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三角函数阶段性习题答案


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阶段性测试题三(三角函数与三角形)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时 间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题

5 分,共 60 分,在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1 1 1.(2011~2012· 安徽名校联考)“cos2α=2”是“sinα=2”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] B 1 [解析] 若 sinα=2,则 1 1 cos2α=1-2sin2α=1-2×(2)2=2, 1 1 ∴sinα=2?cos2α=2, 1 1 1 但 cos2α=2时,1-2sin2α=2,∴sin2α=4, 1 ∴sinα=± ,故选 B. 2 π 2.(文)(2011~2012· 山东苍山县期末)要得到函数 y=sin(2x+3)的图象,可 将 y=sin2x 的图象( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

π A.向右平移6个单位长度 π B.向左平移6个单位长度

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π C.向右平移3个单位长度 π D.向左平移3个单位长度 [答案] B π π π [解析] y=sin(2x+3)=sin2(x+6),故只须将 y=sin2x 的图象向左平移6个 单位长度,∴选 B. π (理)(2011~2012· 福州八中质检)要得到函数 y=sin(3-2x)的图象,只需将函 数 y=cos2x 的图象( ) π B.向右平移12个单位 π D.向右平移6个单位

π A.向左平移12个单位 π C.向左平移6个单位 [答案] A

π π π [解析] y=sin(3-2x)=cos[2-(3-2x)] π π π =cos(2x+6)=cos2(x+12),故只须将 y=cos2x 的图象向左平移12个单位就 π 可得到 y=sin(3-2x)的图象. 3.(2011~2012· 浙江六校联考)已知锐角 α 的终边上一点 P(sin40° ,1+ cos40° ),则 α 等于( A.10° C.70° [答案] C 1+cos40° 2cos220° [解析] tanα= sin40° =2sin20° =cot20° =tan70° ,∵α 为锐角,∴ cos20° α=70° . ) B.20° D.80°

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4. (文)(2011~2012· 豫南九校联考)函数 y=cos ax-sin ax 的最小正周期为 π, 则 a 的值是( A.-1 C.2 [答案] D 2π π [解析] y=cos2ax-sin2ax=cos2ax,T=2|a|=|a|=π,∴a=± 1. (理)(2011~2012· 安徽六校教育研究会联考)函数 y=2-sin2x 是( A.周期为 2π 的奇函数 B.周期为 2π 的偶函数 C.周期为 π 的奇函数 D.周期为 π 的偶函数 [答案] D [解析] y=2-sin2x=2- D. 5.(2011~2012· 平顶山、许昌新乡二调)设△ABC 的三个内角 A,B,C,向 量 m=( 3sinA, sinB), n=(cosB, 3cosA), m· 若 n=1+cos(A+B), C=( 则 π A.6 2π C. 3 [答案] C [解析] m· n= 3sinAcosB+ 3sinBcosA= 3sin(A+B)= 3sinC,cos(A+B) π 1 =-cosC,∵m· n=1+cos(A+B),∴ 3sinC=1-cosC,∴sin(C+6)=2, 2π ∵0<C<π,∴C= 3 . π B.3 5π D. 6 ) 1-cos2x 3 1 =2+2cos2x,周期 T=π 为偶函数,∴选 2 ) ) B.1 D.± 1

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π 6.(2011~2012· 青岛市期末)已知 tan(α+4)=3,则 tanα 的值为( 1 A.2 1 C.4 [答案] A tanα+1 π 1 [解析] 由 tan(α+4)=3 得, =3,∴tanα=2. 1-tanα 1 B.-2 1 D.-4

)

7.(2011~2012· 淄博一模)在△ABC 中,已知 b· cosC+c· cosB=3a· cosB,其 中 a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,则 cosB 值为( 1 A.3 2 2 C. 3 [答案] A [解析] 由正弦定理 sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB, ∴sin(B+C)=3sinAcosB, ∴sinA=3sinAcosB, 1 ∵sinA≠0,∴cosB=3. 8.甲船在 B 岛的正南方 A 处,AB=10 km,甲船以 4 km/h 的速度向正北航 行,同时,乙船自 B 岛出发以 6 km/h 的速度向北偏东 60° 的方向驶去,当甲、 乙两船相距最近时,它们航行的时间是( 150 A. 7 min C.21.5min [答案] A [解析] 设甲、乙两船相距最近时,所需时间为 t h,此时甲船到达 C 处, 15 B. 7 h D.21.5h ) 1 B.-3 2 2 D.- 3 )

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乙船到达 D 处,

则 CD2=BC2+BD2-2BC· BDcos120° 1 =(10-4t)2+(6t)2-2×(10-4t)×6t×(-2) =4(7t2-5t+25), 5 150 ∴t=14h= 7 min 时,两船相距最近. sin2α 9.(文)(2011~2012· 绥化市一模)若 tanα=3,则cos2α的值为( A.2 C.4 [答案] D sin2α 2sinαcosα [解析] ∵tanα=3,∴cos2α= cos2α =2tanα=6. (理)(2011~2012· 深圳市一调)已知直线 l:xtanα-y-3tanβ=0 的斜率为 2, 在 y 轴上的截距为 1,则 tan(α+β)=( 7 A.-3 5 C.7 [答案] D 7 B.3 D.1 ) B.3 D.6 )

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1 [解析] 由条件得 tanα=2,tanβ=-3, tanα+tanβ = 1 =1. 1-tanα· tanβ 1-2×?-3? 1 2+?-3?

∴tan(α+β)=

10.(2011~2012· 哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)函数 y =2sin2x+sin2x 的最小正周期是( π A.4 C.π [答案] C π [解析] ∵y=1-cos2x+sin2x=1+ 2sin(2x-4), 2π ∴T= 2 =π. 11.(文)(2011~2012· 包头一中期末)方程|x|=cosx 在(-∞,+∞)( A.没有根 C.有且仅有两个根 [答案] C [解析] 在同一坐标系中作出函数 y=|x|与 y=cosx 的图象知,两函数图象 有且仅有两个交点. B.有且仅有一个根 D.有无穷多个根 ) ) π B.2 D.2π

(理)(2011~2012· 青岛市期末)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π) 为奇函数,该函数的部分图象如图所示,△EFG 是边长为 2 的等边三角形,则

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f(1)的值为(

)

3 A.- 2 C. 3 [答案] D

6 B.- 2 D.- 3

2π [解析] ∵△EFG 为边长为 2 的正三角形,∴f(x)的周期为 4,∴ ω =4,∴ π π π ω=2, ∵f(x)为奇函数, 0<φ<π, ∴φ=2, ∴f(x)=-Asin(2x), 其最大值为 A= 3, π ∴f(x)=- 3sin2x,∴f(1)=- 3. π 12.(2011~2012· 豫南九校联考)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,|φ|<2)的 图象如图所示,为了得到 g(x)=sin2x 的图象,则只要将 f(x)的图象( )

π A.向右平移6个单位长度

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π B.向右平移12个单位长度 π C.向左平移6个单位长度 π D.向左平移12个单位长度 [答案] A [解析] T 7π π π 2π =12-3=4,∴T= ω =π,∴ω=2, 4

由最小值-1 知 A=1, π 2π ∴f(x)=sin(2x+φ),将(3,0)代入得 sin( 3 +φ)=0, π π ∵|φ|<2,∴φ=3, π π π ∴f(x)=sin(2x+3)=sin2(x+6),向右平移6个单位长度,即可得 g(x)=sin2x 的图象.

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题 中横线上.) 13.(文)(2011~2012· 安徽东至县一模)cos42°cos78° · +sin42°cos168° · = ________. 1 [答案] -2 [解析] cos42° cos78° +sin42° cos168° =cos42° cos78° -sin42° sin78° = 1 cos(42° +78° )=cos120° =-2. π (理)(2011~2012· 佛山市质检)函数 y= 3sinx+sin(x+ 2 )的最小正周期是 ________.

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[答案] 2π [解析] π 3 1 y= 3sinx+sin(x+2)= 3sinx+cosx=2( 2 sinx+2cosx)=2sin(x+

π 6),故最小正周期为 2π. π 3 5π π 14.(2011· 浙江杭州月考)已知 sin(x+6)= 3 ,则 sin( 6 -x)+sin2(3-x)= ________. [答案] 2+ 3 3

5π π [解析] sin( 6 -x)+sin2(3-x) 5π π π =sin[π-( 6 -x)]+cos2[2-(3-x)] π π =sin(6+x)+cos2(6+x) π π =sin(6+x)+1-sin2(6+x) 2+ 3 3 3 = 3 +1-( 3 )2= 3 . 15.(2011~2012· 山东东营市期末)小明爸爸开车以 80km/h 的速度沿着正北 方向的公路行驶, 小明坐在车里向外观察, 在点 A 处望见电视塔 P 在北偏东 30° 方向上,15 分钟后到达 B 处望见电视塔在北偏东 75° 方向上,则汽车在点 B 时 与电视塔 P 的距离是________km. [答案] 10 2 15 [解析] 由条件知 AB=80×60=20, BP 20 ∠APB=75° -30° =45° ,由正弦定理得sin30° sin45° = ,

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20sin30° ∴BP= sin45° =10 2(km). π π 16.(文)(2011~2012· 厦门市质检)函数 f(x)=sin(x+3)- 3cos(x+3),x∈ [0,2π)的单调递减区间是________. π 3π [答案] [2, 2 ] [解析] π π π π f(x)=sin(x+3)- 3cos(x+3)=2sin[(x+3)-3]=2sinx,故在[0,2π)

π 3π 上的单调递减区间为[2, 2 ]. (理)(2011~2012· 日照一模)给出下列四个命题: ①命题“?x∈R,cosx>0”的否定是“?x∈R,cosx≤0”; ②若 0<a<1,则函数 f(x)=x2+ax-3 只有一个零点; π π 5π ③函数 y=sin(2x-3)的一个单调增区间是[-12,12]; ④对于任意实数 x,有 f(-x)=f(x),且当 x>0 时,f ′(x)>0,则当 x<0 时, f ′(x)<0. 其中真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上). [答案] ①③④

[解析] ①正确;令 f(x)=x +a -3=0,则 a =3-x ,在同一坐标系中作 出函数 y=ax(0<a<1)与 y=3-x2 的图象知,两图象有两个交点,故②错;当 x∈ π 5π π π π [-12,12]时,-2≤2x-3≤2,故③正确;∵对任意实数 x,有 f(-x)=f(x),∴ f(x)为偶函数,又 x>0 时,f ′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴f(x)在(- ∞,0)上为减函数,因此,当 x<0 时,f ′(x)<0,故④真. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)(文)(2011~2012· 吉林延吉市质检)已知函数 f(x)=- 2 3sin2x+sin2x+ 3. (1)求函数 f(x)的最小正周期和最小值; (2)在给出的直角坐标系中,画出函数 y=f(x)在区间[0,π]上的图象.

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你的首选资源互助社区 x 2

π [解析] (1)f(x)= 3(1-2sin2x)+sin2x=sin2x+ 3cos2x=2sin(2x+3), 2π 所以,f(x)的最小正周期 T= 2 =π,最小值为-2.

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(2)列表: x f(x) 0 3 π 12 2 π 3 0 7π 12 -2 5π 6 0 π 3

故画出函数 y=f(x)在区间[0,π]上的图象如图.

(理)(2011~2012· 湖北八市联考)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0, π |φ|<2,x∈R)的图象的一部分如下图所示.

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 y=f(x)+f(x+2)的最大值与最小值. 2π [解析] (1)由图象知,A=2, ω =8,

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π π ∴ω=4,∴f(x)=2sin(4x+φ), π π 当 x=1 时,有4×1+φ=2, π ∴φ=4. π π ∴f(x)=2sin(4x+4). π π π π (2)y=2sin(4x+4)+2sin[4(x+2)+4] π π π π =2sin(4x+4)+2cos(4x+4) π π =2 2sin(4x+2) π =2 2cos4x, ∴ymax=2 2,ymin=-2 2. 18.(本小题满分 12 分)(文)(2011~2012· 厦门市质检)在△ABC 中,a、b、c B 5 分别是三个内角 A、B、C 的对边.a=2,sin 2 = 5 ,且△ABC 的面积为 4. (1)求 cosB 的值; (2)求边 b、c 的长. B 5 [解析] (1)∵sin 2 = 5 , B ∴cosB=1-2sin2 2 5 3 =1-2×( 5 )2=5. 3 (2)由(1)cosB=5,在△ABC 中,0<B<π,

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4 ∴sinB=5, 又由已知 S△ABC=4,且 a=2, 1 ∴2acsinB=4,解得 c=5, 3 ∴b2=a2+c2-2accosB=22+52-2×2×5×5=17, ∴b= 17,∴b= 17,c=5. (理)(2011~2012· 绥化市一模)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对 边,且(2a+c)cosB+bcosC=0. (1)求角 B 的值; π (2)已知函数 f(x)=2cos(2x-B),将 f(x)的图象向左平移12个单位长度后得到 函数 g(x)的图象,求 g(x)的单调增区间. [解析] (1)由正弦定理得(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0, 即 2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0, 得 2sinAcosB+sin(B+C)=0, 因为 A+B+C=π,所以 sin(B+C)=sinA,得 2sinAcosB+sinA=0, 1 因为 sinA≠0,所以 cosB=-2, 2π 又 B 为三角形的内角,所以 B= 3 . 2π 2π (2)∵B= 3 ,∴f(x)=2cos(2x- 3 ), π 2π ∴g(x)=2cos[2(x+12)- 3 ] π =2cos(2x-2)=2sin2x, π π 由 2kπ-2≤2x≤2kπ+2 (k∈Z),得

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π π kπ-4≤x≤kπ+4 (k∈Z), π π 故 f(x)的单调增区间为[kπ-4,kπ+4](k∈Z). 19.(本小题满分 12 分)(2011~2012· 安徽名校联考)在△ABC 中,角 A、B、 1 C 所对的边分别为 a、b、c,且 cosA=3. B+C (1)求 sin2 2 +cos2A 的值; (2)若 a= 3,求 bc 的最大值. [解析] B+C 1 1 (1)sin2 2 +cos2A=2[1-cos(B+C)]+2cos2A-1=2(1+cosA)+

1 2cos2A-1=-9. b2+c2-a2 1 (2)∵ 2bc =cosA=3, 2 ∴3bc=b2+c2-a2≥2bc-a2, 3 9 ∴bc≤4a2,又 a= 3,∴bc≤4. 3 9 9 当且仅当 b=c=2时,bc=4,故 bc 的最大值是4. 20.(本小题满分 12 分)(2011~2012· 江西赣州市期末)已知函数 f(x)= 3 1 sinxcosx-cos2x-2,x∈R. (1)求函数 f(x)的最小值和最小正周期; (2)已知△ABC 内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 c=3,f(C)=0,若 向量 m=(1,sinA)与 n=(2,sinB)共线,求 a、b 的值. [解析] 1 3 1 π (1)f(x)= 3sinxcosx-cos2x-2= 2 sin2x-2cos2x-1=sin(2x-6)-

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1, ∴f(x)的最小值是-2,最小正周期为 π. π π (2)∵f(C)=sin(2C-6)-1=0,即 sin(2C-6)=1, π π 11π ∵0<C<π,-6<2C-6< 6 , π π π ∴2C-6=2,∴C=3. ∵m 与 n 共线,∴sinB-2sinA=0. a b 由正弦定理sinA=sinB,得 b=2a, π ∵c=3,由余弦定理得,9=a2+b2-2abcos3,
?a= 3 ? 解方程组①②得,? . ?b=2 3 ?

① ②

21. (本小题满分 12 分)(2011~2012· 吉林重点中学一模)已知向量 a=(sin(ωx π +φ),2),b=(1,cos(ωx+φ)),ω>0,0<φ<4.函数 f(x)=(a+b)· (a-b),若 y=f(x) 7 的图象的一个对称中心与它相邻的一个对称轴之间的距离为 1, 且过点 M(1, ). 2 (1)求函数 f(x)的表达式; (2)当-1≤x≤1 时,求函数 f(x)的单调区间. [解析] (1)f(x)=(a+b)· (a-b)=|a|2-|b|2 =sin2(ωx+φ)+4-1-cos2(ωx+φ) =-cos(2ωx+2φ)+3, 2π π 由题意得周期 T=2ω=4,故 ω=4, 7 7 π 又图象过点 M(1,2),所以2=3-cos(2+2φ),

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1 π π 即 sin2φ=2,而 0<φ<4,所以 2φ=6, π π ∴f(x)=3-cos(2x+6). π π π 2π (2)当-1≤x≤1 时,-3≤2x+6≤ 3 , π π π 1 ∴当-3≤2x+6≤0 时,即 x∈[-1,-3]时,f(x)是减函数, π π 2π 1 当 0≤2x+6≤ 3 时,即 x∈[-3,1]时,f(x)是增函数. 1 1 ∴函数 f(x)的单调减区间是[-1,-3],单调增区间是[-3,1]. 22. (本小题满分 14 分)(文)(2011~2012· 吉林省延吉市质检)某城市有一块不 规则的绿地如图所示,城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志, 小李、小王设计的底座形状为△ABC、△ABD,经测量 AD=BD=14,BC=10, AC=16,∠C=∠D.

(1)求边 AB 的长度; (2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比,不考虑其他因素,小李、小 王谁的设计使建造费用最低,请说明理由. [解析] (1)在△ABC 中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcosC=162+102-2· 10cosC 16· 在△ABD 中,由余弦定理及∠C=∠D 整理得 ①

AB =AD +BD -2AD· BDcosD=14 +14 -2· cosC 14 由①②得:142+142-2· 2cosC=162+102-2· 10cosC 14 16· 1 ∴cosC=2, 又∠C 为三角形的内角,所以 C=60° ,

2

2

2

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又∠C=∠D,AD=BD,所以△ABD 是等边三角形,∴AB=14. (2)小李的设计符合要求. 理由如下: 1 S△ABD=2AD· BDsinD 1 S△ABC=2AC· BCsinC 因为 AD· BD>AC· BC, 所以 S△ABD>S△ABC, 由已知建造费用与用地面积成正比, 故选择△ABC 建造环境标志费用较低. 即小李的设计符合要求. (理)(2011~2012· 江苏无锡辅仁中学模拟)一铁棒欲通过如图所示的直角走 廊,试回答下列问题:

(1)求棒长 L 关于 α 的函数关系式 L(α);

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(2)求能通过直角走廊的铁棒的长度的最大值. 2 2 [解析] (1)如图,AB=cosα,BC=sinα, π? 2 2 ? L(α)=AC=AB+BC=cosα+sinα ?0<α<2?. ? ?

(2)L(α)=

2?cosα+sinα? sinαcosα
? ?

π? ? 令 t=cosα+sinα= 2sin?α+4?, π ∵0<α<4,∴t∈(1, 2], ?sinα+cosα?2-1 t2-1 则 sinαcosα= = 2 , 2 2 2t 2 2 1 1 ∴L= 2 = 1,当 t∈(1, 2]时,t- t 随着 t 的增大而增大,所以 t- t ∈ t -1 t- t 2 (0, 2 ], 所以 L∈[4,+∞). 所以能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为 4. π [点评] L(α)的最小值,即通过此直角走廊的铁棒的最大长度,当 α=4时,

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能通过走廊的铁棒最长.

1.(2011~2012· 大庆铁人中学期末)在同一个坐标系中画出函数 y=ax,y= sinax 的部分图象,其中 a>0 且 a≠1,则下列所给图象中可能正确的是( )

[答案] D 2π [解析] 若 a>1,则 y=sinax 的周期 T= a <2π,排除 A、C;若 0<a<1,则 y=sinax 的周期 T>2π,排除 B,故选 D. π 2.(2011~2012· 兰州一中期末)y=sin(2x+3)的图象经过怎样的平移后所得 π 的图象关于点(-12,0)中心对称( π A.向左平移12个单位 π C.向右平移12个单位 [答案] C ) π B.向左平移6个单位 π D.向右平移6个单位

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[解析]

π π π π y=sin(2x+3)=sin2(x+6),向右平移12个单位得 y=sin2(x-12+

π π π π π ),∵当 x=-12时,sin2(x-12+6)=0,∴需向右平移12个单位. 6 π π 解法二: y=sin(2x+3)的图象向右平移 φ 个单位后, y=sin[2(x-φ)+3] 将 得 π π π π =sin(2x+3-2φ),其图象关于点(-12,0)对称,∴2×(-12)+3-2φ=kπ,∴φ kπ π π =- 2 +12,∵k∈Z,∴k=0 时,φ=12,故选 C. 3.(2011~2012· 南通市调研)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 所对 → → → 的边,且 3aBC+4bCA+5cAB=0,则 a:b:c=________. [答案] 20:15:12 → → → [解析] ∵3aBC+4bCA+5cAB=0, → → → → ∴3aBC+4bCA+5c(AC+CB)=0, → → ∴(3a-5c)BC+(4b-5c)CA=0,
? ?3a-5c=0 → → ∵BC与CA不共线,∴? ?4b-5c=0 ?

?a=5c ? 3 ,∴? 5c ?b= 4 ?



a 4 20 b 5 15 ∴b=3=15,c =4=12, ∴a:b:c=20:15:12. x 4.(2011~2012· 南通市调研)已知函数 f(x)=3sin2,如果存在实数 x1,x2, 使得对任意的实数 x,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值为________. [答案] 2π [解析] f(x)的周期 T=4π,∵对任意实数 x 都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2),∴f(x1)是

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f(x)的最小值,f(x2)是 f(x)的最大值,因此|x1-x2|的最小值为半个周期即 2π. x 5.(2011~2012· 淄博一模)已知函数 f(x)=2cos22- 3sinx. (1)求函数 f(x)的最小正周期和值域; π 1 cos2α (2)若 α 为第二象限角,且 f(α-3)=3,求 的值. 1+cos2α-sin2α [解析] (1)∵f(x)=1+cosx- 3sinx π =1+2cos(x+3), ∴函数 f(x)的周期为 2π, π 又∵-1≤cos(x+3)≤1,∴-1≤f(x)≤3, 即 f(x)的值域为[-1,3]. π 1 1 1 (2)∵f(α-3)=3,∴1+2cosα=3,∴cosα=-3, 2 2 ∵α 为第二象限角,∴sinα= 3 , cos2α-sin2α cos2α ∴ = 1+cos2α-sin2α 2cos2α-2sinαcosα = ?cosα+sinα??cosα-sinα? cosα+sinα = 2cosα 2cosα?cosα-sinα?

1 2 2 -3+ 3 1-2 2 = = 2 . 2 -3


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