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14东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--导数的概念及运算A


东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 014

导数的概念与运算(教案)A
一、 二、 知识梳理 导数及有关概念: 函数的平均变化率: 1. 设函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处附近有定义,当自变量 在 x ? x0 处有增量 ?x 时, 则函数 y ? f ( x) 相应地有增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) , 如果 ?x ? 0 时, ?y 与 ?x 的比

?y ?y (也叫函数的平均变化率)有极限即 无限趋 ?x ?x

近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的 导数 ,记作

y?

x ? x0

,即 f ?( x0 ) ? lim

?x ? 0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

在定义式中,设 x ? x0 ? ?x ,则 ?x ? x ? x0 ,当 ?x 趋近于 0 时, x 趋近于 x0 , 因此,导数的定义式可写成

f ?( x0 ) ? lim

?x ?o

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x) ? f ( x0 ) ? lim . x ? x 0 ?x x ? x0
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 是函数 y ? f ( x) 在点 x0 的处瞬时变化 ?x

2. 导数的物理意义和几何意义:
导数 f ?( x0 ) ? lim
?x ? 0

率,它反映的函数 y ? f ( x) 在点 x0 处变化 的快慢程度. .. 它的几何意义是曲线 y ? f ( x) 上点( x0 , f ( x0 ) )处的切线的斜率.因此,如果

y ? f ( x) 在 点 x0 可 导 , 则 曲 线 y ? f ( x) 在 点 ( x0 , f ( x0 ) ) 处 的 切 线 方 程 为 y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) 3. 导函数(导数):

如果函数 y ? f ( x) 在开区间 ( a, b) 内的每点处都有导数,此时对于每一个

x ? (a, b) ,都对应着一个确定的导数 f ?( x ) ,从而构成了一个新的函数 f ?( x ) , 称这
个函数 f ?( x ) 为函数 y ? f ( x) 在开区间内的导函数,简称 导数 ,也可记作 y? ,即

1

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f ?( x ) = y? = lim

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? lim ?x ?0 ?x ?x ? 0 ?x

说明 :导数与导函数都称为导数,这要加以区分 ,求一个函数的导数 ,就是求导 函数,求一个函数在给定点处的导数,就是求导函数值. 函 数 y ? f ( x ) 在 x0 处 的 导 数 y ?
x ? x0

就 是 函 数 y ? f ( x) 在 开 区 间
x ? x0

( a, b) ( x ? (a, b)) 上导数 f ?( x ) 在 x0 处的函数值,即 y? y ? f ( x) 在 x0 处的导数也记作 f ?( x0 )
王新敞
奎屯 新疆

= f ?( x0 ) . 所以函数

4. 可导: 如果函数 y ? f ( x) 在开区间 ( a, b) 内每一点都有导数,则称函数 y ? f ( x) 在开区间 ( a, b) 内可导 5. 可导与连续的关系: 如果函数 y ? f ( x) 在点 x0 处可导, 那么函数 y ? f ( x) 在点 x0
王新敞
奎屯 新疆

处连续,反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件,而不是充分条 件.

6. 求函数 y ? f ( x) 的导数的一般步骤:

?1? 求函数的改变量 ?y ? ? 2 ? 求平均变化率 ?x ? ? 3? 取极限,得导数 y? ?
?y

f ( x ? ?x) ? f ( x)

f ( x ? ?x) ? f ( x) ; ?x
f ?( x) ? lim

?x ?0

?y ?x

7. 几种常见函数的导数: C ' ? 0 ( C 为常数);

( x n )' ? nxn?1 ( n ? Q );
(sin x)' ? cos x ;
(cos x)' ? ? sin x ;

(ln x)? ?

1 ; x

2

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(log a x)? ?

1 log a e , x

(e x )? ? e x ;

(a x )? ? a x ln a
8. 求导法则: 法则 1 [u( x) ? v( x)]? ? u?( x) ? v?( x) . 法则 2 [u( x)v( x)]? ? u?( x)v( x) ? u( x)v?( x) , [Cu( x)]? ? Cu '( x)

? u ? u ' v ? uv ' 法则 3 : ? ? ? (v ? 0) v2 ?v?
9. 复合函数的导数: (理科)设函数 u ? ? ( x) 在点 x 处有导数 u?x ? ? ?( x) ,函数 y ? f (u ) 在点 x 的对应点 u 处有导数 y?u ? f ? ?u ? ,则复合函数 y ? f (? ( x)) 在点 x

'

处也有导数,且 y' x ? y'u ?u' x 或 f ?x (? ( x)) ? f ?(u) ? ??( x) 量的导数,乘以中间变量对自变量的导数
王新敞
奎屯 新疆

10. 复合函数的求导法则: (理科)复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变
11. 复合函数求导的基本步骤是:分解——求导——相乘——回代

12. 导 数 的 几 何 意义 : 是 曲线 y ? f ( x) 在 点 ( x0 , f ( x0 ) ) 处 的 切 线 的斜 率 ,即

k ? f ?( x0 ) ,
要注意“过点 A 的曲线的切线方程”与“在点 A 处的切线方程”是不尽相同的, 后者 A 必为切点,前者未必是切点.

二、题型探究: 探究 1:导数的概念
题型 1.用导数的定义求函数在某一点处的导函数值。

lim ?1? 已知 △ x ?0

f ( x0 ? 2△x) ? f ( x0 ) ? 1 ,求 f ?( x0 ) 3△x f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) 2h

? 2 ? 设函数 f ( x) 在点 x0 处可导,求 lim h ?0 ? 3? 已知 f (3) ? 2, f ?(3) ? ?2 ,则 lim x ?3

2 x ? 3 f ( x) 的值为 x?3

3

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A. 0

B. ?4

C. 8

D. 不存在

题型 2.导数的几何意义 例 2:已知曲线 . (1)、求曲线在点 P(2,4)处的方程; (2) 、求曲线过点 P(2,4)的方程; (3) 、求斜率为 1 的曲线的切线方程。 探究 2:导数的运算: 题型 1:求导运算 例 4:求下列函数的导数

? ?n1 l ? ?, x ? 0x ? ? (1) 、 f (x ) ?? 0 , 0x ? ?1 ? n i s , 2 x 0x ? ?x
(2) 、 f ( x) ? e x c o s

x

(3)、 f ( x) ? x 2 ? tan x

三、方法提升 1、 用定义求导数的步骤 (1) 求函数的改变量 ; (2) :求平均变化率 (3) 、取极限

(2) 导数物理意义与几何意义 (3) 求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则; (4) 求切线方程时已知点是否切点至关重要。 五、课时作业 一、选择题 ( 06 江西)对于 R 上可导的任意函数 f ( x ) ,若满足 ? x ?1? f ?( x) ≥ 0 ,则必有 1、

A. f (0) ? f (2) ? 2 f ?1? C. f (0) ? f (2) ≥ 2 f ?1?

B. f (0) ? f (2) ≤ 2 f ?1?

D. f (0) ? f (2) ? 2 f ?1?

4

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2、设函数 f ( x ) , g ( x) 在 ? a, b? 上均可导,且 f ?( x) ? g?( x) ,则当 a ? x ? b 时,有

A. f ( x) ? g ( x) C . f ( x) ? g ( a ) ? g ( x ) ? f ( a )

B. f ( x) ? g ( x)

D. f ( x) ? g (b) ? g ( x) ? f (b)

3、 f ( x ) 的导函数 y ? f ?( x) 的图象如图所示,则 y ? f ( x) 的图象最有可能的是

4、

f0 ( x) ? sin x , f1 ( x) ? f0 ?( x) , f2 ( x) ? f1?( x) ,?, fn?1 ( x) ? f n ?( x) ,n ? N ,


A. sin x

B. ? sin x

C. cos x

D. ? cos x

5、若曲线 y ? x4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为

A. 4 x ? y ? 3 ? 0 ; B. x ? 4 y ? 5 ? 0 ; C. 4 x ? y ? 3 ? 0 ; D. x ? 4 y ? 3 ? 0

2 6、曲线 y ? e 2 在点 4, e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为

1

x

?

?

A.

9 2 e 2

B. 4e 2

C. 2e 2

D. e2

二、填空题: ( 07 届高三皖南八校联考)已知 f ( x) ? x ? 2 xf ?(2) ,则 f ?(2) ? 7、
2

5

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8、已知 f ( x) ? xe

1?cos x

,则 f ?( x) ?

三、解答题: 9、求下列函数的导数:

?1?

y ? ?1 ? sin x ? ;
2

? 2? y ?
? 4? y ?

1 1 ? x2



? 3? y ? ln

x2 ? 1 ;

ex ? 1 ; ex ?1

? 5? y ? sin 2 ? ? 2x ?
?

??

?; 3?

? 6 ? y ? ex ? ln x ?8? y ? ? x 2 ? 1? ? sin x ? x ? cos x

? 7 ? y ? 1 ? cos x ;
10 设

sin x

,点 P(t,0)是函数 与函数的图象的一个公共点,两函数的图象在点 P

处有相同的切线。 (1) 用 t 表示 a,b,c; (2) 若函数在(-1,3)上单调递减,求 t 的取值范围。 ( 湖 北 文 ) 已 知 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 在 点 M (1,f (1)) 处 的 切 线 方 程 是 11 、

y?

1 x ? 2 ,求 f (1) ? f ?(1) ? 2

3 2 (天津)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值. 12、

?1? 讨论 f (1) 和 f (?1) 函数的 f ( x) 的极大值还是极小值; ? 2 ? 过点 A(0,16) 作曲线 y ?
f ( x) 的切线,求此切线方程.

6


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