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强烈推荐 高一数学竞赛培训 2(精华打印版)


赋妄想以有形

高中思维训练班《高一数学》
第 1 讲-----集合与函数(上) 『本讲要点』:复杂的集合关系与运算、函数定义的深化 『重点掌握』:函数的迭代 2 1.定义 M 与 P 的差集为 M-P={x | x∈M 且 x 不∈P} ,若 A={y | y=x }B={x | -3≤x≤3} ,再定义 M△N = (M-N)∪(N-M) ,求

A△B 2.集合 A= {1,2,3} 中,任意取出一个非空子集 ,计算它的各元素之和 .则所有非空子集的元素之和是 ________ 3. 已 知 集 合 .若 A= {1,2,3,?, n} ,则所有子集的元素之和是 .

A ? {a1 , a2 , a3 , a4 }

,

2 2 2 B ? {a12 , a2 , a3 , a4 }

,其中

a1 ? a2 ? a3 ? a4

,并且都是正整数.若

A ? B ? {a1 , a4 } , a1 ? a4 ? 10 .且 A ? B 中的所有元素之和为 124,求集合 A、B.
*4. 函数 f ( n) ? ?

n ? 1000 ?n ? 3 ,求 f (84) (本讲重点迭代法) ? f ( f (n ? 5)), n ? 1000
n个

5. 练习:定义: f n ( x ) ? f ( f (? f ( x )?)), n ? N * .已知 f (x) 是一次函数.当 f 10 ( x) ? 1024 x ? 1023 .求 f (x) ??????? 的解析式.(本讲重点迭代法) *6.设 f(x)定义在正整数集上,且 f(1)=1,f(x+y)=f(x)+f(y)+xy。求 f(x) (本讲重点顺序拼凑法) 『课后作业』: 7. 当 n≥10 时,f(n)=n-3;当 n<10 时,f(n)=f[f(n+5)] .求 f(7)(本讲重点迭代法) *8. 已知 f(1)= 拼凑法) 9.求集合 A = {1,2,3,?,10} 所有非空子集的元素之和 10.已知不等式 ax +bx+c>0,的解集是{x|m<x<n},m>0,求不等式 cx +bx+a<0 的解集 作业答案:7.8,8.1/n2+3n+1,9.略,10. x<1/n 或 x>1/m 答案: 1. 【解】 A{x|x≥0} B={x|-3≤x≤3} A-B={x|x>3} B-A={x|-3≤x<0} B={x|-3≤x<0 或 x>3}
n
2 2

1 1 且当 n>1 时有 f ( n) 5

1 =2(n+1)。求 f(n) (n∈N+)(本讲重点顺序 f ( n ? 1)

A△

2. 【解】 〖分析〗已知 {1,2,?, n} 的所有的子集共有 2 个.而对于 ?i ?{1,2, ?, n} ,显然 {1,2,?, n} 中包含

i 的子集与集合 {1,2,?, i ? 1, i ? 1,?, n} 的子集个数相等.这就说明 i 在集合 {1,2,?, n} 的所有子集中一共
出现 2
n?1

次 , 即 对 所 有 的 i 求 和 , 可 得 S n ? 2 n?1 (

? i).
i ?1

n

集 合 {1,2,?, n} 的 所 有 子 集 的 元 素 之 和 为

2 n?1 (1 ? 2 ? ? ? n) ? 2 n?1 ?
= n ? (n ? 1) ? 2 .
n?1

n(n ? 1) 2

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3. 【解】?

a1 ? a2 ? a3 ? a4

,且 A ? B ? {a1 , a4 } ,? a1 ? a1 ,又 a1 ? N ,所以 a1 ? 1.
2
2

2 a ? a4 . 又 a1 ? a4 ? 10 ,可得 a4 ? 9 ,并且 a2 ? a4 或 3 2 1 ? 3 ? a3 ? 9 ? a3 ? 81 ? 124 , a ? 5 a3 ? ?6 若 a2 ? 9 ,即 a2 ? 3 ,则有 解得 3 或 (舍)
2

此时有 A ? {1,3,5,9}, B ? {1,9,25,81}. 若
2 a3 ? 9

,即

a3 ? 3

,此时应有 a2 ? 2 ,则 A ? B 中的所有元素之和为 100 ? 124.不合题意.

综上可得, A ? {1,3,5,9}, B ? {1,9,25,81}. 5【解】

解:设 f(x)=ax+b (a≠0),记 f{f[f?f(x)]}=fn(x),则 n次 f2(x)=f[f(x)]=a(ax+b)+b=a2x+b(a+1) f3(x)=f{f[f(x)]}=a[a2x+b(a+1)]+b=a3x+b(a2+a+1) 依次类推有:f10(x)=a10x+b(a9+a8+?+a+1)=a10x+ 由题设知: a10=1024 且

b(1 ? a10 ) 1? a

b(1 ? a10 ) =1023 1? a

∴a=2,b=1 或 a=-2,b=-3 ∴f(x)=2x+1 或 f(x)=-2x-3
8. 解:令 y=1,得 f(x+1)=f(x)+x+1

再依次令 x=1,2,?,n-1,有 f(2)=f(1)+2 f(3)=f(2)+3 ?? f(n-1)=f(n-2)+(n-1) f(n)=f(n-1)+n 依次代入,得 f(n)=f(1)+2+3+?+(n-1)+n=

n( n ? 1) 2

∴f(x)=

x ( x ? 1) 2

(x∈N+)

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高中思维训练班《高一数学》
第 2 讲-----函数(下) 『本讲要点』 :1.单调函数不等式的解法 问题 2.根据抽象的函数条件拼凑出特定值的方法 3.抽象函数的周期

*1 例 f(x)在 x>0 上为增函数,且 f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) .求:

x y

(1) f (1) 的值. (2)若 f (6) ? 1 ,解不等式 f ( x ? 3) ? f ( ) ? 2 2 例 f(x)对任意实数 x 与 y 都有 f(x) + f(y) = f(x+y) + 2,当 x>0 时,f(x)>2 第一节 求证:f(x)在 R 上是增函数 第二节 若 f(1)=5/2,解不等式 f(2a-3) < 3 3 练 f(x)是定义在 x>0 的函数,且 f(xy) = f(x) + f(y);当 x>1 时有 f(x)<0;f(3) = -1. 第三节 求 f(1)和 f(1/9)的值 第四节 证明 f(x)在 x>1 上是增函数 第五节 在 x > 1 上,若不等式 f(x) + f(2-x) < 2 成立,求 x 的取值范围 4 例几个关于周期的常见的规律:

1 x

f ( x ? a ) ? f ( x) f ( x ? a ) ? ? f ( x )

f ( x ? a) ?

1 f ( x)

f ( x ? a) ? ?

1 f ( x)

5 练习:f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x-2) = -f(x),以下结论正确的是(多选):______________ A.f(2) = 0 B.f(x) = f(x+4) C.f(x)的图象关于直线 x=0 对称 D.f(x+2) = f(-x) 『课后作业』: 6 定义在 x>0 上,当 x>1 时,f(x)>0;对任意的正实数 x 和 y 都有 f(xy) = f(x) + f(y). 第六节 证明 f(x)在 x>0 上为增函数 第七节 若 f(5) = 1,解不等式 f(x+1) – f(2x) > 2 *7 已知函数 f(x)对任意实数 x,都有 f(x+m)=-

1 ? f (x) ,求证 f(x)是周期函数 1 ? f (x)

7. 当 n≥10 时,f(n)=n-3;当 n<10 时,f(n)=f[f(n+5)] .求 f(7)(本讲重点迭代法) *8. 已知 f(1)= 拼凑法) 9.求集合 A = {1,2,3,?,10} 所有非空子集的元素之和 10.已知不等式 ax +bx+c>0,的解集是{x|m<x<n},m>0,求不等式 cx +bx+a<0 的解集 第 3 页(共 27 页)
2 2

1 1 且当 n>1 时有 f ( n) 5

1 =2(n+1)。求 f(n) (n∈N+)(本讲重点顺序 f ( n ? 1)

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作业答案:6. 0<x<1/49

7.周期 T=4m

7. 当 n≥10 时,f(n)=n-3;当 n<10 时,f(n)=f[f(n+5)] .求 f(7)(本讲重点迭代法)

*8. 已知 f(1)= 拼凑法)

1 1 且当 n>1 时有 f ( n) 5

1 =2(n+1)。求 f(n) (n∈N+)(本讲重点顺序 f ( n ? 1)

9.求集合 A = {1,2,3,?,10} 所有非空子集的元素之和

10.已知不等式 ax +bx+c>0,的解集是{x|m<x<n},m>0,求不等式 cx +bx+a<0 的解集

2

2

『上讲课后作业回顾』:化学 5.有 4.0 克+2 价金属的氧化物与足量的稀盐酸反应后,完全转化为氯化物,测得氯化物的质量为 9.5 克, 通过计算指出该金属的名称。(差量法) 第 4 页(共 27 页)

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6.取 100 克胆矾,需加入多少克水才能配成溶质质量分数为 40%的硫酸铜溶液?( 十字交叉法)

高中思维训练班《高一数学》
第 3 讲-----函数的周期专题(下)、简单的函数对称问题 『本讲要点』:函数的周期和对称问题一直是高考的难点,本讲对此进行专题性讲解 『重点掌握』:凑 f(x)法计算函数的周期 『需要的知识背景』:函数的奇偶性,一次函数、二次函数 1 例已知 f(x)是定义在 R 上的函数,满足 f(x+1)= - f(x) (1)证明:f(x)是周期函数,并求最小正周期 (2)当 x∈[0,1)时,f(x)=x ,求在 [-1,0)上的解析式 (T=2 ,已求好) (f(x)=-x -1 ,已求好)

**2 例 f(x)图像满足下列条件,试证明 f(x)为周期函数 (1)关于 x=a, x=b 对称. (2)关于(a,0), (b,0)对称.

(3)关于(a,0), x=b 对

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称.

*3 练对函数 f(x),当 x∈(-∞,+∞)时,f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),证明函数 y=f(x) 为周期函数,并求出最小正周期 f(x)=f(4-x)=f(14-x) f(x)=f(x+10) T=10

推广该题, 对任意不相等的两个实数 a,b,如果对任意 x 满足 f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x), 则该函数是以 2(b-a)为周期的周期函数,证明同上面类似 4 例设 f(x)和 g(x)均为周期函数, f(x)的周期为 2, g(x)的周期为 3, 问:f(x)±g(x), f(x)g(x) 是否是周期函数?若是,求出它们的周期? f(x)的周期为 2,--->f(x+2m)=f(x) g(x)的周期为 3,--->g(x+3n)=g(x) 2 与 3 的最小公倍数是 6,--->f(x+6s)=f(x),g(x+6s)=g(x) f(x+6s)±g(x+6s)=f(x)±g(x)---->f(x)±g(x)是周期为 6 的周期函数; f(x+6s)g(x+6s)=f(x)g(x)-------->f(x)g(x)也是周期为 6 的周期函数。
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高中思维训练班《高一数学》
第 4 讲----- 函数的对称专题(下) 第 5 讲----- 对称与周期的关系 『本讲要点』:较复杂的对称与周期、函数的对称与周期之间的关系
知识点 1:两个函数的图象对称性 性质 1: y ? f (x) 与 y ? ? f (x) 关于 x 轴对称。 换种说法: y ? f (x) 与 y ? g (x) 若满足 f ( x) ? ? g ( x) ,即它们关于 y ? 0 对称。 性质 2: y ? f (x) 与 y ? f (? x) 关于 Y 轴对称。 换种说法: y ? f (x) 与 y ? g (x) 若满足 f ( x) ? g (? x) ,即它们关于 x ? 0 对称。 性质 3: y ? f (x) 与 y ? f (2a ? x) 关于直线 x ? a 对称。 换种说法: y ? f (x) 与 y ? g (x) 若满足 f ( x) ? g (2a ? x) ,即它们关于 x ? a 对称。 性质 4: y ? f (x) 与 y ? 2a ? f ( x) 关于直线 y ? a 对称。 换种说法: y ? f (x) 与 y ? g (x) 若满足 f ( x) ? g ( x) ? 2a ,即它们关于 y ? a 对称。 性质 5: y ? f ( x)与y ? 2b ? f (2a ? x) 关于点 (a, b) 对称。 换种说法: y ? f (x) 与 y ? g (x) 若满足 f ( x) ? g (2a ? x) ? 2b ,即它们关于点 (a, b) 对称。 性质 6: y ? f (a ? x) 与 y ? ( x ? b) 关于直线 x ? 知识点 2:单个函数的对称性 性质 1:函数 y ? f ( x) 满足 f (a ? x) ? f (b ? x) 时,函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 第 7 页(共 27 页)

a?b 对称。 2
a?b 对称。 2

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证明:

性质 2:函数 y ? f ( x) 满足 f (a ? x) ? f (b ? x) ? c 时,函数 y ? f ( x) 的图象关于点( 证明:

a?b c , )对称。 2 2

性质 3:函数 y ? f (a ? x) 的图象与 y ? f (b ? x) 的图象关于直线 x ? 证明:

b?a 对称。 2

知识点 3:对称性和周期性之间的联系 性质 1:函数 y ? f ( x) 满足 f (a ? x) ? f (a ? x) , f (b ? x) ? f (b ? x) (a ? b) ,求证:函数 y ? f ( x) 是周期 函数。 证明:

性质 2:函数 y ? f ( x) 满足 f (a ? x) ? f (a ? x) ? c 和 f (b ? x) ? f (b ? x) ? c (a ? b) 时,函数 y ? f ( x) 是周

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期函数。 (函数 y ? f ( x) 图象有两个对称中心(a, 中心距离的两倍,是函数的一个周期) 证明:

c c )(b, )时,函数 y ? f ( x) 是周期函数,且对称 、 2 2

性质 3:函数 y ? f ( x) 有一个对称中心(a,c)和一个对称轴 x ? b (a≠b)时,该函数也是周期函数,且 一个周期是 4(b ? a) 。 证明:

推论:若定义在 R 上的函数 f (x) 的图象关于直线 x ? a 和点 (b,0) (a ? b) 对称,则 f (x) 是周期 函数, 4(b ? a) 是它的一个周期
证明:

性质 4: 若函数 f ( x) 对定义域内的任意 x 满足:f ( x ? a) ? f ( x ? a) ,则 2a 为函数 f ( x) 的周期。 f ( x) (若 满足 f ( x ? a) ? f ( x ? a) 则 f ( x) 的图象以 x ? a 为图象的对称轴,应注意二者的区别) 证明:

性质 5: 已知函数 y ? f ?x ? 对任意实数 x ,都有 f ?a ? x ? ? f ?x ? ? b , y ? f ?x ? 是以 2a 为周期的函数 则 第 9 页(共 27 页)

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证明:

『例题与习题』:
1 例(2005 高考?福建理) f ( x) 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,且 f (2) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 在区 间(0,6)内解的个数的最小值是( A.3 B.4 ) C.5 D.7

*2 例

f ( x) 的定义域是 R ,且 f ( x ? 2)[1 ? f ( x)] ? 1 ? f ( x) ,若 f (0) ? 2008 . 求 f(2008)的值。

3



函 数 f ? x ? 对 于 任 意 实 数 x 满 足 条 件 f ? x ? 2? ?

1 , , 若 f ?1? ? ? 5 则 f ? x?

f ? f ? 5 ? ? ? _______________。
解 : 由

f ? x ? 2? ?

1 1 ? f ( x) , 所 以 f ( 5? )f 得 f ? x ? 4? ? f ? x ? 2? f ? x?
1 1 ?? f (?1 ? 2) 5

, ?(? 1 ) 则 5

f ? f ? 5 ? ? ? f (?5) ? f (?1) ?

*4例

0 若函数 f (x) 在 R 上是奇函数,且在 ?? 1,? 上是增函数,且 f ( x ? 2) ? ? f ( x) .
①求 f (x) 的周期; 第 10 页(共 27 页)

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②证明 f (x) 的图象关于点 (2k ,0) 中心对称;关于直线 x ? 2k ? 1 轴对称, (k ? Z ) ; ③讨论 f (x) 在 (1, 2) 上的单调性;

解: ①由已知 f ( x) ? ? f ( x ? 2) ? f ( x ? 2 ? 2) ? f ( x ? 4) ,故周期 T ? 4 . ②设 P( x, y ) 是图象上任意一点,则 y ? f ( x) ,且 P 关于点 (2k ,0) 对称的点为 P (4k ? x, ? y ) .P关于直 1 线 x ? 2k ? 1 对称的点为 P (4k ? 2 ? x, y) 2 ∵ f (4k ? x) ? f (? x) ? ? f ( x) ? ? y ,∴点 P 在图象上,图象关于点 (2k ,0) 对称. 1 又 f ( x) 是奇函数, f ( x ? 2) ? ? f ( x) ? f (? x) ∴ f (4k ? 2 ? x) ? f (2 ? x) ? f ( x) ? y ∴点 P2 在图象上,图象关于直线 x ? 2k ? 1 对称. ③设 1 ? x1 ? x2 ? 2 ,则 ?2 ? ? x2 ? ? x1 ? ?1 , 0 ? 2 ? x2 ? 2 ? x1 ? 1 ∵ f ( x) 在 (?1,0) 上递增, ∴ f (2 ? x1 ) ? f (2 ? x2 ) ??(*) 又 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ? f (? x) ∴ f (2 ? x1 ) ? f ( x1 ) , f (2 ? x2 ) ? f ( x2 ) .

所以: f ( x2 ) ? f ( x1 ) , f ( x) 在 (1, 2) 上是减函数.

5 例 已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的周期函数,周期 T ? 5 ,函数 y ? f ( x) (?1 ? x ? 1) 是奇函数.又 知 y ? f ( x) 在 [0,1] 上是一次函数,在 [1, 4] 上是二次函数,且在 x ? 2 时函数取得最小值 ?5 . (1)证明: f (1) ? f (4) ? 0 ; (2)求 y ? f ( x), x ?[1, 4] 的解析式; **(3)求 y ? f ( x) 在 [4,9] 上的解析式. 解:∵ f ( x) 是以 5 为周期的周期函数,且在 [?1,1] 上是奇函数,∴ f (1) ? ? f (?1) ? ? f (5 ? 1) ? ? f (4) ,

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赋妄想以有形

∴ f (1) ? f (4) ? 0 .

②当 x ? [1, 4] 时,由题意可设 f ( x) ? a( x ? 2) ? 5 (a ? 0) ,
2

由 f (1) ? f (4) ? 0 得 a(1 ? 2) ? 5 ? a(4 ? 2) ? 5 ? 0 ,∴ a ? 2 ,
2 2

∴ f ( x) ? 2( x ? 2) ? 5(1 ? x ? 4) .
2

③∵ y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数,∴ f (0) ? 0 , 又知 y ? f ( x) 在 [0,1] 上是一次函数,∴可设 f ( x) ? kx(0 ? x ? 1) 而 f (1) ? 2(1 ? 2) ? 5 ? ?3 ,
2

∴ k ? ?3 ,∴当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? ?3x , 从而 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) ? ? f (? x) ? ?3x ,故 ?1 ? x ? 1 时, f ( x) ? ?3x . ∴当 4 ? x ? 6 时,有 ?1 ? x ? 5 ? 1 ,∴ f ( x) ? f ( x ? 5) ? ?3( x ? 5) ? ?3x ? 15 . 当 6 ? x ? 9 时, 1 ? x ? 5 ? 4 , ∴ f ( x) ? f ( x ? 5) ? 2[( x ? 5) ? 2] ? 5 ? 2( x ? 7) ? 5
2 2

∴ f ( x) ? ?

??3 x ? 15,

4? x?6 6? x?9

2 ?2( x ? 7) ? 5,

.

『课后作业』: 6 练 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,则 f (6) 的值为( (A)-1 (B) 0 (C) 1 (D)2 B )

解:因为 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数 所以 f (0) ? 0 ,又 f ( x ? 4) ? ? f ( x ? 2) ? f ( x) ,故函数, f ( x) 的周期为 4 所以 f (6) ? f (2) ? ? f (0) ? 0 ,选 B
第 12 页(共 27 页)

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7 练定义在 R 上的非常数函数满足:f (10+x)为偶函数,且 f (5-x) = f (5+x),则 f (x)一定是 ( A ) (第十二届高中数学希望杯 第二题) (B)是偶函数,但不是周期函数 (D)是奇函数,但不是周期函数

(A)是偶函数,也是周期函数 (C)是奇函数,也是周期函数

解:∵f (10+x)为偶函数,∴f (10+x) = f (10-x). ∴f (x)有两条对称轴 x = 5 与 x =10 , 因此 f (x)是以 10 为其一个周期的周期函数, ∴x =0 即 y 轴也是 f (x)的对称轴,因此 f (x)还是一个偶函数。 故选(A)

8 练设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, f(x+2)= -f(x),当 0≤x≤1 时, (x) = x, f (7.5 ) 且 f 则 = (B ) (A) 0.5 (B) -0.5 (C) 1.5 (D) -1.5

解:∵y = f (x)是定义在 R 上的奇函数,∴点(0,0)是其对称中心; 又∵f (x+2 )= -f (x) = f (-x),即 f (1+ x) = f (1-x), ∴直线 x = 1 是 y = f (x) 对称轴,故 y = f (x)是周期为 2 的周期函数。 ∴f (7.5 ) = f (8-0.5 ) = f (-0.5 ) = -f (0.5 ) =-0.5 故选(B)

高中思维训练班《高一数学》
第 6 讲-----归纳总结,作业回顾 物理**5 例如图 1 一 8 所示, 有两根不可伸长的 柔软的轻绳,长度分别为 l1 和 l 2 ,它们的下端 第 13 页(共 27 页)

赋妄想以有形

在 C 点相连接并悬挂一质量为 m 的重物,上端分别与质量可忽略的小圆环 A、B 相连,圆环套在圆形水平 横杆上.A、B 可在横杆上滑动,它们与横杆间的动摩擦因数分别为μ 1 和μ 2,且 l1 ? l2 。试求μ 1 和μ 2 在 各种取值情况下,此系统处于静态平衡时两环之间的距离 AB。

\

物理 6 作业 A 跳伞运动员打开伞后经过一段时间,将在空中保持匀速降落,已知运动员和他身上装备的总重 量为 G1,圆顶形降落伞伞面的重量为 G2,有 12 条相同的拉线(拉线重量不计),均匀分布在伞面边缘上, 每根拉线和竖直方向都成 30°角。则每根拉线上的张力大小为:(答案在本页最下 边)

A、

3G1 18

B、

3 (G1 ? G2 ) 18

C、

G1 ? G2 12

D、

G1 6

物理 7 作业如图 2—7 所示,AO 是质量为 m 的均匀细杆,可绕 O 轴在竖直平面内 第 14 页(共 27 页)

赋妄想以有形

自动转动。细杆上的 P 点与放在水平桌面上的圆柱体接触,圆柱体靠在竖直的挡板上而保持平衡,已知杆
1 的倾角为 θ ,AP 长度是杆长的 ,各处的摩擦都不计,则挡板对圆柱体的作用力等于 4 在本页最下边)

。(答案

化学*5 作业三氟化溴溶于水可发生如下反应:

BrF3



H2O ? ??

HBrO3+

Br2+

HF+

O2↑ (1)其中发生自身氧化还原反应的物质是____________; (2)当有 5.0 mol 水参加反应时,由水还原的 BrF3 的物质的量为____________,由 BrF3 还原的 BrF3 的 物质的量为____________; (3)当有 5.0 mol 水作还原剂参加化学反应时,由水还原的 BrF3 的物质的量为____________,由 BrF3 还原的 BrF3 的物质的量为____________; (4)当有 5.0 mol 水未参加氧化还原反应时, 由水还原的 BrF3 的物质的量为____________, BrF3 还原 由 的 BrF3 的物质的量为____________。 答案:(1)BrF3 (2)1.3 mol 0.67 mol (3)3.3 mol 1.7 mol(或 1.8 mol) (4)2.2 mol 1.1 mol

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高中思维训练班《高一数学》
第 6 讲-----第一阶段考试(数学) 满分:150 分 时间:120 分钟 姓名 分数

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题只有一项是符合要求的) 1、 已知集合 A= x y ? x , x ? Z ,B= y y ? x , x ? Z ,则 A 与 B 的关系是
2 2

?

?

?

?

A

A? B

B

B? A

C

B? A

D

A? B ? ?

2、设全集 U ={1,2,3,4,5}, A ? CU B ? ?1, 2? ,则集合 CU A ? B 的子集个数最多为 A. 3 B. 4 C. 7 D. 8

3、设 A={ x | 0 ? x ? 2 }, B={ y | 0 ? y ? 2 }, 下列各图中能表示从集合 A 到集合 B 的映射是

3 2 1 0

y

3 2 1
1 2 3 A. x

y
3 2 1

y

3 2 1

y

0

1 2 3 B.

x

0

1 2 3 C.

x

0

1 2 3 D.

x

4、已知函数 f ( x) ? ax ? x ? c ,且 f ( x) ? 0 的解集为(-2,1)则函数 y ? f (? x) 的图象为
2

1 ? ?x ? , x ? A ? 1? ?1 ? 2 5、设集合 A= ? 0, ? , B= ? ,1? , 函数 f(x)= ? 若 x 0 ? A , 且 f [ f (x 0 )] ? A ,则 x 0 的取值范 ? 2? ?2 ? ?2 ?1 ? x ? , x ? B, ?
围是( )

A. ? 0, ? 4

? ?

1? ?

B. ? , ? 4 2 B. 2

? 1 1? ? ?

C. ? , ? C. 3

?1 1? ?4 2?

D. ? 0, ? 8 D. 4

? 3? ? ?

A.

1

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赋妄想以有形

6、若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数” , 那么函数解析式为 y ? 2 x ? 1,值域为{1,7}的“孪生函数”共有
2





A.10 个 7、函数 y ?

B.9 个

C.8 个

D.4 个 ( )

1 ? x2 是 x ?1 ? x ? 2
B.偶函数 C.非奇非偶函数

A.奇函数

D.是奇函数又是偶函数

8、已知 y = f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, 且在( 0 , + ? )上是减函数,如果 x1 < 0 , x2 > 0 , 且| x1 | < | x2 | , 则有( ) A.f (-x1 ) + f (-x2 ) > 0 B. f ( x1 ) + f ( x2 ) < 0 C. f (-x1 ) -f (-x2 ) > 0 D. f ( x1 ) -f ( x2 ) < 0 9、设函数 f ( x) ? (A). 1

?

x 2 ? bx ? c, x ? 0, 若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于 x 的方程 f ( x) ? x 的解的个数为 2, x ? 0.
(B)2 (C)3 (D)4 ( )

10、一水池有 2 个进水口,1 个出水口,进出水速度如图甲、乙所示. 某天 0 点到 6 点,该水池的蓄水量 如图丙所示.(至少打开一个水口)

给出以下 3 个论断:①0 点到 3 点只进水不出水;C②3 点到 4 点不进水只出水;③4 点到 6 点不进水不 出水. 则正确论断的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题:本答题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上。
2 11、 f + 上的减函数, 设 (x) 是定义在 (0, ?) 那么 f (2) f 与 (a +2a+2) 的大小关系是___________________

12、满足条件{0,1}∪A={0,1}的所有集合 A 的个数是



1   ? 0) (x 13、已知 f ( x ) ? ? ,则不等式 x ? ( x ? 1) f ( x ? 1) ? 5 的解集是 ? (x ? ?1   ? 0)

14、 如果函数 f ? x ? 满足:对任意实数 a, b 都有 f ? a ? b ? ? f ? a ? f ? b ? ,且 f ?1? ? 1 ,则:

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赋妄想以有形

f ? 2? f ?1?

?

f ? 2?

f ? 3?

?

f ? 4? f ? 3?

?

f ? 4?

f ?5?

?…?

f ? 2010 ?

f ? 2011?

? ______________

15、已知 f ( x) ? ?

( x ? 9) ?x ? 3 , 则f (7) ? ? f [ f ( x ? 4)]( x ? 9)

三、解答题: (满分 75 分,要求写出详细的解题过程) 16、 (满分 12 分)设 A={x∈Z| ? 6 ? x ? 6} , B ? ?1, 2,3? , C ? ?3, 4,5, 6? ,求: (1) A ? ( B ? C ) ; (2) A ? C A ( B ? C )

17、 (满分 12 分)若集合 M ? x | x ? x ? 6 ? 0 , N ? x | x ? x ? a ? 0 ,且 N ? M ,求实数 a 的值。
2 2

?

?

?

?

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赋妄想以有形

18、 (满分 12 分)设 f ( x) ? ax ? (b ? 8) x ? a ? ab, 不等式f ( x) ? 0 的解集是(-3,2).
2

(1)求 f(x) ; (2)当函数 f(x)的定义域是[0,1]时,求函数 f(x)的值域.

?? x 2 ? 2 x( x ? 0) ? 19、 (满分 12 分)已知奇函数 f ( x) ? ?0 ( x ? 0) ? x 2 ? mx( x ? 0) ?
(1)求实数 m 的值,并在给出的直角坐标系中画出 y ? f ( x) 的图象; (2)若函数 f(x)在区间[-1,|a|-2]上单调递增,试确定 a 的取值范围.

第 19 页(共 27 页)

赋妄想以有形

20、 (满分 13 分)某民营企业生产 A,B 两种产品,根据市场调查和预测,A 产品的利润与投资成正比,其 关系如图 1,B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图 2(注:利润与投资单位是万元) (1)分别将 A,B 两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式。 (2)该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A,B 两种产品的生产,问:怎样分配这 10 万元投资, 才能是企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元。 (精确到 1 万元) 。

第 20 页(共 27 页)

赋妄想以有形

21、 (满分 14 分) 若非零函数 f (x) 对任意实数 a, b 均有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) , 且当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ; ( 1 ) 求 证 : f (x )? 0 ; 2 ) 求 证 : f (x) 为 减 函 数 ( ( 3 ) 当 f (4) ?

1 时,解不等式 16

f ( x ? 3) ? f (5 ? x 2 ) ?

1 4

第 21 页(共 27 页)

赋妄想以有形

参考答案
一、选择题:CDBDC BBCCB 12. 4 ; 13. 二、填空题:11. f(2)> f(a2+2a+2) ; 6 三、解答题:16、解:? A ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1, 0,1, 2,3, 4,5, 6? ?????2 分 (1)又? B ? C ? ?3? ? A ? ( B ? C ) ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0,1, 2,3, 4,5,6 ? ??6 分 (2)又? B ? C ? ?1, 2,3, 4,5,6 ? 得 C A ( B ? C ) ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1, 0?

2 ? ? ?,? ; 14. 2010



15.

? A ? C A ( B ? C ) ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1, 0?
17、解: A={-3, 2}

?????12 分

1 时,B= ? , B ? A 成立 ???????4 分 4 1 1 ⑵ 当△=0,即 a ? 时,B={ ? }, B ? A 不成立?????8 分 4 2 1 ⑶ 当△>0,即 a ? 时,若 B ? A 成立 则:B={-3, 2} 4
⑴ 当△<0,即 a ? ∴ a= -3x2=-6 ???????????????12 分

18、解: (1)由已知方程 f(x)=0 的两根为-3 和 2(a<0) 由韦达定理得

第 22 页(共 27 页)

赋妄想以有形

?8 ? b ? a ? ?1 ? a ? ?3 ? ?? ? ? ? a ? ab ? ?6 ?b ? 5 ? a ?
从而 f ( x) ? ?3x ? 3x ? 18 ????????????????6 分
2

(2) f ( x) ? ?3( x 2 ? x ? ) ? 18

1 3 1 3 = ? 3( x ? ) 2 ? 18 4 4 2 4 1 而 x ? [0,1] 对称轴 x ? ? , 从而 f ( x)在[0,1] 上为减函数 2
所以,当 x ? 0时, f max ( x) ? 18,当x ? 1时, f min ( x) ? 12 故所求函数 f (x) 的值域为[12,18]??????????12 分

19、 (1)当 x<0 时,-x>0, f (? x) ? ?( x) ? 2(? x) ? ? x ? 2 x
2 2

又 (x) f 为奇函数, f (? x) ? ? f ( x) ? ? x ? 2 x , ∴ ∴
2

f

( x ) = x2

+2x,∴m=2

?????4 分 ?????6 分

y=f(x)的图象如右所示

?? x 2 ? 2 x ? (2)由(1)知 f(x)= ?0 ? x2 ? 2x ?

( x ? 0) ( x ? 0) ,?8 分 ( x ? 0)
?| a | ?2 ? ?1 ?| a | ?2 ? 1

由图象可知,f ( x) 在[-1, 1]上单调递增, 要使 f ( x) 在[-1, |a|-2]上单调递增, 只需 ? ?????10 分 解之得 ?3 ? a ? ?1或1 ? a ? 3 ?????12 分

20、 (1)投资为 x 万元,A 产品的利润为 f ( x) 万元,B 产品的利润为 g ( x) 万元, 由题设 f ( x) = k1 ? x , g ( x) = k2 ? x ,.

1 1 5 5 ? k1 ? ,又 g (4) ? ? k2 ? 4 4 4 2 1 5 从而 f ( x) = x, ( x ? 0) , g ( x) = x , ( x ? 0) 4 4
由图知 f (1) ?

?????6 分

(2)设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入 10- x 万元,设企业的利润为 y 万元 Y= f ( x) + g (10 ? x) =

x 5 ( ? 10 ? x , 0 ? x ? 1 0 4 4

) ,

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赋妄想以有形

10 ? t 2 5 1 5 25 令 10 ? x ? t , 则y ? ? t ? ? (t ? ) 2 ? , (0 ? t ? 10), 4 4 4 2 16
当t ?

?当 A 产品投入 3.75 万元,B 产品投入 6.25 万元时,
企业获得最大利润约为 4 万元。 21、解: (1) f ( x) ? f ( ? ) ? f 2 ( ) ? 0 又若 f(x0)=0, 则 f(x)=f(x- x0+ x0)=f(x-x0)f(x0)=0 与已经矛盾, 故 f(x)> 0 ??????????4 分 (2)设 x1 ? x2 则 x1 ? x2 ? 0 又 ∵ f (x) 为非零函数 ?????12 分

5 25 , ymax ? 4 ,此时 x ? 10 ? =3.75 2 4

x 2

x 2

x 2

? f ( x1 ? x2 ) ?

f (x 1 ? x2 ) ? f ( x2 ) f (x 1 ? x2 ? x2 ) ? f ( x2 ) f ( x2 )

=

f ( x1 ) ? 1 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) , f ( x2 )
??????????9 分(3)由 f (4) ? f (2) ?
2

f (x) 为减函数

1 1 ,由( ) f (2) ? 原 1 ? 16 4

不等式转化为 f ( x ? 3 ? 5 ? x ) ? f (2) ,结合(2)得: x ? 2 ? x ? 2 ? 0 ? x ? 1
2

2

故不等式的解集为 ?x | 0 ? x ? 1?;

??????????14 分

高中思维训练班《高一数学》
第 8 讲-----指数与对数(一) 『本讲要点』:利用对数增减性比较大小、对数方程

1.试比较

122002 ? 1 122003 ? 1 与 的大小 122003 ? 1 122004 ? 1

解:对于两个正数的大小,作商与 1 比较是常用的方法,记 122003=a>0,则有
?a ? ? ? 1? ?12a ? 1? (a ? 12)(12a ? 1) 12a 2 ? 145a ? 12 12 ? 1 12 ? 1 ? 12 ? ?1 ? ÷ 2004 = = = 2003 12 ? 1 12 ? 1 12a 2 ? 24a ? 12 a ?1 a ?1 12(a ? 1)2
2002 2003

122002 ? 1 122003 ? 1 故得: 2003 > 12 ? 1 122004 ? 1
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赋妄想以有形

*2.已知函数 f(x)=logax (a>0,a≠1,x>0)若 x1,x2∈R+,试比较 大小





解:f(x1)+f(x2)=loga(x1x2) ∵x1,x2?R+,∴

(当且仅当 x1=x2 时,取“=”号),

当 a>1 时,有

,∴



(当且仅当 x1=x2 时,取“=”号)

当 a>1 时,有

,∴



(当且仅当 x1=x2 时,取“=”号)

*3 例.设 a、b 分别是方程 log2x + x – 5 = 0 和 2x + x – 5 = 0 的根,求 a + b 及 log2a + 2b 解:在直角坐标系内分别作出函数 y=2x 和 y =log2x 的图象,再作直线 y=x 和 y= -x+5,由于 y=2x 和 y=log2x 互为反函数,故它们的图象关于直线 y=x 对称,方程 log2x+x-5=0 的根 a 就是 直线 y= -x+5 与对数曲线 y=log2x 的交点 A 的横坐标,方程 2x+x-5=0 的根 b 就是直线 y= -x+5 与 指 数 曲 线 y = 2 x 的 交 点 B 的 横 坐 标 设 y= -x+5 与 y=x 的交点为 M,则点 M 的横坐标为(2.5,2.5), 所以 a+b=2xM=5 log2a+2b=2yM=5

4 练.设 f(x)=min(3+

,log2x),其中 min(p,q)表示 p、q 中的较小者,求 f(x)的最大值

解:易知 f(x)的定义域为(0,+无穷)
第 25 页(共 27 页)

赋妄想以有形

因为 y1=3+

在(0,+?)上是减函数,y2=log2x 在(0,+?)上是增函数,而当 y1=y2,即

3+

=log2x 时,x=4,所以由 y1=3+

和 y2=log2x 的图象可知

故当 x=4 时,得 f(x)的最大值是 2

5 例. 设 y=log1/2[a2x+2(ab)x-b2x+1](a>0,b>0),求使 y 为负值的 x 的取值范围 解:∵(1/2)<1,要使 y<0,只要 a2x+2(ab)x-b2x+1>1, 即 a2x+2(ab)x-b2x>0 →b2x[(a/b)2x+2(a/b)x-1]>0 →[(a/b)x]2+2(a/b)x-1>0 → →∵ → . ; >

1°当 a>b>0 时,a/b>1, 2°当 b>a>0 时,0<a/b<1, 3°当 a=b>0 时,x∈R

6.解方程: (1)x + log2(2x - 31) = 5 解:(1)原方程即:log22x+log2(2x-31) =5

log2[2x(2x -31)]=5

(2x)2-31?2x = 32

解得:2x=32, ∴x=5

第 26 页(共 27 页)

赋妄想以有形

*(2) 2lgx?xlg2 - 3?xlg2-21+lgx + 4 = 0 (2)原方程即:(2lgx)2-5?2lgx+4 = 0 解得:x1=100,x2=1

*7.设 a>0 且 a≠1,求证:方程 ax+a-x=2a 的根不在区间[-1,1]内 解:设 t=ax,则原方程化为:t2-2at+1=0 令 f(t)= t2-2at+1 ,f(a)=a2-2a2+1=1-a2<0 (1) 由 Delta = 4a2-4>0 得 a>1

所以 f(t)的图象与横轴有的交点的横坐标在 个实根,原方程有两实根且不在区间[-1,1]内

之外, 故方程 t2-2at+1=0 在

之外有两

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