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山东省淄博实验中学2015届高三4月教学诊断考试试题及答案数学(文)


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淄博实验中学高三年级第二学期教学诊断考试参考答案


一、选择题 CDDCD 二、填空题 11 . ? 3 三、解答题 16.解:(Ⅰ)由题设知 ?

学(文)
13 .10

ADCCD

12.

25 58

14.x 2 ?

y2 ?1 3

15.(0,2e)

bc cos A ? 1 ? ? b 2 ? c 2 ? 18.┅┅┅┅┅┅2 分 2 2 ?b ? c ? 2bc cos A ? 16

又?

?c 2 ? AE 2 ? 4 ? 4 AE cos?AEB, 且 cos ?AEB ? cos ?AEC ? 0 ,两式相加,得 AE ? 5 . 2 2 ?b ? AE ? 4 ? 4 AE cos?AEC.

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5 分

? 1 ? bc sin A ? 6 2 , bc sin A ? 3 2 ? ? (Ⅱ)由条件得 ? ?? b 2 ? c 2 ? 16 ┅┅┅7 分 2 bc cos A ? . 2 2 ?b ? c ? 2bc cos A ? 16 ? 2 ? ?
b 2 ? c 2 ? 16 2 b2 ? c2 2 2 2 ) ?b c ?( ) ? b 2 ? c 2 ? 17 .┅┅9 分 平方相加,得 72 ? ( 2 2
当且仅当 b ? c 时取 等号.故 AB ? AC ? bc cos A ?

b 2 ? c 2 ? 16 1 17 ? , 当且仅当 b ? c ? 时 2 2 2

取等号.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12 分 17.解:(Ⅰ)由题设知共有小球 (n ? 2) 个,标号为 2 的小球 n 个,从口袋中随机抽 取一个小球,取到标号为 2 的小球的概率为

n 1 ? ,解得 n ? 2 .┅┅┅┅ 4 分 n?2 2

(Ⅱ)从口袋中不放回地随机抽取 2 个小球,记标号为 2 的两个小球分别为 2q1 ,2q2 ,随机抽取两 个,有 (0,1), (0,2q1 ), (0,2q2 ), (1,0), (2q1 ,0), (2q2 ,0); (1,2q1 ), (1,2q2 ) ,

(2q1 ,1), (2q2 ,1);(2q1 ,2q2 ), (2q2 ,2q1 ) 共 12 种结果.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8 分
而满足 2 ? a ? b ? 3 的有: (0,2q1 ), (0,2q2 ), (2q1 ,0), (2q2 ,0); (1,2q1 ), (1,2q2 ) ,

(2q1 ,1), (2q2 ,1) 共 8 种不同的结果┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10 分
8 2 ? .┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12 分 12 3 1 18.解:(Ⅰ)连结 DF ,取 DF 的中点 N ,连结 MN ,则 MN ∥ CD, MN ? CD . 2 1 又 AO ∥ CD, AO ? CD .┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3 分 2
故 P ( A) ?
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且 ABCD 为矩形,故 MN ∥ AO , MN ? AO ,┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4 分 所以 MNAO 为平行四边形,故有 OM ∥ AN . AN ? 平面 DAF, OM ? 平面 DAF , 从而 OM ∥平面 DAF .┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6 分 (Ⅱ)因为平面 ABCD ? 平面 ABEF ,平面 ABCD ? 平面 ABEF ? AB, CB ? AB ,

CB ? 平面 ABCD ,故 CB ? 平面 ABEF .又 AF ? 面 ABEF ,所以 CB ? AF .
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9 分 而 AB 为圆 O 的直径,所以 AB ? BF .又 CB ? BF ? B, CB, BF ? 面 CBF ,所以

AF ? 平面 CBF .┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12 分
2 19.解:(Ⅰ) k ? (a2 ? a1 ) 2 时,取 n ? 1 ,得 a2 ? a1a3 ? (a2 ? a1 ) 2 ? a1a3 ? 2 a2 ? 2a1a2 ? a12 ? a1a3 ? 2a1a2 ? a12 ? 0, a1 ? 0 ? a3 ? a1 ? 2a2 ,即 a1 , a2 , a3

成等差数列.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3 分
4 a2 2 a3 a2 a3 .取 n ? 3 ,同理得 ? an an?2 .取 n ? 2 得 a4 ? ? 1 ? 2 a2 a2 a12

2 (Ⅱ) k ? 0 时, an ?1

a5 ?


4 4 3 3 2 a2 a2 a2 a2 a2 . 又 ,即 , a ? a ? 2 a a ? ? 2 ? , a ? 0 ? 1 ? ? 2 ? 2 5 4 2 2 a13 a13 a12 a13 a12

a2 1? 5 1? 5 (t ? ? t ? 0 ,则等式可化为 t 3 ? 2t 2 ? 1 ? 0 ,解得 t ? 1 或 t ? 2 2 a1 a2 1? 5 .┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8 分 ? 1或 2 a1

舍去).从而

2 (Ⅲ)当 k ? 3 时, an ?1 ? an an? 2 ? 3 ,又 an ? an? 2 ? ?an?1 ,故有
2 an 2 2 2 2 ?1 ? 3 ? ?an?1 ? an ? an ?1 ? 3 ? ?a n a n ?1 , a n ?1 ? a n ? 2 ? 3 ? ?a n ?1 a n ? 2 , 两 式 相 减 得 an

an ?

2 2 an ? 2 ? an ? ?an?1 (an? 2 ? an ) .因为 an? 2 ? an ,故 an? 2 ? an ? ?an?1 .10 分

所以 ? ?

an ? an? 2 ? an?1

an ?

2 an ?1 ? 3 2 2 2 an an ? an a 2 ? a2 ?3 7 ?1 ? 3 ? ? 1 ? .┅┅12 分 an?1 an an?1 a1a2 2

20.解:(Ⅰ)抛物线 y 2 ? 4 5x 的焦点为 ( 5 ,0) ,由题设知:椭圆的焦 点在 x 轴上,

6 6 30 2 10 5 ? c ? ea ? ? 5? , b ? a 2 ? c 2 ? 5 ? ? ,故 3 3 3 3 3 2 2 x y ? ? 1 .┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4 分 椭圆 E 的方程为 5 5 3
且 a ? 5 .又 e ?
2

[来源:Z_xx_k.Com]

2 2 2 2 2 2 (Ⅱ)将 y ? k ( x ? 1) 代入 x ? 3 y ? 5 ,得 (3k ? 1) x ? 6k x ? 3k ? 5 ? 0 .

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6k 2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), M (m,0) ,则由韦达定理, 得 x1 ? x 2 ? ? 2 , 3k ? 1 3k 2 ? 5 x1 x2 ? 2 .┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6 分 3k ? 1
于是 MA ? MB ? ( x1 ? m, k ( x1 ? 1)) ? ( x2 ? m, k ( x2 ? 1))
[来源:Z_xx_k.Com]

? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (k 2 ? m)(x1 ? x2 ) ? k 2 ? m 2
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10 分 3k 2 ? 5 6k 2 2 ? (k ? 1) ? 2 ? (k ? m)(? 2 ) ? k 2 ? m 2 3k ? 1 3k ? 1 2 (6m ? 1)k ? 5 1 6m ? 14 ?.┅┅┅┅┅┅┅┅┅12 分 ? m2 ? ? m 2 ? 2m ? ? 2 3 3(3k 2 ? 1) 3k ? 1 7 7 欲使?式与实数 k 无关,则有 6m ? 14 ? 0 ? m ? ? ,故点 M 的坐标为 ( ? ,0) . 3 3
2

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅13 分

6 2x 2 ? x ? 6 21.解:(Ⅰ)函数的定义域为 (0,??) ,当 a ? 6 时, f ' ( x) ? 2 x ? ? 1 ? x x
? (2 x ? 3)( x ? 2) 2 .令 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? 2( x ? ? 舍去). 所以当 x ? (0,2) 时, x 3

f ' ( x) ? 0, f ( x) 单调 递减;当 x ? (2,??) 时, f ' ( x) ? 0, f ( x) 单调递增;因此
函数的最小值是 f (2) ? 2 ? 6 ln 2 .┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4 分

(Ⅱ)由题设知, f (1) ? 0 ,且 f ( x) ? 0 恒成立. f ' ( x) ?

2x 2 ? x ? a ( x ? 0) ,故 x

x ? 1 必是函数的极小值点 即最小值点.所以 f ' (1) ? 0 ,此时 a ? 1 .┅┅┅┅┅6 分
而当 a ? 1 时,
[来源:Z*xx*k.Com]

f ' ( x) ? 2 x ?

1 (2 x ? 1)( x ? 1) ?1 ? ,当 x ? (0,1) 时, f ' ( x) ? 0, f ( x) 单调递减; x x

当 x ? (1,??) 时, f ' ( x) ? 0, f ( x) 单调递增.所以函数 f ( x) 的最小值是 f (1) ? 0 即

f ( x) ? 0 恒成立.┅┅┅┅┅┅┅┅┅ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8 分
(Ⅲ) f ' (

[来源:Zxxk.Com]

x1 ? 2 x 2 )?k. 3

证明: f ' ( x) ? 2 x ?

x ? 2 x2 2( x1 ? 2 x2 ) a 3a ? 1, f ' ( 1 )? ? ? 1 .由题设得 x 3 3 x1 ? 2 x2
2 2

x1 y ? y 2 ( x ? x ) ? a(ln x1 ? ln x2 ) ? ( x1 ? x2 ) x2 k? 1 ? ? ( x1 ? x2 ) ? ? 1, x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2
2 1

a ln

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10 分
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[来源:学科网 ZXXK]

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x1 x ? 2 x2 2( x1 ? 2 x2 ) x2 3a 则 f '( 1 )?k ? ? ( x1 ? x2 ) ? ? 3 3 x1 ? 2 x2 x1 ? x2 a ln

x1 x ? x1 x2 x ? x1 3( x ? x2 ) x 3a a ? 2 ? ? ? 2 ? [ 1 ? ln 1 ] .┅11 分 3 x1 ? 2 x2 x1 ? x2 3 x1 ? x2 x1 ? 2 x2 x2 a ln


x1 3(t ? 1) 9 1 (t ? 1)(t ? 4) ? ln t , g ' (t ) ? ? ?? ? 0, ? t ? (0,1) ,则 g (t ) ? 2 t?2 t x2 (t ? 2) t (t ? 2) 2
故 g (t ) 在 (0,1) 上单调 递减,所以 g (t ) ? g (1) ? 0 ? 考虑到 a ? 0, x1 ? x2 ?

3( x1 ? x2 ) x ? ln 1 ? 0 .12 分 x1 ? 2 x2 x2

x ? 2 x2 x2 ? x1 a )?k ? 0,? ? 0 ,从而 f ' ( 1 3 3 x1 ? x2

?

x ? 2 x2 x2 ? x1 3( x ? x2 ) x a ) ? k .┅┅┅┅14 分 ? [ 1 ? ln 1 ] ? 0 ,即 f ' ( 1 3 3 x1 ? x2 x1 ? 2 x2 x2

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