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函数的单调性 知识点与题型归纳


●高考明方向 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的热点, 常见问题有:求单调区间,判断函数的单调性,求参数的 取值, 利用函数单调性比较数的大小, 以及解不等式等. 客 观题主要考查函数的单调性,最值的确定与简单应用. 2.题型多以选择题、填空题的形式出现,若

与导数交汇 命题,则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意:

研究函数单调性必须先求函数的定义域, 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并!
知识点一 函数的单调性 1.单调函数的定义

1

2.单调性、单调区间的定义 若函数 f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,则称函数 f(x) 在这一区间上具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 f(x)的单 调区间. 注意: 1、 《名师一号》P16 问题探究 问题 1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题? (1)定义中 x1,x2 具有任意性,不能是规定的特定值. (2)函数的单调区间必须是定义域的子集; (3)定义的两种变式: 设任意 x1,x2∈[a,b]且 x1<x2,那么 ①

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0? f(x)在[a,b]上是增函数; x1 ? x2

2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0? f(x)在[a,b]上是减函数. x1 ? x2
②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0? f(x)在[a,b]上是增函数; (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0? f(x)在[a,b]上是减函数. 2、 《名师一号》P16 问题探究 问题 2 单调区间的表示注意哪些问题? 单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示; 如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结, 也不能用“或”联结. 知识点二 单调性的证明方法:定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例 1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是: ①任取 x1、x2∈D,且 x1<x2; ②作差 f(x1)-f(x2),并适当变形 (“分解因式”、配方成同号项的和等); ③依据差式的符号确定其增减性. (2) 导数法: 设函数 y=f(x)在某区间 D 内可导.如果 f ′(x)>0,则 f(x)在区间 D 内为增函数;如果 f ′(x)<0,则 f(x)在区间 D 内为减函数. 注意:(补充) (1)若使得 f ′(x)=0 的 x 的值只有有限个,
3

则如果 f ′(x) ? 0 ,则 f(x)在区间 D 内为增函数; 如果 f ′(x) ? 0 ,则 f(x)在区间 D 内为减函数. (2)单调性的判断方法: 《名师一号》P17 高频考点 例 2 规律方法 定义法及导数法、图象法、 复合函数的单调性(同增异减)、 用已知函数的单调性等 (补充)单调性的有关结论 1.若 f(x),g(x)均为增(减)函数, 则 f(x)+g(x)仍为增(减)函数. 2.若 f(x)为增(减)函数, 则-f(x)为减(增)函数,如果同时有 f(x)>0, 则

1 为减(增)函数, f ? x?

f ? x ? 为增(减)函数.

3.互为反函数的两个函数有相同的单调性. 4.y=f[g(x)]是定义在 M 上的函数, 若 f(x)与 g(x)的单调性相同, 则其复合函数 f[g(x)]为增函数; 若 f(x)、g(x)的单调性相反, 则其复合函数 f[g(x)]为减函数. 简称”同增异减” 5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同; 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反.
4

函数单调性的应用 《名师一号》P17 特色专题 (1)求某些函数的值域或最值. (2)比较函数值或自变量值的大小. (3)解、证不等式. (4)求参数的取值范围或值. (5)作函数图象. 二、例题分析: (一) 函数单调性的判断与证明 例 1.(1) 《名师一号》P16 对点自测 1 判断下列说法是否正确 (1)函数 f(x)=2x+1 在(-∞,+∞)上是增函数.( ) 1 (2)函数 f(x)=x在其定义域上是减函数.( ) (3)已知 f(x)= x,g(x)=-2x,则 y=f(x)-g(x)在定义域 上是增函数.( )

答案:



× √ 高频考点 例 1(1)
5

例 1.(2) 《名师一号》P16

(2014· 北京卷)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的 是( ) A.y= x+1 B.y=(x-1)2 -x C.y=2 D.y=log0.5(x+1)

答案:A. 例 2.(1) 《名师一号》P16 高频考点 例 1(2) ax 判断函数 f(x)= 在(-1,+∞)上的单调性,并证明. x+1

法一:定义法 设-1<x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)= = ax1 ax1 ax2 - x1+1 x2+1 -ax2 x1+ x2+

x2+ x1+ a x1-x2 = x1+ x2+ ∵-1<x1<x2, ∴x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0.
6

∴当 a>0 时,f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2), ∴函数 y=f(x)在(-1,+∞)上单调递增. 同理当 a<0 时,f(x1)-f(x2)>0, 即 f(x1)>f(x2), ∴函数 y=f(x)在(-1,+∞)上单调递减. 法二:导数法 注意: 《名师一号》P17 高频考点 例 1 规律方法 1.判断函数的单调性应先求定义域; 2.用定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为: 取值—作差—变形—判号—定论, 其中变形为关键, 而变形的方法有因式分解、 配方法等; 3.用导数判断函数的单调性简单快捷,应引起足够的重视

(二)求复合函数、分段函数的单调性区间 例 1.《名师一号》P16 高频考点 例 2(1) 求函数 y=x-|1-x|的单调增区间;

?1,x≥1, y=x-|1-x|=? ?2x-1,x<1. 作出该函数的图象如图所示.
7

由图象可知,该函数的单调增区间是(-∞,1]. 例 2.(1) 《名师一号》P16 高频考点 例 2(2) 2 求函数 y=log1 (x -4x+3)的单调区间. 3

解析:令 u=x2-4x+3, 原函数可以看作 y=log1 u 与 u=x2-4x+3 的复合函数. 3 2 令 u=x -4x+3>0.则 x<1 或 x>3. ∴函数 y=log1 (x2-4x+3)的定义域为 3 (-∞,1)∪(3,+∞). 又 u=x2-4x+3 的图象的对称轴为 x=2,且开口向上, ∴u=x2-4x+3 在(-∞,1)上是减函数, 在(3,+∞)上是增函数. 而函数 y=log1 u 在(0,+∞)上是减函数, 3
8

∴y=log1 (x2-4x+3)的单调递减区间为(3,+∞), 3 单调递增区间为(-∞,1).

注意: 《名师一号》P17 高频考点 例 2 规律方法 求函数的单调区间的常用方法 (1)利用已知函数的单调性, 即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间. (2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义. (3)图象法:如果 f(x)是以图象形式给出的,或者 f(x)的 图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间. (4)导数法:利用导数的正负确定函数的单调区间.

? 例 2.(2)(补充) y ? ? log 1 ? 2

? x ? ? 4log 1 x ? 2

2

答案:增区间: ?

?1 ? ? 1? , ?? ? ;减区间: ? 0, ? ?4 ? ? 4?
2

练习: y ? ? log 2 x ? ? log 2 x 答案:增区间:

?

2, ?? ;减区间: 0, 2

?

?

?
9

(三)利用单调性解(证)不等式及比较大小 例 1.(1) 《名师一号》P17 特色专题 典例(1) 1 已知函数 f(x)=log2x+ ,若 x1∈(1,2),x2∈(2,+∞), 1-x 则( ) A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0

【规范解答】 ∵函数 f(x)=log2x+

1 在(1,+∞)上为 1-x

增函数,且 f(2)=0, ∴当 x1∈(1,2)时,f(x1)<f(2)=0, 当 x2∈(2,+∞)时,f(x2)>f(2)=0, 即 f(x1)<0,f(x2)>0. 例 1.(2) 《名师一号》P17 特色专题 典例(2) 2 ?x -4x+3,x≤0, ? 已知函数 f(x)= 则不等式 2 ?-x -2x+3,x>0, f(a2-4)>f(3a)的解集为( ) A.(2,6) B.(-1,4) C.(1,4) D.(-3,5)

10

【规范解答】作出函数 f(x)的图象, 如图所示,则函数 f(x)在 R 上是 单调递减的.由 f(a2-4)>f(3a), 可得 a2-4<3a,整理得 a2-3a-4<0, 即(a+1)(a-4)<0,解得-1<a<4, 所以不等式的解集为(-1,4). 注意:本例分段函数的单调区间可以并! (四)已知单调性求参数的值或取值范围 例 1.(1)《名师一号》P17

?? a ? 2 ? x, x ? 2 ? 已 知 函 数 f ? x ? ? ?? 1 ? x 满足对任意的实数 ? 1, x ? 2 ?? ? ?? 2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成立,则实数 a 的取值范 x1≠x2,都有 x1 ? x2
围为( ) ?13 ? C.(-∞,2] D.? 8 ,2? ? ? 13? ? A.(-∞,2) B.?-∞, 8 ? ? ?

特色专题 典例(3)

11

【规范解答】函数 f(x)是 R 上的减函数, a-2<0, ? ? 13 于是有? 由此解得 a≤ , ?1?2 8 ?2? -1, ? ? a- ? ? 13? ? 即实数 a 的取值范围是?-∞, 8 ?. ? ? 例 2.(1) (补充)如果函数 f(x)=ax2+2x-3 在区间 (-∞,4)上单调递增,则实数 a 的取值范围是________.

[答案]

1 [- ,0] 4

[解析] (1)当 a=0 时,f(x)=2x-3,在定义域 R 上单调 递增,故在(-∞,4)上单调递增; 1 (2)当 a≠0 时,二次函数 f(x)的对称轴为直线 x=-a, 1 因为 f(x)在(-∞,4)上单调递增,所以 a<0,且-a≥4,解
12

1 1 得- ≤a<0.综上所述- ≤a≤0. 4 4 例 2.(2)(补充) 若 f(x)=x3-6ax 的单调递减区间是(-2,2), 则 a 的取值范围是( ) A.(-∞,0] B.[-2,2] C.{2} D.[2,+∞)

[答案]

C

[解析] f ′(x)=3x2-6a, 若 a≤0,则 f ′(x)≥0,∴f(x)单调增,排除 A; 若 a>0,则由 f ′(x)=0 得 x=± 2a,当 x<- 2a和 x> 2a 时, f ′(x)>0, f(x)单调增, 当- 2a<x< 2a时, f(x)单调减, ∴f(x)的单调减区间为(- 2a, 2a),从而 2a=2, ∴a=2. 变式:若 f(x)=x3-6ax 在区间(-2,2)单调递减, 则 a 的取值范围是?
13

[点评] f(x)的单调递减区间是(-2,2) 和 f(x)在(-2,2)上单调递减是不同的,应加以区分. 本例亦可用 x=± 2 是方程 f ′(x)=3x2-6a=0 的两根 解得 a=2. 例 2.(3) (补充) 3 若函数 f ( x) ? log1 ( x ? ax)在(?3,?2) 上单调递减,
2

则实数 a 的取值范围是 ( ) A.[9,12] B.[4,12] C.[4,27]

D.[9,27]

答案:A 温故知新 P23 第 9 题
2

若函数 f ? x ? ? log 1 x ? ax ? 3a 在区间
2

?

?

?2, ??? 上单调递减,则实数 a 的取值范围是
《计时双基练》P217 《计时双基练》P217 基础 7 基础 8、10
14

8、设函数 f ? x ? ?

那么 a 的取值范围是 答案: 1, ?? ?

ax ? 1 在区间 ? ?2, ?? ? 上是增函数, x ? 2a

?

x ? x ? a? x ?a (2)若 a ? 0 且 f ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 内单调递减, 求 a 的取值范围.
10、设函数 f ? x ? ? 答案: 1, ?? ? (五)抽象函数的单调性 例 1.(补充)已知 f(x)为 R 上的减函数,那么满足 f(|

?

1 |)<f(1)的实数 x 的取值范围是( ) x
B.(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

A.(-1,1) C.(-1,0)∪(0,1)

答案:C
15

解析: 因为 f(x)为减函数, f(|

1 1 |)<f(1), 所以| |>1, 则|x|<1 x x

且 x≠0,即 x∈(-1,0)∪(0,1).

练习: y ? f ( x) 是定义在 ?1,1 上的增函数, 解不等式 f (1 ? x) ? f (1 ? x )
2

?

?

答案: ? 0,1? 温故知新 P12 第 8 题 注意: 解抽象函数的不等式通常立足单调性定义 或借助图像求解

例 2. 《计时双基练》P216 培优 4 函数 f ( x) 的定义域为 ? 0, ?? ? ,且对一切 x ? 0, y ? 0 都有 f ( ) ? f ( x ) ? f ? y ? ,当 x ? 1 时,有 f ( x) ? 0 。 (1) 求 f (1) 的值;
16

x y

(2) 判断 f ( x) 的单调性并加以证明; (3) 若 f (4) ? 2 ,求 f ( x) 在 1,16 上的值域. 答案:单调增; 0,4

?

?

? ?

注意:有关抽象函数单调性的证明通常立足定义

练习: 《计时双基练》P218 培优 4 函数 f ( x) 的定义域为 ? 0, ?? ? ,且对一切 x, y ? R 都有 f ( x) ? f ? y ? ? f ( x ? y) ,当 x ? 0 时,有

2 f ( x) ? 0, f ?1? ? ? . 3 (1)求证: f ( x) 在 R 上是减函数; (2)求 f ( x) 在 ? ?3,3? 上的最大值与最小值.

答案: 2; ?2 课后作业 一、 计时双基练 P217 基础 1-10 课本 P16-17 变式思考 1、2;
17

二、 计时双基练 P217 基础 11、培优 1-4 课本 P18 对应训练 1、2、3 预习 第二章 第四节 函数的奇偶性与周期性 补充: 练习 1: ?-x+3a, x<0 函数 f(x)=? x (a>0 且 a≠1) x≥0 ?a , 是 R 上的减函数,则 a 的取值范围是( ) 1 1 2 A.(0,1) B.[ ,1) C.(0, ] D.(0, ] 3 3 3

分析:f(x)在 R 上为减函数,故 f(x)=ax(x≥0)为减函数, 可知 0<a<1,又由 f(x)在 R 上为减函数可知,f(x)在 x<0 时的值恒大于 f(x)在 x≥0 时的值,从而 3a≥1. 解析:∵f(x)在 R 上单调递减, ? ?0<a<1, 1 ∴? ∴ ≤a<1. 3 ?3a≥1. ? 答案:B

18

练习 2: ??3-a?x-4a ?x<1? 已知 f(x)=? 是(-∞,+∞)上 ?x≥1? ?logax 的增函数,那么 a 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.(-∞,3) 3 C.[ ,3) D.(1,3) 5

[答案]

D

[解析] 解法 1:由 f(x)在 R 上是增函数,∴f(x)在[1, +∞)上单增,由对数函数单调性知 a>1 ①,又由 f(x)在 (-∞,1)上单增,∴3-a>0,∴a<3 ②,又由于 f(x)在 R 上是增函数,为了满足单调区间的定义,f(x)在(-∞,1] 上的最大值 3-5a 要小于等于 f(x)在[1,+∞)上的最小值 3 0,才能保证单调区间的要求,∴3-5a≤0,即 a≥ ③, 5 由①②③可得 1<a<3. 3 解法 2:令 a 分别等于 、0、1,即可排除 A、B、C, 5 故选 D. [点评] f(x)在 R 上是增函数, a 的取值不仅要保证 f(x)
19

在(-∞,1)上和[1,+∞)上都是增函数,还要保证 x1<1, x2≥1 时,有 f(x1)<f(x2).

练习 3:

若函数 f(x)=2x2-lnx 在其定义域内的一个子区 间(k-1,k+1)内不是 单调函数,则实数 k 的取 .. 值范围是( ) 3 B.[1, ) 2 3 D.[ ,2) 2 A.[1,+∞) C.[1,2)

[答案]

B

[解析] 因为 f(x)定义域为(0,+∞),f ′(x) 1 1 =4x-x,由 f ′(x)=0,得 x= . 2 1 ? ?k-1<2<k+1 据题意,? , ?k-1≥0 ?
20

3 解得 1≤k< ,选 B. 2
练习 4: 已知函数 y ? 2 x 3 ? 3ax 2 ? 12 x (1) 若 函 数 在 R 上 是 单 调 增 函 数 , 则 a 的 取 值 范 围 是 . 解析:若函数在 R 上是单调增函数

? R ? ? x f ?( x ) ? 0?
2

因为 y? ? 6 x ? 6ax ? 12 开口方向向上, 所以 ? ? 0, 即 36 a ? 4 ? 2 ? 0, 即
2

?

?

?2 2 ? a ? 2 2 时条件成立;
(2)已知函数 y ? 2 x ? 3ax ? 12 x ,若函数的单调递
3 2

减区间是 ?1,2 ? ,则 a 的值是

.

解析:若函数的单调递减区间是

?1,2? ? (1,2) ? ? x

f ?( x ) ? 0?

y? ? 6 x 2 ? 6ax ? 12 2 所以 1, 2 是方程 6 x ? 6ax ? 12 ? 0 的两个实数根,由韦达
21

定理,1 ? 2 ? ?a,?a ? ?3 (3) 若函数在 [2, ??) 上是单调增函数,则 a 的取值范围 是 .

解析:若函数在 [2, ??) 上是单调增函数

? ? 2, ?? ? ? ? x f ?( x ) ? 0?

分类讨论: ① 当 ? ? 0, 即 36 ? a 2 ? 4 ? 2 ? ? 0, 即

?2 2 ? a ? 2 2 条件成立; ?? ? 0 ?a ? 2 2或a ? ?2 2 ? a ? ? ② 当 ?? ? 2 ? ?a ? ?4 , 2 ? ?a ? ?3 ? ? f (2) ? 0 ? ?
即 ?3 ? a ? ?2 2 或 a ? 2 2 条件成立; 综上, a ? ?3 条件成立, a ? ?3 为所求.

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