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2011级医用高等数学期终试题(A卷)参考答案及评分标准1


河北医科大学
2011 级医用高等数学模拟试题 2011 级医用高等数学模拟试题
一、单项选择题(每小题 2 分,共 20 分) 单项选择题( 1 1. 函数 f ( x ) = x sin 在点 x = 0 处( ) . x
A.有定义且有极限 B.无定义但有极限 C.有定义但无极限 D.无定义且无极限 ). 当 x → 0 时,下列变量中,无穷小量是 (

2.

sin x A. x
3.

B. ln(1 + x )
2

C. e

1 x

D. sin

1 x

1 ? ? x sin 若函数 f ( x ) = ? x ?k + 1 ?
A. 1 B.0

( x ≠ 0) ( x = 0)

在点 x = 0 处连续,则 K=( C.-1 D.不存在 )。



4.

若 f (x ) 在 x 0 处可导,则 lim A. f ′( x0 ) B. ? f ′( x0 )

?x →0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) =( ?x
C. [ f ( x0 )]′

D. ? [ f ( x0 )]′

ax 5. 设 y = e ,

则 y (n) = ( C
B. ae
ax


C. a e
n ax

A. e 6.

ax

D. nae

ax

设 F ( x) =



0

- x2

f (t )dt , 则F ′( x) = D (
B. f ( x 2 )


D. 2 xf (? x 2 ) ) D.

A. ? f ( x 2 ) 7.

C. ? 2 xf ( x 2 )
b

若函数 f ( x ) 可积,则 A.



b

a

f ( x)d x = ∫ f ( x)d x + (
c a



c

a

f ( x )d x

B.



c

f ( x ) dx

+∞

C.


0

c

b

f ( x ) dx



b

a

f ( x ) dx
+∞

8.

下列广义积分收敛的是( A.



+∞

0

e x dx

B.



1

1 dx x

C.



+∞

cos x dx

D.



1

1 dx x2

9.

函数 y = 3e 2 x 是方程 y′′ ? 4 y = 0 的( A.通解 B.特解

) D.以上都不对 )

C.解,但既非通解也非特解

10.

y = e 2 x 是微分方程 y′′ + py′ + 6 y = 0 的一个特解,则此方程的通解是(
A. y = c1e 2 x + c2e ?3 x
2x 3x C. y = c1e + c2e

B. y = (c1 + xc2 )e 2 x D. y = e 2 x (c1 sin 3 x + c2 cos 3 x)
第 1 页 共 6 页

二、计算函数的极限(每小题 4 分,共 8 分) 计算函数的极限(
1. lim

x + 13 ? 2 x + 1 x2 ? 9

x→3

2. lim

1 ? cos x x →0 x sin x

四、求下列函数的导数或微分(每小题 4 分,共 8 分) 求下列函数的导数或微分(
1. y = (2 x + 3) , 求 dy
2 3

2. y =

( x ? 2) 3 x ? 5
3 x +1

,求 y ′

五、求下列函数的积分(每小题 3 分,共 12 分) 求下列函数的积分
1.

∫ sin 2 x cos

3

xdx

2.



25 + 3 x dx

1 3. ∫ 2 dx x + 3x + 2

4.



π

2 0

x.cos xdx

5.已知可微函数 f (x ) 满足: f ( x) = x +



x

0

f ( x)dx ,求 f (x)

七、证明题(6 分) 证明题(
1 ? ? x sin x ? 已知函数 f ( x ) = ?0 ?1 ? sin x ?x x<0 x = 0 ,证明: f (x) 在 x = 0 处间断。 x>0

八、描绘函数 y =

x 的图像。 (10 的图像。 10 分) ( ( x ? 1) 2

1. f (x ) 的定义域为:_______________________________________。(1 分) 2. f ′(x ) = _______,令 f ′( x ) = 0 ,得驻点为 P:___________。(1 分) 3. f ′′(x ) = _______,令 f ′′( x ) = 0 时,根为__________。(1 分) 4. f (x ) 的渐近线是________________________________.(1 分)
第 2 页 共 6 页

5.列表(4 分)

x

f ′(x )
f ′′(x) f (x)
6. 根据上表描绘函数的图像。(2 分)

级医用高等数学( 2007 级医用高等数学(A 卷) 参考答案及评 参考答案及评分标准
一、单项选择题(每小题 2 分,共 20 分) 单项选择题( (B ,2 (B ,3 (C ,4 (B ,5 (C , 1 、 B ) 2 、 B ) 3 、 C ) 4 、 B) 5 、 C ) ( , ( , ( , ( , ( (D , (A ,8 (D , (B ,10、 6、 D) 7、 A) 8、 D) 9、 B) 10、 C) ( ( , ( ( ,10 (C (
二、计算函数的极限(每小题 4 分,共 8 分) 计算函数的极限(
1. lim

x + 13 ? 2 x + 1 x2 ? 9
x +13 ? 2 x +1 x2 ? 9

x→3

2. lim

1 ? cos x x →0 x sin x

解: lim = lim
x→3

(

x→3

x +13 ? 2 x +1

( x ? 3)( x + 3) (

)(

x +13 + 2 x +1

x +13 + 2 x +1

)

) (1分)

= lim
x→3

( x ? 3)( x + 3) (
?3

?3x + 9

x +13 + 2 x +1

)

(1分)

= lim
x→3

( x + 3) (

x +13 + 2 x +1

)

(1分)

=

?3 1 = ? (1分) 6 ? ( 4 + 4) 16

1?cos x 解: lim x→0 xsin x x 2sin2 2 (1分) = lim x→0 xsin x x x 2sin2 sin 2 = lim 2 (1分) = lim x→0 x x x→0 x x? 2sin cos xcos 2 2 2 x ? x ? sin ? sin 2 1 ? 1 2 = lim? ? ? = lim x ? lim x→0 x→0 x x x→0 x ? 2cos ? 2cos ? 2 2? 2 2 1 = (1分) 2

第 3 页 共 6 页

四、求下列函数的导数或微分(每小题 4 分,共 8 分) 求下列函数的导数或微分(
1. y = (2 x + 3) , 求 dy
2 3
2 解:dy = 3( 2x2 + 3) ? ( 2x2 + 3)′ ? dx ( 2分)

2. y =

( x ? 2) 3 x ? 5
3 x +1

,求 y ′

解:两边取自然对数: 1 1 ln y=3ln( x ? 2) + ln( x ?5) ? ln( x +1) ( 2分) 2 3 上式两边关于x求导: 1 3 1 1 ? y′ = + ? (1分) y x ? 2 2x ?10 3x +3 整理得:

= 3( 2x2 + 3) ? 4x ? dx (1分)
2

= 12x ? ( 2x2 + 3) ? dx (1分)
2

( x ? 2) y′ =
五、求下列函数的积分(每小题 3 分,共 12 分) 求下列函数的积分(
1.

x ?5 ? 3 1 1 ? ?? + ? ?(1分) 3 x +1 ? x ? 2 2x ?10 3x + 3?
3

∫ sin 2 x cos

3

xdx

2.



25 + 3 x dx

解:sin 2 x cos 3 xdx ∫ = ∫ 2sin x cos x cos3 xdx = 2 ∫ sin x cos 4 xdx (1分 ) = ?2 ∫ cos 4 xd cos x (1分 ) 2 = ? cos5 x + c (1分 ) 5

解: 25 + 3 xdx ∫
1 1 ( 25 + 3x ) 2 d ( 25 + 3x ) ( 2分 ) 3∫ 3 1 2 = ? ? ( 25 + 3 x ) 2 + c 3 3 50 + 6 x = 25 + 3 x + c (1分 ) 9 3 2 或者 = ( 25 + 3 x ) 2 + c 9

=

3.

1 ∫ x 2 + 3x + 2dx
2

4.
π



π

2 0

x.cos xdx
π

解: ∫

1 dx x + 3x + 2 1 =∫ dx (1分 ) ( x + 1)( x + 2 ) 1 1 dx ? ∫ dx (1分 ) x +1 x+2 = ln ( x + 1) ? ln ( x + 2 ) + c =∫ = ln x +1 + c (1分 ) x+2

解:2 x ? cos xdx = ∫ 2 xd sin x (1分 ) ∫
0 0

π

π

= =

x sin x
π
2 ? 1(1分 )

2 0

+ cos x

2 0

(1分 )

第 4 页 共 6 页

5.已知可微函数 f (x ) 满足: f ( x) = x +



x

0

f ( x)dx ,求 f (x)

解:因为f ( x ) 可微,则对原方程两边同时求导, ′ x f ′ ( x ) = 1 + ? ∫ f ( x ) dx ? ? 0 ? ? ? f ′ ( x ) = 1 + f ( x ) ? x′ 令y = f ( x ) , 则有 f ′ ( x ) = 1 + f ( x ) ( 2分 )

dy = 1 + y, 分离变量 dx dy = dx (1分 ) 1+ y dy 两边同时积分 ∫ dy = ∫ dx,得: 1+ y ln ( y + 1) = x + c y = e x +c ? 1 即,f ( x ) = e x + c ? 1(1分 )
七、证明题(6 分) 证明题( 1 ? ? x sin x ? 已知函数 f ( x) = ?0 ?1 ? sin x ?x x<0 x = 0 ,证明: f (x) 在 x = 0 处间断。 x>0

1 证明 :由于f ( x )的右极限: + f ( x ) = lim+ sin x = 1( 2分 ) lim x→0 x →0 x 1 f ( x )的左极限: ? f ( x ) = lim? x sin = 0 ( 2分 ) lim x→0 x →0 x ? ?Q lim? x = 0,∴当x → 0 时,x是无穷小量, ? ? x →0 ? ? ? 1 1 lim ? 又 Q sin ≤ 1,有界,故, 0? x sin = 0 ? x→ x x ? ? 所以, + f ( x ) = 1 ≠ lim f ( x ) = 0 (1分 ) lim ? 因此,f ( x ) 在x = 0处间断。1分 ) (
八、描绘函数 y =
x 的图像。 (10 的图像。 10 分) ( ( x ? 1) 2
x →0 x →0

1. f (x ) 的定义域为: x x ≠ 1, x ∈ R 或者 ( ?∞,1) ∪ (1, +∞ ) 。(1 分)

{

}

第 5 页 共 6 页

2. f ′(x ) =

?

x +1

( x ? 1)

3

,令 f ′( x ) = 0 ,得驻点为 P: ? ?1, ?

? ?

1? ? 。(1 分) 4?

3. f ′′( x ) =

( 2 x + 4 ) ,令 f ′′( x) = 0 时,根为 4 ( x ? 1)

x = ?2 。(1 分)

4. f (x ) 的渐近线是 x = 1为f ( x)的垂直渐近线,无水平和斜渐近线。 分) (1 5.列表(4 分)

x

( ?∞, ?2 )
-

?2
0

( ?2, ?1)
+

?1
0 +

( ?1,1)
+ +

(1, +∞ )
+

f ′(x )
f ′′( x) f ( x)

拐点

极小值点

6. 根据上表描绘函数的图像。(2 分)

第 6 页 共 6 页


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