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【三维设计】2014届高考数学 (基础知识+高频考点+解题训练)空间几何体的结构特征及三视图和直观图教学案


第一节

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

[知识能否忆起] 一、多面体的结构特征 多面体 棱柱 棱锥 棱台 结构特征 有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个面的交线都平行且相 等 有一个面是多边形,而其余各面都是有一个公共顶点的三角形 棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面之间的部分

二、旋转体的

形成 几何体 圆柱 圆锥 圆台 球 旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆 旋转轴 任一边所在的直线 一条直角边所在的直线 垂直于底边的腰所在的直线 直径所在的直线

三、简单组合体 简单组合体的构成有两种基本形式: 一种是由简单几何体拼接而成; 一种是由简单几何 体截去或挖去一部分而成, 有多面体与多面体、 多面体与旋转体、 旋转体与旋转体的组合体. 四、平行投影与直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是: (1)原图形中 x 轴、 轴、 轴两两垂直, y z 直观图中,′轴、′轴的夹角为 45°(或 135°), x y

z′轴与 x′轴和 y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴.平行于 x 轴和 z 轴的线 段在直观图中保持原长度不变,平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 五、三视图 几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图,分别是从几何体的正前方、正左方、正 上方观察几何体画出的轮廓线.

1

[小题能否全取] 1.(教材习题改编)以下关于几何体的三视图的论述中,正确的是( A.球的三视图总是三个全等的圆 B.正方体的三视图总是三个全等的正方形 C.水平放置的正四面体的三视图都是正三角形 D.水平放置的圆台的俯视图是一个圆 解析:选 A B 中正方体的放置方向不明,不正确.C 中三视图不全是正三角形.D 中俯 视图是两个同心圆. 2.(2012·杭州模拟)用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何 体一定是( A.圆柱 C.球体 ) B.圆锥 D.圆柱、圆锥、球体的组合体 )

解析:选 C 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时,截面分别为矩形和三角形,只有球满 足任意截面都是圆面. 3.下列三种叙述,其中正确的有( )

①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台; ②两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台; ③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台. A.0 个 C.2 个 B.1 个 D.3 个

解析:选 A ①中的平面不一定平行于底面,故①错.②③可用下图反例检验,故②③ 不正确.

4.(教材习题改编)利用斜二测画法得到的: ①正方形的直观图一定是菱形; ②菱形的直观图一定是菱形; ③三角形的直观图一定是三角形. 以上结论正确的是________. 解析:①中其直观图是一般的平行四边形,②菱形的直观图不一定是菱形,③正确. 答案:③ 5.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示,则该

2

几何体的俯视图为________.

解析:由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示,所以该几何体的俯视图 为③.

答案:③ 1.正棱柱与正棱锥 (1)底面是正多边形的直棱柱,叫正棱柱,注意正棱柱中“正”字包含两层含义:①侧 棱垂直于底面;②底面是正多边形. (2)底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正棱锥,注意 正棱锥中“正”字包含两层含义: ①顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的中心, ②底 面是正多边形,特别地,各棱均相等的正三棱锥叫正四面体. 2.对三视图的认识及三视图画法 (1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影,并不是从三个 方向看到的该几何体的侧面表示的图形. (2)在画三视图时,重叠的线只画一条,能看见的轮廓线和棱用实线表示,挡住的线要 画成虚线. (3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察 几何体用平行投影画出的轮廓线. 3.对斜二测画法的认识及直观图的画法 (1)在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段,“平行于 x 轴的线段平行性不变,长 度不变;平行于 y 轴的线段平行性不变,长度减半.” (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积有以下关系:

S 直观图=

2 S 原图形,S 原图形=2 2S 直观图. 4

3

空间几何体的结构特征

典题导入 [例 1] (2012·哈师大附中月考)下列结论正确的是( A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的 几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等,则该棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 [自主解答] A 错误,如图 1 是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的 几何体,它的各个面都是三角形,但它不是三棱锥;B 错误,如图 2,若△ )

ABC 不是直角三角形,或△ABC 是直角三角形但旋转轴不是直角边,所得的
几何体都不是圆锥; 图1

图2 C 错误,若该棱锥是六棱锥,由题设知,它是正六棱锥.易证正六棱锥的侧棱长必大于 底面边长,这与题设矛盾. [答案] D 由题悟法 解决此类题目要准确理解几何体的定义, 把握几何体的结构特征, 并会通过反例对概念 进行辨析.举反例时可利用最熟悉的空间几何体如三棱柱、四棱柱、正方体、三棱锥、三棱 台等,也可利用它们的组合体去判断. 以题试法 1.(2012·天津质检)如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四条 侧棱称为它的腰,以下 4 个命题中,假命题是( A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 )

4

C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 解析:选 B 如图,等腰四棱锥的侧棱均相等,其侧棱在底面的射影也 相等,则其腰与底面所成角相等,即 A 正确;底面四边形必有一个外接圆, 即 C 正确;在高线上可以找到一个点 O,使得该点到四棱锥各个顶点的距离 相等,这个点即为外接球的球心,即 D 正确;但四棱锥的侧面与底面所成角 不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立).故仅命题 B 为假命题.

几何体的三视图

典题导入 [例 2] (2012·湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视 图不可能是( )

[自主解答] 根据几何体的三视图知识求解. 由于该几何体的正视图和侧视图相同,且上部分是一个矩形,矩形中间无实线和虚线, 因此俯视图不可能是 C. [答案] C 由题悟法 三视图的长度特征 三视图中,正视图和侧视图一样高,正视图和俯视图一样长,侧视图和俯视图一样宽, 即“长对正,宽相等,高平齐”. [注意] 画三视图时,要注意虚、实线的区别. 以题试法 2. (1)(2012·莆田模拟)如图是底面为正方形、 一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图, 那么该四棱锥的直观图是下列各图中的( )

5

解析:选 D 由俯视图排除 B、C;由正视图、侧视图可排除 A. (2)(2012·济南模拟)

如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长均为 2,其正视图如图所示,则此三棱柱侧视图的 面积为( A.2 2 C. 3 ) B.4 D.2 3

解析: D 依题意, 选 得此三棱柱的左视图是边长分别为 2, 3的矩形, 故其面积是 2 3.

几何体的直观图

典题导入 [例 3] 已知△ABC 的直观图 A′B′C′是边长为 a 的正三角形,求原△ABC 的面积. [自主解答]

建立如图所示的坐标系 xOy′, A′B′C′的顶点 C′在 y′轴上, ′B′边在 x 轴上, △ A

6

OC 为△ABC 的高.
把 y′轴绕原点逆时针旋转 45°得 y 轴, 则点 C′变为点 C,且 OC=2OC′,A,B 点即为 A′,B′点,长度不变. 已知 A′B′=A′C′=a,在△OA′C′中, 由正弦定理得

OC′ A′C′ = , sin∠OA′C′ sin 45°
sin 120° 6 所以 OC′= a= a, sin 45° 2 所以原三角形 ABC 的高 OC= 6a. 1 6 2 所以 S△ABC= ×a× 6a= a . 2 2

由题悟法 用斜二测画法画几何体的直观图时,要注意原图形与直观图中的“三变、三不变”.

?坐标轴的夹角改变, ? “三变”?与y轴平行线段的长度改变, ?图形改变; ? ?平行性不变, ? “三不变”?与x轴平行的线段长度不变, ?相对位置不变. ?
以题试法 3.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45°,腰和上底均为 1 的等 腰梯形,那么原平面图形的面积是( A.2+ 2 C. 2+ 2 2 ) B. 1+ 2 2

D.1+ 2

解析:选 A 恢复后的原图形为一直角梯形

S= (1+ 2+1)×2=2+ 2.

1 2

7

1.(2012·青岛摸底)如图,在下列四个几何体中,其三视图(正视图、 侧视图、 俯视图) 中有且仅有两个相同的是( )

A.②③④ C.①③④

B.①②③ D.①②④

解析:选 A ①的三个视图都是边长为 1 的正方形;②的俯视图是圆,正视图、侧视图 都是边长为 1 的正方形;③的俯视图是一个圆及其圆心,正视图、侧视图是相同的等腰三角 形;④的俯视图是边长为 1 的正方形,正视图、侧视图是相同的矩形. 2.有下列四个命题: ①底面是矩形的平行六面体是长方体; ②棱长相等的直四棱柱是正方体; ③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体; ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 其中真命题的个数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4

解析:选 A 命题①不是真命题,因为底面是矩形,但侧棱不垂直于底面的平行六面体 不是长方体;命题②不是真命题,因为底面是菱形(非正方形),底面边长与侧棱长相等的直 四棱柱不是正方体; 命题③也不是真命题, 因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱 与底面垂直;命题④是真命题,由对角线相等,可知平行六面体的对角面是矩形,从而推得 侧棱与底面垂直,故平行六面体是直平行六面体. 3.一个锥体的正视图和侧视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是 ( )

解析:选 C C 选项不符合三视图中“宽相等”的要求,故选 C. 4.如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图.在正视图右侧,按照画三视图的要求 画出的该几何体的侧视图是( )
8

解析:选 B 由直观图和正视图、俯视图可知,该几何体的侧视图应为面 PAD,且 EC 投影在面 PAD 上,故 B 正确. 5.如图△A′B′C′是△ABC 的直观图,那么△ABC 是( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 解析:选 B 由斜二测画法知 B 正确. )

6.(2012·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示,则侧视图的面积为(

)

A.2+ 3 C.2+2 3

B.1+ 3 D.4+ 3

1 2 解析:选 D 依题意得,该几何体的侧视图的面积等于 2 + ×2× 3=4+ 3. 2 7.(2012·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形,且体 1 积为 , 则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________. (填入所有可能的图形前的编 2 号) ①锐角三角形;②直角三角形;③四边形;④扇形;⑤圆.
9

解析:如图 1 所示,直三棱柱 ABE-A1B1E1 符合题设要求,此时俯视图△ABE 是锐角三角 形;如图 2 所示,直三棱柱 ABC-A1B1C1 符合题设要求,此时俯视图△ABC 是直角三角形;如 图 3 所示,当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时,所得直四棱柱 ABCD -A1B1C1D1 符合题设要求,此时俯视图(四边形 ABCD)是正方形;若俯视图是扇形或圆,体积 中会含有 π ,故排除④⑤.

答案:①②③ 8.(2013·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ________.

解析:结合三视图可知,该几何体为底面边长为 2、高为 2 的正三棱柱 除去上面的一个高为 1 的三棱锥后剩下的部分, 其直观图如图所示, 故该几 1 1 1 5 3 何体的体积为 ×2×2sin 60°×2- × ×2×2sin 60°×1= . 2 3 2 3 5 3 答案: 3 9.正四棱锥的底面边长为 2,侧棱长均为 3,其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是 全等的等腰三角形,则正视图的周长为________. 解析:由题意知,正视图就是如图所示的截面 PEF,其中 E、F 分别是 AD、BC 的中点,连接 AO,易得 AO= 2,而 PA= 3,于是 解得 PO=1,所以 PE= 2,故其正视图的周长为 2+2 2. 答案:2+2 2 10.已知:图 1 是截去一个角的长方体,试按图示的方向画出其三视图;图 2 是某几何 体的三视图,试说明该几何体的构成.

10

解:图 1 几何体的三视图为:

图 2 所示的几何体是上面为正六棱柱,下面为倒立的正六棱锥的组合体. 11.(2012·银川调研)正四棱锥的高为 3,侧棱长为 7,求棱锥的斜高(棱锥侧面三 角形的高). 解:如图所示,正四棱锥 S-ABCD 中, 高 OS= 3, 侧棱 SA=SB=SC=SD= 7, 在 Rt△SOA 中,

OA= SA2-OS2=2,∴AC=4.
∴AB=BC=CD=DA=2 2. 作 OE⊥AB 于 E,则 E 为 AB 中点. 连接 SE,则 SE 即为斜高, 1 在 Rt△SOE 中,∵OE= BC= 2,SO= 3, 2 ∴SE= 5,即棱锥的斜高为 5. 12.(2012·四平模拟)已知正三棱锥 V-ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示.

(1)画出该三棱锥的直观图;

11

(2)求出侧视图的面积. 解:(1)三棱锥的直观图如图所示. (2)根据三视图间的关系可得 BC=2 3, ∴侧视图中

VA=

3 ?2 ?2 2 4 -? × ×2 3? 3 2 ? ?

= 12=2 3, 1 ∴S△VBC= ×2 3×2 3=6. 2

1.(2012·江西八所重点高中模拟)底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为 2,当其 正视图有最大面积时,其侧视图的面积为( A.2 3 C. 3 B.3 D.4 )

解析:选 A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧 面的面积,可以按如图所示位置放置,此时侧视图的面积为 2 3.

2.(2013·深圳模拟)如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是矩形, 平面 ABCD⊥平面 ABE,已知 AB=2,AE=BE= 3,且当规定正视方向垂 直平面 ABCD 时, 该几何体的侧视图的面积为 2 .若 M, 分别是线段 DE, N 2

CE 上的动点,则 AM+MN+NB 的最小值为________.
解析:依题意得,点 E 到直线 AB 的距离等于 ? 3?
2

?2?2 -? ? = 2,因为该几何体的 ? 2?

1 2 左侧视图的面积为 ·BC× 2= ,所以 BC=1,DE=EC=DC=2.所以△DEC 是正三角形, 2 2 ∠DEC=60°,tan ∠DEA= =

AD AE

3 ,∠DEA=∠CEB=30°.把△DAE,△DEC 与△CEB 展在同 3
2 2

一平面上,此时连接 AB,AE=BE= 3,∠AEB=∠DEA+∠DEC+∠CEB=120°,AB =AE +

BE2-2AE·BEcos 120°=9,即 AB=3,即 AM+MN+NB 的最小值为 3.
答案:3 3.一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图 1 和 2 所示,其中正视图、侧视图均为 边长为 a 的正方形.

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(1)请在图 2 指定的框内画出多面体的俯视图; (2)若多面体底面对角线 AC,BD 交于点 O,E 为线段 AA1 的中点,求证:OE∥平面 A1C1C; (3)求该多面体的表面积. 解:(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图,得到俯视图如下:

(2)证明:如图,连接 AC,BD,交于 O 点,连接 OE. ∵E 为 AA1 的中点,O 为 AC 的中点, ∴在△AA1C 中,OE 为△AA1C 的中位线. ∴OE∥A1C. ∵OE?平面 A1C1C,A1C? 平面 A1C1C, ∴OE∥平面 A1C1C. (3)多面体表面共包括 10 个面,SABCD=a ,
2

a2 SA1B1C1D1= ,
2

13

a2 S△ABA1=S△B1BC=S△C1DC=S△ADD1= ,
2

S△AA1D1=S△B1A1B=S△C1B1C=S△DC1D1
1 2a 3 2a 3a = × × = , 2 2 4 8
2

a a 3a 2 2 ∴该多面体的表面积 S=a + +4× +4× =5a . 2 2 8

2

2

2

1.(2012·北京朝阳二模)有一个棱长为 1 的正方体,按任意方向正投影,其投影面积 的最大值是( A.1 C. 2 ) 3 2 B. 2 D. 3

解析:选 D 如图所示是棱长为 1 的正方体. 当投影线与平面 A1BC1 垂直时, ∵面 ACD1∥面 A1BC1, ∴此时正方体的正投影为一个正六边形. 设其边长为 a, 则 3a = 2, ∴a= 6 . 3 3 ? 6? 2 ×? ? = 3. 4 ?3?

∴投影面的面积为 6×

此时投影面积最大,故 D 正确. 2. 如图, ABC 与△ACD 都是等腰直角三角形, AD=DC=2, △ 且

AC=BC.平面 ACD⊥平面 ABC,如果以平面 ABC 为水平平面,正视
图的观察方向与 AB 垂直,则三棱锥 D-ABC 的三视图的面积和为 ________. 1 解析:由题意得 AC=BC=2 2,AB=4,△ACD 边 AC 上的高为 2,正视图的面积是 2 ×4× 2=2 2,侧视图的面积 1 1 是 ×2× 2= 2, 俯视图的面积是 ×2 2×2 2=4, 所以三视图的面积和为 4+3 2. 2 2 答案:4+3 2 3.(2012·北京海淀)已知正三棱柱 ABC-A′B′C′的

14

正视图和侧视图如图所示,设△ABC,△A′B′C′的中心分别是 O,O′,现将此三棱柱绕 直线 OO′旋转,射线 OA 旋转所成的角为 x 弧度(x 可以取到任意一个实数),对应的俯视图 的面积为 S(x),则函数 S(x)的最大值为________;最小正周期为________. (说明: “三棱柱绕直线 OO′旋转”包括逆时针方向和顺时针方向, 逆时针方向旋转时,

OA 旋转所成的角为正角,顺时针方向旋转时,OA 旋转所成的角为负角.)
解析:由题意可知,当三棱柱的一个侧面在水平面内时,该三棱柱的 俯视图的面积最大.此时俯视图为一个矩形,其宽为 3×tan 30°×2= 2,长为 4,故 S(x)的最大值为 8.当三棱柱绕 OO′旋转时,当 A 点旋转到

B 点,B 点旋转到 C 点,C 点旋转到 A 点时,所得三角形与原三角形重合,故 S(x)的最小正
2π 周期为 . 3 答案:8 2π 3

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