解答题:本大题共 3 小题,共 34 分,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤。在 答题卷上相应题目的答题区域内作答。 22. (本小题满分 10 分) 已知海岛 B 在海岛 A 的北偏东 45°方向上,A、B 相距 10 海里,小船甲从海岛 B 以 2 海 里/小时的速度沿直线向海岛 A 移动, 同时小船乙从海岛 A 出发沿北偏 15°方向也以 2 海 里/小时的速度移动 (Ⅰ)经过 1 小时后,甲、乙两小船相距多少海里? (Ⅱ)在航行过程中,小船甲是否可能处于小船乙的正东方向?若可能,请求出所需时间, 若不可能,请说明理由。

-4-

23. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 中, PD ? 底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,E 为 PC 的中点,点 G 在 BC 边上且

| CG | 1 ? 。 | CB | 3

(Ⅰ)求证: BC ? 平面 PCD; (Ⅱ)点 M 在 AD 边上,若 PA//平面 MEG, 求

| AM | 的值。 | AD |

24. (本小题满分 12 分) 已知数列 {a n } 满足 a1 ? 3, a n ?1 ? 2a n ? 1(n ? N )
*

(Ⅰ)设 bn ? a n ? 1(n ? N ) ,求证:数列 {bn } 是等比数列;
*

(Ⅱ)数列 {c n } 满足 c n ? n ? a n (n ? N ) ,求数列 {c n } 的前 n 项和 Tn 。
*

乙卷
四、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。在答题卷上相应题目的答题区域内作 答。 3 18.建造一个容积为 18m ,深为 2m 的长方体无盖水池,如果池底和 池壁每平方米的造价分别为 200 元和 150 元,那么这个水池的 最低造价为 (单位:元) 。

-5-

19.如图,正方形 ABCD 中,M 是边 CD 的中点, 设 ?MAC ? ? ,那么 tan? 的值等于 。 20.已知四面体 P—ABC 中,PA、PB、PC 两两互相垂直,且 PA=2,PB=3,PC=4,则该四面体 外接球的表面积是 。 21.有一个数阵如下:

记第 i 行的第 j 个数字为 a1 1 (如 a 4 3 ? 19 ) ,则 a 4 7 ? a 6 5 等于



五、解答题:本大题共 3 小题,共 34 分,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤。在 答题卷上相应题目的答题区域内作答。 22. (本小题满分 10 分) 如图,在一个山坡上的一点 A 测得山顶一建筑物顶端 C(相对于山坡)的斜度为 15°, 向山顶前进 100m 到达 B 点后,又测得顶端 C 的斜度为 30°,依据所测得的数据,能否计 算出山顶建筑物 CD 的高度,若能,请写出计算的方案(只需用文字和公式写出计算的步 骤) ;若不能,请说明理由。

23. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 中, PD ? 底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,|BC|=|PD|=3,E 为 PC 的中点,点 G 在 BC 边上且

| CG | 1 ? 。 | CB | 3

(Ⅰ)三棱锥 C—DEG 的体积; (Ⅱ)在 AD 边上是否存在点 M,使得 PA//平面 MEG, 若存在,求

| AM | 的值,若不存在,说明理由 | AD |

-6-

24. (本小题满分 12 分) 已知数列 {a n } 满足 a1 ? 3, a n ?1 ? 2a n ? 1(n ? N )
*

2n 1 (Ⅰ)设 bn ? ,试判断数列 {bn } 的前 n 项和 S n 与 的大小关系; a n ? a n ?1 3
(Ⅱ)数列 {c n } 满足 4 列
c1 ?1

? 4 c2 ?1 ? 4 cn ?1 ? (a n ? 1) cn (n ? N * ) ,证明:数列 {c n } 是等差数

-7-

厦门市 2009~2010 学年(下)高一质量检测 数学参考答案
一、选择题 CBBDA DCBCD 二、填空题 11. (?1, 2) 12.
3 2

13.1

14. 2 5

三、解答题 15. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ) 该几何体的直观图如图:

┅┅┅┅┅┅┅┅┅5 分

(Ⅱ)该几何体是四棱锥, 其底面的面积 S ? 6 ? 8 ? 48 , ┅┅┅┅┅┅┅┅┅7 分 高h ? 6, ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8 分
1 1 则体积 V ? Sh ? ? 48 ? 6 ? 96 (体积单位)┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10 分 3 3

16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ? x | ?3 ? x ? ?2? , ∴ ?3 和 ?2 是方程 x2 ? ax ? b ? 0 ,
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?(?3) ? (?2) ? ?a ? a ? 5 则? 得? ,∴ a ? b ? 11 .┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6 分 ?(?3)(?2) ? b ?b ? 6

(Ⅱ)函数 g ( x) ?

f ( x) x

?

x2 ? 5x ? 6 6 ? x ? ? 5 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8 分 x x
?5?2 6 ,

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10 分

当且仅当 x ? 6 时取“=”号.注意到 6 ? [1, 3] , ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11 分 所以函数 y ? g ( x) 的最小值是 5 ? 2 6 ,对应 x 的值是 6 .┅┅┅┅┅┅12 分

17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) ?ABC 中,∵ cos A ? ∴ sin 2
? 3 4 ,∴ sin A ? , 5 5

A 1 ? cos A ? cos( B ? C ) ? ? cos A 2 2

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4 分

1 ? cos A 4 ? . 2 5

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6 分

-8-

(Ⅱ) S ?

1 | AB || AC | sin A ,又 S ? 4 , | AB |? 2 2

1 4 ∴ ? 2 | AC | ? ? 4 ,得 | AC |? 5 , 2 5

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9 分

3 ∴ | BC |2 ?| AC |2 ? | AB |2 ?2 | AC || AB | cos A ? 25 ? 4 ? 2 ? 5 ? 2 ? ? 17 5

∴ | BC |? 17 .

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12 分

B 卷(共 50 分)
甲 四、填空题 18.625 19.
1 3



20. 3?

21.21

五、解答题 22. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)经过 1 小时后,甲船到达 M 点,乙船到达 N 点,
| AM |? 10 ? 2 ? 8 , | AN |? 2 , ?MAN ? 600 ,┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2 分

∴ | MN |2 ?| AM |2 ? | AN |2 ?2 | AM || AN | cos600 ? 64 ? 4 ? 2 ? 8 ? 2 ? ∴ | MN |? 2 13 .┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4 分 (Ⅱ)设经过 t( 0 ? t ? 5 )小时小船甲处于小船乙的正东方向. 则甲船与 A 距离为 | AE |? 10 ? 2t 海里,乙船与 A 距离为
| AF |? 2t 海里, ?EAF ? 600 , ?EFA ? 450 , ┅┅┅5 分
F

1 ? 52 , 2


B岛 E

则由正弦定理得 即

| AE | | AF | , ? sin 450 sin 750
A岛

2t 10 ? 2t , ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7 分 ? 0 sin 45 sin 750 10 10sin 450 ? ? 5 .┅┅┅┅┅┅┅┅9 分 t? 0 0 2sin 75 ? 2sin 45 3? 3 10 答:经过 小时小船甲处于小船乙的正东方 3? 3

P

向.┅┅┅┅┅┅┅┅┅10 分 23. (本题满分 12 分) (Ⅰ)证明:∵ PD ? 底面 ABCD ,∴ PD ? BC , ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2 分 ∵底面 ABCD 为正方形,∴ BC ? CD , ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3 分

E

D M A 第 23 题 O B G

C

-9-

∵ PD ? CD=D , ∴ BC ? 平面 PCD .┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5 分 (Ⅱ)解:连结 AC ,取 AC 中点 O ,连结 EO . ∵ PA // 平面MEG ,平面 PAC ? 平面 MEG ? EO , ∴ PA // EO , ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8 分 在 ?PAC 中,E 为 PC 的中点,所以点 O 为 AC 的中点, 在正方形 ABCD 中, O 是 AC 中点,则 O 是 MG 中点, ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10 分 ?OCG ? ?OAM , | AM |?| CG | , 而 | CB |?| AD | , 所以
| AM | | AD | | CG | | CB | ? 1 3 ? 1 3

, ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12 分

?

| CG | | CB |



24. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ an ?1 ? 2an ? 1 ( n ? N * ) , bn ? a n ? 1 , ∴ bn ?1 ? 1 ? 2(bn ? 1) ? 1 , 即 bn ?1 ? 2bn ,即
bn ?1 , ? 2 ( n ? N* ) bn

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2 分

∴数列 {bn } 是以 b1 ? a1 ? 1 ? 2 为首项、以 2 为公比的等比数列 ┅┅┅┅┅┅4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? 2n ,所以 an ? 2n ? 1 , ∴ cn ? n ? 2n ? n , ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5 分

∴ Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? (1? 21 ? 1) ? (2 ? 22 ? 2) ? ? ? (n ? 2n ? n)
? (1? 21 ? 2 ? 22 ? ? ? n ? 2n ) ? (1 ? 2 ? ? ? n)

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7 分

记 G ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? ? ? n ? 2n

┅┅┅┅┅┅┅┅┅①

则 2G ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n ?1 ┅┅┅┅┅┅② ∴① ? ②得 ?G ? 21 ? 22 ? ? ? 2n ? n ? 2n?1 , 2(1 ? 2n ) ∴G ? ? ? n ? 2n ?1 ? n ? 2n ?1 ? 2n ?1 ? 2 ? (n ? 1)2n ?1 ? 2 ┅┅┅┅┅┅┅11 分 1? 2 n(n ? 1) 所以 Tn ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 ? . ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12 分 2 乙 卷 四、填空题 18.5400 五、解答题 19.
7 6

20. 29?

21.30

- 10 -

22. (本小题满分 12 分) 解:仅依据所测得的数据,不能计算出山顶建筑物 CD 的高度.┅┅┅┅┅┅2 分 因为依据所测得的三个数据( ?CAB ? 150 ,?CBD ? 300 ,| AB |? 100 ) ,只能确定 ?ABC 的 形状与大小,图形中其余的量还是不确定的. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4 分 例如山坡的坡度 (相对于水平面) ? 显然是变量, ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6 分 则 ?CDB ? ? ? 900 , 在 ?ABC 中, ?BAC ? ?BCA ? 150 , 所以 | AB |?| BC |? 100 , 在 ?BCD 中 , 由 正 弦 定 理 得 | CD | | BC | ,┅┅┅┅┅┅┅┅8 分 ? 0 sin 30 sin(? ? 900 ) ∴ | CD |?
50 与山坡的坡度 ? 有关, sin(? ? 900 )
15 A 第 22 题
0

C

30 B

0

D E

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10 分 所以依据所测得的数据,不能计算出山顶建筑物 CD 的高度. 说明:本题的其它角度的说理酬情给分. 23. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ PD ? 底面 ABCD ,∴ PD ? BC , ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1 分 ∵底面 ABCD 为正方形,∴ BC ? CD , ∵ PD ? CD=D , ∴ BC ? 平面 PCD . ∴ GC 是三棱锥 G ? CDE 的高.┅┅┅┅┅┅┅3 分 ∵点 G 在 BC 边上且
| CG | | CB | ? 1 3
P

,∴ | GC |? 1 ,┅4 分

E

∵ E 是 PC 的中点, ∴ S?CDE ?

1 1 1 9 S?PDC ? ( ? ? 3 ? 3) ? , ┅┅5 分 2 2 2 4
1

D G

C

O 1 9 3 M S?CDE ? | GC |? ? ?1 ? . A B 3 3 4 4 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6 分 第 23 题 | AM | 1 (Ⅱ)在 AD 边上是否存在点 M, ? . | AD | 3 连结 AC ,取 AC 中点 O,连结 EO、GO,延长 GO 交 AD 于点 M ,则 PA // 平面MEG . 下面证明之. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8 分 在 ?PAC 中,E 为 PC 的中点,点 O 为 AC 的中点, ∴ EO // PA , 又∵ EO ? 平面 MEG , PA ? 平面 MEG ∴ PA // 平面MEG . ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10 分 在正方形 ABCD 中, O 是 AC 中点,则 O 是 MG 中点, ?OCG ? ?OAM , | AM |?| CG | ,

∴ VC ? DEG ? VG ?CDE ?

而 | CB |?| AD | ,

| CG | | CB |

?

1 3



- 11 -

所以

| AM | | AD |

?

| CG | | CB |

?

1 3



┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12 分

24. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ an ?1 ? 2an ? 1 ( n ? N * ) , ∴ an ?1 ? 1 ? 2(an ? 1) , 即
an ?1 ? 1 , ? 2 ( n ? N* ) an ? 1

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2 分

∴数列 {an ? 1} 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项、以 2 为公比的等比数列.┅┅┅┅┅┅3 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 1 ? 2 ? 2 ∴ bn ?
n ?1

? 2 n ,∴ an ? 2n ? 1 ,

2n an an ?1

?

2n (2 ? 1)(2
n n ?1

? 1)

?

1
n

2 ?1 2

?

1
n ?1

?1

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5 分

∴ Sn ? (

1
1

2 ?1 2 ?1 1 1 1 ? ? n ?1 ? . 3 2 ?1 3
2

?

1

)?(

1
2

2 ?1 2 ?1
3

?

1

) ? ?? (

1 2 ?1
n

?

1 2
n ?1

?1

)

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7 分

(Ⅲ) an ? 2n ? 1 , ∵ 4c ?1 ? 4c ?1 ??? 4c ?1 ? (an ? 1)c ,
1 2 n n

∴ 22c ?2 ? 22c ?2 ??? 22c ?2 ? 2nc
1 2 n

n

∴ (2c1 ? 2) ? (2c2 ? 2) ? ? ? (2cn ? 2) ? ncn 即 2(c1 ? c2 ? ? ? cn ) ? 2n ? ncn ┅┅┅┅┅┅┅┅┅① ∴ 2(c1 ? c2 ? ? ? cn ? cn ?1 ) ? 2(n ? 1) ? (n ? 1)cn ?1 ┅┅② ② ? ①得 2cn ?1 ? 2 ? (n ? 1)cn ?1 ? ncn ┅┅┅┅┅┅┅┅┅③ ∴ 2cn ? 2 ? 2 ? (n ? 2)cn ? 2 ? (n ? 1)cn ?1 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅④ ④ ? ③得 2cn ? 2 ? 2cn ?1 ? (n ? 2)cn ? 2 ? 2(n ? 1)cn ?1 ? ncn , 则 ncn ? 2 ? ncn ? 2ncn ?1 ,即 cn ? 2 ? cn ? 2cn ?1 ( n ? N * ) , 所以,数列 {c n } 是等差数列. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12 分 ┅┅┅┅┅┅11 分 ┅┅┅┅┅10 分 ┅┅┅┅┅┅┅┅8 分

- 12 -


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