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一道概率题的探究


中学数学杂志2009年第1期

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一道概率题的搽究
天津师范大学数学科学学院 在教学实践中,许多学生觉得概率既很
300387

李善佳

随着圆上点数的增加,所能够画出的三角形的 个数也随之增加,且增速更快.当//,=6时,大部分 学生已经意识到直径是

解决问题的关键.他们放弃 了繁复的作图,把注意力集中到直径上去.依据是 “直径所对的圆周角是直角”这个几何定理.直角 与直径形影不离.如图4所示,一共有3条直径,每1 条直径都对应4个直角三角形.因此,当n=6时, 一共出现12个直角三角形.如何寻找三角形总数? 一些学生把6个点标上字母,然后逐一写出三个字 母的所有组合.另一些学生利用以前学过的组合公

“玄”——与生活经验相隔遥远,又很“悬”——概
率之“油”漂浮在其它数学知识的水面上.《普通高 中数学课程标准》(实验)指出:教学中应注意沟通 各部分内容之间的联系,通过类比、联想、知识的迁 移和应用等方式,使学生体会知识之间的有机联系, 感受数学的整体性,进一步理解数学的本质,提高解 决问题的能力….本文试图把概率解题教学与几何 “捆绑”起来,实现两者的融合. 问题 圆周上有n个等分点,随机取出三个 点,能构成锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的 概率分别是多少? 问题提出后,学生拿出圆规与直尺,跃跃欲试.

式:从n个元素中取出3个的组合数是c:,当时n= 6时,t=20,即为三角形总数.因此,直角三角形
1,’ 1

但从何人手又使他僻陷入迷茫之中.先求锐角的概
率,还是先求直角三角形概率,或是先求钝角三角形 概率?大家议论纷纷,莫衷一是.由于直角是锐角与 钝角的“分界”,大多数学生倾向于先求直角三角形 概率.下面是探求直角三角形概率的过程. 我提示学生从最小的点数开始思考.把复杂的 问题简单化,从最简单的情形起步. 学生很快发现,当//,=3时,如图1,只存在唯一 一个等边三角形. 当n=4时,如图2,学生画出四个三角形,发现这四

出现的概率是羔,即÷
二U


当n=7时,许多学生就不再探究这种情形,因 为没有一条弦是直径. 当//,=8时,如图5.画出所有的三角形更显得 累赘不堪了.学生把探究范围“锁定”在直径中.因 为一共有4条直径,而l条直径对应6个直角三角 形,所以直角三角形总数为24.从8个元素中取出3 个元素的组合数为56,即56个三角形.因此直角三
一'A 2

角形出现的概率为d五d-l-,即÷.

个三角形都是直角三角形构成直角三角形的概率是直


角三角形的个数除以三角形总个数概率是÷,即1.
a11.

当n=5时,如图3,有些学生对出现的10个三 角形数(shtt)都数(shCi)不过来.为了寻找直角三 角形,有些学生甚至动用了量角器.经过几番努力, 许多学生认为当点数是奇数时,出现直角三角形的 概率为0.

◎◎
图4 图5

找规律

我要求学生画出一张表格,当n为偶

数且逐渐增大时,观察所得概率P与n有何关系.表 格如下表所示.当n=6,8,10…时,分子是3,分母 是n一1. 但当n=4时,i4“不符合’’这个规律.但很快

③◎◎
图1 图2 图3

有人发现14=了3

万方数据

区教研爨该艘穆舷嬲g戮铭.彩
圆上等分 点个数n


中学数学杂志2009年第1期

直角三角 形个数:


三角形 总数s


概率

翌(堡二竺!


垡i堡=兰2

P:上

P=—}=二五2二=五3
(n一3)13 1

÷朋÷ 罢,即÷ 凳御手
盟’一r即土9 2盟一r 即土11

下面求锐角三角形与钝角三角形的概率. 在圆中,直角由直径也即半圆决定,那么锐角、 钝角又由什么决定呢?学生很快意识到劣弧所对的 圆周角是锐角,优弧所对的圆周角是钝角.判断锐 角三角形需要判断这个三角形的三个内角都是锐 角,而判断钝角三角形只须找出一个内角是钝角即 可.故先求钝角三角形的概率,再根据锐角三角形、 直角三角形、钝角三角形三者的概率之和为l求出 锐角三角形的概率.以下探究过程略. 数学课堂是数学教师展示数学知识发生的平 台.在课堂讨论中,通过从易到难、直观感知、观察 发现、运算求解、归纳猜想、演绎证明、模式识别、回 顾反思等思维过程,教师与学生结成了“探究共同 体”.圆周角定理、计数原理、阶乘与概率发生了联 系.概率与其它数学知识不再是“油水分离”,而是 “水乳交融”了.
参考文献 [1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实 验).北京:人民教育出版,2003,109



12

20



24

56

lO

40

120

12

60

220

于是,猜想水到渠成——
圆周上有/1,个等分点,随机取出三个点构成直

角三角形的概率:当n为偶数时是—与,当凡为奇数
Ⅱ一1

时是O. 证明如下: 当乃为奇数时,联结任意两点所成的弦不是直 径,故任取三个点不能构成直角三角形,故概率P= 0,当/It.为偶数时,可作n/2条直径,每条直径两侧有

n一2个点,故直角三角形总数为等?(n一2)=


丛兰÷堕,而三角形总数为c:,根据古典概型公式
得所求的概率为

作者简介 级硕士研究生.

李善佳,天津师范大学数学科学学院2006

一道改编的三角不等式题目及巧证
山东省临清市第二中学
252656

马英济

求证:些堕{里旦鱼<下cosa-cosb<sin生岩.
题目

设0<a<b<叮r,

由梯形面积小于曲边梯形

证法l

要证7些1旦手堂<竺掣,



D—a



的面积,即型里普里堂(6一口)<


只需证堕旦手堂(6一口)<c。犯一c。s6,
仔细观察分析不等号两边各自的结构特征,左 边式很像梯形面积公式. 可以考虑y=sinx(O≤名≤1r)的图象(如图1).

万方数据


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