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直线与直线的位置关系


2.1.2空间中直线与直线之间的位 置关系(2)

问题:平面几何中,两条直线的位置关系:

平行或相交

在空间中是否还是如此呢?

在正方体A1B1C1D1-ABCD中,说出下列各对线段 的位置关系 (1)AB和C1D1; D1 C1

(2)A1C1和AC;

3)A1C和D1B: (4)AB和CC1;

A1

B1

D
A B

C

(5)BD1和A1C1;

异面直线:不同在任何一个平面内的两条直线。

(即既不平行也不相交)
异面直线的画法:
b a α a b b

α

a

空间两条直线的位置关系
a

1、平行
a

b

没有公共点
只有一个公共点

2、相交
α

A

b

a?b ? A
a A b

3、异面
α

没有公共点

练习:判断下列说法的对错 1、分别在两个平面内的两条直线一定是
异面直线; F F 2、a ? ? , b ? ? , 则a、b一定异面; 3、a与b是异面直线,b与c是异面直线,则 a与c是异面直线; F 4、a与b是共面,b与c是共面,则a与c共面 F

练习2:正方体ABCD-A1B1C1D1
D1 C1 B1 D A CC1 CD B

1、与A1A是异面的有: A1
BC DC B 1C 1 D 1C 1

C

2、与D1B异面的有:
AA1 AD P50 A 1B 1 B 1C 1

探究

三、异面直线所成角的定义:
1.直线a、b是异面直线。经过空间任意一点O,分 别引直线a1∥a,b1∥b。我们把直线a1和b1所成的 锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。

2.异面直线a和b所成的角的范围: 0 ? ? ? 90o
b b b1 θ O α a

a
α O

a1

为了简便,点O常取在两条异面直线中的一条上。

3、特例: 如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两 条异面直线互相垂直。 O α 相交垂直(有垂足)
垂直 异面垂直(无垂足) α 因此,异面直线所成角的范围是(0, 2 ]
?

O

四、例题分析:

例1.如图,在正方体中,(1)哪些棱所在的直线与直线 BA1成异面直线?(2)求直线BA1和CC1所成的角的大小。
D1 C1 B1

解:(1)与直线BA1成异 A1 面直线有AD、CD、B1C1、 C 1D 1、 C 1C 、 D 1D
D

C B

(2)∵B1B∥C1C

A

∴∠A1B1B是异面直线BA1和CC1所成的角

易求得所成的角为 45

例2.
如图,正方体中,
A1

D1

C1

B1

1. A1B1与C1C所成的角
2. AD与B1B所成的角
D A B C

3. A1D与BC1所成的角
4. D1C与A1A所成的角 5. A1D与AC所成的角

1.90 ;2.90 ;3.90 ;4.45 ;5.60

求异面直线所成的角的一般步骤是:
(1)找出或作出有关的图形;
[即:要求先证,要证先作。]

(2)证明它符合定义;
(3)计算。

根据异面直线所成角的定义,求异面直线所成角, 就是要将其变换成相交直线所成有角。其方法为:

平移法:即根据定义,以“运动”的观点,用“平
移转化”的方法,使之成为相交直线所成的角。 具体地讲是选择“特殊点”作异面直线的平行线, 构作含异面直线所成(或其补角)的角的三角形,再求之。

小结:
1.空间两直线的位置关系:

(1)从公共点的数目来看可分为: ①有且只有一个公共点则两直线相交 两平行直线
②没有公共点则 两直线为异面直线 (2)从平面的性质 来讲,可分为: 两直线相交 ①在同一平面内 两直线平行 ②不在同一平面内则两直线为异面直线。 定义:不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线

2.求异面直线所成的角的方法与步骤归纳为:

①作辅助线找角;②指出角(或其补角); ③求角(解三角形);④结论。

作业:学习辅导 P14 8、9


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