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2015届高三文科数学模拟试题


2015 届高三文科数学模拟试题
一、选择题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分。在每小题列出的四个选项中,选 出符合题目要求的一项。 1.已知集合 P={x︱x2≤1},M= ?a? .若 P∪M=P,则 a 的取值范围是( ) A. ( ? ∞, ? 1] B. [1, +∞) C. [ ? 1 , 1] D. ( -∞, ? 1] ∪[1,+∞) 2.某程序

框图如图所示,若输出的 S=57 ,则判断框内为 ( ) A. k>4? B. k>5? C. k>6? D. k>7? x2 y2 ? 1 的离心率为( 3.曲线 + ) 4 12 3 6 A. B. C. 3 D. 2 2 3 4.通过随机询问 110 名不同的大学生是否爱好某项运动, 得到如下的列联表: 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由 2 2 n(ad ? bc)2 110 ? (40 ? 30 ? 20 ? 30)2 K ? 算得,K ? ? 7.8 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 60 ? 50 ? 60 ? 50 附表: P( K 2 ? k ) 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 k 参照附表,得到的正确结论是( ) A.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” D.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” 5. 若 a , b 是非零向量, “ a ⊥ b ”是“函数 f ( x) ? ( xa ? b) ? ( xb ? a) 为一次函数” 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( ) 1 1 2 A. B. C. D. 1 4 2 2
? 7.设函数 f ( x ) ? ? 1 ?( a ? 2 ) x ( x ? 2 )
x ?( 2 ) ? 1( x ? 2) ?

是 R 上的单调递减函数,则实数 a 的取值

范围为(

) B.(-∞,
13 ] 8

A.(-∞,2)

C.(0,2)
?1 ? x ? 5;

D.[

13 ,2) 8

y f ( x) ? f ( y) ? 0, 8.设 f ( x) ? x 2 ? 6x ? 5 ,且实数 x 、y 满足条件 ? 则 的最大值是 ? x

( ) A. 9 ? 4 5 B.3 C.4 D.5 2 2 2 9.已知直线 y ? x ? 2 与圆 x ? y ? 4x ? 3 ? 0 及抛物线 y ? 8x 依次 交于 A、B、C、D 四点,则 | AB | ? | CD | 等于 ( ) A.10 B.12 C.14 D.16 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分。 10.复数
2 的模等于__________; 1? i

y

A B D

C

x

11 . 已 知 向 量 a , b 满 足 a ? 1 , b ? 2 ,
a ?b ?

a 与 b 的 夹 角 为 120° , 则


3 ,则 5

12 . 已 知 ? 是 第 二 象 限 角 , 且 sin( ? ? ? ) ? ?

tan2 ? 的 值

为 ; 2 13.若命题“ ? x ? R, x ? 2x ? m ? 0 ”是假命题,则 m 的取值范围是 ________ _ ; ? ? x ? 2 cos ? (? 为参数).在极 14.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? y ? 3 sin ? ? ? 坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半 轴为极轴)中,直线 C2 的方程为 ? (cos? ? sin 则 C1 与 C2 的交点个数 ? ) ? 1 ? 0, 为 ; 15.数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若数列 {an } 的各项按如下规律排列: 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 n ?1 , , , , , , , , , , , , , , , 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 n n n 有如下运算和结论: 3 ① a24 ? ; 8 ②数列 a1 , a2 ? a3 , a4 ? a5 ? a6 , a7 ? a8 ? a9 ? a10 , 是等比数列; ③数列 a1 , a2 ? a3 , a4 ? a5 ? a6 , a7 ? a8 ? a9 ? a10 , 的前 n 项和为 Tn ?
n2 ? n ; 4

5 ④若存在正整数 k,使 Sk ? 10, Sk ?1 ? 10, 则ak ? . 7 其中正确的结论有 (填写序号) 。 三、解答题。共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 [来源:Z#xx#k.Com]

16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? ) ? 1 。 6

?

(1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)求 f ( x) 在区间 [?

? ?

, ] 上的最大值和最小值以及相应的 x 的值。 6 4

17. (本小题满分 12 分)在某次测验中,有 6 位同学的平均成绩为 75 分。用 xn 表示编号为 n(n=1,2,?,6)的同学所得成绩,且前 5 位同学的成绩如下: 编号 n 1 2 3 4 5 成绩 xn 70 76 72 70 72 (1)求第 6 位同学的成绩 x6,及这 6 位同学成绩的标准差 s; (2)从前 5 位同学中,随机地选 2 位同学,求恰有 1 位同学成绩在区间(68, 75)中的概率。

18. (本题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形 且侧棱垂直于底面,侧棱长是 3,D 是 AC 的中点. (1)求证:平面 A1 BD ? 平面 A1 ACC1 ; (2)求直线 AB1 与平面 A1 BD 所成的角的正弦值.

log2 ( x ? 1) ( x ? 0) 上有一点列 x ?1 Pn ( xn , yn )(n ? N * ) ,点 Pn 在 x 轴上的射影是 Qn ( xn ,0) ,且 xn ? 2xn?1 ? 1(n ? N * ) , x1 ? 1 . (1)求数列 {xn } 的通项公式;
19. (本小题满分 13 分)已知曲线 f ( x) ?

(2)设梯形 Pn Qn Qn?1 Pn?1 的面积是 S n ,求证:

1 1 1 ? ??? ? 4. S1 2 S 2 nSn

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 离心率为 ,且曲线 2 a b 2 上的一动点 P 到右焦点的最短距离为 2 ? 1 。 (1)求椭圆 C 的方程;

20. (本题满分 13 分)已知椭圆 C :

(2)过点 M ( 0 , ? 1 )的动直线 l 交椭圆 C 于 A 、 B 两点,试问:在坐标平面上
3

是否存在一个定点 T ,使得无论 l 如何转动,以 A B 为直径的圆恒过定点 T ?若 存在,求出点 T 的坐标;若不存在,请说明理由.

1 2 ax ? bx [来源:学§科§网] 2 (1)若 a ? 0 , b ? 1 时,求证: f ( x) ? g ( x) ? 0 对于 x ? (?1,??) 恒成立; (2)若 b ? 2 ,且 h( x) ? f ( x ? 1) ? g ( x) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围; x? y (3)利用(1)的结论证明:若 0 ? x ? y ,则 x ln x ? y ln y ? ( x ? y ) ln . 2 2015 届高三文科数学月考试题 答案 一、选择题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分。在每小题列出的四个选项中,选 出符合题目要求的一项。 1.已知集合 P={x︱x2≤1},M={a}.若 P∪M=P,则 a 的取值范围是( C ) A.(-∞, -1] B.[1, +∞) C.[-1, 1] D. (-∞, -1] ∪[1, +∞) 2.某程序框图如图所示,若输出的 S=57,则判断框内为( A ) A. k>4? B.k>5? C. k>6? D.k>7? 2 2 x y ? 1 的离心率为 3.曲线 + ( B ) 4 12 3 6 A. B. C. 3 D.2 2 3 4.通过随机询问 110 名不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列 联表: 男 女 总计 爱好 40 20 60

21. (本题满分 13 分) 已知 f ( x) ? ln(x ? 1), g ( x ) ?

不爱好 总计

30 50 50 110 2 2 2 n(ad ? bc) 110 ? (40 ? 30 ? 20 ? 30)2 由K ? 算得,K ? ? 7.8 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 60 ? 50 ? 60 ? 50 附表: P( K 2 ? k ) 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 k 参照附表,得到的正确结论是( A ) E.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” F.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” G.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” H.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下 ,认为“爱好该项运动与性别无关” 5. 若 a , b 是非零向量, “ a ⊥ b ”是“函数 f ( x) ? ( xa ? b) ? ( xb ? a) 为一 次函数” 的( B ) A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( D ) 1 1 2 A. B. C. D. 1 4 2 2
?( a ? 2 ) x ( x ? 2 ) ? 7.设函数 f ( x ) ? ? 1 x 是 R 上的单调递减函数,则实数 a 的取值 ?( 2 ) ? 1( x ? 2) ?

20 60

范围为( B

) B.(-∞,
13 ] 8

A.(-∞,2)

C.(0,2)
?1 ? x ? 5;

D.[

13 ,2) 8

y f ( x) ? f ( y) ? 0, 8.设 f ( x) ? x 2 ? 6x ? 5 ,且实数 x、y 满足条件 ? 则 的最大值是 ? x

( D ) A. 9 ? 4 5 B.3 C.4 D.5 2 2 2 9.已知直线 y ? x ? 2 与圆 x ? y ? 4x ? 3 ? 0 及抛物线 y ? 8x 依次 交于 A、B、C、D 四点,则 | AB | ? | CD | 等于 ( C ) A.10 B.12 C.14 D.16 二、填空 题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分。 10.复数
2 的模等于__________。 2 1? i

y B D

A

C

x

11 .已知向量 a , b 满足 a ? 1 , b ? 2 , a 与 b 的夹角为 120°,则 a ? b ?

7


3 , 则 tan2 ? 的 值 为 5

12 . 已 知 ? 是 第 二 象 限 角 , 且 sin( ? ? ? ) ? ?
? 24 7

13 . 若 命 题 “ ? x ? R, x2 ? 2x ? m ? 0 ” 是 假 命 题 , 则 m 的 取 值 范 围 是

___.m>1 ______
? ? x ? 2 cos ? 14.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? (? 为参数).在极 ? ? y ? 3 sin ? 坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半 轴为极轴)中,直线 C2 的方程为 ? (cos ? ? sin ? ) ? 1 ? 0, 则 C1 与 C2 的交点个数为

2 . 15 .数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若数列 {an } 的各项按如下规律排列: [ 来 源:Zxxk.Com] 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 n ?1 , , , , , , , , , , , , , , , 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 n n n 有如下运算和结论: 3 ① a24 ? ; 8 ②数列 a1 , a2 ? a3 , a4 ? a5 ? a6 , a7 ? a8 ? a9 ? a10 , ③数列 a1 , a2 ? a3 , a4 ? a5 ? a6 , a7 ? a8 ? a9 ? a10 ,

是等比数列; 的前 n 项和为 Tn ?
n2 ? n ; 4

5 ④若存在正整数 k,使 Sk ? 10, Sk ?1 ? 10, 则ak ? . 7 其中正确的结论有 ①③④ (填写序号) 。 三、解答题。共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。

16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? ) ? 1 。 6 (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)求 f ( x) 在区间 [? 解: (1)因为
f ( x) ? 4 cos x sin( x ?

?

? ?

, ] 上的最大值和最小值以及相应的 x 的值。 6 4

?

6 ? 3 sin 2 x ? 2 cos2 x ? 1 ? 3 sin 2x ? cos2x

) ? 1 ? 4 cos x(

3 1 sin x ? cos x) ? 1 2 2

) 6 所以 f ( x) 的最小正周期为 ? ??? ?6 分 ? ? ? ? 2? (2)因为 ? ? x ? ,所以 ? ? 2 x ? ? 6 4 6 6 3

? 2 sin( 2 x ?

?

于是,当 2 x ? 当 2x ?

?

时, f ( x) 取得最小值—1. ????12 分 6 2 6 17. (本小题满分 12 分)在某次测验中,有 6 位同学的平均成绩为 75 分。用 xn 表示编号为 n(n=1,2,?,6)的同学所得成绩,且前 5 位同学的成绩如下: 编号 n 1 2 3 4 5

?

??

?

6

?

?
2

,即 x ?

?
6

时, f ( x) 取得最大值 2;????9 分

,即 x ? ?

?

成绩 xn 70 76 72 70 72 (1)求第 6 位同学的成绩 x6,及这 6 位同学成绩的标准差 s; (2)从前 5 位同学中,随机地选 2 位同学,求恰有 1 位同学成绩在区间(68, 75)中的概率。 1 6 解: (1) x ? ? xn ? 75 6 n?1
? x6 ? 6 x ? ? xn ? 6 ? 75 ? 70 ? 76 ? 72 ? 70 ? 72 ? 90, ??????3 分
n ?1 5

1 1 , ( xn ? x)2 ? (52 ? 12 ? 32 ? 52 ? 32 ? 152 ) ? 49 ? 6 n?1 6 ? s ? 7. ??????6 分 (2)从 5 位同学中随机选取 2 位同学,共有如下 10 种不同的取法: {1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3, 5},{4,5},????9 分 选出的 2 位同学中,恰有 1 位同学的成绩位于(68,75)的取 法共有如下 4 种取法: 2 {1,2},{2,3},{2,4},{2,5},故所求概率为 . ??????12 分 5 18. (本题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形 s2 ?

6

且侧棱垂直于底面,侧棱长是 3,D 是 AC 的中点. (1)求证:平面 A1 BD ? 平面 A1 ACC1 ; (2)求直线 AB1 与平面 A1 BD 所成的角的正弦值. 解: (1) 又? BD ? AC, ? 正三棱住 ABC ? A1B1C1 , ? AA1 ? 底面 ABC, A1 A AC ? A ,? BD ? 平面 A1 ACC1 ,又? BD ? 平面 A1B D
? 平面 A1B D ? 平面 A1 ACC1 ????????6 分

(2)作 AM ? A1 D ,M 为垂足,由(1)知 AM ? 平面 A1 DB ,设 AB1 与 A1B 相交于点 P,连接 MP,则 ?APM 就是直线 A1B 与平面 A1B D 所成的角,??????9 分 ? , ? AA1 = 3 , AD=1 , ? 在 Rt ? AA1 D 中 , ?A1DA = 3
3 AM 21 3 1 7 ? 2 ? . , AP ? AB1 ? ,? sin?AP M ? ? AM ? 1 ? sin60? ? AP 7 2 2 2 7 2 21 直线 AB1 与平面 A1B D 所成的角的正弦值为 分????????12 分. 7

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 离心率为 ,且曲线 2 a b 2 上的一动点 P 到右焦点的最短距离为 2 ? 1 。 (1)求椭圆 C 的方程;

20. (本题满分 13 分)已知椭圆 C :

(2)过点 M ( 0 , ? 1 )的动直线 l 交椭圆 C 于 A 、 B 两点,试问:在坐标平面上
3

是否存在一个定点 T ,使得无论 l 如何转动,以 A B 为直径的圆恒过定点 T ?若 存在,求出点 T 的坐标;若不存在,请说明理由. ?a ? c ? 2 ? 1 ? 解: (1)设椭圆的焦距为 2c ,则由题设可知 ? a 2 ,解此方程组得 ? ?c ? b ?c a ? 2 , b ?1 . 所 以 椭 圆 C 的 方 程 是 2 x ? y 2 ? 1. ????????5 分 2 (2)解法一:假设存在点 T(u, v). 若直线 l 的斜率存在,设其方程为
1 y ? kx ? , 3

将它代入椭圆方程,并整理,得 (18k 2 ? 9) x2 ? 12kx ? 16 ? 0 .

12k ? x1 ? x2 ? , ? 18k 2 ? 9 设点 A、B 的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ? ? ? x x ? ?16 . 1 2 ? 18k 2 ? 9 ? 因为 TA ? ( x1 ? u, y1 ? v), TB ? ( x2 ? u, y2 ? v) 及 y1 ? kx1 ? 1 , y2 ? kx2 ? 1 , 3 3 所以 TA TB ? ( x1 ? u)( x2 ? u) ? ( y1 ? v)( y2 ? v)
1 2v 1 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (u ? k ? kv)( x1 ? x2 ) ? u 2 ? v 2 ? ? 3 3 9 (6u 2 ? 6v2 ? 6)k 2 ? 4ku ? (3u 2 ? 3v2 ? 2v ? 5) ? 6k 2 ? 2

????

???9 分 当且仅当 TA TB ? 0 恒成立时,以 AB 为直径的圆恒过定点 T,
?6u 2 ? 18v 2 ? 18 ? 0, 所以 ? 解得 u ? 0, v ? 1. ?u ? 0, ? 2 2 ?3u ? 3v ? 2v ? 5 ? 0.

此 时 以 AB 为 直 径 的 圆 恒 过 定 点 T ( 0 , 1). ???????11 分 当直线 l 的斜率不存在,l 与 y 轴重合,以 AB 为直径的圆为 x 2 ? y 2 ? 1 也过点 T(0,1). 综上可知,在坐标平面上存在一个定点 T(0,1) ,满足条 件. ???????13 分 解法二:若直线 l 与 y 轴重合,则以 AB 为直径的圆是 x2 ? y 2 ? 1. 若 直 线 l 垂 直 于 y 轴 , 则 以 AB 为 直 径 的 圆 是
1 16 ???????7 分 x 2 ? ( y ? )2 ? . 3 9 ? x 2 ? y 2 ? 1, ?x ? 0 由? ? 2 1 2 16 解得 ? y ? 1 . ? ?x ? ( y ? ) ? . 3 9 ?

由 此 可 知 所 求 点 T 如 果 存 在 , 只 能 是 ( 0 , 1). ??????8 分 事实上点 T(0,1)就是所求的点. 证明如下: 当直线 l 的斜率不存在, 即直线 l 与 y 轴重合时, 以 AB 为直径的圆为 x 2 ? y 2 ? 1 , 过点 T(0,1) ; 当直线 l 的斜率存在,设直线方程为 y ? kx ? ,代入椭圆方程,并整理,得
(18k 2 ? 9) x2 ? 12kx ? 16 ? 0.

1 3





A



B









A( x 1 , y1 ), B( x2 , y2 )





12k ? x1 ? x2 ? , ? ? 18k 2 ? 9 ???????10 分 ? ? x x ? ?16 . 1 2 ? 18k 2 ? 9 ? 因为 TA ? ( x1 , y1 ?1), TB ? ( x2 , y2 ?1) ,
4 16 TA TA ? x1 x2 ? y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? 1 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 3 9

?16k 2 ? 16 ? 16k 2 ? 32k 2 ? 16 ? 0. 18k 2 ? 9 所以 TA ? TB ,即以 AB 为直径的圆恒过定点 T(0,1). ?

综上可知,在坐标平面上存在一个定点 T(0,1)满足条 件. ???????13 分 [来源:Z+xx+k.Com]

(3)证明:

x? y x? y x? y ? x(ln x ? ln ) ? y (ln y ? ln ) 2 2 2 2x 2y x? y x? y ? x ln ? y ln ? ? x ln ? y ln x? y x? y 2x 2y y?x x? y ? ? x ln(1 ? ) ? y ln(1 ? ) 2x 2y x ln x ? y ln y ? ( x ? y ) ln
y?x x? y ? ?1, ? ?1 ,由(1)知 2x 2y x? y y?x x? y x ln x ? y ln y ? ( x ? y) ln ? ?x ? ? y? ?0 2 2x 2y y?x x? y ? ? 0, 即 x ? y 时成立。 等号在 2x 2y

当 0 ? x ? y 时,



y?x?0







x ln x ? y ln y ? ( x ? y ) ln

x? y ?0 2



立。????????.13 分


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