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高三数学一轮专题复习------- 数列的求和(有详细答案)



数列的求和

考情分析 理解数列的通项公式;会由数列的前 n 项和 求数列通项公式,及化为等差数列、等比数 列求数列的通项公式.掌握等差数列、等比 数列前 n 项和的公式;数列求和的常用方法: 分组求和法、错位相减法、裂项相消法、倒 序相加法等.

考点新知

① 掌握求数列通项公式的常用方法. ② 掌握数列求和的常用方法.

1. 在数列{an}中,若 a1=1,an+1=an+2(n≥1),则该数列的通项 an=________. 答案:an=2n-1 解析:由已知{an}为等差数列,d=an+1-an=2, ∴ an=2n-1. 2. 已知数列{an}中, a1=1, (n+1)an+1=nan(n∈N*), 则该数列的通项公式 an=________. 答案:an= 1 n

an an an-1 a2 1 解析: = × ×…× = . a1 an-1 an-2 a1 n 3. (必修 5P44 习题 2(2)改编) 答案:441 解析:

?

20

(1+2 n)=________.

n= 0

?

20

(1 + 2n) = 1 + (1 + 2×1) + (1 + 2×2) + … + (1 + 2×20) = 21 +

n= 0

20(1+20) 2× =441. 2 4. (必修 5P60 复习题 8(1)改编)数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 an= ________. 4 答案: 5 解析:an= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 = - ,∴ S4=1- + - + - + - = . n 2 2 3 3 4 4 5 5 n(n+1) n+1 1 ,则 S4= n(n+1)

1 1 1 1 5. (必修 5P51 例 3 改编) 数列 1 ,2 ,3 ,4 ,…的前 n 项和是 __________. 2 4 8 16 答案:Sn= n(n+1) 1 +1- n 2 2

1?n? 1? 1-? 2? ? n(n+1) ? ? 2 1 1 1 n ( n + 1 ) + 2+…+ n?= 解析:Sn=(1+2+3+…+n)+? + = 2? ?2 2 2 1 2 1- 2 1 +1- n. 2

1. 当已知数列{an}中,满足 an+1-an=f(n),且 f(1)+f(2)+…+f(n)可求,则可用累加法 求数列的通项 an. 2. 当已知数列{an}中,满足 通项 an.
?S1,n=1, ? 3. (1) an=? ?Sn-Sn-1,n≥2. ?

an+1 =f(n),且 f(1)· f(2)· …· f(n)可求,则可用迭乘法求数列的 an

(2) 等差数列前 n 项和 Sn=

n(a1+an) ,推导方法:倒序相加法. 2

na ,q=1, ? ? 1 (3) 等比数列前 n 项和 Sn=?a1-anq a1(1-qn) = ,q≠1. ? 1-q ? 1-q 推导方法:错位相减法. 4. 常见数列的前 n 项和: n(n+1) (1) 1+2+3+…+n= ; 2 (2) 2+4+6+…+2n=n(n+1); (3) 1+3+5+…+(2n-1)=n2; n(n+1)(2n+1) (4) 12+22+32+…+n2= . 6 5. (1) 分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的数列. (2) 拆项相消:有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式,相加过程消去中间项, 只剩有限项再求和. (3) 错位相减:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和. (4) 倒序相加:例如,等差数列前 n 项和公式的推导方法. 6. 常见的拆项公式有: (1) (2) (3) 1 1 1 = - ; n(n+1) n n+1 1 ? 1 1 1 - = ? ; (2n-1)(2n+1) 2?2n-1 2n+1? 1 1 1 1 = ?n(n+1)-(n+1)(n+2)?; ? n(n+1)(n+2) 2? (4) 1 1 = ( a- b). a+ b a-b

题型 1 求简单数列的通项公式 例 1 求下列数列{an}的通项公式: (1) a1=1,an+1=an+2n+1; (2) a1=1,an+1=2nan. 解:(1) an=n 变式训练 求下列数列{an}的通项公式: (1) a1=1,an+1=2an+1; 2an (2) a1=1,an+1= ; 2+an (3) a1=2,an+1=a2 n. 解:(1) an=2n-1 (2) an= 题型 2 分组转化求和 例 2 求下面数列的前 n 项和: 1 1 1 1 1 ,3 ,5 ,7 , … 2 4 8 16 1 1 1 1 1 (2n-1)+ n? 解:Sn=1 +3 +5 +7 +…+? 2 ? ? 2 4 8 16 1 1 1 1? =[1+3+5+…+(2n-1)]+? ?2+4+8+…+2n? 1 1? 1- n? n[1+(2n-1)] 2? 2 ? 1 = + =n2- n+1. 2 1 2 1- 2 备选变式(教师专享) 2 - (3) an=22n 1 n+1
2

(2) an=2

n(n-1) 2

?5n+1,n为奇数, ? 已知 an=? n ?22,n为偶数. ?
(1) 求数列{an}的前 10 项和 S10; (2) 求数列{an}的前 2k 项和 S2k. 解:(1) S10=(6+16+26+36+46)+(2+22+23+24+25) 5(6+46) 2(1-25) = + =192. 2 1-2 (2) 由题意知数列{an}的前 2k 项中,k 个奇数项组成首项为 6,公差为 10 的等差数列, k 个偶数项组成首项为 2, 公比为 2 的等比数列. ∴ S2k=[6+16+…+(10k-4)]+(2+22+… k[6+(10k-4)] 2(1-2k) + +2k)= + =5k2+k+2k 1-2. 2 1-2

题型 3 裂项相消求和 例 3 求下面各数列的前 n 项和: (1) (2) 1 1 1 1 , , , ,… 1×5 3×7 5×9 7×11 22 42 62 82 , 2 , 2 , 2 ,… 2 -1 4 -1 6 -1 8 -1
2

解:(1) ∵ an=

1 1 1 1 = ( - ), (2n-1)(2n+3) 4 2n-1 2n+3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ Sn= (1- + - + - +…+ - + - )= (1+ - - 4 5 3 7 5 9 3 2n+1 2n-3 2n+1 2n-1 2n+3 4 n(4n+5) 1 )= . 2n+3 3(2n+1)(2n+3) (2) ∵ an= (2n)2 1 =1 + (2n-1)(2n+1) (2n-1)(2n+1)

1 1 1 =1+ ?2n-1-2n+1?, 2? ? 1 2n(n+1) 1 ∴ Sn=n+ ?1-2n+1?= . 2? ? 2n+1 备选变式(教师专享) 求 1+ 1 1 1 + +…+ . 1+2 1+2+3 1+2+3+…+n

1 1 2n 解:∵ak=2?k-k+1?,∴Sn= . ? ? n+1 题型 4 倒序相加求和 例4 的值. 解:∵ f(x)+f(1-x)= 备选变式(教师专享) 一个等差数列前 4 项之和为 26,最末 4 项之和为 110,所有项之和为 187,则它的项数 为________. 答案:11 解析:∵a1+a2+a3+a4=26,an+an-1+an-2+an-3=110,∴a1+an= n(a1+an) =187,∴n=11. 2 题型 5 错位相减求和 又 Sn= 例 5 在各项均为正数的等比数列{an}中,已知 a2=2a1+3,且 3a2,a4,5a3 成等差数 列. (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 设 bn=log3an,求数列{anbn}的前 n 项和 Sn. 解:(1) 设{an}公比为 q,由题意得 q>0, 26+110 =34. 4 3 13 ,∴ 原式= 3. 3 3 1 设 f(x)= x , 求 f(-12)+f(-11)+f(-10)+…+f(0)+…+f(11)+f(12)+f(13) 3+ 3

?a2=2a1+3, ?a1(q-2)=3, ? ? 且? 即? 2 ? ?3a2+5a3=2a4, ? ?2q -5q-3=0,

?a1=3, ? 解得? 或 ?q=3 ?

?a =-5, ? 1 (舍), ?q=-2
1


6

所以数列{an}的通项公式为 an=3· 3n 1=3n,n∈N (2) 由(1)可得 bn=log3an=n,所以 anbn=n· 3n. 所以 Sn=1· 3+2· 32+3· 33+…+n· 3n, + 所以 3Sn=1· 32+2· 33+3· 34+…+n· 3n 1, + + 两式相减得,2Sn=-3-(32+33+…+3n)+n· 3n 1=-(3+32+33+…+3n)+n· 3n 1=- 3(1-3n) 3+(2n-1)· 3n 1 + +n·3n 1= , 2 1-3


所以数列{anbn}的前 n 项和 Sn= 备选变式(教师专享)

3+(2n-1)· 3n 1 . 4


已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=3n-1. (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 若 bn=log1(Sn+1),求数列{bnan}的前 n 项和 Tn.
3

解:(1) 当 n=1 时,a1=S1=2, - - 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n 1-1)=2×3n 1, - 综上所述,an=2×3n 1. (2) bn=log1(Sn+1)=log13n=-n,
3 3

所以 bnan=-2n×3 , - Tn=-2×1-4×31-6×32-…-2n×3n 1, - 3Tn=-2×31-4×32-…-2(n-1)×3n 1-2n×3n, 相减,得 - -2Tn=-2×1-2×31-2×32-…-2×3n 1+2n×3n - =-2×(1+31+32+…+3n 1)+2n×3n, 所以 Tn=(1+31+32+…+3n 1)-n×3n=


n-1

1-3n -n×3n 1-3

(2n-1)×3n+1 =- ,n∈N*. 2

1. 数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列且 bn=an+1-an(n∈N ).若 b3=-2,b10=12, 则 a8=________. 答案:3 解析:已知 bn=2n-8,an+1-an=2n-8,由叠加法(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a8-a7)= -6-4-2+0+2+4+6=0 a8=a1=3.

2. (2013· 大纲)等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9. (1) 求{an}的通项公式; (2) 设 bn= 1 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. nan

解:(1) 设等差数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d,
? ? ?a7=4, ?a1+6d=4, 因为? 所以? ?a19=2a9, ?a1+18d=2(a1+8d). ? ?

1 解得 a1=1,d= . 2 所以{an}的通项公式为 an= (2) bn= n+1 . 2

1 2 2 2 = = - , nan n(n+1) n n+1

2 2? ?2 2? ?2- 2 ? 所以 Sn=? ?1-2?+?2-3?+…+ n n+1

?

?



2n . n+1

3. (2013· 湖南)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 a1≠0,2an-a1=S1·Sn,n∈N (1) 求 a1,a2,并求数列{an}的通项公式; (2) 求数列{nan}的前 n 项和. 解:(1) ∵ S1=a1.∴ 当 n=1 时,2a1-a1=S1·S1 a1≠0,a1=1. 当 n>1 时,an=Sn-Sn-1= 2an-a1 2an-1-a1 - =2an-2an-1 S1 S1


an=2an-1

{an}是首项为 a1=1 公比为 q=2 的等比数列,an=2n 1,n∈N*. (2) 设 Tn=1· a1+2· a2+3· a3+…+n· an qTn=1· qa1+2· qa2+3· qa3+…+n· qan qTn=1· a2+2· a3+3· a4+…+n· an+1, 上式左右错位相减: 1-qn (1-q)Tn=a1+a2+a3+…+an-nan+1=a1 -nan+1=2n-1-n· 2n 1-q Tn=(n-1)· 2n+1,n∈N*. 4. 已知等差数列{an}前三项之和为-3,前三项积为 8. (1) 求等差数列{an}的通项公式; (2) 若 a2,a3,a1 成等比数列,求数列{|an|}的前 n 项和.
? ?3a1+3d=-3, 解:(1) 设公差为 d,则? ?a1(a1+d)(a1+2d)=8, ? ? ?a1=2, ? ?a1=-4, 解得? 或? ?d=-3 ? ?d=3. ?

∴ an=-3n+5 或 an=3n-7. (2) 当 an=-3n+5 时,a2,a3,a1 分别为-1,-4,2 不成等比数列; 当 an=3n-7 时,a2,a3,a1 分别为-1,2,-4 成等比数列,满足条件.

?-3n+7,n=1,2, ? 当|an|=|3n-7|=? ? ?3n-7,n≥3.

n=1,S1=4;n=2 时,S2=5; 3 11 当 n≥3 时,Sn=|a1|+…+|an|= n2- n+10. 2 2 又 n=2 满足此式, 4(n=1), ? ? ∴ Sn=?3 2 11 ?2n - 2 n+10(n>1). ?

?n-1,n为奇数, ? 1. 已知数列 an=? 求 a1+a2+a3+a4+…+a99+a100 的值. ?n,n为偶数, ?

解:由题意得 a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=0+2+2+4+4+…+98+98+100=2(2 +4+6+…+98)+100=2× 49×(2+98) +100=5 000. 2
n2-6n

1? 2. 已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项的乘积 Tn=? ?4? 列{bn}的前 n 项和 Sn 取最大时,n=________. 答案:3

(n∈N*),bn=log2 an,则数

Tn ?1?n -6n-(n-1) +6(n-1) ?1? 解析: 当 n=1 时, a1=T1=4 =2 , 当 n≥2 时, an= = =?4? Tn-1 ?4?
5 10
2n-7

2

2

=214

-4n

,此式对 n=1 也成立,所以 an=214

-4n

,从而 bn=log2an=14-4n,可以判断数

列{bn}是首项为 10,公差为-4 的等差数列,因此 Sn=-2n2+12n,故当 n=3 时,Sn 有最 大值. 3. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对一切正整数 n,点 Pn(n,Sn)都在函数 f(x)=x2+2x 的图象上,且在点 Pn(n,Sn)处的切线的斜率为 kn. (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 若 bn=2knan,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解: (1) ∵ 点 Pn(n,Sn)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上, ∴ Sn=n2+2n(n∈N*),当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n+1,当 n=1 时,a1=S1=3 满足 上式,所以数列{an}的通项公式为 an=2n+1. (2) 由 f(x)=x2+2x,求导得 f′(x)=2x+2. ∵ 在点 Pn(n,Sn)处的切线的斜率为 kn, ∴ kn=2n+2,∴ bn=2knan=4· (2n+1)· 4n, ∴ Tn=4×3×4+4×5×42+4×7×43+…+4×(2n+1)×4n,用错位相减法可求得 Tn 6n+1 n+2 16 = ·4 - . 9 9 4. 已知等差数列{an}是递增数列,且满足 a4·a7=15,a3+a8=8. (1) 求数列{an}的通项公式;

(2) 令 bn=

1 1 (n≥2),b1= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 3 9an-1an

解:(1) 根据题意:a3+a8=8=a4+a7,a4·a7=15,知:a4,a7 是方程 x2-8x+15=0 的两根,且 a4<a7,解得 a4=3,a7= 2 5,设数列{an}的公差为 d,由 a7=a4+(7-4)· d,得 d= .故等差数列{an}的通项公式为 3 2n+1 2 an=a4+(n-4)· d=3+ (n-4)= . 3 3 1 1 (2) 当 n≥2 时,bn= = 9an-1an ?2 1??2 1? 9?3n-3??3n+3? = 1 1 1 1 = ?2n-1-2n+1?. ? (2n-1)(2n+1) 2?

1 1 1 1- ?, 又 b1= = ? 3 2? 3? ∴ Sn=b1+b2+…+bn 1 1 1 1 1 1 = ?1-3+3-5+…+2n-1-2n+1? 2? ? 1 1 n = ?1-2n+1?= 2? ? 2n+1. 1. an 的两种常见变形 an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)(累加法) a2 a3 an an=a1· · ·… (累乘法) a1 a2 an-1 2. 数列求和的方法技能 ① 倒序相加 ② 错位相减 ③ 分组求和 ④ 拆项相消 3. 方程思想、函数思想、化归思想、整体思想、分类讨论等数学思想在数列中均得到 广泛应用, 尤其是运用化归的思想将问题转化为等差、 等比数列问题来研究是解决数列综合 问题的最基本思维方法.


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