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连云港市赣榆县清华园双语学校2014届高三10月月考数学试题


赣榆清华园双语学校 2014 届高三年级 10 月月考试题
数 学(1) 试 卷(文科理科艺术通用)
满分:160 分 时间:120 分钟 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,把答案填在题中横线上) 1.已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? , A ? ?1, 2? , B ? ?1, 2, 4? ,则 CU ( A ? B

) ? 2.命题“若 x ? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是_________________________.
2

3.复数 z ? (1 ? i)(2 ? i) 的实部为___________________ 4.已知向量 a=(2,1),a·b=10,|a+b |? 5 2 ,则|b|= 5.若函数 f ( x) ? log a ( x ?

x 2 ? 2a 2 ) 是奇函数,则 a=

. .

5 6.已知 cosα=13,且 α 是第四象限角,则 sin(-2π+α)= 7 . 函 数 f ? x ? ? 2 s in ?x ? ?

? ?

??

? ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? ,则 3?

? ? __________.

8.为了了解一片经济林的生长情况,随机测量了其中 100 株 树木的底部周长(单位:cm).所得数据如图,那么在这 100 株树木中,底部周长不小于 110cm 的有 株.
开始

9.右图是一个算法的流程图,最后输出的 k=


k←1 S←0 k←k+2 S←S+k S<20 N 输出 k 结束 (第 9 题) Y

10.若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,且 S8?S3=20,则 S11 的值 为 .

1

11. 若在区间 (?1,1) 内任取实数 a ,在区间 (0,1) 内任取实数 b , 则直线 ax ? by ? 0 与圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 相交的概率 为 .

12. 已知函数 f(x)=|x2-8|,若 a<b≤0,且 f(a)=f(b),则 a+b 的最小值是 x2 y2 13.设 F 是椭圆a2+b2=1(a>b>0)右焦点,A 是其右准线与 x 轴的交点.若在椭圆上存在一 点 P, 使线段 PA 的垂直平分线恰好经过点 F, 则椭圆离心率的取值范围是 . b 14.我们把形如 y ? ? a ? 0, b ? 0 ? 的函数称为“莫言函数”,并把其与 y 轴的交点关于原点 x ?a
]

的对称点称为“莫言点”,以“莫言点”为圆心,凡是与“莫言函数”图象有公共点的圆, 皆称之为“莫言圆”.当 a ? 1 , b ? 1 时,在所有的“莫言圆”中,面积的最小值 . ) 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本题满分 14 分)设 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

ex a ? 是 R 上的偶函数. a ex

(1)求 a 的值; (2)试用单调性定义证明 f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数.

16. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,且

f ( A) ? 2 cos

A A 2 A 2 A . sin ? sin ( ) cos( ) ? 2 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( A) 的最大值; (Ⅱ)若 f ( A) ? 0 , C ?

5? , a ? 6 ,求 b 的值. 12

17. (本小题满分 14 分) 如图,已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC,D 为 BC 的中点. (1)若平面 ABC⊥平面 BCC1B1,求证:AD⊥DC1; (2)求证:A1B//平面 ADC1.

A1 B1

C1

2

A B (第 17 题)

C D

18. (本题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 T 的中心在坐标原点,一条准线方程为 y ? 2 ,且经 过点(1,0). (1)求椭圆 T 的方程; (2)设四边形 ABCD 是矩形,且四条边都与椭圆 T 相切. ①求证:满足条件的所有矩形的顶点在一个定圆上; ②求矩形 ABCD 面积 S 的取值范围.

19. (本题满分 16 分)如图,某自来水公司要在公路两侧排水管,公路为东西方向,在路北 侧沿直线排 l1 ,在路南侧沿直线排 l 2 ,现要在矩形区域 ABCD 内沿直线将 l1 与 l 2 接通.已知 AB = 60m,BC = 60 3 m,公路两侧排管费用为每米 1 万元,穿过公路的 EF 部分的排管费用 为每米 2 万元,设 EF 与 AB 所成角为 ? .矩形区域内的排管费用为 W. (1)求 W 关于 ? 的函数关系式; (2)求 W 的最小值及相应的角 ? .
l1 A E D

公路
3

公路

B

F

C

l2

20. (本小题满分 16 分) 设 t>0,已知函数 f (x)=x (x-t)的图象与 x 轴交于 A、B 两点. (1)求函数 f (x)的单调区间; 1 (2)设函数 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线的斜率为 k,当 x0∈(0,1]时,k≥- 恒成立, 2 求 t 的最大值; (3)有一条平行于 x 轴的直线 l 恰好与函数 y=f(x)的图象有两个不同的交点 C,D,若四 .. 边形 ABCD 为菱形,求 t 的值.
2

4

赣榆清华园双语学校高三年级 10 月月考试题
数 学 (2) 试 卷(理科附加题)
21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答题 ............... 区域内作答. ..... A. (选修4-1:几何证明选讲)如图,AD 是∠BAC 的平分线,⊙O 过点 A 且与 BC 边 相切于点 D,与 AB,AC 分别交于 E,F,求证:EF∥BC. A
· O

E

F

B

D (第 21-A 题)

C

B. (选修 4—2:矩阵与变换) (本小题满分 10 分) 已知 A(0, 0) , B (2, 0) , C (2, 2) 在矩阵 M ? ?

?a b ? ? 对应变换的作用下,得到的对应 ?c d   ?

点分别为 A?(0, 0) , B?( 3,1) , C ?(0, 2) ,求矩阵 M .

C. (选修4-4:坐标系与参数方程)已知圆 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ,以极点为平面 直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 2 x= 2 t+m (t 是参数).若直线 l 与圆 C 相切,求实数 m 的值. 2 y= 2 t

? ? ?

5

1 1 9 D. (选修4-5:不等式选讲)已知 a,b 是正数,求证:(a+b)(2b+2a)≥ . 2

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22 在三棱锥 S-ABC 中,△ABC 是边长为 4 的正三角形,平面 SAC⊥平面 ABC,

SA ? SC ? 2 3 , M 、 N 分别为 AB 、 SB 的中点. (1)求二面角 N ? CM ? B 的余弦值; (2)求点 B 到平面 CMN 的距离.
S
N

C

M A

B

23.甲乙两人进行某种游戏比赛,规定每一次胜者得 1 分,负者得 0 分;当其中一人的 得分比另一人的多 2 分时即赢得这场游戏比赛, 比赛随之结束; 同时规定比赛次数最多不超 过 10 次,即经 10 次比赛,得分多者赢得这场游戏,得分相等为和局.已知每次比赛甲获胜 的概率为 p(0<p<1),乙获胜的概率为 q(q=1-p).假定各次比赛的结果是相互独立的,比赛 经 ξ 次结束. (1)求 ξ 的分布列及数学期望 Eξ. (2)求 ξ 的数学期望 Eξ 的取值范围.

6

赣榆清华园双语学校高三年级 10 月月考试题答案
满分:160 分 时间:120 分钟 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,把答案填在题中横线上) 1.答案: ?3, 5? 2.命题“若 x ? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是 若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x ? 1
2 2

3.3 4.5 5.若函数 f ( x) ? log a ( x ? 6. ?

x 2 ? 2a 2 ) 是奇函数,则 a=

2 . 2

12 13

7.2 8. 30 9.11 10.44 11.
5 16

12. -4 2 1 13. ,1) [ 2 14. 3? . 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

ex a ? 是 R 上的偶函数. 15.(本题满分 14 分)设 a ? 0 ,函数 f ( x) ? a ex
(1)求 a 的值; (2)试用单调性定义证明 f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数. 解: (1)对一切 x ? R 有 f (? x) ? f ( x) ,即 对一切 x ? R 成立.得 a ?

ex a 1 1 1 ? x ? x ? ae x 则 (a ? )(e x ? x ) ? 0 a e ae a e

1 ? 0 ,即 a ? 1 . a

7

(2)证明:设 0 ? x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e 1 ? e 2 ?
x x

1 ? e x1 ? x2 1 1 ? (e x2 ? e x1 ) x1 ? x2 , ? e e x1 e x2

由 0 ? x1 ? x2 , x2 ? x1 ? 0 ,e 2 ? e 1 ? 0 , ? e 得 1
x x

x2 ? x1

即 故 ? 0 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , f ( x)

在 (0, ??) 上是增函数. 16. (Ⅰ) . 因为 0<A<π,所以 则所以当 (Ⅱ)由题意知 又知 所以 ,则 . ,所以 ,即 . 时,f(A)取得最大值,且最大值为 ,所以 ,则 .因为 , . . =



得,



17.证明: (1)因为 AB=AC,D 为 BC 的中点,所以 AD⊥BC. 因为平面 ABC⊥平面 BCC1B1,平面 ABC∩平面 BCC1B1=BC,AD?平面 ABC, 所以 AD⊥平面 BCC1B1. ???????5 分 因为 DC1?平面 BCC1B1,所以 AD⊥DC1. ???????7 分 (2)(证法一) 连结 A1C,交 AC1 于点 O,连结 OD, 则 O 为 A1C 的中点. 因为 D 为 BC 的中点,所以 OD//A1B. ???????12 分 ? 因为 OD?平面 ADC1,A1B/平面 ADC1, 所以 A1B//平面 ADC1. (证法二)
∥ 取 B1C1 的中点 D1,连结 A1D1,D1D,D1B.则 D1C1 = BD.

???????15 分

所以四边形 BDC1D1 是平行四边形.所以 D1B// C1D. ? 因为 C1D?平面 ADC1,D1B/平面 ADC1, 所以 D1B//平面 ADC1. 同理可证 A1D1//平面 ADC1. 因为 A1D1?平面 A1BD1,D1B?平面 A1BD1,A1D1∩D1B=D1, 所以平面 A1BD1//平面 ADC1. ???????12 分 因为 A1B?平面 A1BD1,所以 A1B//平面 ADC1. ???????15 分
A1 B1 C1 8 O

A1 B1

D1

C1

A B

C D

(第 17 题图)

18.18. 【解】 (1)因为椭圆 T 的中心在坐标原点,一条准线方程为有 y=2, x2 y2 所以椭圆 T 的焦点在 y 轴上,于是可设椭圆 T 的方程为a2+b2=1(a>b>0). 因为椭圆 T 经过点(1,0),
? a2 ? 2, ? 2 2 ? a 2 ? 2, ? ? 所以 ? a ? b 解得 ? 2 ?b ? 1. ? ? 0 ? 1 ? 1, ? a 2 b2 ?

故椭圆 T 的方程为

y2 ? x2 ? 1 . 2 y2 ? 1 的外切矩形, 2

(2)由题意知,矩形 ABCD 是椭圆 x2 ?

① (i) 若 矩 形 ABCD 的 边 与 坐 标 轴 不 平 行 , 则 可 设 一 组 对 边 所 在 直 线 的 方 程 为
y ? kx ? m(k ? 0) ,
? 2 y2 ?x ? ? 1, 则由 ? 消去 y 得 (k 2 ? 2) x2 ? 2kmx ? m2 ? 2 ? 0 , 2 ? y ? kx ? m ?

于是 ? ? 4k 2 m2 ? 4(k 2 ? 2)(m2 ? 2) ? 0 ,化简得 m ? ? k 2 ? 2 . 所以矩形 ABCD 的一组对边所在直线的方程为 y ? kx ? k 2 ? 2 ,即 y ? kx ? ? k 2 ? 2 , 则另一组对边所在直线的方程为 ky ? x ? ? 1 ? 2k 2 , 于是矩形顶点坐标(x,y)满足 ( y ? kx) 2 ? (ky ? x) 2 ? (k 2 ? 2) ? (1 ? 2k 2) , 即 (1 ? k 2 )( x2 ? y 2 ) ? 3(1 ? k 2 ) ,亦即 x2 ? y 2 ? 3 . (ii)若矩形 ABCD 的边与坐标轴平行,则四个顶点 (?1,? 2) 显然满足 x2 ? y 2 ? 3 . 故满足条件的所有矩形的顶点在定圆 x2 ? y 2 ? 3 上.
9

②当矩形 ABCD 的边与坐标轴不平行时,由①知,一组对边所在直线间的距离为另一组 对边的边长,于是矩形的一条边长为 2 k ? 2 ,另一条边长为 1? k2
2

2

? ? 1 ? ? 2 ? 2 2k ? 1 . k 1? k 1 ? ?? 1 ? k
2 2 2 2

4 2 k?1 k 4 k ? 2 ? 2 k ? 1 ? 4 2 k ? 5k ? 2 ? 所以 S ? 2 2 1? k 1? k k?1 k
2 2 4 2

?

? ?1 ,
2

2 令 t ? k ? 1 ,则 t 2 ? ? 2,? ? ? ,于是 S ? 4 2t ? 1 ? 4 2 ? 1 ? 4 2, ? . 6? t k t2

?

②若矩形 ABCD 的边与坐标轴平行,则 S ? 4 2 . 故 S 的取值范围是 ? 4 2,6 ? . ? ?

19. (本题满分 16 分)如图,某自来水公司要在公路两侧排水管,公路为东西方向,在路北 侧沿直线排 l1 ,在路南侧沿直线排 l 2 ,现要在矩形区域 ABCD 内沿直线将 l1 与 l 2 接通.已知 AB = 60m,BC = 60 3 m,公路两侧排管费用 为每米 1 万元,穿过公路的 EF 部分的排管费 用为每米 2 万元, EF 与 AB 所成角为 ? . 设 矩 形区域内的排管费用为 W. (1)求 W 关于 ? 的函数关系式; (2)求 W 的最小值及相应的角 ? .
l1 A E D

公路

公路

B

F

C

l2

解: (1)如图,过 E 作 EM ? BC ,垂足为 M,由题意得 ?MEF ? ? (0 ? ? ?

?
3

),

60 , AE ? FC ? 60 3 ? 60 tan? , cos ? 60 sin ? ? 2 所以 W= (60 3 ? 60 tan? ) ? 1 ? 。 ? 2 ? 60 3 ? 60 cos? cos? sin ? ? 2 ? (2)设 f (? ) ? , (0 ? ? ? ) cos ? 3 cos ? cos ? ? (? sin ? )(sin ? ? 2) 1 ? 2sin ? 则 f ?(? ) ? . ? cos 2 ? cos 2 ?
故有 MF ? 60tan ? , EF ?

10

令 f ?(? ) ? 0 得 1 ? 2sin ? ? 0 ,即 sin ? ? 列表

1 ? ,得 ? ? . 2 6

?
f ?(? )
f (? )
所以当 ? ?

(0, ) 6
+ 单调递增

?

? 6
0 极大值

( ,) 6 3
单调递减

? ?

?
6

时有 f (? ) max ? ? 3 ,此时有. Wmin ? 120 3

答:排管的最小费用为 120 3 万元,相应的角 ? ?

?
6



2t 20,解: (1)f ′(x)=3x2-2tx=x(3x-2t)>0,因为 t>0,所以当 x> 3 或 x<0 时,f ′(x) >0, 2t 所以(-∞,0)和( 3 ,+∞)为函数 f (x)的单调增区间; 2t 2t 当 0<x< 3 时,f ′(x)<0,所以(0, 3 )为函数 f (x)的单调减区间. ??????4 分 1 1 (2)因为 k=3x02-2tx0≥-2恒成立,所以 2t≤3x0+2x 恒成立,
0

???????6 分

1 因为 x0∈(0,1],所以 3x0+2x ≥2
0

1 3x0×2x = 6,
0

1 6 即 3x0+2x ≥ 6,当且仅当 x0= 6 时取等号. 0 6 所以 2t≤ 6,即 t 的最大值为 2 . 分 2t 4t3 (3)由(1)可得,函数 f (x)在 x=0 处取得极大值 0,在 x= 3 处取得极小值- 27 . 因为平行于 x 轴的直线 l 恰好与函数 y=f (x)的图象有两个不同的交点, .. 4t3 所以直线 l 的方程为 y=- 27 . 4t3 4t3 2t t 2 令 f (x)=- 27 ,所以 x (x-t)=- 27 ,解得 x= 3 或 x=-3. 2t 4t3 t 4t3 所以 C( 3 ,- 27 ) ,D(-3,- 27 ) . t 4t3 (-3)2+(- 27 )2,且 AD=AB=t, t 4t3 3 8 (-3)2+(- 27 )2=t,解得:t= 2 .
11
4

???????8

???????10 分

???????12 分

因为 A(0,0) ,B(t,0) .易知四边形 ABCD 为平行四边形. AD=

所以

???????16 分

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分)
21. A.证明:设 AD交EF于点H . ?AHF ? ?AEH ? ?EAH ? ?ADF ? ?DAC ? ?ADF ? ?FDC ? ?ADC 所以,EF∥BC.

B. . C. 由 ? ? 4cos? ,得 ? 2 ? 4? cos? ,

? x2 ? y 2 ? 4 x ,即圆 C 的方程为 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 4 ,
2

? ?x ? ? 又由 ? ? ?y ? ?

2 t ? m, 2 消 t ,得 x ? y ? m ? 0 , 2 t, 2
2?m 2 ? 2 ,? m ? 2 ? 2 2 .

?直线 l 与圆 C 相切,?

1 1 1 1 5 1 5 9 D.(a+b)(2b+2a) ? 2ab ? ? 2 ? ? ? 2ab ? ? ?2? . 2 2ab 2 2ab 2 2 22. 22. ⑴取 AC 中点 O ,连结 OS 、 OB .∵ SA ? SC , AB ? BC , ∴ AC ? SO , AC ? BO .∵平面 SAC ? 平面 ABC , 平面 SAC ? 平面 ABC ? AC ,∴ SO ? 平面 ABC ,∴ SO ? BO . 如图所示建立空间直角坐标系 O ? xyz ,则 A(2,0,0) , B(0, 2 3,0) ,

C(?2,0,0) , S (0,0, 2 2 ) ,∴ M (1, 3,0) , N (0, 3, 2 ) ,
S

z

12

N

C

O
x
A M

B

y

∴ CM ? (3, 3,0) , MN ? (?1,0, 2 ) .

???? ?

???? ?

? 设 n ? ( x, y, z ) 为平面 CMN 的一个法向量,
? 则 ?CM ? n ? 3x ? ? ? ???? ? ???? ? ?
3y

?0 ,

? MN ? n ? ? x ? 2 z ? 0 ?

? 取 z ? 1, x ? 2 , y ? ? 6 ,∴ n ? ( 2 , ? 6 ,1) .

??? ? 又 OS ? (0,0, 2 2 ) 为平面 ABC 的一个法向量,

1 ? ??? ? ∴ cos ? n, OS ?? ?n ? OS ? 1 ,即二面角 N ? CM ? B 的余弦值为 . ??? 3 | n | ? | OS | 3 ???? ? ? (2)由⑴得 MB ? (?1, 3,0) ,又 n ? ( 2 , ? 6 ,1) 为平面 CMN 的一个法向量, | n |? 3 ,
∴点 B 到平面 CMN 的距离 d ?
| n ? MB |
? |n| ? ????

? ???

?

|? 2 ?3 2 | 3

?

4 2 3

.

23.【解】 (1)以 P(ξ=k)记比赛经 k 次结束的概率.若 k 为奇数,则甲乙得分之差亦为奇数,因而 有 P(ξ=k)=0. 考虑两次比赛结果: (1)甲连胜或乙连胜两次,称为有胜负的再次,结果出现的概率为 p2+q2; (2)甲乙各胜一次,称为无胜负的两次,此结果有两种情况,故出现的概率为 2pq. 比赛以 k 次结束,k 必为偶数,则 1,2 两次,3,4 两次,?,k-3,k-2 两次均未分胜 负. 若 k≠10,则第 k-1,k 两次为有胜负的两次,从而有 P(ξ=k)=(2pq)k/2-1(p2+q2). 若 k=10,比赛必须结束,所以 P(ξ=20)=(2pq)4. ξ 其分布表为 ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P 0 p2+q2 0 2pq (p2+q2)
4

0

4 p2q 2 (p2+q2)

0

8 p3q 3 (p2+q2)

0

16 p4q 4

综上所述 Eξ=(p2+q2) ? 2i(2pq)i-1+10(2pq)4.
i=1

1 1 (2) 令 2 pq=x,则 0<x=2 pq≤2(p+q)2=2, Eξ=(1-x) ? 2i(x)i-1+10(x)4=2(1+x+x2+x3+x4)=
i=1 4

2(1-x5) 1-x

1 31 因为 0<x≤2,且 Eξ 随 x 增加而增加,所以 2<Eξ≤ . 8

13

14


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