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高一数学(必修2)综合测试题


高一数学( 2)综合测 综合测试题 高一数学(必修 2)综合测试题
小题, 一、填空题(14 小题,共 70 分) 1.用符号表示“点 A 在直线 l 上,l 在平面 α 外”为 2.右图所示的直观图,其原来平面图形的面积是 ▲ ▲

A 2 O 2
45°

3.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示, 则这个棱柱的侧面积为 ▲ 。
4

B

3 3
正俯俯 侧俯俯 俯俯俯

4.a,b,c 分别表示三条直线,M 表示平面,给出下列四个命题:①若 a∥M,b∥M,则 a∥b; ②若 b M,a∥b,则 a∥M;③若 a⊥c,b⊥c,则 a∥b;④若 a⊥M,b⊥M,则 a∥b.其中不正 确命题的有 ▲ (填序号)

5.已知正方体外接球的体积是

32 π ,那么正方体的棱长等于 ▲ 3

6.直线 3 x+y+1=0 的倾斜角为 7.经过直线 2x+3y-7=0 与 7x+15y+1=0 的交点,且平行于直线 x+2y-3=0 的直线方程是________ ▲___. 8.若A(-2,3) ,B(3,-2) ,C(0,m)三点共线,则m的值为 ▲ 9.两圆相交于点 A(1,3) 、B(m,-1) ,两圆的圆心均在直线 x-y+c=0 上,则 m+c 的值为 ▲ 10.两圆(x―2) +(y+1) = 4 与(x+2) +(y―2) =16 的公切线有 11.经过点 M(1,1)且在两轴上截距相等的直线是 .... ▲
2 2 2 2



条 。

12.光线从点(―1,3)射向 x 轴,经过 x 轴反射后过点(4,6) ,则反射光线所在的直线方程 一般式是 ▲ ▲

13.若直线 y = kx + 4 + 2k 与曲线 y = 4 x 2 有两个交点,则 k 的取值范围是

14.在棱长为 1 的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去 8 个三棱 锥后,剩下的凸多面体的体积是 ▲

二、解答题(6 大题,共 90 分) 解答题( 大题,
15. (本题 14 分)已知 ABC 三个顶点是 A (1,4) , B(2,1) , C(2,3) . A
1

y

C

(1)求 BC 边中线 AD 所在直线方程; (2)求点A到BC边的距离.

16. (本题 14 分)如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形 的冰淇淋,如果冰淇淋融化了,会溢出杯子吗? 请用你的计算数据说明理由.

_cm 4

12cm _2cm 1 12

17.(本题 15 分)如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心, PO ⊥ 底面 ABCD,E 是 PC 的中点. 求证: (1)PA∥平面 BDE; (2)平面 PAC ⊥ 平面 BDE.

P

E

D O A B

C

18.(本题 15 分) 已知直线 l 过点 P(1,1) 并与直线 l1:x-y+3=0 和 l2:2x+y-6=0 分别交 , 于点 A、B,若线段 AB 被点 P 平分,求:

2

(Ⅰ)直线 l 的方程; (Ⅱ)以 O 为圆心且被 l 截得的弦长为

8 5 的圆的方程. 5

19.(本题 16 分)已知实数 a 满足 0<a<2,直线 l1:ax-2y-2a+4=0 和 l2:2x+a y-2a -4=0 与 两坐标轴围成一个四边形。 (1)求证:无论实数 a 如何变化,直线 l2 必过定点. (2)画出直线 l1 和 l2 在平面坐标系上的大致位置. (3)求实数 a 取何值时,所围成的四边形面积最小?

2

2

20.(本题 16 分)如图,在正三棱柱 ABC A1 B1 C1 中,AB=2, AA1 = 2 ,由顶点 B 沿棱柱侧面 经过棱 AA1 到顶点 C1 的最短路线与 AA1 的交点记为 M, 求: (1)三棱柱的侧面展开图的对角线长 (2)该最短路线的长及

A1 M A B B1 C

C1

A1 M 的值 AM

(3)平面 C1 MB 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的大小

A1 M D A B B1

C1

C

高一数学试题参考答案
3

小题, 一、填空题(14 小题,共 70 分) 1. A ∈ l , l α 2. 4 4.①②③ 7. 3x+6y-2=0 10. 10. 2 5.

3. 72

A
6. 120° 9. 3 12. 12.9x-5y-6=0

4 3 3

2 O 2
45°

8. 1 11. 11.x+y=2 或 y=x 14. 14.

B

3 13. 13. [1, ) 4

5 6
………………7 分 ………………7 分
1 4 3 1 4 × πR = × π × 4 3 ≈ 134(cm 3 ) 2 3 2 3

二、解答题(6 大题,共 90 分) 解答题( 大题,
15. (本题 14 分) 解:(1)3x+y-1=0 15 (2) 2 2 16. 16 (本题 14 分)解:因为 V半球 =

………………5 分

1 1 V圆锥 = πr 2 h = π × 4 2 × 12 ≈ 201(cm 3 ) 3 3

………………10 分

因为 V半球 < V圆锥 所以,冰淇淋融化了,不会溢出杯子. 17.(本题 15 分)证明(1)∵O 是 AC 的中点,E 是 PC 的中点, 17. ∴OE∥AP, ………………4 分 又∵OE 平面 BDE,PA 平面 BDE, ∴PA∥平面 BDE. ………………7 分 (2)∵PO ⊥ 底面 ABCD, ∴PO ⊥ BD, ………………10 分 又∵AC ⊥ BD,且 AC ∩ PO=O ∴BD ⊥ 平面 PAC,而 BD 平面 BDE, ∴平面 PAC ⊥ 平面 BDE. ………………13 分 ………………15 分 ………………14 分

18. (Ⅰ)依题意可设 A (m, n ) 、 B( 2 m,2 n ) ,则 18.(本题 15 分)解:

m n + 3 = 0 m n = 3 , ,解得 m = 1 , n = 2 . ………………6 分 2( 2 m) + (2 n ) 6 = 0 2m + n = 0
即 A ( 1,2) ,又 l 过点 P (1,1) ,易得 AB 方程为 x + 2 y 3 = 0 . (Ⅱ)设圆的半径为 R,则 R 2 = d 2 + ( 故所求圆的方程为 x 2 + y 2 = 5 . ………………9 分

4 5 2 3 ) ,其中 d 为弦心距, d = ,可得 R 2 = 5 , 5 5
………………6 分

4

19.(本题 16 分) (1)证明:由 l2:2x+a y-2a -4=0 变形得 a (y-2)+ 2x-4=0 …………3 分 19. 所以当 y=2 时,x=2 …………………………………………………4 分 即直线 l2 过定点(2,2) …………………………………………………5 分 y (2)如图 l
1

2

2

2

x O l2
2

…………………8 分

(3)直线 l1 与 y 轴交点为 A(0,2-a),直线 l2 与 x 轴交点为 B(a +2,0),如下图 由直线 l1:ax-2y-2a+4=0 知,直线 l1 也过定点 C(2,2) …………10 分 过 C 点作 x 轴垂线,垂足为 D,于是 S 四过形 AOBC=S 梯形 AODC+S△BCD …………………11 分 y 1 1 2 l1 = ( 2 a + 2) 2 + a 2

2

2

=a a + 4
2

………………………13 分

A O D

C x B l2

1 时,S 四过形 AOBC 最小.………………15 分 2 1 故当 a= 时,所围成的四边形面积最小。……16 分 2
∴当 a=

20.(本题 16 分)解: (1)正三棱柱 ABC A1 B1 C1 的侧面展开图是长为 6,宽为 2 的矩形,其 20 对角线长为 6 + 2 = 2 10
2 2

………3 分

(2)如图,将侧面 AA1 B1 B 绕棱 AA1 旋转 120 使其与侧面 AA1C1 C 在同一平面上,点 B 运 动到点 D 的位置,连接 DC1 交 AA1 于 M,则 DC1 就是由顶点 B 沿棱柱侧面经过棱 AA1 到顶点 C1 的最短路线,其长为

DC 2 + CC1 = 4 2 + 2 2 = 2 5
2

………………………6 分

∵ DMA ≌ C1 MA1 ,


∴ AM = A1 M
………………………………………………9 分

A1 M =1 AM

(3)连接 DB, C1 B ,则 DB 就是平面 C1 MB 与平面 ABC 的交线 在 DCB 中 ∵ ∠DBC = ∠CBA + ∠ABD = 60 + 30 = 90 ∴ CB ⊥ DB 又 C1C⊥平面CBD ∴CC1⊥DB ∴DB⊥面 BCC1 …12 分

5

∴ C1 B⊥DB

∴ ∠C1 BC 就是平面 C1 MB 与平面 ABC 所成二面角的平面角(锐角)
∵ 侧面 C1 B1 BC 是正方形

…………14 分

∴ ∠C1 BC = 45
故平面 C1 MB 与平面 ABC 所成的二面角(锐角)为 45 ………16 分

A1 M D A B B1

C1

C

6


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