高一数学第一学期期末试卷(附答案)

绝密★启用前

高一第一学期期末测试
一.选择题：本大题共 12 个小题.每小题 4 分;共 48 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是符合题目要求的． 1．已知集合 A ? ?2,3?, B ? ?2,3,5?，则集合 A ? B = A. ?2? B. ?2,3? C.

?2,3,5?

D. ?2,3,2,3,5?

1) 到直线 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 的距离等于 2．点 P(?2，
A.

4 5

B.

10 7

C.2

D.

12 5

3．下列命题中正确的是 ①平行于同一条直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③平行于同一个平面的两条直线互相平行； ④垂直于同一个平面的两条直线互相平行. A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④ A1 D C.③ D.①②③ A 5．已知奇函数 f ( x ) ，当 x ? 0 时 f ( x) ? x ? A.1 B.2 C.-1 B 第 4 题图 D1 B1 C1

4. 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，①DA1 与 BC1 平行； ②DD1 与 BC1 垂直；③A1B1 与 BC1 垂直．以上三个命题中， 正确命题的序号是 A.①② B.②③

C

1 ，则 f (?1) = x

D.-2

6．下列函数中，在区间 (0,2) 上是增函数的是 A. y ? x 2 ? 4 x ? 5 B. y ?

x

C. y ? 2? x

D. y ? log 1 x
2

7.函数 f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数，当 x > 0 时 f ( x) ? ? x ? 1 ，则当 x < 0 时， f ( x ) 的表达式为 A． f ( x ) ? x ? 1 B． f ( x) ? x ? 1 C． f ( x) ? ? x ? 1 D ． f ( x) ? ? x ? 1

8．已知过点 A (?2, m) 、B (m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行，则 m 的值为 A. 0 B. -8 C. 2 D. 10

1

9．两圆 x 2 ? y 2 ? 1 ? 0 和 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 的位置关系是 A．内切 B．相交 C．外切 D．外离

10．函数 f ( x) ? 3ax ? 1 ? 2a ，在区间 (?1,1) 上存在一个零点，则 a 的取值范围是 A． ?1 ? a ?

1 5

B． a ?

1 5

C． a ?

1 或 a ? ?1 5
2 3 2

D． a ? ?1

11．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的表面积是 A. 9 π C. 11π B. 10 π D. 12 π

2

第 11 题图 12．已知圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ,则过点 P ?1, 2 ? 的最短弦所在直线 l 的方程是 A. 3x ? 2 y ? 7 ? 0 B. 2 x ? y ? 4 ? 0 C. x ? 2 y ? 3 ? 0 D. x ? 2 y ? 3 ? 0

二．填空题：本大题共 4 个小题.每小题 4 分;共 16 分．将答案填在题中横线上． 13．已知集合 A= x x ? 6 ，B= x x ? 3 ，则 A

?

?

?

?

B=

．

14．在空间直角坐标系中 o ? xyz ,点 B 是点 A（1，2，3）在坐标平面 yOz 内的正射影， 则 OB 等于 .

15．等边三角形的边长为 2，它绕其一边所在的直线旋转一周，则所得旋转体的体 积是 ． .

16．圆心是点 (1, ?2) ，且与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 相切的圆的方程是 三．解答题：本大题共 6 个小题.共 56 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 8 分）已知点 A?4,6?, B?? 2,4? ，求： （1） 直线 A B 的方程；以线段 AB 为直径的圆的方程.

2

18．（本小题满分 8 分） 已知函数 f ( x) ? x2 ? x ? 2 ．求： （1） f ( x ) 的值域；（2） f ( x ) 的零点；（3） f ( x) ? 0 时 x 的取值范围．

19．（本小题满分 10 分）如图，已知正四棱锥 P-ABCD 的底边长为 6、侧棱长为 5. 求正四棱锥 P-ABCD 的体积和侧面积． P

D A 第 19 题图 B

C

20．（本小题满分 10 分） 计算下列各式： （1） (2 ) 2 ? (?9.6) ? (3 )
0

1 4

1

3 8

?

2 3

? (1.5) ?2 ；（2） log3

4

27 ? lg 25 ? lg 4 ? 7log7 2 . 3

3

21．（本小题满分 10 分）如图, 在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AC＝3，BC＝4， AB ? 5 ， AA1＝4，点 D 是 AB 的中点， （1）求证：AC⊥BC1； （2）求证：AC 1//平面 CDB1；

第 21 题图

22．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) ?

ex a ? (a ? 0, a ? R) 是 R 上的偶函数. a ex

（1）求 a 的值；（2）证明函数 f ( x ) 在 [0, ??) 上是增函数．

4

高一数学试题参考答案及评分标准
一．选择题： 1．C 2．C 3．B 4．C 5．D 6．B 二．填空题: 13． x 3 ? x ? 6 三．解答题: ⒘ 解: 设直线上的点的坐标为 ? x, y ? 则有 y ? 6 ? ………………………………1 分 ………………………………3 分 ……………………………4 分 7．C 8．B 9．B 10．C 11．D 12．D

?

?

14． 13

15． 2?

16． ( x ? 1) ? ( y ? 2) ?
2 2

1 5

4?6 ( x ? 4) ?2?4

化简得 x ? 3 y ? 14 ? 0 （1） 由 AB ?

?? 2 ? 4?2 ? ?4 ? 6?2
…

? 2 10

……………………………5 分 …………………………6 分 ……………………………7 分

所以圆的半径 r ? 10 圆心坐标为 ?

??2? 4 4?6? , ? ? ?1,5? 2 ? ? 2
2 2

所以圆的方程为 ?x ? 1? ? ? y ? 5? ? 10 或
2 2 ⒙解：（1） f ( x) ? x ? x ? 2 ? ( x ? ) ?

? 10 ?

2

…………………8 分

1 2

2 4 ? 1? （? 2）（ ? ? 1） 9 9 9 ? ? 或 f ( x) min = ?? ， 4 4 4 ?1 4

得函数 f ( x ) 的值域[- ,+?) ．…………………………………………………3 分 （2）令 x ? x ? 2 ? 0 ，得函数 f ( x ) 的零点-1，2
2

9 4

……………………………6 分 ………8 分

（ ? 1， 2） （3）由图得 f ( x) ? 0 时 x 的取值范围是 ．
⒚．解：设底面 ABCD 的中心为 O，边 BC 中点为 E， 连接 PO，PE，OE……………………1 分 在 Rt ?PEB 中，PB=5， BE=3，则斜高 PE=4 ………………2 分

-1

2 P

D O A 第 19 题图 ………………………………6 分 B E

C

在 Rt ?POE 中，PE=4， OE=3，则高 PO= 7 …………………4 分 所以 V ?

1 1 ? S ABCD ? PO ? ? 62 ? 7 ? 12 7 3 3
5

S侧面积 ?

1 1 ? c ? PE ? ? 4 ? 6 ? 4 ? 48 2 2
2 ? 2 3

………………………8 分

?9? ? 27 ? ⒛（1）原式 ? ? ? 1 ? ? ? ?4? ? 8 ?

?3? ?? ? ?2?

?2

…………………………1 分

3 2? 1 3 ?3? 2 3 ? ( ) 2 ? 1 ? ( ) 3 ? ( ) ?2 2 2 2
?

…………………………2 分

3 3 3 ? 1 ? ( ) ?2 ? ( ) ?2 2 2 2 1 ? …………………………………………………………4 分 2
3

34 ? lg(25 ? 4) ? 2 （2）原式 ? log 3 3
= log3 3
? 1 4

…………………………6 分

? lg102 ? 2 …………………………………………………7 分
……………………………………………8 分

1 15 ? ? ?2?2 ? 4 4

21．证明 ：（1）底面三边长 AC=3，BC=4，AB=5， ∴ AC⊥BC， …………………………2 分

又 AC⊥ C1 C，∴ AC⊥平面 BCC1 B1 ；………4 分 ∴ AC⊥BC1 …………5 分

（2）设 CB1 与 C1B 的交点为 E，连结 DE， ∵ D 是 AB 的中点，E 是 BC1 的中点， ∴ DE//AC1 …………………………………………7 分 第 21 题图

∵ DE ? 平面 CDB1 ………………………………………………………………8 分 AC1 ? 平面 CDB1………………………………………………………………9 分 ∴ AC1//平面 CDB1 ………………………………………………………………10 分 22．解：（1）

f ( x) 是偶函数，? f (? x) ? f ( x) ，即
1 a
x

e? x a ex a ? ? x ? ? x ，…2 分 a e a e

1 1 ) ? 0 ，得 a ? ? 0 ，又 a ? 0 ，? a ? 1 ．…………5 分 x e a 1 x （2）由（1）得 f ( x ) ? e ? x ． e （a ? )(e ? 整理得
设 0 ? x1 ? x2 ，

6

1 1 （e x1 ? e x2 )(e x1 ? x2 ? 1) x2 （e ? x1 ) ? （e ? x2 ) = ；…………8 分 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e e e x1 ? x2
x1

0 ? x1 ? x2 ，? x1 ? x2 ? 0 ，?ex1 ? ex2 ? 0, ex1 ? x2 ? 1，
（e x1 ? e x2 )(e x1 ? x2 ? 1) ? ? 0 ，即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ， e x1 ? x2

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ；…………………………………………………………………11 分
所以函数 f ( x ) 在 [0, ??) 上是增函数． …………………………………………12 分

7