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有关二次函数问题易错题型剖析及解题策略


有关二次函数问题易错题型剖析及解题策略
二次函数是中学代数的基本内容之一,它既简单又具有丰富的内涵和外延。 作为最基本的初等函数,可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等 性质。还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系。同时有关二次函数的内 容又是学生进入高校继续深造的重要知识基础。 因此有关二次函数的问题在高考 中频繁出现,屡见不鲜。而高考结束后,与二次函数

相关的试题很多考生总结自 身的失分原因,往往分为 2 种:一种是自己根本不会做,因为太难,或者从来未 见过,无解题思路;另一种是自己会做,因为粗心而做错。我认为最有研究价值 的是第二种。 本文尝试就二次函数有关问题的典型易错题型进行剖析及寻找一些 解决策略。 一、二次函数的典型易错题型 1.审题错误 例 1.已知函数 f ( x) = logsin1 ( x 2 - 6 x + 5) 在 (a, + ) 上是减函数, 则实数 a 的取 值范围为 A. (5, + ) ( ) B. [ 5, +

)

C. (-

,3)

D. (3, + )

解题思路:由 0 < sin1 <1,可知 y = logsin1 u 在 (0, + ) 为减函数。

? f ( x) = logsin1 ( x 2 - 6 x + 5) 在 (a, + ) 上是减函数,

\

函数 u = x 2 - 6 x + 5 在 (a, + ) 上必为增函数。

而 u = x 2 - 6 x + 5 在 (5, + ) 上为增函数,

\

a ? 5. 故应选 B

错误解法:选 A 或者 D 错点剖析: (1)忽视 0 < sin1 <1这一条件,无法确定 y = logsin1 u 在 (0, + ) 为减函数。 (2)没发现 x 2 - 6 x + 5 > 0 这一隐含条件。 (3)即使发现 x 2 - 6 x + 5 > 0 这一隐含条件,又易忽视 (a, + ) 为开区间,可 以取 a = 5 (4)没有掌握复合函数单调性的判断方法。 易错警示:解答数学题审题是最关键,可以说:“成也审题,败也审题” 。有 的考生一看到较简单的题就产生兴奋、激动,同时表现出浮躁、粗心,不再进行 细致的思考,仓促应答,出现错误。容易的题也容易出错,命题者往往在一些看 起来较容易的题目中隐藏一些容易被忽视,被漏掉的问题,极易出错。有的考生 凭经验审题,当试题要求变化了时,因审题不认真而丢分。
1

2.性质应用错误 例 2.已知幂函数 y = x m 减函数,求满足 (a +1)
m 5
2

- 2 m- 3

(m
m 5

N + ) 的图像关于 y 轴对称, 且在 (0, + ) 上是

< (3 - 2a)

的 a 的取值范围。

解题思路: 先根据条件确定 m 的值, 再利用幂函数的单调性求 a 的取值范围。 解:?函数在 (0, + ) 上单调递减,

\

m2 - 2m - 3 < 0 。

解得 - 1 < m < 3 。

? m ? N + ,\ m = 1或2
又?函数关于 y 轴对称,

\ \
\

m2 - 2m - 3 是偶数

而 22 - 2? 2 3 = - 3 为奇数, 12 - 2? 1 3 = - 4 为偶数。
m =1
1

又? y = x 5 在 (-

, 0) , (0, + ) 上均为减函数,
1

(a +1)

-

1 5

< (3 - 2a) 5 等价于 a +1 > 3 - 2a > 0 或 3 - 2a < a +1 < 0 或

a +1 < 0 < 3 - 2a 。
2 3 解得 a < - 1或 < a < 。 3 2
禳 2 3 镲 a a < - 1或 < a < 。 故 a 的取值范围为 睚 3 2 镲 铪

错误解法:①错用幂函数的性质得 m2 - 2m - 3 > 0 ②由 y = x 5 在 (1

2 , 0) , (0, + ) 上均为减函数,有 a +1 > 3 - 2a ,得 a > 。 3

易错警示: 解决本题的关键是根据函数的奇偶性求出 m 的值后, 根据幂函数 的性质和图像建立关于 a 的不等式组。在这极易出现认为函数在 (, 0) 和

(0, + ) 上为减函数,则函数必在定义域内为减函数的认识误区,从而误用性质

产生错误。另外在分类讨论时,要做到不重不漏,尤其是 a +1 < 0 < 3 - 2a 这种情 况容易被忽视,应引起注意。 3.数形结合思想应用错误 1 1 例 3.在 R 上可导的函数 f ( x) = x3 + ax 2 + 2bx + c ,当 x ? (0,1) 时取得极大 3 2
2

值,当 x ? (1, 2) 时取得极小值,求点 (a, b) 对应的区域的面积以及

b- 2 的取值范 a-1

围。 解题思路:本题将导数、函数的极值、二次函数的图像与一元二次方程根的 b- 2 分布、线性规划等知识融合一起,而找到可行域及 的几何意义是关键。 a-1 解:函数 f ( x) 的导数为 f ? ( x) = x 2 + ax + 2b 。

? x ? (0,1) 时, f ( x) 取得极大值, x ? (1, 2) 时, f ( x) 取得极小值,

\

方程 x2 + ax + 2b = 0 程有两个根,一个根在区间 (0,1) 内,另一个根在区间

(1, 2) 内。
( x) = x 2 + ax + 2b 的图像与方程 x2 + ax + 2b = 0 根的分布之间的 由二次函数 f ?

关系可以得到: f? (0) > 0 f? (1) < 0 f? (2) > 0,

b >0



a + 2b +1 < 0 a +b + 2 > 0

在 aob 平面内作出满足约束条件的点 (a, b) 对应的平面区域为 D ABC (如图阴 影部分,不包括边界) 求得点 A (- 3,1) ,B (- 1,0) ,C (- 2,0) 又
b- 2 表示点 D (1, 2) 与可行区域内点 a-1

(a, b) 连线的斜率,

b- 2 b- 2 1 < kDB ,即 ? ( ,1) a- 1 a- 1 4 易错警示:本题解答易出现如下误区: ①无法由二次函数的图像与一元二次方 程根的分布得到约束条件; ②不能根据约束条件作出可行域或不理解所要解答问题; 4.分类讨论思想应用错误

则 kDA <

例 4.解关于 x 的不等式 ax 2 - (a +1) x +1 < 0 解(1)若 a = 0 ,则原不等式即为 - x +1 < 0 ,解得 x > 1 1 (2)若 a < 0 ,则原不等式可化为 ( x - )( x - 1) > 0 。 a 1 解得 x < , 或 x > 1 a
3

1 )( x - 1) < 0 a 1 其解的情况应该由 与 1 的大小关系来决定。 a 1 当 0 < a < 1时, 1 < x < ; a 当 a = 1时 , x 蜦 1 当 a > 1 时, < x < 1 。 a

(3)若 a > 0 , ( x -

禳 1 镲 x x < 或x > 1 ; 综上所述,当 a < 0 时,解集为 睚 a 镲 铪

当 a = 0 时,解集为 {x x > 1} ;
禳 1 镲 x 1< x < 当 0 < a < 1时,解集为 睚 ; a 镲 铪

当 a = 1时,解集为 F
禳 镲1 x < x <1 。 当 a > 1 时,解集为 睚 镲 铪a

1 1 错误解法: ax 2 - (a +1) x +1 < 0 ? x 2 - (1 + ) x + < 0 a a 1 即 ( x - )( x - 1) < 0 a



禳 1 1 镲 x 1< x < ; > 1 ,即 0 < a < 1时不等式解集为 睚 a a 镲 铪 禳 1 镲1 x < x <1 。 < 1 ,即 a >1或a < 0 时不等式解集为 睚 a 镲 铪a



易错警示: (1)上述错解有如下错误:首先没对二次项 x 2 的系数 a 的正负进行讨论。
1 1 讨论时漏掉 a = 0 和 a < 0 两种情况,在比较 与1 的大小,易忽视 =1 这种情况。 a a (2)步骤要规范完整,分类讨论的试题要有总结性的语言。 5.转化思想应用错误

例 5.设集合 A= x 4 x - 2 x +2 + a = 0, x 取值范围。 解:令 2 x = t (t > 0) ,设 f (t ) = t 2 - 4t + a

{

R ,若 A 中仅有一个元素,求实数 a 的

}

由 f (t ) = 0 在 (0, + ) 上有且仅有一个实根或有两相等的实根,则
4

① f (t ) = 0 有两相等实根时, D= 16 - 4a = 0 ,

? a = 4 ,验证此时 x = 1;
② f (t ) = 0 有一正一负根时, f (0) = a < 0 ; ③ f (t ) = 0 有一正根一零根时, a = 0 ,此时 4x - 2x+2 = 0 ,有 x = 2 ,即 A 中 只有一个元素。 综上可知:B= {a a ? 0或a 4} 。 易错警示:本题易出现如下两方面的误区:①转化不等价,易错误认为问题 转化为关于 t 的方程 t 2 - 4t + a = 0 有一根 a 的范围,而忽略了方程根的限制。 ②分类讨论出现遗漏,注意当关于 t 的方程 t 2 - 4t + a = 0 有一正根一零根时, 原方程也只有一解。 二、解题策略 1.从两方面学习二次函数,正确理解基础知识 学习二次函数可以从两方面入手:一是解析式,二是图像特征。从解析式出 发,可以进行纯粹的代数推理;从图像特征出发,可以实现数与形的自然结合。 2.熟记易错易忘易混知识点 ①三个二次的关系及应用,如何利用二次函数求最值; ②“实系数一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 有实数解”转化为 a ? 0 时,
D= b2 - 4ac 0 ;当 a = 0 时,不能转化 D= b2 - 4ac 0 。

若原题没有指出是二次方程、二次不等式或二次函数,要考虑二次项系数可 能为零的情况。 ③用换元法解题时易忽略换元前的等价性,易忽略参数的范围。 3.建立错题本,平时注意积累易错题型。对各类错题进行系统的归纳整理, 不时浏览或重做,避免重蹈覆辙。 4.与同学相互交流,借“他山之石”去“攻玉” ,提高学习效率。 5 在平时的解题过程中增强错误警戒意识,认真审题,养成严谨的数学思维 习惯,使自己达到“会而对,对而全,全而美,美而快”的境界,取得佳绩。

5


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