# 【高数】8.5函数的幂级数展开式

1

f ( x) = ∑an x
n=0

n

an ( x ? x0 )n ∑
n=0

2

∑a x
n= 0 n

n

f ′( 0 ) f ′′(0) , a2 = a0 = f (0) , a1 = , 1! 2!

?

f ( n ) (0) an = ? n!

f ( x) = ∑
n= 0

f

(n)

( 0) n f ′( 0 ) f ′′( 0) 2 x = f (0) + x+ x +? n! 1! 2!

3

n= 0

lim Rn ( x ) = 0 , x ∈ D
n→ ∞

n= 0

f

(n)

( 0) n 的收敛域， x 的收敛域， n!

f ′( 0 ) f ′′( 0 ) 2 f ( n ) ( 0) n Rn ( x ) = f ( x ) ? f ( 0 ) ? x? x ?? ? x 1! 2! n!

4

e =∑
x n= 0 ∞

x x x = 1+ x + +?+ + ? , x ∈ ( ?∞ ,+∞ ) n! 2! n!
(e x )(n) = ex

n

2

n

f ( n ) (0) 1 ′( 0 ) 1 f = ? = ? an = a0 = f (0) = 1, a1 = n! n! 1! 1!

5

x 2n+1 x 3 x5 sin x = ∑(?1)n = x ? + ? ? , x ∈ ( ?∞ ,+∞ ) (2n + 1) ! 3! 5! n=0

x2n x2 x4 cos x = ∑(?1)n = 1? + ??, x ∈ ( ?∞ ,+∞ ) (2n) ! 2! 4! n=0

ln(1 + x ) = ∑ ( ?1)n?1
n =1

xn x2 x3 ? = x? + ? ? , x ∈ (? 1, 1] n 2 3

(1 + x ) = 1 + α x +

α

α (α ? 1)

2! α (α ? 1)?(α ? n + 1) n ? x + ? x ∈ (?1, 1) + n!
6

x2 + ?

(1) f ( x) = e

? x2

e? x

2

( ? x 2 ) n ∞ ( ?1) n 2 n x , x ∈ ( ?∞ , +∞ ) =∑ =∑ n! n! n= 0 n= 0

e =∑
x n=0

x , x ∈ ( ?∞ ,+∞ ) n!

n

7

(2)

f ( x ) = cos x

x x x sin x = ∑(?1) = x ? + ? ? x ∈ ( ?∞ ,+∞ ) (2n + 1) ! 3! 5! n=0
n

2n+1

3

5

x x x cos x = ∑(?1) = 1? + ?? (2n) ! 2! 4! n=0
n

2n

2

4

x ∈ ( ?∞ ,+∞ )
8

(3)

f ( x ) = arctan x
∞ 1 因为 f ′( x ) = = ∑ ( ? x 2 )n , | x | < 1 1 + x 2 n= 0

x2n+1 x3 x5 n arctan x = ∑(?1) = x ? + ?? 2n + 1 3 5 n=0

x ∈[?1,1] ?
9

10

(4) f ( x ) = ln(4 + 3 x ? x 2 )

f ( x ) = ln( 4 + 3 x ? x 2 ) = ln( 4 ? x )(1 + x )
= ln( 4 ? x ) + ln(1 + x )

x = ln 4 + ln(1 ? ) + ln(1 + x ) 4
∞ 1? x? ( ?1) n?1 n x = ln 4 ? ∑ ? ? + ∑ n n =1 n ? 4 ? n =1 ∞ n

ln(1 + x ) = ∑ ( ?1)
n =1

n ?1

xn x2 x3 ? = x? + ? ? , x ∈ (?1, 1] 2 3 n
11

∞ 1? x? ( ?1) n?1 n 2 f ( x) = ln(4 + 3 x ? x ) = ln 4 ? ∑ ? ? + ∑ x n n =1 n =1 n ? 4 ? ∞ n

f ( x ) = ln( 4 + 3 x ? x )
2

1 + ( ?4 ) n n ? x , x ∈ (? 1, 1] = ln 4 ? ∑ n n4 n =1

1 + (?4)n ∑1 n 4 n = n=

1 ( ? 1) n 收敛。 ∑1 ( n 4 n + n ), 收敛。 n=

1 + (?4)n ? ( ? 1) n = ∑1 n 4 n n=

( ? 1) n 1 发散。 ∑1 ( n 4 n + n ), 发散。 n=

n n 4 | 1 / 4 n + ( ?1) n | 1 + ( ?4) n n | |= →1 n n n4 4? n

12

2 展开为( 的幂级数. 将函数 ln(4 ? 3 x ? x ) 展开为 ( x + 3 )的幂级数.

ln( 4 ? 3 x ? x 2 ) = ∑ a n ( x + 3) n
n=0

ln( 4 ? 3 x ? x 2 ) = ln( 4 + 3t ? t 2 ) ,

ln( 4 + 3t ? t 2 ) = ∑ a n t n
n= 0
13

2 展开为( 的幂级数. 将函数 ln(4 ? 3 x ? x ) 展开为 ( x + 3 )的幂级数.

1 + ( ?4) n ln(4 + 3t ? t ) = ln 4 ? ∑ t , n n4 n =1
∞ n 2

t ∈ (?1, 1] ?

1 + ( ?4 ) n 2 n ( x + 3) , ln( 4 ? 3 x ? x ) = ln 4 ? ∑ n n4 n =1 x ∈ ( ? 4, ? 2]

14

1 的幂级数. 课堂练习) 展开成 ( x ? 1) 的幂级数.(课堂练习) 例3 将 f ( x ) = 4+ x

1 1 = 4+ x 5+ t

1 ∞ t n ∞ ( ?1) n n 1 1 1 = ∑ ( ? ) = ∑ n+1 t = ? t 5 n= 0 5 5 5+ t n= 0 5 1+ 5
15

∞ 1 ( ?1) n n = ∑ n+1 t , 5 + t n= 0 5

| t |< 5

( ?1) n 1 = ∑ n+1 ( x ? 1)n , 4+ x n= 0 5

16

16: (2),(5)

17

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