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成都外国语学校高2016届第三学期半期考试数学试题(高二)


成都外国语学校高 2016 届第三学期半期考试 数学试题
注意事项: 1、本堂考试 120 分钟,满分 150 分。 2、答题前,请考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卷上,并使用 2B 铅笔填涂。 3、请将所有试题的答案写在答题卷相应位置,考试结束后,请考生将答题卷交回。 参考公式: S正棱柱或圆柱侧=Ch ; S正棱锥或圆锥侧= Ch? ; S球面=4? R2 ;



1 2

1 S正棱台或圆台侧= (C上 ? C下 )h? ; 2
1 4 1 V柱体=Sh ; V锥体= Sh ; V球= ? R3 ; V台体= (S上+S下+ S上 ? S下)h 。 3 3 3
一、选择题(本大题 12 个小题,每题 5 分,共 60 分,请将答案涂在答题卷上) 1.下列四个命题中,是真命题的是( )B A.经过定点 P( x0 , y0 ) 的直线都可以用方程 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 表示(其中 k 表示直线的斜率) B . 经 过 任 意 两 个 不 同 的 点 P , y2 直 ) 线 都 可 用 方 程 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 的

( y ? 1y ) (2x?

1

x) ?

(x ?

1

x ) 2(表示 ? y 1 y)

x y ? ? 1 表示 a b D.经过定点 A(0, b) 的直线都可以用方程 y ? kx ? b 表示
C.不经过原点的直线都可以用方程 2.一个几何体的正视图和侧视图如图所示,则这个几何体的俯视图不可能是( )D

A

B

C

D

正视图

侧视图

3. 如果直线 (2a ? 5) x ? (a ? 2) y ? 4 ? 0 与直线 (2 ? a) x ? (a ? 3) y ? 1 ? 0 互相垂直, 则a的值等 于( )C A. 2 B.-2 C.2,-2 D. 2,0, -2 4.如图正方形 SG1G2G3 中, E , F 分别是 G1G2 , G2G3 的中点, D 是 EF 的中 点,现在沿 SE, SF , EF 把这个正方形折成一个四面体,使 G1 , G2 , G3 三点 重合,重合后的点记为 G ,则在四面体 S ? EFG 中必有( )A A. SG ? ?EFG 所在平面 B. SD ? ?EFG 所在平面 C. GF ? ?SEF 所在平面 D. GD ? ?SEF 所在平面 S G3 F

D G1 E

? y?2 ? 5.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,则 z ? 3 x ? y 的最小值为 ( )C ? x ? y ?1 ?
A.12 B.11
- - 1 - -

G2

C.8

D. ?1

6.已知点 A(?3, ?4), B(6,3) 到直线 l : ax ? y ? 1 ? 0 的距离相等,则实数 a 的值为( )D A. a ? ?

1 3

B. a ? ?

7 9

C.

7 9

D. a ? ?

1 或 3

a??

7 9

7.如图,在正三棱锥 S—ABC 中,M、N 分别为棱 SC、BC 的中点,并且 AM ? MN , 若侧棱长 SA= 3 ,则正三棱锥 S—ABC 的外接球的表面积为( )A A.9 ? B.12 ? C.16 ? D.32 ? 8.若点 P(?1, ?1) 在圆 x2 ? y 2 ? 4mx ? 2 y ? 5m ? 0 的外部,则实数 m 的取值范围为 ( )C A. (?4, ??) B. (??, )

1 4

(1, ??)

C. ( ?4, )

1 4

(1, ?? )

D. ( ,1) A1 D1 C1 E A B C

1 4

9.如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是棱 DD1 的中点, F 是侧 面 CDD1C1 上的动 点,且 B1 F //平面 A1 BE ,则 B1 F 与平面 CDD1C1 所成角的正切值构成的集合是 ( A. {2} C. {t | 2 ? t ? 2 2}
2 2

B1

)C B. {

2 5 } 5

D

2 D. {t | 5 ? t ? 2} 5

10.已知圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? 1 与二直线 l1 : 3x ? 4 y ? 1 ? 0 和 l2 : 4x ? 3 y ? 1 ? 0 都有公 共点,则

b 的取值范围为( )D a?2 14 1 1 3 , ] A. [ ? B. [ , ] 23 43 43 4 14 3 , ] D. [ ? 23 4

C. (??, ?

14 3 ] [ , ??) 23 4

二.填空题(本大题 4 个小题,每题 4 分,共 16 分,请把答案填在答题卷上) 11.过点 P(2,3) 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________。 答案: 3x ? 2 y ? 0 或 x ? y ? 5 ? 0 12. 有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是 A 直角梯形(如右图所示) , ?ABC ? 45 , AB ? AD ? 1, CD ? BC ,则这 B(O) C y D x

2 块菜地的面积为_____________。 2 ? 2
- - 2 - -

13.已知圆 C : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 3 ,直线 l : x ? y ? 1 ? 0 ,过点 M (3, 4) 作圆 C 关于直线

l 的 对 称 圆 C ' 的 二 切 线 , 且 切 点 分 别 为 A, B , 则 直 线 AB 的 方 程 为
______________. 2 x ? 2 y ? 7 ? 0 14. 已知点 P 是直线 l : 3x ? 4 y ? 25 ? 0 上的动点, 若过点 P 的直线 m 与圆 O : x2 ? y 2 ? 9 相 交于两点 A, B ,则 | PA | ? | PB | 的最小值为____________16 15. 有以下命题: ①过空间一定点 P 与两异面直线 a , b 都相交的直线有且只有 1 条; ②平面 ? 外的直线 l 与平面 ? 内的无数条直线平行,则 l ∥ ? ; ③异面直线 a , b 成角为 ? , 过空间一 定点 P 作直线 l 与 a , b 成角都为

? ? ? 的直线有 4 条,则 ? 的取值范围为 ( , ] ;④空间四 3 2 3

边形 ABCD 中, AB ? CD ? 8, M , N 分别是 BD, AC 的中点,若异面直线 AB 与 CD 所 成角为 60 ,则 MN ? 4 。其中正确命题有______________②③ 三.解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 16. (12 分) 已知 ?ABC 的顶点 A(5,1) ,AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2 x ? y ? 5 ? 0 , AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x ? 2 y ? 5 ? 0 。求: (1)顶点 C 的坐标; (2)边 BC 所在 直线的方程。 解: (1)因 AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x ? 2 y ? 5 ? 0 , 则设 AC 边所在直线的方程为 2 x ? y ? ? ? 0 , 又由顶点 A(5,1) ,得 ? ? ?11 ,即 AC 边所在直线的方程为 2 x ? y ? 11 ? 0 而 AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2 x ? y ? 5 ? 0

由?

?2 x ? y ? 11 ? 0 ,解得顶点 C (4,3) ?2 x ? y ? 5 ? 0
m ?1 ) 代入中线 CM 所 2

(2)设顶点 B(2m ? 5, m) ,则 AB 边之中点 M 坐标为 ( m ? 5, 在直线方程:

2 x ? y ? 5 ? 0 , 得 2m ? 1 0?

m ?1 ? 5? , 0 得 m ? ?3 , 则 点 2

B(?1, ?3)
于是边 BC 所在直线的方程为: 6 x ? 5 y ? 9 ? 0 D2 A2
- - 3 - -

17. (12 分)某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部为底面是

C2 B2

D A D1 B

C C1

正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台 A1B1C1D1 ? ABCD 。上部为一个 底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等矩形的四棱柱 ABCD ? A2 B2C2 D2 。 (1)证明:直线 B1 D1 ? 平面 ACC2 A2 。 (2) 现需要对该零件表面进行防腐处理, 已知 AB ? 10, A (单 1B 1 ? 20, AA 2 ? 30, AA 1 ? 13 位:厘米)每平方厘米的加工处理费为 0.20 元,需加工处理费多少元? 解:(1)略 ( 2 ) S1 ? S四棱柱上底面 ? S四棱柱侧面 ? 1300 , S2 ? S四棱台下底面 ? S四棱台侧面 ? 1120 ,

S ? 2420cm2
处理费为: 2420 ? 0.20 ? 484 元 18. (12 分)如图,四棱锥 V ? ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,其他四个侧面都 是侧棱长为 5 的等腰三角形。 (1)求证:平面 VAC ? 平面 VBD ; (2)若 M , N 分别为棱 VA, BC 的中点,求证: MN ∥侧面 VCD ; (3)试求(2)中的 MN 与底面 ABCD 所成角的正弦值。
V V V V

M
D A B

M N
C A D O

M N
C A

E

M N
C A D O

D

图1

B

图2

B

H

图3

B

N

C

BD ? O ,连接 VO ABCD 是正方形,则 AC ? BD ,且 O 是 AC 、BD 之中点, 又由已知有 VA ? VB ? VC ? VD ,则有 VO ? BD , VO ? AC 而 VO, AC ? 平面 VAC 且 VO AC ? O ,则 BD ? 平面 VAC , 又 BD ? 平面 VBD ,则平面 VAC ? 平面 VBD (2)如图 2,取侧棱 VD 之中点 E ,连接 ME , CE , M , N 分别为棱 VA, BC 的中点,且底面 ABCD 是正方形 ? ME ∥ NC ,且 ME ? NC ,则 MNCE 是平行四边形 则 MN ∥ EC ,又 MN ? 侧面 VCD , CE ? 平面 VCD ? MN ∥侧面 VCD (3)如图 3,过点 M 作 MH ? AC 垂足 H ,连接 HN 由(1)知 VO ? 底面 ABCD ,且 VO ? 平面 VAC ,则平面 VAC ? 底面 ABCD , 则 MH ? 底面 ABCD ,? ?MNH 为 MN 与底面 ABCD 所成角
(1)证明:如图(图 1)连接 AC , BD 且设 AC 由 ( 2 ) 知 M N ? C E, 而 由 E 为 VD 之 中 点 , 且 V C ? V D? 5 , C D ? 2, 得

MN ? CE ?

13 2
- - 4 - -

又在 ?VAC 中可得 VO ?

1 3 3 ,而 M 是 VA 之中点,则 MH ? VO ? 2 2 HN 39 ,即 MN 底面 ABCD 所成角的正弦值为 ? MN 13

在 Rt ?MNH 中, sin ?MNH ?

39 13
19.要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢 板的块数如下表所示:
规格类型 钢板类型

A 规格 2 1

B 规格 1 2

C 规格 1 3

第一种钢板 第二种钢板

今需要 A、B、C 三种规格的成品分别为 15、18、27 块,各截这两种钢板多少块,可得所需 A、 B、C 三种规格的成品,且使所用钢板张数最少? 【解析】设所需第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张,共需截这两种钢板 z 张,

?2 x ? y ? 15 ? x ? 2 y ? 18 ? ? 根据题意,得约束条件为 ? x ? 3 y ? 27 , ? x ? 0, x ? Z ? ? ? y ? 0, y ? Z 则目标函数为 z ? x ? y
解方程组 ?

y

18 39 M( , ) 5 5
O x

? x ? 3 y ? 27 18 39 ,得点 M ( , ) 5 5 ?2 x ? y ? 15

把 z ? x ? y 变形为 y ? ? x ? z ,当直线 y ? ? x ? z 经过可行域上的点 M 时截距 z 最小, 此时 z?

18 39 ? ? 11.4 , 当 z ? 12 时 直 线 y ? ? x ? 12 经 过 可 行 域 内 的 点 5 5

B(3,9), C (4,8) 它们是最优解。
答:要截得所需三种规格的钢板,且使所截两种钢板数最小的方法有两种:第一种截法 是第一种钢板 3 张,第二种钢板 9 张;第二种截法是第一种钢板 4 张,第二种钢板 8 张。两 种截法都最少要两种钢板 12 张。 20. (13 分)已知圆 M : 2 x ? 2 y ? 8x ? 8 y ? 1 ? 0 和圆 N : x ? y ? 2x ? 2 y ? 6 ? 0 ,直
2 2
2 2

线l : x ? y ?9 ? 0。 (1)求过圆 M , N 的交点及原点 O 的圆的方程; (2)过直线 l 上一点 A 作

?ABC 使 ?BAC ? 450 ,边 AB 过圆心 M ,且 B, C 在圆 M 上。 ①当点 A 的横坐标为 4 时,求直线 AC 的方程;②求点 A 的横坐标的取值范围
解 : ( 1 ) 根 据 题 意 , 设 所 求 圆 的 方 程 为

2x2 ? 2 y 2 ? 8x ? 8 y ? 1 ? ?( x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 6) ? 0(? ? ?2) ,
- - 5 - -

又所求圆过原点 O ,则 ?1 ? 6? ? 0 ,得 ? ? ? 所 求 圆 的 方 程 为

1 6
2

2x2 ?

1 2 y 2 ? 8 x ? 8 y ? 1 ? 2 x( 6

?y

? 2x

?即 2y

?6 ) ?

0

x2 ? y 2 ?

50 50 x? y?0 11 11

(2)①当点 A 的横坐标为 4 时,则点 A(4,5) ,而圆心 M (2, 2) ,则 | AM |? 13 , 又 ?BAC ? 45 ,边 AB 过圆心 M ,且 B, C 在圆 M 上,则圆心 M 到边 AC 所在
0

直线的距离为

d ?| AM | sin ?BAC ?

26 ,设边 AC 所在直线的方程为 y ? 5 ? k ( x ? 4) 2

?d ?

| 3 ? 2k | k2 ?1

?

1 26 ,解得 k ? ?5 或 k ? 5 2

则边 AC 所在直线的方程为 y ? 5 ? ?5( x ? 4) 或 y ? 5 ? 即 5x ? y ? 25 ? 0 或 x ? 5 y ? 21 ? 0 ②

1 ( x ? 4) 5

A 点 在 直 线 l : x ? y ? 9 ? 0 上 , 设 点 A( m, ? 9 m,) 则
2

|A M ?|

2m?

1 m ? 8
0

5 3
34 2

而 ?BAC ? 45 , 边 AB 过圆心 M , 且 B, C 在圆 M 上, 且圆 M 的半径为

则有

2 34 ? 2m2 ? 18m ? 53 ? ,解得 3 ? m ? 6 2 2
A P

即点 A 的横坐标的取值范围为 [3, 6] 21 . 已 知 ?ABC 和 ?DBC 是 两 个 有 公 共 斜 边 的 直 角 三 角 形 , 并 且

AB ? AD ? AC ? 2a, CD ? 6a 。
( 1 )若 P 是 AC 边上的一点,当 ?PBD 的面积最小时,求二面角 P ? BD ? A 的平面角的正切值; (2)能否找到一个球,使 A, B, C , D 都在该球面上,若不能,请说明 理由;若能,求该球的内接圆柱的表面积的最大值。 解: (1)取 BC 之中点为 O ,连接 AO, DO , B

C

D

AB ? AC ? AD ? 2a

则 AO ? BC ,又 AB ? AC ,则 BC ? 2 2a, AO ?
- - 6 - -

2a ,

A P 在 ?BCD 中, 在 ?OAD 中, 又 BC

CD ? 6a ,则 DO ? 2a ,且 sin ?CBD ?
AO2 ? DO2 ? 4a 2 ? AD2 ,则 AO ? DO ,

3 2

B F E

O

H

C

DO ? O ,且 BC , DO ? 平面 BCD ,则 AO ? 平面 BCD

D

作 PH ? BC 于 H , HE ? BD 于 E ,连 PE , PH ? 平面 BCD , PH ? HE ,得 PE ? BD, 则 ?PEH 是二面角 P ? BD ? C 的平面角 设 PH ? x ? CH ,? BH ? 2 2a ? x

? EH ?

3 3 2 2 a ? x ? 6a ? x 2 2
2 2 2

?

?

? 3 ? 7 2 2 7? 6 2 ? 24 2 2 ? PE ? x ? ? ? 6a ? 2 x ? ? ? 4 x ? 3 2ax ? 6a ? 2 a ? 4 ? ? x ? 7 a? ? ? 7 a ? ? ? ?
6 2 a 时, S?PBD 最小 7 6 2 4 6 PH 3 此时 PH ? a, EH ? a ,则 tan ?PEH ? ? 7 7 EH 2 过点 O 做 OF ? BD 于 F ,连接 AF ,得 AF ? BD ,则 ?AFO 是二面角 A ? BD ? C 的 0 ? x ? 2a,? x ?
平面角

6 AO 2 3 , a , tan ?AFO ? ? 2 OF 3 设二面角 P ? BD ? A 的平面角为 ? ,则 ? ? ?AFO ? ?PEH , 3 3 ,即二面角 P ? BD ? A 的平面角的正切值为 tan ? ? tan(?AFO ? ?PEH ) ? 12 12 ( 2 ) 取 BC 中 点 O , ?ABC 和 ?DBC 是 两 个 有 公 共 斜 边 BC 的 直 角 三 角 形 , 则 OA ? OB ? OC ? OD , 则存在以 O 为球心,半径 R ? 2a 的球 1 2 2 2 设该球的内接圆柱的底面半径为 x ,高为 y ,则有 x ? y ? 2a 4 ? ? ? x ? 2a cos ? (0 ? ? ? ) 令? 2 ? ? y ? 2 2a sin ? 1 1 ? S表面积 ? 2? xy ? 2? x 2 ? 4? a 2 (sin 2? ? cos 2? ? ) 2 2 5 1 ? 4? a 2 [ sin(2? ? ? ) ? ] ? 2(1 ? 5)? a 2 2 2 所以该球的内接圆柱的表面积的最大值为 2(1 ? 5)? a2
因 O 为 BC 之中点且 BD ? CD, CD ?

6a ,则 OF ?

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