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圆锥曲线基础综合练习题


圆锥曲线综合练习题
一、选择题 1.平面内有两定点 A、 及动点 P, B 设命题甲是: “|PA|+|PB|是定值” 命题乙是: , “点 P 的轨迹是以 A.B 为焦点的椭圆” ,那么( A.甲是乙成立的充分不必要条件 C.甲是乙成立的充要条件 )

B.甲是乙成立的必要不充分条件 D.甲是乙成立的非充分非必要条件

2.已知椭圆的两个焦点的坐标分别为 (?4,0), (4,0) ,椭圆上一点 P 到两焦点距离的和 等于 10,则椭圆的标准方程为( ) 2 2 2 2 x y y x x2 y2 ?1 ? ?1 ? ?1 A. ? B. C. 25 9 25 9 25 16 3.椭圆 5 x 2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是 (0, 2) ,那么 k 等于(
y2 x2 ? ?1 D. 16 25 )

A. ?1 B. 1 C. D. ? 5 5 2 2 4.若方程 x ? k y ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围为( ( 1 ) ( ? ( 2) ( ? A. 0, ?) B. 0, C. 1, ?) D. 0, 2 2 2 2 x y x y 5.椭圆 2 ? 2 ? 1 和 2 ? 2 ? k ?k ? 0 ? 具有相同的( ) a b a b A.离心率 B.焦点 C.顶点 D.长、短轴长 6.已知椭圆



x2 y2 ? ? 1 (a ? 5) 的两个焦点为 F1 、 F2 ,且 | F1F2 |? 8 ,弦 AB 过点 F1 , a 2 25 则 ?ABF2 的周长为( )

A.10 B.20 C.2 41 D. 4 41 2 2 x y N ? 1 上点 M 到左焦点 F1 的距离为 2, 是 MF1 的中点, ON 的值 7.椭圆 ? 则 ( ) 25 9 A.2 B.4 C.6 D.8 2 x 8.椭圆 ? y 2 ? 1 的两个焦点 F、F2 ,P 在椭圆上,若PF1 ? x轴 , PF2 的值 则 ( ) 1 4 1 3 5 7 A. B. C . D. 2 2 2 2 9. P 为椭圆短轴的一个顶点, F、F2 为焦点,若 ?F1 PF2 ? 60 ? ,则离心率 e 为( ) 1
3 3 2 1 B. C . D. 2 3 2 2 10.若椭圆的长轴长、短轴长、焦距成等差数列,则离心率 e 为(

A.



A. 11.椭圆

1 2

B.

3 2

C .

3 3

D.

3 5

x2 y2 ? 2 ? 1 的左焦点为 F1 ,右顶点为 A ,上顶点为 B ,若 ?ABF1 ? 90 ? ,则离 2 a b

心率 e 的值为( 2 A. 2

) B.
5 ?1 2

C .

1? 5 2

D.

3 2

12.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,右顶点为 A ,点 B 在椭圆上,且 a 2 b2 BF ? x轴 ,直线 AB 交 y 轴于点 P ,若 AP ? 2 PB ,则椭圆的离心率 e 为( )

A.

1 2

B.

3 2

C .

3 3

D.

2 2

x2 ? y 2 ? 1 上, F1 、 F2 分别是椭圆的两焦点,且 ?F1 PF2 ? 90 ? , 13.若点 P 在椭圆 2 则 ?F1 PF2 的面积是( )

A. 2

B. 1

C.

3 2

D.

1 2

x2 y2 ? ? 1 的焦点 F1 、F2 , 为椭圆上的一点, PF1 ? PF2 , ?F1 PF2 14.已知椭圆 P 若 则 25 9 的面积为( )

A. 8 B. 9 C . 10 D. 12 2 2 x y ? 1 的右焦点 F2 作斜率为 2 的直线 l 与椭圆交与 A、B 两点则 15.过椭圆 ? 5 4 S ? OAB 的值为( ) A.
4 3

B.

5 3

C .

5 6

D.

8 3

16.椭圆 4 x 2 ? 9 y 2 ? 144 内有一点 P(3,2)过点 P 的弦恰好以 P 为中点,那么这弦 所在直线的方程为( A. 3x ? 2 y ? 12 ? 0 C. 4 x ? 9 y ? 144 ? 0 ) B. 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 D. 9 x ? 4 y ? 144 ? 0

17.已知点 F1 (?4,0) 和 F2 (4,0) ,曲线上的动点 P 到 F1 、 F2 的距离之差为 6 ,则曲线 方程为( )
y2 x2 ? ? 1( y ? 0) B. 9 7

x2 y2 ? ?1 A. 9 7

C.

x2 y2 y2 x2 ? ? 1或 ? ?1 9 7 9 7

D.

x2 y2 ? ? 1( x ? 0) 9 7

18.双曲线的两个焦点分别为 F1 (?3,0) 、 F2 (3,0) ,一条渐近线方程为 y ? 2 x ,则双 曲线的标准方程是( ) 2 2 x y x2 y2 x2 y2 x2 y2 ?1 ?1 ? 1 D. ? ?1 A. ? B. ? C. ? 3 6 6 3 2 4 4 2 19.焦点为 ?0,6 ? ,且与双曲线 A.
x2 y2 ? ?1 12 24
x2 ? y 2 ? 1 有相同的渐近线的双曲线方程是( 2



B.

y2 x2 ? ?1 12 24

C.

y2 x2 ? ?1 24 12

D.

x2 y2 ? ?1 24 12

20.双曲线 2 x 2 ? y 2 ? m 的一个焦点是 (0, 3) ,则 m 的值是( A.
?2
2 2



B.

2

C.

5

D.

? 5
)

21.已知双曲线 A.2 22.方程

x y ? ? 1 的离心率 2,则该双曲线的实轴长为( 2 a 12 B.4 C. 2 3 D. 4 3

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是( ) 1? k 1? k A. ? 1 ? k ? 1 B. k ? 0 C. k ? 0 D. k ? 1 或 k ? ?1 2 2 x y ? ? 1表示双曲线”的( 23.若 k ? R ,则“ k ? 3 ”是“方程 ) k ?3 k ?3 A.充分不必要条件. B.必要不充分条件. C.充要条件. D.既不充分也不必要条件. 2 2 x y ? ? 1 的焦距是( 24. 双曲线 2 ) m ? 12 4 ? m 2 A.4 B. 2 2 C.8 D.与 m 有关 2 2 x y 25.若双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? o ? 的离心率为 2,则 a 的值为( ) a 3 3 A. 2 B. 3 C. D. 1 2 x2 y2 ? ? 1 左焦点 F1 的弦 AB 长为 6,则 ?ABF2 的周长是( 26.过双曲线 ) 16 9 A.28 B.22 C.14 D.12 2 2 x y ?1 上 一 点 , 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 方 程 为 27. 已 知 P 是 双 曲 线 2 ? 9 a 3x ? 2 y ? 0, F1 、F2 分别是双曲线的左、右焦点,若 | PF1 |? 3 ,则 | PF2 |? ( ) A.1 或 5 B. 6 C. 7 D. 9 2 2 x y 28.过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点且垂直于 x 轴的弦的长度为( ) a b b2 2b 2 2b b A. B. C. D. a a a a 2 2 x y 29.设双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2 ,焦距为 2 3 ,则双曲线的渐近 a b 线方程为( )

A. y ? ? 2 x

B. y ? ?2 x

C. y ? ?

2 x 2

1 D. y ? ? x 2

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,其一条渐近线方程 30.已知双曲线 2 b2 为 y ? x ,点 P ( 3 , y 0 ) 在双曲线上.则 PF1 · PF2 =( )

B. -2 C. 0 D. 4 2 2 x y 31.设 F1 、 F2 分别为双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0, b>0) 的左、右焦点.若在双曲线右支上 a b

A. -12

存在点 P ,满足 PF2 ? F1 F2 ,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双 曲线的渐近线方程为( ) A. 3x ? 4 y ? 0 B. 3x ? 5 y ? 0 C. 4 x ? 3 y ? 0 D. 5 x ? 4 y ? 0 2 2 32.已知 F1 、 F2 为双曲线 C: x ? y ? 1 的左、右焦点,点 P 在 C 上, ?F1 PF2 ? 60 ? , 则 PF1 ? PF2 的值为( ) A.2 B.4 C. 6 D. 8 2 2 33.已知 F1 、 F2 为双曲线 C: x ? y ? 1 的左、右焦点,点 P 在 C 上, ?F1 PF2 ? 60 ? , 则 P 到 x 轴的距离为( ) 3 6 A. B. C. 3 D. 6 2 2 y2 ? 1 上 的 一 点 , F1, F2 是 该 双 曲 线 的 两 个 焦 点 , 若 34. 设 P 为 双 曲 线 x 2 ? 12 | PF1 |:| PF2 |? 3: 2 ,则 △PF1 F2 的面积为( ) A. 6 3 B. 12 C. 12 3 D. 24 2 2 x y 4 35.双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线方程为 y ? x ,则双曲线的离心率为 ( ) 3 a b 5 4 5 3 A. B. C. D. 3 3 4 2 36.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线中心在原点,焦点在 y 轴上,一条渐近线方程 为 x ? 2 y ? 0 ,则它的离心率为( ) A. 5 B.
5 2

C. 3

D. 2

37.设双曲线的一个焦点为 F ,虚轴的一个端点为 B ,如果直线 FB 与该双曲线 的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( A. 2 B. 3 C. )

3 ?1 5 ?1 D. 2 2 2 2 x y 38.设 F1, F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的左、右焦点,若双曲线上 a b ? 存在点 A ,使 ?F1 AF2 ? 90 且 AF1 ? 3 AF2 ,则双曲线的离心率为( )

A. 39.双曲线

5 2

B.

10 2

C.

15 2

D. 5

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的左、右焦点分别是 F1, F2 ,过 F1 作倾斜角 a 2 b2 为 30 ? 的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,双曲线的离心率( )

A. 6 40.已知双曲线

B. 3

C. 2

D.

3 3

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60 o 的直 2 a b 线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( ) A. (1, 2] B. (1, 2) C. [2, ??) D. (2, ??)

41.已知 P 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 上的一点,F 为一个焦点,以 PF 为直径的圆与圆 a 2 b2 x 2 ? y 2 ? a 2 的位置关系是( )

A.内切

B.外切

C.内切或外切

D.相离或相交 )

42.顶点在原点,焦点在 x 轴上,且过点 P(2,4) 的抛物线方程是( A. y 2 ? 8 x B. y 2 ? ?8 x C. y 2 ? 4 x )

D. y 2 ? ?4 x

2 43.抛物线 y ? 2x 的焦点坐标是(

A. (1,0)

B. (

1 ,0) 4

1 C. (0, ) 8

D. (0, )

1 4

44. 已知 M(m,4) 是抛物线 x 2 ? ay 上的点, F 是抛物线的焦点,若 MF ? 5 ,则此 抛物线的焦点坐标是(
( ?) A. 0, 1

)
( 1 ) B. 0,

( ? C. 0, 2)

( 2) D. 0,

45.抛物线 y 2 ? ax(a ? 0) 的焦点坐标是(
a ( 0) A. , 4 a ( 0) B. ? , 4

)

a a a ( 0) 0) ( C. , 或 ( ? , D. 0, ) 4 4 4 2 2 x y ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 46.若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 ? 6 2 A. ? 2 B. 2 C. ? 4 D. 4

)

47.设抛物线的顶点在坐标原点,准线方程为 x ? ?2 ,则抛物线的方程是( A. y 2 ? ?8 x B. y 2 ? ?4 x C. y 2 ? 8 x D. y 2 ? 4 x

)

48.设抛物线 y 2 ? 8 x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是 ( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 12

49.设抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点为 F ,准线为 l , P 为抛物线上一点, PA ? l , A 为垂 足,如果直线 AF 斜率为 ? 3 ,则 PF ? ( A. 4 3 B. 8 C. 8 3 ) D. 16

50.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 作倾斜角为
| AB | 的长是

3? 的直线交抛物线于 A、B 两点,则弦 4

(

)

A. 4 2 B.4 C.8 D.2 2 51.已知 M 为抛物线 y ? 4 x 上一动点, F 为抛物线的焦点,定点 P?3 , 1? ,则 | MP | ? | MF | 的最小值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2 52.过抛物线 y ? ax ?a ? 0? 的焦点 F 作直线交抛物线于 P 、 Q 两点,若线段 PF 、

QF 的长分别是 p 、 q ,则

A. 2 a

1 1 ? =( p q 1 B. 2a

) C. 4 a D.
4 a

53.已知点 P 是抛物线 y 2 ? 4x 上一点,设点 P 到此抛物线准线的距离为 d1 ,到直线
x ? 2y ? 10 ? 0 的距离为 d 2 ,则 d1 ? d 2 的最小值是

A.5

B.4

C.

11 5 5

D.

11 5

54.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y 2 ? 16 x 的准线交于
A, B 两点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为(

) D. ?

A. 2

B. 2 2

C. ?

55.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) , 过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线与 A 、B 两点, 若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( A. x ? 1 56.已知双曲线 C1 :
8 3 y 3



B. x ? ?1

C. x ? 2

D. x ? ?2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2.若抛物线 C2 : x2 ? 2 py( p ? 0) 的 a 2 b2 焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为( )

A. x 2 ?

B. x 2 ?

16 3 y 3

C. x 2 ? 8 y

D. x 2 ? 16 y

57.已知抛物线关于 x 轴对称, 它的顶点在坐标原点 O , 并且经过点 M (2, y0 ) ,若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |? ( A. 2 2 B. 2 3 C. 4 ) D. 2 5

58.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点, O 是原点, AF ? 3 点 若 则 ?AOB 的面积为( A.
2 2

) B.
2

C.

3 2 2

D. 2 2

59.已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直, l 与 C 交于 A、B 两点,
AB ? 12 , P 为双曲线准线上一点,则 S ?ABP 的面积为(



A. 18

B. 24

C. 36

D. 48

0 60.抛物线 C 的顶点在坐标原点, 焦点为 F (1,) ,直线 l 与抛物线 C 交于 A、B , AB 若 ( 的中点为 2,2) ,则直线 l 的方程为(



A. y ? x

B. y ? 2 x

C. y ?

x 2

D. y ? ? x

2 61.已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F , A、B 为抛物线上两点,若 AF ? 3FB ,则弦 AB 中点到准线的距离为( ) 4 8 2 5 A. 3 B. 3 C. 3 D. 3

2 62.设斜率为 2 的直线过抛物线 y ? ax(a ? 0) 的焦点 F ,且和 y 轴交于 A 点, S ?OAF 若

的面积为 4,则抛物线方程为( A. y 2 ? 8 x B. y 2 ? 4 x

) C. y 2 ? ?8 x D. y 2 ? ?4 x

63.已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p>0) 的准线为 l ,过 M (1 且斜率为 3 的直线与 l 相交 ,0)
???? ???? ? 于点 A ,与 C 的一个交点为 B .若 AM ? MB ,则 p ? (



A. 2

B.4

C.6

D.8

2 64.已知抛物线 C : y ? 4 x 的焦点为 F ,直线 y ? 2 x ? 4 与 C 交于 A、B 两点,则

co s?AFB? (
4 A. 5

)
3 B. 5

C. ?

4 5

D. ?

3 5

65.已知直线 y ? k ( x ? 2)( k ? 0) 与抛物线 C: y 2 ? 8 x 相交 A、B 两点,F 为 C 的焦点, 若 FA ? 2 FB ,则 k=( A.
1 3

) C.
2 3

B.

2 3

D. 2
3

2

二、填空题 66.已知圆 x 2 ? y 2 ? 9 ,从这个圆上任意一点 P 向 x 轴作垂线段 PP1 ,点 M 在 PP1 上, 且 PM ? 2MP ,则 M 的轨迹方程_______________ 1
2 67.已知动圆 M 过定点 A(? 3, ,并且在定圆 B:(x ? 3) ? y 2 ? 64 的内部与其相 0)

内切,则动圆圆心 M 的轨迹方程_________________ 68.已知圆 C : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 25及点A(1,0), Q 为圆上一点, AQ 的垂直平分线交 CQ 于
M ,则点 M 的轨迹方程为

69.过抛物线 y 2 ? 4 x 焦点 F 的直线 l 它交于 A 、 B 两点,则弦 AB 的中点的轨迹方程 是 __________________ x2 y 2 ? 1 左焦点 F1 的直线交曲线的左支于 M,N 两点, F2 为其右焦 70.过双曲线 ? 4 3

点,则 MF2 ? NF2 ? MN 的值为______. 71.直线 y ? x ? 1 与双曲线 72.已知双曲线
x2 y2 ? ? 1 相交于 A, B 两点,则 AB =_____ 2 3

x2 y 2 ? ? 1 ,P 在右支上,且 PF1 ? 2 PF2 ,则 e 的取值范围________ a 2 b2 73.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点,若 A、B 在准线上的射影是 A2, B2,则∠A2FB2 等于 74.在平面直角坐标系 xOy 中,定点 A(2,1 ,若线段 OA 的垂直平分线过抛物线 )
y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,则该抛物线的准线方程是______________

75.已知抛物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0 ? 与直线 y ? ? x ? 1 相交于 A 、 B 两点,以弦长 AB 为 直径的圆恰好过原点,求此抛物线的方程 76.已知直线 y ? x ? b 与抛物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0 ? 相交于 A 、 B 两点,若 OA ? OB , ( O 为坐标原点)且 S ?AOB ? 2 5 ,则抛物线的方程_____________ 77.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F , 准线为 l , 经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴 上方的部分相交于 A ,且 AK ? l ,垂足为 K ,则 S?AKF ? ______ 78.抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点为 F ,准线与 x 轴的焦点为 K ,点 A 在抛物线上,且
AK ? 2 AF ,则 S?AKF ? ______

79.抛物线 y 2 ? x 的焦点为 F , A, B 在抛物线上,若 AF ? BF ? 3 ,则线段 AB 的中 点到 y 轴的距离为 ___________ 80.抛物线 y ? x 2 的焦点为 F ,若过抛物线焦点 F 的一动弦 AB ? 3 ,则线段 AB 的 中点到 x 轴的距离为 ___________ 81.已知椭圆 C1 、抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上, C1 的中心和 C2 的顶点均为原点 O , 从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中: 3
?2 3

x
y

?2
0

4

2

?4

2 2 [

(1)求 C1、C2 的标准方程; (2) 请问是否存在直线 l 满足条件: ①过 C2 的焦点 F ; ②与 C1 交不同两点 M 、N , 且 ???? ???? ? 满足 OM ? ON ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

82.已知椭圆的一个顶点为 A(0, ?1) ,焦点在 x 轴上,若右焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3. (1)求椭圆的方程; (2)设直线 y ? kx ? m(k ? 0) 与椭圆交于不同的两点 M 、N ,当 | AM |?| AN | 时,求实 数 m 的取值范围.

83.已知椭圆 C :

x2 y2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点的距 2 a b 3

离为 3 , (1)求椭圆 C 方程 (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 面积的最大值

3 ,求 ?A B O 2

84.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)过点 A(1,-2). (1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点, 5 且直线 OA 与 l 的距离等于 ?若存在,求直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 5

85.已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上每一点到点 F (1, 0) 的距离减去它到 y 轴距离的 差都是 1. (1)求曲线 C 的方程; (2)是否存在正数 m ,对于过点 M (m, 0) 且与曲线 C 有两个交点 A 、 B 的任意一条直
??? ??? ? ? 线,都有 FA ? FB ? 0 ?若存在. 求出 m 的取值范围;若不存在.,请说明理由.

( 21 )【 答 案 】 (1) 设 P x, y ) 是 曲 线 C 上 的 任 意 一 点 . 那 么 P x, y ) 满 足 ( (

( x ? 1) 2 ? y 2 ? x ? 1( x ? 0) ,化简得 y 2 ? 4 x( x ? 0)
(2)设经过点 M (m, 0)(m ? 0) 的直线 l 与曲线 C 的交点为 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,设直线 l 的方程 为 x ? ty ? m , 由 ?

? ?x ? t y ? y ? 4x
2

m

得 y ? 4ty ? 4m ? 0 , ? ? 16(t ? m) ? 0 , 于 是
2 2

? y1 ? y2 ? 4ty ①, ? ? y1 y2 ? ?4m
又 FA ? ( x1 ? 1, y1 ), FB ? ( x2 ? 1, y2 ), FA ? FB ? 0 ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2 ? 0 ② 又x?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

y2 ( y y )2 1 于是不等式②等价于 1 2 ? y1 y2 ? [( y1 ? y2 )2 ? 2 y1 y2 ] ? 1 ? 0 ③ 4 16 4
2 2

由①史,不等式③等价于 m ? 6m ? 1 ? 4t ④ 对于任意实数 t , t 的最小值为 0,所以不等式④对一切 t 成立等价于 m ? 6m ? 1 ? 0
2

2

所以 3 ? 2 2 ? m ? 3 ? 2 2 (18) 【答案】(1)设抛物线 C2 的方程为 y ? 2 px( p ? 0) ,则有
2

y2 ? 2 p( x ? 0) ,据此验证可 x

2 知点 (3, ?2 3), (4, ?4) 在抛物线上,易求 C2 的方程为 y ? 4 x

设椭圆 C1 的方程为

?a 2 ? 4 2 x2 y 2 ? ) 代入得 ? 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,把点 (?2, 0), ( 2, 2 2 a b ?b ? 1 ?

故 C1 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

(2)假设存在这样的直线 l 的斜率为零时,直线 l 与 C1 的交点为 C1 的左顶点和右顶点,

???? ???? ? OM ? ON 不成立,故不妨设直线 l 的直线为 x ? 1 ? my, M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,
? x ? 1 ? my ?3 ?2m ? 2 2 由 ? x2 ,得 (m ? 4) y ? 2my ? 3 ? 0, y1 y2 ? 2 ① , y1 ? y2 ? 2 2 m ?4 m ?4 ? y ?1 ? ?4

x1 x2 ? (1 ? my1 )(1 ? my2 ) ?

4 ? 4m 2 ② m2 ? 4

? 由 OM ? ON 知, OM ? ON =0, x1 x2 ? y1 y2 ? 0

???? ?

????

???? ???? ?

1 ? m ? ? 所以假设成立,直线 l 为 y ? 2 x ? 2 或 y ? ?2 x ? 2 2
x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) ,则右焦点为 F ( a 2 ? 1, 0) . a2
x2 ? y 2 ? 1. 3

(19) 【答案】(1)依题意设椭圆方程为

a2 ?1 ? 2 2
右题意知

2

? 3 ,解得 a ? 3 ,所以椭圆方程为
2

(2)设 P( x p , y p )、M ( x1 , y1 )、N ( x2 , y2 ) , P 为弦 MN 的中点,

? y ? kx ? m ? ? (3k 2 ? 1) x 2 ? 6kmx ? 3(m 2 ? 1) ? 0 由 ? x2 2 ? ? y ?1 ?3
则 由? > 0,得 m ? 3k ? 1 ①
2 2

由根与系数的关系可知 x1 ? x2 ? 从而 k AP ?

?6km x ? x2 ?3km m ,则 x p ? 1 ? 2 , yp ? 2 2 3k ? 1 2 3k ? 1 3k ? 1

yp ?1 xp
2

??

m ? 3k 2 ? 1 m ? 3k 2 ? 1 1 ?? ,因为 AM ? AN ? AP ? MN ,则 ? 3mk 3mk k

即 2m ? 3k ? 1 ② 把②代入①,得 m ? 2m ,解得 0 ? m ? 2 ,由② k ?
2

2

1 2m ? 1 ? 0 ,解得 m ? 2 3

所以 m 的取值范围是 ( , 2) .

1 2


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