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【高数】8.5函数的幂级数展开式


第五节

函数的幂级数展开式

1

求幂级数, 为和函数—函数 求幂级数 在其收敛域内以 f (x) 为和函数 函数 的幂级数展开。 的幂级数展开。

f ( x) = ∑an x
n=0



n

或 f ( x) =

r />
an ( x ? x0 )n ∑
n=0



麦克劳林展开式

泰勒展开式

在什么条件下才能展开成幂级数? 在什么条件下才能展开成幂级数 问题: 问题 1. f (x)在什么条件下才能展开成幂级数 2.如果能展开 a n 是什么 如果能展开, 是什么? 如果能展开 3.展开式是否唯一 展开式是否唯一? 展开式是否唯一
2

定理

函数 f ( x ) 能展开成幂级数

∑a x
n= 0 n



n

的必要条

处有任意阶导数, 件是 f ( x ) 在点 x = 0 处有任意阶导数,且系数
f ′( 0 ) f ′′(0) , a2 = a0 = f (0) , a1 = , 1! 2!

?

f ( n ) (0) an = ? n!

证略

f ( x) = ∑
n= 0



f

(n)

( 0) n f ′( 0 ) f ′′( 0) 2 x = f (0) + x+ x +? n! 1! 2!

3

定理 函数 f ( x ) 能展开成幂级数

充分条件是 an x n 的充分条件是 ∑
n= 0



lim Rn ( x ) = 0 , x ∈ D
n→ ∞

其中 D 是幂级数


n= 0



f

(n)

( 0) n 的收敛域, x 的收敛域, n!

f ′( 0 ) f ′′( 0 ) 2 f ( n ) ( 0) n Rn ( x ) = f ( x ) ? f ( 0 ) ? x? x ?? ? x 1! 2! n!

称为n阶余项. 称为 阶余项. 阶余项

4

基本展开式
e =∑
x n= 0 ∞

x x x = 1+ x + +?+ + ? , x ∈ ( ?∞ ,+∞ ) n! 2! n!
(e x )(n) = ex

n

2

n

注意到 所以
f ( n ) (0) 1 ′( 0 ) 1 f = ? = ? an = a0 = f (0) = 1, a1 = n! n! 1! 1!

5

x 2n+1 x 3 x5 sin x = ∑(?1)n = x ? + ? ? , x ∈ ( ?∞ ,+∞ ) (2n + 1) ! 3! 5! n=0


x2n x2 x4 cos x = ∑(?1)n = 1? + ??, x ∈ ( ?∞ ,+∞ ) (2n) ! 2! 4! n=0



ln(1 + x ) = ∑ ( ?1)n?1
n =1



xn x2 x3 ? = x? + ? ? , x ∈ (? 1, 1] n 2 3

(1 + x ) = 1 + α x +

α

α (α ? 1)

2! α (α ? 1)?(α ? n + 1) n ? x + ? x ∈ (?1, 1) + n!
6

x2 + ?

间接法求展开式: 利用已知展开式, 通过变量代 间接法求展开式: 利用已知展开式 通过变量代 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法 等方法, 换, 四则运算 恒等变形 逐项求导 逐项积分等方法 求展开式 . 例1 将下列函数展开成 x 的幂级数. 下列函数展开成 的幂级数. 函数

(1) f ( x) = e



? x2

e? x

2

( ? x 2 ) n ∞ ( ?1) n 2 n x , x ∈ ( ?∞ , +∞ ) =∑ =∑ n! n! n= 0 n= 0

e =∑
x n=0



x , x ∈ ( ?∞ ,+∞ ) n!

n

7

(2)


f ( x ) = cos x

x x x sin x = ∑(?1) = x ? + ? ? x ∈ ( ?∞ ,+∞ ) (2n + 1) ! 3! 5! n=0
n



2n+1

3

5

两边求导, 两边求导 得

x x x cos x = ∑(?1) = 1? + ?? (2n) ! 2! 4! n=0
n



2n

2

4

x ∈ ( ?∞ ,+∞ )
8

(3)


f ( x ) = arctan x
∞ 1 因为 f ′( x ) = = ∑ ( ? x 2 )n , | x | < 1 1 + x 2 n= 0

积分, 两边从 0 到 x 积分,得

x2n+1 x3 x5 n arctan x = ∑(?1) = x ? + ?? 2n + 1 3 5 n=0


x ∈[?1,1] ?
9

把函数展开成幂级数的步骤: 把函数展开成幂级数的步骤: 1. 利用求导 积分 变量代换,恒等变形等化为 利用求导,积分 变量代换, 积分,变量代换 已有展开式的初等函数,求出展开式; 已有展开式的初等函数,求出展开式 2. 求出展开式的收敛域 求出展开式的收敛域; 3. 写出展开式 带收敛域 写出展开式(带收敛域 带收敛域).

10

(4) f ( x ) = ln(4 + 3 x ? x 2 )


f ( x ) = ln( 4 + 3 x ? x 2 ) = ln( 4 ? x )(1 + x )
= ln( 4 ? x ) + ln(1 + x )

x = ln 4 + ln(1 ? ) + ln(1 + x ) 4
∞ 1? x? ( ?1) n?1 n x = ln 4 ? ∑ ? ? + ∑ n n =1 n ? 4 ? n =1 ∞ n

ln(1 + x ) = ∑ ( ?1)
n =1



n ?1

xn x2 x3 ? = x? + ? ? , x ∈ (?1, 1] 2 3 n
11

∞ 1? x? ( ?1) n?1 n 2 f ( x) = ln(4 + 3 x ? x ) = ln 4 ? ∑ ? ? + ∑ x n n =1 n =1 n ? 4 ? ∞ n



f ( x ) = ln( 4 + 3 x ? x )
2

1 + ( ?4 ) n n ? x , x ∈ (? 1, 1] = ln 4 ? ∑ n n4 n =1


当x=1时 时 当x=-1时 时

1 + (?4)n ∑1 n 4 n = n=


1 ( ? 1) n 收敛。 ∑1 ( n 4 n + n ), 收敛。 n=


1 + (?4)n ? ( ? 1) n = ∑1 n 4 n n=


( ? 1) n 1 发散。 ∑1 ( n 4 n + n ), 发散。 n=


n n 4 | 1 / 4 n + ( ?1) n | 1 + ( ?4) n n | |= →1 n n n4 4? n

12

例2

2 展开为( 的幂级数. 将函数 ln(4 ? 3 x ? x ) 展开为 ( x + 3 )的幂级数.

思路: 利用马克劳林展开式来求函数的泰勒展开式. 思路: 利用马克劳林展开式来求函数的泰勒展开式. 设级数的泰勒展开式为

ln( 4 ? 3 x ? x 2 ) = ∑ a n ( x + 3) n
n=0



在上式两边令 x + 3 = t , 注意到

ln( 4 ? 3 x ? x 2 ) = ln( 4 + 3t ? t 2 ) ,
于是有

ln( 4 + 3t ? t 2 ) = ∑ a n t n
n= 0
13



例2

2 展开为( 的幂级数. 将函数 ln(4 ? 3 x ? x ) 展开为 ( x + 3 )的幂级数.

由例1(4)知, 知 由例

1 + ( ?4) n ln(4 + 3t ? t ) = ln 4 ? ∑ t , n n4 n =1
∞ n 2

t ∈ (?1, 1] ?

所以

1 + ( ?4 ) n 2 n ( x + 3) , ln( 4 ? 3 x ? x ) = ln 4 ? ∑ n n4 n =1 x ∈ ( ? 4, ? 2]

14

1 的幂级数. 课堂练习) 展开成 ( x ? 1) 的幂级数.(课堂练习) 例3 将 f ( x ) = 4+ x

令 x ?1 = t ? x = t +1,

于是

1 1 = 4+ x 5+ t


1 ∞ t n ∞ ( ?1) n n 1 1 1 = ∑ ( ? ) = ∑ n+1 t = ? t 5 n= 0 5 5 5+ t n= 0 5 1+ 5
15

∞ 1 ( ?1) n n = ∑ n+1 t , 5 + t n= 0 5

| t |< 5

所以

( ?1) n 1 = ∑ n+1 ( x ? 1)n , 4+ x n= 0 5


收敛域: ? 收敛域: x ? 1 < 5 , 即 x ∈ (?4, 6) .

16

作业: 作业:P356
16: (2),(5)

17


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