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福建省2015届高三期中考试数学(文)试题


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永和中学 2014 届高三上学期期中考试 数学(文)试题
京翰高考网试题(gaokao.zgjhjy.com)
考试时间:150 分钟;

第 I 卷(选择题)
一、选择题(共 12 小题,每题 5 分,共 60 分) 1.设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5,6,7,8 ? , A ? {1, 2,3,5} , B ? {2, 4, 6} ,则图中的阴影部分表示 的集合为( )

A. ?2?

B. ?4, 6?

C. ?1,3,5?

D. ?4,6,7,8? )

2.命题“ ?x0 ? R ,使 log 2 x0 ? 0 成立”的否定为( A. ?x0 ? R ,使 log 2 x0 ? 0 成立 C. ?x0 ? R ,均有 log 2 x0 ? 0 成立 3.已知函数 f ( x) ? A. ?x | x ? ?1 ?

B. ?x0 ? R ,使 log 2 x0 ? 0 成立 D. ?x0 ? R ,均有 log 2 x0 ? 0 成立 ) D. ?

1 + ln(1 ? x) ,则 f(x)的定义域为( 1? x
B. ?x | x ? 1 ? C. ?x | ?1 ? x ? 1? 则 f ( f ( 1 )) 的值是 ( )

4.已知函数 f ( x) ? ? A.10

?log 2 x , x ? 0, ?3 ? 1, x ? 0,
x

4

B. 10

9

C.-2

D. -5 ).

5.已知 a ? ?? 3,2?, b ? ?? 1,0? ,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 垂直,则实数 ? 的值为( A. ?

1 7

B.

1 7

C. ?

1 6

D.

1 6
).

6.设向量 a, b, c ,满足 a ? b ? c ? 0 ,且 a ? b , a ? 1, b ? 2, ,则 c ? ( A.1 B. 2 C.2 D. )

5

7.已知 ? 为第三象限角,则 A.第一或第二象限 C.第一或第三象限

? 所在的象限是( 2

B.第二或第三象限 D.第二或第四象限角

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?x ? y ?1 ? 0 ? 8.如果实数 x 、 y 满足条件 ? y ? 1 ? 0 ,那么 2 x ? y 的最大值为( ?x ? y ?1 ? 0 ?
A. 2 B. 1 C. ?2 ) D. ?3 9. “ x ? 1 ? 2 成立”是“ x( x ? 3) ? 0 成立”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ). D、 (3,4)

10.设 x0 是方程 ln x ? x ? 5 的解,则 x0 属于区间( A、 (0,1) B、 (1,2) C、 (2,3)

11.已知函数 f ( x) ? ax2 ? x ? 5 恒大于零,则 a 的取值范围为( ) A. ? 0,

? ?

1 ? ? 20 ?

B. ? ? ?,?

? ?

1 ? ? 20 ?

C. ?

? 1 ? ,?? ? ? 20 ?

D. ? ?

? 1 ? ,0 ? ? 20 ?

12.函数 y ? a x ? a(a ? 0, a ? 1) 的图象可能是(

).

A、

B、

C、

D、

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2013-2014 学年永和中学高三年文科数学秋季期中考卷
(考试时间:120 分钟 满分:150 分)

答题卡
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的) .
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分).
13.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? log 2 x, 则 f (?2) 的值等于 ____

4 的最小值为 . x?4 1 15.已知 ? 是第三象限角, sin ? ? ? ,则 tan ? = 3
14.若 x ? 0 ,则 x ? 16.设 a 与 b 为非零向量,下列命题: ①若 a 与 b 平行,则 a 与 b 向量的方向相同或相反; ②若 AB ? a , CD ? b , a 与 b 共线,则 A、B、C、D 四点必在同一条直线上; ③若 a 与 b 共线,则 a ? b ? a ? b ; ④若 a ? b ? a ? b ,则 a ? b ; ⑤若 a ? c ? b ? c , 且c ? 0 ,则 a=b 其中正确的命题的编号是 (写出所有正确命题的编号

三、解答题(共 6 小题,前 5 题各 12 分,最后一题 14 分,共 74 分)
17.设集合

P ? {x x 2 ? x ? 6 ? 0}



Q ? {x 2a ? x ? a ? 3}

.

(1)若 P ? Q ? P ,求实数 a 的取值范围; (2)若 P ? Q ? ? ,求实数 a 的取值范围;

18.已知 a ? 4, b ? 3, 2a ? 3b ? (2a ? b) ? 61

?

?

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求(1) a 与 b 的夹角 ?

(2)求 a ? b 和 a ? b

19 . 在

?ABC , 角

A, B, C

所 对 的 边 分 别 为

a, b, c

, 向 量

p ? (1 ? sin A,

12 ), q ? (cos 2 A, 2sin A) ,且 p // q 。 7

(1)求 sin A 的值; (2)若 b ? 2, S?ABC ? 3 ,求 a 的值。

20.今有一长 2 米宽 1 米的矩形铁皮,如图,在四个角上分别截去一个边长为 x 米的正方形 后,沿虚线折起可做成一个无盖的长方体形水箱(接口连接问题不考虑).

(Ⅰ)求水箱容积的表达式 f ( x ) ,并指出函数 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ)若要使水箱容积不大于 4 x 立方米的同时,又使得底面积最大,求 x 的值.
3

21.已知函数 f ( x ) 对一切实数 x, y 都有 f ( x ? y) ? f ( y) ? x( x ? 2 y ? 1) 成立,且 f (1) ? 0 .

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(1)求 f (0) 的值,并求 f ( x ) 的解析式; (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 在区间 ? ?2, 2? 上是单调函数,求实数的取值范围;

22、已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 9 x ? 2 ,若 x= 的切线的斜率是 ? 3 . (1)求 f ( x ) 的解析式 (2)求 f ( x ) 的单调区间;

1 是 f ( x ) 的一个极值,且 f ( x ) 在 x =1 处 2

2 2 (3)若对任意的 x ? ? 1 , 2 ? 都有 f ( x ) ≥ t ? 2t ? 1 成立,求函数 g (t ) = t ? t ? 2 的最值. ? ? 4 ? ?

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参考答案 1.B 【解析】

【解 析】 试题分析:因为命题为“ ?x0 ? R ,使 log 2 x0 ? 0 成立” ,将存在改为任意, log 2 x0 ? 0 的否定 为 log 2 x0 ? 0 ,则可知其否定形式即为 ?x0 ? R ,均有 log 2 x0 ? 0 成立,故答案为 D. 考点:本试题主要考查了特称命题的否定的运用。 点评:解决该试题的关键是准确运用量词,存在改为任意,结论变为否定即为其命题的否定。

4.B 【解析】 试题分析:结合已知函数 f(x),要求解 f (f ( )), 先求解 f ( )

1 4

1 4

当 x=

1 1 1 1 ?2 , f ( ) ? log 2 ? log 2 2 ? ?2 ,那么 f (f ( )) ? f ( ?2) ,将变量 x=-2 代入第二段解析式 4 4 4 4
?2

中得到 ? 3 ? 1 ?

10 ,故选 B。 9

考点:本试题主要考查了分段函数的解析式的运用。 点评:解决该试题的关键对于复合函数的求解,要从内向外依次求解得到。 5.A 【解析】
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试题分析:因为

a ? ? ?3, 2 ? , b ? ? ?1, 0 ? ? b a ? ?3 ? (-1) +2 ? 0=3 ,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 垂直则

2 2 b|=1,(? a ? b) (a-2b) =13? ? 3 ? (1 ? 2? ) ? 2 ? 0 , 故解得实数 ? 可知得到 |a|= 3 +2 = 13,|

的值为 ?

1 7 ,故选 A.

考点:向量的垂直运用 点评:解题的关键是利用数量积为零,结合向量的平方就是模长的平方,来得到求解,属于基础 题。 6.D 【解析】 试题分析:根据题意,由于

r r r r r r r r2 r r r2 r r r2 a ? b ? c ? 0 ? c=-(a ? b) ? c =[-(a ? b)]2 =(a +2ag b+b ) r =(1+4+0) =5 ? | c |? 5
故可知答案 D. 考点:向量的数量积 点评:本题考查向量的数量积和向量的模长公式,属基础题.

8. B 【解析】 试题分析:解:先根据约束条件画出可行域,

当直线 2x-y=t 过点 A(0,-1)时, t 最大是 1,故答案为 B 考点:本试题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题. 点评:解决该试题的关键是先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=2x-y 表示直
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线在 y 轴上的截距,只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最大值即可. 9.B 【解析】略 10.D 【解析】 试题分析:设 f ( x) ? ln x ? x ? 5, 则 f (1) ? ln1 ? 1 ? 5 ? ?4 ? 0, f (1) ? ln 2 ? 2 ? 5 ? 0,

f (3) ? ln 3 ? 3 ? 5 ? ln 3 ? 2 ? 0, f (4) ? ln 4 ? 4 ? 5 ? ln 4 ? 1 ? 0, 所以 x0 属于区间(3,4)
考点:本题主要考查函数的零点存在定理. 点评:对于此类题目,学生主要应该掌握好零点存在定理,做题时只要依次代入端点的值,判断 函数值的正负即可,一般出选择题. 11. 12.C 【解析】 试题分析:分 a ? 1 与 0 ? a ? 1 两种情况判断出大体形状,在根据图象“上加下减”的原则可以判 断出选 C. 考点:本小题主要考查指数函数的图象以及函数图象的平移. 点评:对于此类题目,学生主要应该分清楚底数对指数函数的单调性的影响,底数 a ? 1 时指数函 数单调递增,底数 0 ? a ? 1 时指数函数单调递减. 13.-1 【解析】 试题分析:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴f(-2)=-f(2) ,又∵当 x>0 时,f(x)=log2x, ∴f(2)=log22=1,∴f(-2)=-1,故答案是-1. 考点:本试题主要考查了函数的奇偶性及函数值,深刻理解以上有关知识是解决问题的关键. 。 点评:解决该试题的关键结合奇偶性能将 f(-2)=-f(2)转化代入已知关系式中解得。 14.8 点评:解决该试题的关键是准确运用一正二定三项等来得到。 15. 2 2 【解析】由题意知 cos ? ? ? 1 ? sin 【考点定位】同角三角函数的关系 16.1、 4 17.
2

? ? ? 1?

1 2 2 cos ? ?2 2. ?? .故 cot ? ? sin ? 9 3

3 ? sin A ? (2) a ? 3 5 18 . ( 1) 5
【解析】 试题分析: (1) p // q,? 或 ?2

12 3 cos 2 A ? (1 ? sin A) ? 2sin A , ? 5sin 2 A ? 7 sin A ? 6 ? 0,? sin A ? 7 5

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又 sin A ? (0,1] ,? sin A ? (2) S ?ABC ?

3 5

1 3 4 bc sin A ? 3, b ? 2,sin A ? ,? c ? 5 ,又 cos A ? ? 2 5 5 4 4 当 cos A ? 时,由余弦定理得 a ? 13 ;当 cos A ? ? 时,由余弦定理得 a ? 3 5 5 5
考点:本题考查了向量的运算及二倍角公式、余弦定理等 点评:此类问题比较综合,不仅考查了学生对向量的坐标运算、二倍角公式的变形及运用,还考 查了正余弦定理的运用,考查了学生的综合分析能力及解题能力 19.(1) {x|0<x<

1 1 } (2) 2 3

【解析】 试题分析:解:(Ⅰ)由已知该长方体形水箱高为 x 米,底面矩形长为(2-2x)米,宽(1-2x)米. ∴该水箱容积为 f(x)=(2-2x)(1-2x)x=4x3-6x2+2x. ?????????4 分 其中正数 x 满足 ?

?2 ? 2 x ? 0 1 ∴0<x< . 2 ?1 ? 2 x ? 0

1 }.?????????6 分 2 1 (Ⅱ)由 f(x)≤4x3,得 x ≤ 0 或 x ≥ , 3 1 1 1 ∵定义域为{x|0<x< },∴ ≤ x< .?????????8 分 2 3 2
∴所求函数 f(x)定义域为{x|0<x< 此时的底面积为 S(x)=(2-2x)(1-2x)=4x2-6x+2

1 1 3 1 , )).由 S(x)=4(x- )2- ,?????????10 分 3 2 4 4 1 1 可知 S(x)在[ , )上是单调减函数, 3 2 1 1 ∴x= .即满足条件的 x 是 .?????????12 分 3 3
(x∈[ 考点:本试题考查了函数的实际运用。 点评:对于实际运用题,要准确的审清题意,并能抽象出函数关系式,然后结合分段函数的性质 来分析定义域和单调性,以及求解最值的问题。注意实际问题中,变量的范围确定,要符合实际 意义,属于中档题。 22. (Ⅰ) f ( x) ? 4 x3 ?12 x2 ? 9 x ? 2 ,

3 1 1 3 f ( x) 的单调增区间为 ( , ??), (??, ) , f ( x) 的单调减区间为 ( , ) 2 2 2 2 1 9 (Ⅱ)当 t ? 时, g (t ) 最小值为 ? ,当 t ? 3 , g (t ) 最大值为 10 2 4
【解析】解: f ( x) ? 3ax ? 2bx ? 9
/ 2

???????1 分

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3 ? 1 ? f ?( ) ? a ? b ? 9 ? 0 (1)由题意可得 ? 2 4 ? ? f ( 1 ) ? 3 a ? 2b ? 9 ? ?3 ?
故 f ( x) ? 4 x3 ?12 x2 ? 9 x ? 2 由 f / ( x) ? 0 得: x ?

解得 ?

?a?4 , ????2 分 ?b ? 12
????3 分

f / ( x) ? 12x2 ? 24x ? 9 ,

1 3 3 1 或 , 由 f / ( x) ? 0 得: x ? 或x ? -????4 分 2 2 2 2 1 3 ?x? , 由 f / ( x) ? 0 得: ?????5 分 2 2 3 1 1 3 f ( x) 的单调增区间为 ( , ??), (??, ) , f ( x) 的单调减区间为 ( , ) ??6 分 2 2 2 2 3 (2)由(1)可知 f ( x ) 的极小值为 f ( ) ? 2 , ?????7 分 2 1 57 1 又 f( )? , f (2) ? 4 ,? f ( x ) 在 [ , 2] 上的最小值为 2, ?????8 分 4 4 16 1 2 由 f ( x) ? t ? 2t ?1 对 x ? [ ,2] 恒成立, 则 t 2 ? 2t ? 1 ? 2 ,即 t 2 ? 2t ? 3 ? 0 , 4 解得 ? 1 ? t ? 3 , ??????10 分 1 2 9 2 而 g (t ) ? t ? t ? 2 ? (t ? ) ? , 2 4 1 9 故当 t ? 时, g (t ) 最小值为 ? ,当 t ? 3 , g (t ) 最大值为 10 ?????12 分 2 4 22.解(1)令 x ? ?1, y ? 1 ,则由已知 f (0) ? f (1) ? ?1(?1 ? 2 ? 1) ,
∴ f (0) ? ?2 ?? 3 分 令 y ? 0 , 则 f ( x) ? f (0) ? x( x ? 1) ,又∵ f (0) ? ?2 ,∴ f ( x) ? x2 ? x ? 2 (2) g ( x) ? x ? x ? 2 ? ax ? x ? (1 ? a) x ? 2
2 2

???6 分

由已知得

a ?1 a ?1 ? ?2或 ? 2 ∴ a ? ?3或a ? 5 ????????????.10 分 2 2
2 即 x2 ? x ? 2 ? 3 ? 2 x ? m 即 x ? x ? 1 ? m

(3)不等式 f ( x) ? 3 ? 2 x ? m 当0 ? x ?

1 3 2 时, ? x ? x ? 1 ? 1 .?????????????..?.?..?.?12 分 2 4

2 又 x ? x ? 1 ? m 恒成立,故 m ? 1 ?????????..???..??..?..?...14 分

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