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安徽省望江县10-11学年度高二上学期期末统考(数学文)


2010安徽望江县 2010-2011 学年第一学期高二期末考试 数学(文科) 数学(文科)试卷
(时间:120 分钟,满分:150 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1、下列命题正确的是( A、若 a >b ,则 a>b C、若 a>|b|,则 a >b
2 2 2 2 2

) B、若|a|>b,则 a >b D、若 a>b,则 a >b )
2 2 2 2

2、抛物线 x=-2y 的准线方程是( A、 y = ?

1 1 1 1 B、 y = C、 x = ? D、 x = 2 2 8 8 3.某单位有老年人 27 人,中年人 54 人,青年人 81 人,为了调查他们的健康状况,需从中

抽取一个容量为 18 的样本,则老年人、中年人、青年人抽取的人数分别是 A.3、6、9; B.4、6、9; C.5、6、9; D.3、7、9

4.一人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( ) A、至多有一次中靶 B、两次都中靶 C、只有一次中靶 D.两次都不中靶 5.已知双曲线 C 的焦点、实轴端点分别恰好是椭圆 曲线 C 的渐近线方程为 A. 4 x ± 3 y = 0 B. 3 x ± 4 y = 0 C. 4 x ± 5 y = 0 D. 5 x ± 4 y = 0 ( ) 6.与命题: “若 a ∈ P ,则 b ? P ”等价的命题是 A.若 a ? P ,则 b ? P C.若 a ? P ,则 b ∈ P B.若 b ? P ,则 a ∈ P D.若 b ∈ P ,则 a ? P

x2 y 2 + = 1 的长轴端点、焦点,则双 25 16
( )

7.已知抛物线 y 2 = 4 x 上的焦点为 F ,过点 M(3,0)的直线与抛物线交于 A、B 两点,与抛 物线的准线交于 C 点,〡BF〡=3,则△BCF 与△ACF 的面积之比等于( A. )

4 5

B.

5 8
)

C.

6 11

D.

1 2

8. p ∨ q 为真”是“ ?p 为假”的( “

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2 2 9.若右顶点为 A 的椭圆 x + y = 1( a > b > 0) 上存在点 P 使 OP⊥PA(O 为坐标原点), 则椭圆离 2 2

a

b

心率的取值范围是( A.(0,



2 ); 2

B(

2 ,1) ; 2

C(0,

2 2 )∪( ,1); 2 2

D.(0,1)

10、直线 y = x + 3 与曲线 A、1 个

y2 x | x | ? = 1 的交点个数为( 9 4 B、2 个 C、3 个

) D、4 个

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.当 x=2 时,如图所示的程序输出的结果是 12.袋中有红、黄、白 3 种颜色的球各 1 只, 从中每次任取 1 只,有放回地抽取 3 次, 则 3 只颜色不全相同的概率为 . 13. ?x ∈ R, x 2 + 1 < 0 ”的否定是 “ _________________(要求用数学符号表示) . . i=1 s=0 WHILE i<=4 s=s*x+1 i=i+1 WEND PRINT s END .

14.已知正方形 ABCD,则以 A﹑B 为焦点且过 C﹑D 两点的双曲线的离心率为

15.命题:①过点 P(2,1)在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 x-y=1;②过点 P(2,1)作圆 x 2 + y 2 = 4 的切线,则切线方程是 3x + 4 y ? 10 = 0 ;③动点 P 到定点(1,2) 的距离与到定直线 x ? y + 1 = 0 的距离相等点的轨迹是一条抛物线; ④到定点 (-1,0) (1,0) ﹑ 的距离之和为 2 的动点的轨迹是一条线段。其中真命题的序号是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 甲、乙两台机床同时生产一种零件,10 天中两台机床每天出的次品数分别是 甲:0 1 0 2 2 0 3 1 2 4 乙:2 3 1 1 0 2 1 1 0 1 分别计算这两组数据的平均数与方差,从计算结果看哪台机床的性能较好?

17. (本小题满分 12 分) 设 M 点的坐标为(x,y). (1)设集合 P={-4,-3,-2,0},Q={0,1,2},从集合 P 中随机取一个数作为 x,从 集合 Q 中取随机取一个数作为 y,求 M 点落在 y 轴的概率; (2)设 x∈[0,3],y∈[0,4],求点 M 落在不等式组:

?x+2y-3≤0 ? ?x≥0 ?y≥0 ?

所表示的平面区域内的概率.

18. (本小题满分 12 分)

x2 y2 ? 2 = 1( a > 1, b > 0) 2 b 抛物线的顶点在原点, 它的准线过双曲线 a 的一个焦点, 并于

3 ( , 6) ,求抛物线的方程和双曲线的方 双曲线的实轴垂直,已知抛物线与双曲线的交点为 2
程。 19. (本小题满分 12 分) 设命题 p : 实数 x 满足 x ? 4ax + 3a < 0 ( a > 0 ) 命题 q : 实数 x 满足 ,
2 2

x?3 ≤0, x?2

(1)若 a = 1 ,且 p ∧ q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 ?p 是 ?q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围。 20.(本小题满分 13 分) 已知 A﹑B 是抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 上除顶点 O 以外的两个动点,且 OA⊥OB. ; (Ⅰ)求证直线 AB 恒过定点 M(2 p ,0) (Ⅱ)求分别以 OA﹑OB 为直径的两圆的另一个交点 P 的轨迹方程。

21.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C:

x2 y2 2 2 + 2 = 1, (a > b > 0) 的离心率为 ,且过点(1, ) 。 2 a b 2 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程. (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,且坐标原点 O 到直线 l 的距离为 积的最大值。

2 ,求△ABC 面 2

望江县 2010--2011 学年第二学期高二期末考试

数学(文科)试卷答题卷 二.填空题 11. 三.解答题 16. .12. .13 .14 .15 .

17.

18.

19.

20.

21.

参考答案 一.选择题

CDADA

DCBBC

二.填空题 11. 15; 12.

8 ; 9

13. ?x ∈ R, x + 1 ≥ 0
2

14. 2 + 1

15. ④ 4分 8分

16、解: 由已知得: x甲 =1.5, x乙 =1.2
2 2 s甲 =1.65, s乙 =0.76

∵ x甲 > x乙 , s甲 > s乙
2 2

∴乙机床的性能较好

12 分

17.解析:(1)记“M 点落在 y 轴”为事件 A. M 点的组成情况共 4×3=12 种,且每种情况出现的可能性相等,属于古典概型. 其中事件 A 包含的基本事件有(0,0),(0,1),(0,2)共 3 处. 3 1 ∴P(A)= = . 12 4
? ?0≤x≤3 (2)依条件可知,点 M 均匀地分布在不等式组? ? ?0≤y≤4

4分

所表示的平面区域内,属于几

何概型.该平面区域的图形为右图中矩形 OABC 围成的区域,面积为 S=3×4=12. 而所求事件构成的平面区域

8分

?x+2y-3≤0 ? 由不等式组?x≤0 ?y≤0 ?

表示的区域,其图形如右图中的三角形 OAD(阴影部分).

? 3? 又直线 x+2y-3=0 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A(3,0)、D?0, ?, ? 2?
∴三角形 OAD 的面积为 1 3 9 S1= ×3× = . 2 2 4 9 S1 4 3 ∴所求事件的概率为 P= = = . S 12 16

12 分

3 ( , 6) 18.解:由题意可知,抛物线的焦点在 x 轴,又由于过点 2 ,所以可设其方程为

y 2 = 2 px( p? 0)

∴6 = 3 p

∴ p =2

2 所以所求的抛物线方程为 y = 4 x

6分

所 以 所 求 双 曲 线 的 一 个 焦 点 为 ( 1 , 0 ) 所 以 c=1 , 所 以 , 设 所 求 的 双 曲 线 方 程 为 ,
2 2



x y ? =1 2 a 1? a2

3 2 ( )2 3 2 ? 6 =1 ( , 6) 2 1? a2 而点 2 在双曲线上,所以 a 4x 2 ? 4 2 y =1 3

解得

a2 =

1 4

所以所求的双曲线方程为

12 分.

19. 解: (1)若 a = 1 , p : x 2 ? 4 x + 3 < 0 ,解得: 1 < x < 3 ;………2 分

q:

x?3 ≤ 0 ,解得: 2 < x ≤ 3 x?2

………4 分

若 p ∧ q 为真,则 ?

?1 < x < 3 ,∴ 2 < x < 3 ∴{x / 2 < x < 3} 即为所求………6 分 ?2 < x ≤ 3

(2) p : x 2 ? 4ax + 3a 2 < 0,∴ ( x ? a )( x ? 3a ) < 0,∵ a > 0 ∴ a < 3a ∴ q : a < x < 3a , ………………………………………………8 分 若 ?p 是 ?q 的充分不必要条件,则 q 是 p 的充分不必要条件…9 分 则 {x / 2 < x ≤ 3} ?{x / a < x < 3a} ,∴ ?


?a ≤ 2 ∴1 < a ≤ 2 ?3a > 3
…………………………12 分

∴ a 的取值范围是 {a / 1 < a ≤ 2}

20.解: (Ⅰ)设 A( x1 , y1 ),B( x 2 , y 2 ),直线 AB 的方程为 x = my + b ,代入 y 2 = 2 px 中 得 y 2 ? 2 pmy ? 2 pb = 0 ,∴ y1 y 2 = ?2 pb
2 又∵OA⊥OB∴ x1 x 2 + y1 y 2 = 0, y12 = 2 px1 , y 2 = 2 px 2

∴ b = 2 p ,∴直线 AB 恒过定点 M(2 p ,0) 。 (Ⅱ)∵∠OPA=

6分

π
2

,∠OPB=

π
2

∴点 P 在直线 AB 上,∴OP⊥PM. 13 分

2 2 。 由此可得 P 点的轨迹方程为 x + y ? 2 px = 0 ( x ≠ 0 )

21.(Ⅰ)椭圆 C 的标准方程为

x2 + y2 = 1。 2

5分

(Ⅱ)若直线 l 的斜率不存在,则∣AB∣= 3 ,否则设直线 l 的方程为 y = kx + m , 代入椭圆 C 的标准方程中,得 (1 + 2k ) x + 4kmx + 2m ? 2 = 0
2 2 2

设 A( x1 , y1 ),B( x 2 , y 2 ),则 x1 + x 2 = ?

4km 2m 2 ? 2 , x1 x 2 = 1 + 2k 2 1 + 2k 2
(*)

∴ AB

2

? 16k 2 m 2 8m 2 ? 8 ? = (1 + 2k 2 ) ? ? ? 2 2 1 + 2k 2 ? ? (1 + 2k )

又原点到直线 l 的距离为

m 2 2 1 2 2 ,∴ = , m = (1 + k ) 2 2 2 2 1+ k
2

? ? k2 ) 2 ? ≤ 4 (当 k = 0 时取等号) 代入(*)式中,化简得 AB = 4 ?1 ? ( 2 2k + 1 ? ?
∴ AB max = 2 ∴△ABC 面积的最大值是

2 。 2

14 分


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