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3.2.1《一元二次不等式及其解法》000


新课标数学必修 5 第三章 不等式

课题: § 3.2 一元二次不等式及其解法 第 1 课时
【授课类型】新授课 【教学目标】 一、知识与技能: 理解一元 二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系;掌握图象法解一元二次不等 式的方法;培养数形结合、分类讨论的思想方法,培养抽象概括能力和逻辑思维能力。 二、过程与方法: 经历从实际情境中抽象出一元二次

不等式模型的过程, 并通过函数图象探究一元二次不 等式与相应函数、方程的联系,获得一元 二次不等式的解法。 三、情态与价值: 激发学习数学的兴趣,培养勇于探索、勇于创新的精神,同时体会事物之间普遍联系 的辩证思想。 【教学重点】 从实际问题中抽象出一元二次不等式模型; 围绕一元二次不等式的解法展开, 突出体现 数形结合思想。 【教学难点】 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 【教学过程】 一、创设情境,提出问题 上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分,因特网服务公司(ISP)的任务 就是负责将用户的计算机接入因特网,同时收取一定的费用。 某同学要把自己的计算机接入因特网,现有两家 ISP 公司可供选择。公司 A 每小时收 费 1.5 元, ;公司 B 的收费原则如下:在用户上网的第 1 小时内收费 1.7 元,第 2 小时内收费 1.6 元,以后每小时减少 0.1 元(若用户一次上网时间超过 17 小时,按 17 小时计算). 一般来说,一次上网时间不会超过 17 小时,所以,不妨假设一次上网时间总小于 17 小时, 那么,一次上网在多长时间以内能够保证选择公司 A 比选择公司 B 所需费用少? 教师引导学生分析问题、解决问题,最后得到不等式模型:

x2 ? 5x ? 0 ……………………………………………… ①
[设计意图] 1.问题设置与上一章节的数列知识关联,从旧知识中产生新问题; 2.从学生耳濡目染、耳熟能详的实际情境(互联网的收费问题)中抽象出一元二次不等 式模型引入课题,拉近了数学与生活的距离,更有利于激发学生的学习兴趣; 3.感知数学源于生活,而又不拘泥与生活,并最终应用于生活的数学学习价值观。
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二、明确概念,探究解法 由上面的研究,可以得到一个不等式 x ? 5x ? 0 ,由此明确概念。
2

1.一元二次不等式的 定义 象 x ? 5x ? 0 这样,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为
2

一元二次不等式 2.探究一元二次不等式 x ? 5x ? 0 的解集
2

(1)怎样求不等式① 的解集呢? 一元二次不等式不是学生熟悉的东西,引导学生联想熟悉的二次函数 f ( x) ? x 2 ? 5x 和 一元二次方程 x ? 5 x ? 0 。
2

【探究 1】一元二次方程的根与二次函数的零点有怎样的关系? 容易知道:一元二次方程的有两个实数根: x1 ? 0, x2 ? 5 ,二次函数有两个零点:

x1 ? 0, x2 ? 5 。
于是,我们得到:一元二次方程的根就是二次函数的零点。 【探究 2】 在二次函数 f ( x) ? x 2 ? 5x 的图象上任取一点 P(x,y), 当点 P 在抛物线上移 动时,随着点 P 横坐标 x 的变化,点 P 纵坐标 y 有何变化? 【探究 3 】二次函数 f ( x) ? x 2 ? 5x 、一元二次方程 x ? 5 x ? 0 与一元二次不等式
2

x2 ? 5x ? 0 ,这三者之间有怎样的关系呢?
引导学生画出二次函数 y ? x ? 5x 的图象,如图,观察函数图象可知:
2

当 x < 0, 或 x > 5 时, 函数图象位于 x 轴上方, 此时, y > 0, 即 x ? 5x ? 0 ;
2

当x ? 0, 或 x ? 5 时, 函数图像与 x 轴相交, 此时,y ? 0 , 即 x ? 5x ? 0 ;
2

当 0 < x < 5 时,函数图象位于 x 轴下方,此时,y < 0,即 x ? 5 x ? 0 ;
2

通过上述分析,我们知道,不等式 x ? 5x ? 0 的解集是 ?x | 0 ? x ? 5? ,从
2

而解决了开始时提出的问题, 所以我们可知当一次上网在 5 个小时之内的时候, 选择公司 A 比选择公司 B 所需费用少。当超过 5 个小时(含 5 个小时)的时候,选择公司 B 所需费用较少。因此,我们可以结合平时的上网时间合理进行选择 ISP 公司。 [设计意图] 从一个特殊的不等式出发, 求解不等式的解集, 可以通过其所对应的二次函数的图像进 行求解,培养数形结合的思想方法。 三、观察体会,归纳总结 1.一般的一元二次不等式的解法 任意的一元二次不等式,总可以化为以下两种形式: ax ? bx ? c > 0 ( a > 0 )或
2

ax2 ? bx ? c < 0(a > 0) ,怎样确定一元二次不等式的解集呢?
组织讨论:从上面的例子出发,综合学生的意见,可以归纳出确定一元二次不等式的解 集,关键要考虑以下两点:
2 ( 1 )抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 x 轴的相关位置 的情况,也就是一元二次方程

ax2 ? bx ? c =0 的根的情况;
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2 (2)抛物线 y ? ax ? bx ? c 的开口方向,也就是 a 的符号。

总结讨论结果: (1)二次函数 y ? ax ? bx ? c (a > 0)与 x 轴的相关位置,分为三种情况,这可以
2

由一元二次方程 ax ? bx ? c = 0 的判别式 ? ? b ? 4ac 三种取值情况(Δ > 0, Δ = 0, Δ < 0)
2 2

来确定,因此,要分三种情况讨论; (2)a < 0 可以转化为 a > 0。 归纳总结:一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)或ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的解集: 设 相 应 的 一 元 二 次 方 程 ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的 两 根 为 x1、x2 且 x1 ? x2 ,

? ? b 2 ? 4ac ,则不等式的解的各种情况如下表:
引导学生独立完成课本第 77 页的表格

? ? b 2 ? 4ac

??0

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c
二次函数

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象 ] 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根
ax ? bx ? c ? 0
2

?a ? 0?的根

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x2 ? ?

b 2a

无实根

ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

[设计意图] 通过具体一元二次不等式的求解,引导学生寻求更一般的解法,并推而广之,让学生体 会从特殊到一般的认知规律。 四、典例分析,优化思维 例 1. 解下列关于 x 的不等式 (1) x ? x ? 6 ? 0 ; (2) 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 ; (3) ? x ? 2 x ? 3 ? 0
2 2 2

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【规律方法】解一元二次不等式的步骤: (1)整理二次不等式:将不等式化成标准形式(右边为 0、最高次的系数为正) ; (2)计算相应方程的判别式,若值为正或为零,则求出相应方程的两根; (3)根据二次函数的图像确定解集。 [设计意图] 通过三种不同形式的题目, 让学生从各个面对一元二次不等式进行进一步了解, 强调一 些注意事项,让学生规范操作。 五、练习巩固,熟练知识 课本第 80 的练习 1 、2、 六、课时小结,深化理解 1.一元二次不等式的 定义 2.解一元二次不等式的步骤: (1)整理二次不等式:将不等式化成标准形式(右边为 0、最高次的系数为正) ; (2)计算相应方程的判别式,若值为正或为零,则求出相应方程的两根; (3)根据二次函数的图像确定解集。 [设计意图] 有利于学生自己建构自己的知识结构。 七、课后思考,提升能力 1.课后作业 2.思考题: P80 习题 3.2 A 组 1、2、4、
? 1 1?

x ?x? ? 1.已知关于 x 的不等式 ax2+5x+c>0 的解集为 ? 2 ? ,,,求 a、c 的值。 ? 3 2.解关于 x 的不等式 ax2-(a+1)x+1<0(a<1)的解集。

[设计意图] 直击高考,开拓学生的视野,提升学生的能力。 【板书设计】 黑板部分 § 3.2 一元二次不等式及其解法 1.一元二次不等式的概念 2.解一元二次不等式的步骤 多媒体部分 2.典例分析 4.练习提高

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