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选修2第2讲:方程与曲线(教师版)


曲线与方程(解析)
1 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系; 2 了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质; 3 能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.

【重点知识梳理】 1.曲线与方程 一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上点 的坐标与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解满

足如下关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做 方程的曲线. 2.求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系. (2)设点——设轨迹上的任一点 P(x,y). (3)列式——列出动点 P 所满足的关系式. (4)代换——依条件式的特点, 选用距离公式、 斜率公式等将其转化为 x, y 的方程式,并化简. (5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程. 3.两曲线的交点 (1)由曲线方程的定义可知,两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解,即两个曲线方 程组成的方程组的实数解;反过来,方程组有几组解,两条曲线就有几个交点;方程组无解,两条 曲线就没有交点. (2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解.可见,求曲线的交点问 题,就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.

类型一 曲线与方程的关系 例1:如果曲线 C 上点的坐标满足方程 F(x,y)=0,则有( A.方程 F(x,y)=0 表示的曲线是 C B.曲线 C 的方程是 F(x,y)=0 C.点集{P|P∈C}?{(x,y)|F(x,y)=0} D.点集{P|P∈C}{(x,y)|F(x,y)=0}
1

)

【解析】选 C.A,B 错,因为以方程 F(x,y)=0 的解为坐标的点不一定在曲线 C 上,若以方程 F(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上,则点集{P|P∈C}={(x,y)|F(x,y)=0},故 D 错,选 C. 【答案】C. 练习1:f(x0,y0)=0 是点 P(x0,y0)在曲线 f(x,y)=0 上的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选 C.由曲线与方程的概念可知,若点 P(x0,y0)在曲线 f(x,y)=0 上,则必有 f(x0,y0)=0;又当 f(x0,y0)=0 时,点 P(x0,y0)也一定在方程 f(x,y)=0 对应的曲线上,故选 C. 【答案】C. 练习 2.(2014?石家庄高二检测)方程 x2+y2=1(xy<0)的曲线形状是( )

A.
2

B.
2

C.

D.

【解析】选 C.方程 x +y =1(xy<0)表示以原点为圆心,1 为半径的圆在第二、四象限的部分。 【答案】C. 类型二 直接法求轨迹方程 0), 例 2: 已知动圆过定点 A(4, 且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8.试求动圆圆心的轨迹 C 的方程.

【解析】如图

设动圆圆心为 O1(x,y),由题意,|O1A|=|O1M|,当 O1 不在 y 轴上时,过 O1 作 O1H⊥MN 交 MN 于 H,则 H 是 MN 的中点.∴|O1M|=
2

,又|O1A|= ( x ? 4) 2 ? y 2 ,∴ ( x ? 4) 2 ? y 2 =

O1 与 O 重合, , 化简得 y =8x(x≠0). 当 O1 在 y 轴上时, 点 O1 的坐标(0,0)也满足方程 y2=8x,
2 ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y =8x. 2 【答案】动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y =8x.

练习 1:在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(a,b)(a>b>0)为动点,F1,F2 分别为椭圆 的左、右焦点.已知△F1PF2 为等腰三角形. (1)求椭圆的离心率 e;

x2 y2 ? ?1 a 2 b2

→ → (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点,M 是直线 PF2 上的点,满足AM·BM=-2,求点 M 的轨迹方程. 【解析】 (1)解:设 ,由题意,可得 ,即 ,

整理得

,得

(舍)或

,所以



(2)解:由(Ⅰ)知

,可得椭圆方程为
2

,直线 PF2 方程为

,A,B 两点的坐标满足方程组

,消去 y 并整理,得



解得

,得方程组的解

,不妨设

,设点 M 的

坐 标 为 (x , y) , 则

,由

,得

,于是

, 简得 轨迹方程是 【答案】 (1) ,将 代入 。

,由 ,得

,即

,化 ,所以 x>0,因此,点 M 的

(2) 练习 2:平面直角坐标系 xOy 中,直线 x-y+1=0 截以原点 O 为圆心的圆所得的弦长为 6,求 圆 O 的方程。 【解析】因为 O 点到直线 x-y+1=0 的距离为 所以圆 O 的方程为 x +y =2. 【答案】因为 O 点到直线 x-y+1=0 的距离为 所以圆 O 的方程为 x +y =2. 类型三 定义法求轨迹方程 例 3:已知圆 M:(x+1) +y =1,圆 N:(x-1) +y =9,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切, 圆心 P 的轨迹为曲线 C.求 C 的方程. 【解析】由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1=1;圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2=3.设圆 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R.(1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1) +(r2-R)=r1+r2=4.由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左、右焦点,长半轴长为 2,短半轴 长为 的椭圆(左顶点除外),其方程为 (x≠-2).
2 2 2 2 2 2 2 2

1 2

,所以圆 O 的半径为

? 1 ?2 ? 6?2 ? ? +? ? = 2, ? 2? ? 2 ?

1 2

,所以圆 O 的半径为

? 1 ?2 ? 6?2 ? ? +? ? = 2, ? 2? ? 2 ?

3

【答案】

(x≠-2).

练习 1:【2015 江苏高考,18】 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 准线 l 的距离为 3.求椭圆的标准方程; 【解析】求椭圆标准方程,只需列两个独立条件即可:一是离心率为 准线 l 的距离为 3,解方程组即得。 【答案】由题意,得

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,且右焦点 F 到左 2 a b 2

2 ,二是右焦点 F 到左 2

a c 2 且c ? ? 3 ,解得 a ? 2 , c ? 1 ,则 b ? 1 ,所以椭圆的标准 ? c a 2

2

方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2
→ → →

练习 2:在△ABC 中,|BC|=4,△ABC 的内切圆切 BC 于 D 点,且|BD|-|CD|=2 2,求顶点 A 的轨迹方程. 【解析】以 BC 的中点为原点,中垂线为 y 轴建立如图所示的坐标系,E、F 分别为两个切点.

则|BE|=|BD|,|CD|=|CF|,|AE|=|AF|.∴|AB|-|AC|=2 2,∴点 A 的轨迹为以 B,C 的焦 点的双曲线的右支(y≠0)且 a= 2,c=2,∴b= 2,∴轨迹方程为 - =1(x> 2)。 2 2 【答案】轨迹方程为 - =1(x> 2). 2 2 类型四 相关点法求轨迹方程 例 4:如图,动圆 C1:x +y =t ,1<t<3,与椭圆 C2: +y =1 相交于 A,B,C,D 四点.点 9
2 2 2

x2 y2

x2 y2

x2

2

A1,A2 分别为 C2 的左,右顶点.求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程.

4

【解析】设出 、 两点坐标,求得直线 消去参数,即可求得交点 【答案】设 ,直线 两式相乘可得: 由点 在椭圆 。 故直线 与直线 交点 的轨迹方程为 上可知:



的方程,联立两直线方程,得出交点坐标,

的轨迹方程(注意 、 的取值范围)。 , 的方程为 。 ,故 ,代入 得: ,又知 , 。 ,则直线 的方程为



练习 1:设 F(1,0),M 点在 x 轴上,P 点在 y 轴上,且MN=2MP,PM⊥PF,当点 P 在 y 轴上运动 时,求点 N 的轨迹方程. 【解析】设 M(x0,0),P(0,y0),N(x,y), ∵PM⊥PF,PM=(x0,-y0),PF=(1,-y0), ∴(x0,-y0)·(1,-y0)=0,∴x0+y0=0. 由MN=2MP得(x-x0,y)=2(-x0,y0),
2



→ → →

→ → →







? ? ?x-x0=-2x0, ? ∴? 即? 1 ?y=2y0, ? ?y0= y, ?
2 ∴-x+ =0,即 y =4x. 4

x0=-x,

y

2 2

故所求的点 N 的轨迹方程是 y =4x 【答案】设 M(x0,0),P(0,y0),N(x,y), ∵PM⊥PF,PM=(x0,-y0),PF=(1,-y0), ∴(x0,-y0)·(1,-y0)=0,∴x0+y0=0. 由MN=2MP得(x-x0,y)=2(-x0,y0),
?x-x0=-2x0, ? ? ? ∴? 即? 1 ?y=2y0, ? ?y0= y,
2

2

→ → →







x0=-x,
2

?

∴-x+ =0,即 y =4x. 4 故所求的点 N 的轨迹方程是 y =4x
5
2

y2

2

1.下面四组方程表示同一条曲线的一组是( A.y2=x 与 y=

) B.y=lgx2 与 y=2lgx D.x2+y2=1 与|y|=

C.

=1 与 lg(y+1)=lg(x-2)

【答案】选 C. 2. 【2015 高考广东, 理 7】 已知双曲线 则双曲线 A. 【答案】B. 3.(2014?天津高二检测)点 P(2,-3)在曲线 x -ay =1 上,则 a=_____________. 【答案】a=1/3 4.已知点 A(a,2)既是曲线 y=mx 上的点,也是直线 x-y=0 上的一点,则 m=____________. 【答案】1/4 x2 y2 5.已知椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交椭圆于 A,B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为________. x2 y2 【答案】18+ 9 =1 6.已知圆 C 关于 y 轴对称,经过点 A(1,0),且被 x 轴分成的两段弧长比为 1∶2,则圆 C 的方程 为________________. 【答案】x2+?y±
[来



的离心率

, 且其右焦点



的方程为(

) B. C. D.

2

2

2

? ?

3?2 4 ?= 3? 3

x2 y 2 ? ? 1的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双曲 7.【2015 高考福建,理 3】若双曲线 E : 9 16
线 E 上,且 PF 1 ? 3 ,则 PF2 等于( A.11 【答案】B B.9 ) C.5 D.3

基础巩固
6

1.(2014?青岛高二检测)方程(x-y) +(xy-1) =0 表示的是( A.两条直线 【答案】C. 2.【2015 高考天津,理 6】已知双曲线
2

2

2

) D.圆

B.一条直线和一双曲线

C.两个点

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线过点 2, 3 , a 2 b2
)

?

?

且双曲线的一个焦点在抛物线 y ? 4 7 x 的准线上,则双曲线的方程为(

x2 y 2 ? ?1 A. 21 28

x2 y 2 ? ?1 B. 28 21

x2 y 2 ? ?1 C. 3 4

x2 y 2 ? ?1 D. 4 3
)

【答案】D. 3.已知 M(-2,0),N(2,0),则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程为( A.x2+y2=2 C.x2+y2=2(x≠±2) 【答案】D. B.x2+y2=4 D.x2+y2=4(x≠±2)

4.平面直角坐标系中,已知两点 A(3,1),B(-1,3),若点 C 满足OC=λ1OA+λ2OB(O 为原点), 其中 λ1,λ 2∈R,且 λ1+λ2=1,则点 C 的轨迹是( A.直线 【答案】A x2 y2 5.已知双曲线 C 与椭圆16+12=1 有共同的焦点 F1,F2,且离心率互为倒数.若双曲线右支上一 点 P 到右焦点 F2 的距离为 4,则 PF2 的中点 M 到坐标原点 O 的距离等于________. 【答案】3 6.(2014· 山东)圆心在直线 x-2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切, 圆 C 与 x 轴所得弦的长为 2 3, 则圆 C 的标准方程为________________. 【答案】(x-2)2+(y-1)2=4 能力提升 7.与直线 x-y-4=0 和圆 A:x +y +2x-2y=0 都相切的半径最小的圆 C 的方程是
2 2







) D.双曲线

B.椭圆

C.圆

_______________________________________. 【答案】(x-1)2+(y+1)2=2 8.坐标平面上有两个定点 A,B 和动点 P,如果直线 PA,PB 的斜率之积为定值 m,则点 P 的 轨迹可能是: ①椭圆; ②双曲线; ③抛物线; ④圆; ⑤直线. 试将正确的序号填在横线上: __________. 【答案】①②④⑤ 9. 【2015 高考福建, 理 18】 已知椭圆 E:

x2 y 2 2 + 2 = 1(a > b > 0) 过点 (0, 2) , 且离心率为 . 2 a b 2

7

求椭圆 E 的方程;

y A

ì b = 2, ? ì a =2 ? ? c 2 ? ? 【答案】由已知得 í = , 解得 í b = 2 ,所以椭圆 E 的方 ? ? a 2 ? ? a 2 = b2 + c2 , ?c= 2 ? ?
程为

G B

O

x

x2 y 2 + =1 . 4 2
中,点 到

10.【2014 年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷 21】在平面直角坐标系 点 的距离比它到 (1)求轨迹为 轴的距离多 1,记点 的轨迹为 .

的方程; , 求直线 与轨迹 恰好有一个公共点, 两个公共点,

(2) 设斜率为 的直线 过定点 三个公共点时 的相应取值范围. 【答案】 (1) (2)当 线 与轨迹 时直线 与轨迹 恰有两个公共点;当

恰有一个公共点;当 时,故此时直线 与轨迹

时,故此时直 恰有三个公共点.

(i)若

,由②③解得



.

即当

时,直线 与

没有公共点,与

有一个公共点,

故此时直线 与轨迹 (ii)若 即当 当 故当 (iii)若 即当 或

恰有一个公共点. ,由②③解得 有一个共点,与 有两个共点,与 或 ,

时,直线 与 时,直线 与

有一个公共点. 没有公共点. 恰有两个公共点. , 有一个公共点.

时,故此时直线 与轨迹 ,由②③解得 时,直线 与 或

有两个共点,与
8

故当 综上所述,当 当 当

时,故此时直线 与轨迹 时直线 与轨迹 时,故此时直线 与轨迹 时,故此时直线 与轨迹

恰有三个公共点. 恰有一个公共点;

恰有两个公共点; 恰有三个公共点.

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