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高三数学上学期期末试卷-文


高三上学期期末数学试卷
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 2 1. (5 分)设集合 M={x|﹣1<x<1},N={x|x ﹣x≤0},则 M∩N=() A. D. (﹣1,0] 2. (5 分)质检部门对某超市 56 种食用油(分别编号为 1~56)进行抽样检查,用系统抽样 的方法抽取了 4 种食用油,已知 7 号,35 号被抽取到

,那么另两种被抽取到的食用油编号是 () A. 22 号与 49 号 B. 21 号与 49 号 C. 28 号与 42 号 D. 21 号与 50 号 3. (5 分)若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中,其中 AB=2,BC=1,则质点落在 以 AB 为直径的半圆内的概率是()

A.

B.

C.

D.

4. (5 分)函数 f(x)=2sin(ω x+φ ) (ω >0,﹣

<φ <

)的部分图象如图所示,则

ω ,φ 的值分别为() A. 2,﹣ B. 2,﹣ C. 4,﹣ D. 4,

5. (5 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2+a5+a8=15,a2+a4+a6=12,则 S8 的值是() A. 21 B. 24 C. 36 D. 7 6. (5 分)下列命题说法错误的是() A. 若“p∧q”为真命题,则 p,q 均为真命题 2 2 B. 若命题 p:? x∈R,x ≥0,则¬p:? x∈R,x <0 C. “x>2”是“x≥0”的充分不必要条件 D. “x= ”是“sinx= ”的必要不充分条件

-1-

7. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的正视图面积为()

A. 2+3π

B. 2+

C. 4+

D. 4+π

8. (5 分)如图,若输入两个不同的正数,经程序运行后输出的数相同,则称这两个数为“协 同数”,那么下面所给的四组数中属于“协同数”的一组是()

A. 6,64

B. 8,16

C. 16,256

D. 30,512

9. (5 分)双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的离心率为 2,焦点到渐近线的距离为



则 C 的焦距等于() A. 2 B. 2

C. 4

D. 4

-2-

10. (5 分) 如图所示, 正方形 ABCD 边长为 2, 圆 D 的半径为 1, E 是圆 D 上任意一点, 则 的最小值为()

?

A. 1+2

B. ﹣1﹣2

C. 1 ﹣

D. 1﹣2

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)复数 z= (i 为虚数单位) ,则复数 z 在复平面内所对应点在第象限.

12. (5 分)已知直线 l 的极坐标方程为 ρ cosθ ﹣ρ sinθ =a(a∈R) ,曲线 C 的参数方程为 ,若曲线 C 关于直线 l 对称,则 a=.

13. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=x﹣3y 的最大值为.

14. (5 分)已知抛物线 C:y =2px(p>0)上一点 A(3,m) (m>0) ,若 A 到焦点 F 的距离为 4,则以 A 为圆心与抛物线 C 的准线相切的圆的标准方程为. 15. (5 分)对于定义域和值域均为的函数 f(x) ,设 f1(x)=f(x) ,f2(x)=f(f1(x) ) ,?, * fn(x)=f(fn﹣1(x) ) (n∈N ) ,若 xo 满足 fn(x0)=x0,则 xo 称为 f(x)的 n 阶周期点. (1)若 f(x)=2x(0≤x≤1) ,则 f(x)的 2 阶周期点的值为;

2

(2)若 f(x)=

,则 f(x)的 2 阶周期点的个数是.

三、简答题(本大题共 6 小题,共 75 分,简答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 2 16. (12 分)已知函数 f(x)=2cos x+2 sinxcosx(x∈R) . (Ⅰ)求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)设△ABC 的内角 A, B,C 的对应边分别为 a,b,c,且 f(A)=2,b=1,且△ABC 的面 积为 ,求边 a 的值.

-3-

17. (12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ∠BAD=60°,E 是 PC 的中点. (1)求证:PC⊥BD; (2)若四棱锥 P﹣ABCD 的体积为 4,求 DE 与平面 PAC 所成角的大小.

-4-

18. (12 分)2014 年 9 月 4 日国务院发布了《国务院关于深化考试招生制度改革的实施意见》 , 其中指出:文理将不分科;总成绩由同一 2015 届高考的语文、数学、外语 3 个科目成绩和高 中学业水平考试成绩组成;外语科目提供两次考试机会;计入总成绩的高中学业水平考试科 目,由考生根据 2015 届高考高校要求和自身特长,在其余六科中自主选择.某社区 N 名居民 接受了当地电视台对《意见》看法的采访,他们的年龄在 25 岁至 50 岁之间,按年龄分 5 组: , 得到的频率分布直方图如图所示,下表是年龄的频数分布表: 区间 人数 25 a b

(1)求正整数 a,b,N 的值; (2)现要从年龄较小的前 3 组中采用分层抽样的方法选取 6 人,则年龄在第 1,2,3 组的人 数分别是多少?再从这 6 人中随机选取 2 人参加社区宣传交流活动,求恰有 1 人在第 3 组的 概率.

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19. (13 分)已知数列{an}中,a1= ,且 an+1= an,正项数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且对任意的 n∈N ,2
*

是 bn+2 和 bn 的等比中项.

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)设 cn= an?bn,且数列{cn}的前 n 项和为 Tn,求证: .

20. (13 分)已知点 M(

,2)是椭圆

=1(a>b>0)上的一点,MF2 垂直于 x 轴,F1,

F2 分别为椭圆的左、右焦点,A1,A2 分别为椭圆的左、右顶点 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)动直线 l:x=my+1 与椭圆 C 交于 P、Q 两点,直线 A1P 与直线 A2Q 交于点 S,当直线 l 变 化时,点 S 是否在一条定直线上?若是,求出定直线方程;若不是,请说明理由.

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21. (13 分)已知函数 f(x)= ax ﹣lnx,g(x)=bx,a,b∈R,h(x)=f(x)﹣g(x) (1)当 a= 时,求 f(x)的极值;

2

(2)当 a>0,且 a 为常数时,若函数 p(x)=x 对任意的 x1>x2≥4, ﹣1 恒成立,试用 a 表示出 b 的取值范围.



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高三上学期期末数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 2 1. (5 分)设集合 M={x|﹣1<x<1},N={x|x ﹣x≤0},则 M∩N=() A. D. (﹣1,0] 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 N 中不等式的解集确定出 N,找出 M 与 N 的交集即可. 解答: 解:由 N 中不等式变形得:x(x﹣1)≤0, 解得:0≤x≤1,即 N=, ∵M=(﹣1,1) , ∴M∩N= 8. (5 分)如图,若输入两个不同的正数,经程序运行后输出的数相同,则称这两个数为“协 同数”,那么下面所给的四组数中属于“协同数”的一组是()

A. 6,64

B. 8,16

C. 16,256

D. 30,512

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图.

分析: 模拟执行程序,可得程序框图的功能是求分段函数 y=

的值,依次

代入各个选项中的数值即可判断.

解答: 解:模拟执行程序,可得程序框图的功能是求分段函数 y=

的值,

-8-

当 x=8 时,8<10,有 y=2 =256 2 当 x=16 时,10<16<30,有 y=16 =256 故选:B. 点评: 本题主要考查了程序框图和算法,模拟执行程序,正确得到序框图的功能是解题的 关键,属于基本知识的考查.

8

9. (5 分)双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的离心率为 2,焦点到渐近线的距离为



则 C 的焦距等于() A. 2 B. 2

C. 4

D. 4

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式,建立方程组即可得到结论. 解答: 解:∵: ﹣ =1(a>0,b>0)的离心率为 2,

∴e=

,双曲线的渐近线方程为 y= ,

,不妨取 y=

,即 bx﹣ay=0,

则 c=2a,b=

∵焦点 F(c,0)到渐近线 bx﹣ay=0 的距离为 ∴d= ,







解得 c=2, 则焦距为 2c=4, 故选:C 点评: 本题主要考查是双曲线的基本运算,利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公 式,建立方程组是解决本题的关键,比较基础.

10. (5 分) 如图所示, 正方形 ABCD 边长为 2, 圆 D 的半径为 1, E 是圆 D 上任意一点, 则 的最小值为()

?

-9-

A. 1+2

B. ﹣1﹣2

C. 1 ﹣

D. 1﹣2

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 建立坐标系,利用向量的数量积运算、三角函数的单调性即可得出. 解答: 解:如图所示, A(0,﹣2) ,C(2,0) ,设 E(cosθ ,sinθ ) ,θ ∈ 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则、几何意义即可得出. 解答: 解:复数 z= =﹣3﹣i,则复数 z 在复平面内所对应点(﹣3,﹣1)在第三象限.

故答案为:三. 点评: 本题考查了复数的运算法则、几何意义,属于基础题. 12. (5 分)已知直线 l 的极坐标方程为 ρ cosθ ﹣ρ sinθ =a(a∈R) ,曲线 C 的参数方程为 ,若曲线 C 关于直线 l 对称,则 a=﹣1.

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 首先,讲给定的直线的极坐标方程化为直角坐标方程,曲线的参数方程化为普通方 程,然后,根据直线关于圆的对称,得到该直线必过圆的圆心,建立等式,求解即可. 解答: 解:∵直线 l 的极坐标方程为 ρ cosθ ﹣ρ sinθ =a(a∈R) , ∴它的直角坐标方程为:x﹣y﹣a=0, 曲线 C 的参数方程为
2 2



它的普通方程为: (x+1) +y =1, ∵曲线 C 关于直线 l 对称, 故该直线必过圆心(﹣1,0) , 代入,直线的直角坐标方程,得到 ﹣1﹣0﹣a=0, ∴a=﹣1, 故答案为:﹣1. 点评: 本题重点考查了直线的极坐标方程和直角坐标方程的互化,圆的参数方程和普通方 程互化等知识,圆关于直线的对称问题等知识,属于中档题.

- 10 -

13. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=x﹣3y 的最大值为 4.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求最值即可. 解答: 解:由 z=x﹣3y 得 y= ,

作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分) : 平移直线 y= , 经过点 A 时,直线 y= 的截距最小,

由图象可知当直线 y= 此时 z 最大, 由 ,解得

,即 A(﹣2,﹣2) .

将 A(﹣2,﹣2)代入目标函数 z=x﹣3y, 得 z=﹣2﹣3×(﹣2)=4. ∴目标函数 z=x﹣3y 的最大值是 4. 故答案为:4

点评: 本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键, 利用数形结合是解决问题的基本方法. 14. (5 分)已知抛物线 C:y =2px(p>0)上一点 A(3,m) (m>0) ,若 A 到焦点 F 的距离为 2 2 4,则以 A 为圆心与抛物线 C 的准线相切的圆的标准方程为(x﹣3) +(y﹣2 ) =16. 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.
2

- 11 -

分析: 根据题意可得 3﹣(﹣ )=4,求得 p=2,可得抛物线 C:y =4x.把点 A(3,m)代 入抛物线的方程,求得 m 的值,可得圆心和半径,从而得到所求的圆的标准方程. 解答: 解:由题意结合抛物线的定义可得 A 到准线的距离为 4, ∴3﹣(﹣ )=4,求得 p=2,∴抛物线 C:y =4x. 点 A(3,m)代入抛物线 C:y =4x, 结合 m>0,可得 m=2 . 再根据题意可得圆的半径为 4, 2 2 故所求的圆的标准方程为(x﹣3) +(y﹣2 ) =16, 2 2 故答案为: (x﹣3) +(y﹣2 ) =16. 点评: 本题主要考查抛物线的定义和标准方程的应用,求圆的标准方程的方法,求出 m 的 值,是解题的关键,属于中档题. 15. (5 分)对于定义域和值域均为的函数 f(x) ,设 f1(x)=f(x) ,f2(x)=f(f1(x) ) ,?, * fn(x)=f(fn﹣1(x) ) (n∈N ) ,若 xo 满足 fn(x0)=x0,则 xo 称为 f(x)的 n 阶周期点. (1)若 f(x)=2x(0≤x≤1) ,则 f(x)的 2 阶周期点的值为 0;
2 2

2

(2)若 f(x)=

,则 f(x)的 2 阶周期点的个数是 4.

考点: 分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)若 f(x)=2x,则 f2(x)=4x,令 f2(x0)=x0,可得 f(x)的 2 阶周期点的值;

(2)根据 f(x)=

,分 0≤2x≤ ,即 0≤x≤ 时,当 <2x≤1,即

<x≤ 时, <x≤1 时,讨论 f(x)的 2 阶周期点的个数,最后综合讨论结果可得答案. 解答: 解: (1)∵f2(x)=f(f1(x) )=f(2x)=4x, 令 f2(x)=x, 解得:x=0. (2)当 0≤2x≤ ,即 0≤x≤ 时, f2(x)=f(f1(x) )=f(2x)=4x, 令 f2(x)=x,解得 x=0, 当 <2x≤1,即 <x≤ 时, f2(x)=f(f1(x) )=f(2x)=2﹣2(2x)=2﹣4x, 令 f2(x)=x,解得 x= ,

- 12 -

故 0≤x≤ 时,f(x)的 2 阶周期点有两个, 同理 <x≤1 时,f(x)的 2 阶周期点也有两个, 故 f(x)的 2 阶周期点共有 4 个. 故答案为:0,4 点评: 本题考查的知识点是分段函数,其中正确理解 f(x)的 n 阶周期点的定义,是解答 的关键. 三、简答题(本大题共 6 小题,共 75 分,简答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 2 16. (12 分)已知函数 f(x)=2cos x+2 sinxcosx(x∈R) . (Ⅰ)求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)设△ABC 的内角 A,B,C 的对应边分别为 a,b,c,且 f(A)=2,b=1,且△ABC 的面 积为 ,求边 a 的值. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象;正弦定理. 专题: 常规题型;三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: 第(Ⅰ)问求函数的单调区间,要先把函数化成标准形式,即化成 y=Asin(ω x+φ ) +B 的形式;第(Ⅱ)问根据 f(A)=2 求出角 A,然后根据△ABC 的面积为 ,结合余弦定理 求出 a 的值. 解答: 解: (Ⅰ)f(x)=2cos x+ 令﹣ 解得,kπ ﹣
2

sin2x=cos2x+ ,k∈Z

sin2x+1=2sin(2x+

)+1

,k∈Z

∴f(x)的递增区间为(k∈Z) (Ⅱ)由 f(A)=2sin(2A+ S△ABC= ∴c=4, 由余弦定理得 a =1+4 ﹣2×1×4×cos ∴a= . 点评: 本题考查了求函数的单调区间,关键是化成标准形式;还考查了解三角形,注意根 据条件选择适当的面积公式及正余弦定理. 17. (12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ∠BAD=60°,E 是 PC 的中点. (1)求证:PC⊥BD; (2)若四棱锥 P﹣ABCD 的体积为 4,求 DE 与平面 PAC 所成角的大小.
2 2

)+1=2,得 A=

- 13 -

考点: 直线与平面所成的角;棱锥的结构特征;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)四边形 ABCD 为菱形,从而 AC⊥BD,证明 PA⊥BD,可得 BD⊥平面 PAC,即可证 明 PC⊥BD; (2)证明∠EDO 就是 DE 与平面 PAC 所成的角,即可求得结论. 解答: (1)证明:∵四边形 ABCD 为菱形, ∴AC⊥BD, 又 PA⊥底面 ABCD, ∴PA⊥BD, ∵PA∩AC=A, ∴BD⊥平面 PAC, ∴PC⊥BD; (2)解:由底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60°,知 BD=2, ∴VP﹣ABCD= ? AC?BD?PA=4,可得 PA=2 ,

由(1)知 BD⊥平面 PAC, ∴DE 在平面 PAC 的射影为 OE, ∴∠EDO 就是 DE 与平面 P 所 AC 成的角, ∵E 是 PC 的中点, ∴OE= PA= , ,

∴在 Rt△DOE 中,tan∠EDO=

∴∠EDO=30° 即 DE 与平面 PAC 所成的角为 30°. 点评: 本题考查直线与平面垂直的判定与性质,考查线面角,考查学生分析解决问题的能 力,属于中档题. 18. (12 分)2014 年 9 月 4 日国务院发布了《国务院关于深化考试招生制度改革的实施意见》 , 其中指出:文理将不分科;总成绩由同一 2015 届高考的语文、数学、外语 3 个科目成绩和高 中学业水平考试成绩组成;外语科目提供两次考试机会;计入总成绩的高中学业水平考试科 目,由考生根据 2015 届高考高校要求和自身特长,在其余六科中自主选择.某社区 N 名居民 接受了当地电视台对《意见》看法的采访,他们的年龄在 25 岁至 50 岁之间,按年龄分 5 组: , 得到的频率分布直方图如图所示,下表是年龄的频数分布表: 区间

- 14 -

人数

25

a

b

(1)求正整数 a,b,N 的值; (2)现要从年龄较小的前 3 组中采用分层抽样的方法选取 6 人,则年龄在第 1,2,3 组的人 数分别是多少?再从这 6 人中随机选取 2 人参加社区宣传交流活动,求恰有 1 人在第 3 组的 概率. 考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据频率分布直方图,知频数比等于高之比,由此可得 a、b、N 的值; (2)计算分层抽样的抽取比例,用抽取比例乘以每组的频数,可得每组抽取人数;利用列举 法写出从 6 人中随机抽取 2 人的所有基本事件,分别计算总个数与恰有 1 人在第 3 组的个数, 根据古典概型概率公式计算. 解答: 解: (1)由题可知,25=0.02×5×N,显然 N=250, a=25,b=0.08×5×250=100. (2)因为第 1,2,3 组共有 25+25+100=150 人, 利用分层抽样在 150 名学生中抽取 6 名学生,每组抽取的人数分别为: 第 1 组的人数为 ,第 2 组的人数为 ,第 3 组的人数为 ,

所以第 1,2,3 组分别抽取 1 人,1 人,4 人. 设第 1 组的 1 位同学为 A,第 2 组的 1 位同学为 B,第 3 组的 4 位同学为 C1,C2,C3,C4, 则从六位同学中抽两位同学有: (A,B) , (A,C1) , (A,C2) , (A,C3) , (A,C4) , (B,C1) , (B,C2) , (B,C3) , (B,C4) , (C1,C2) , (C1,C3) , (C1,C4) , (C2,C3) , (C2,C4) , (C3,C4) ,共 15 种可能. 其中 2 人年龄恰有 1 人在第 3 组的有: (A,C1) , (A,C2) , (A,C3) , (A,C4) , (B,C1) , (B,C2) , (B,C3) , (B,C4) ,共 8 种可能, 所以 P= . .

故恰有 1 人在第 3 组的概率为

点评: 本题考查频率分布直方图及古典概型的概率计算,解答此类题的关键是读懂频率分 布直方图的数据含义.

- 15 -

19. (13 分)已知数列{an}中,a1= ,且 an+1= an,正项数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且对任意的 n∈N ,2
*

是 bn+2 和 bn 的等比中项.

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)设 cn= an?bn,且数列{cn}的前 n 项和为 Tn,求证: .

考点: 数列的求和;等比数列的通项公式;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知得数列{an}是首项为 ,公比为 的等比数列,{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,由此能求出数列{an}和{bn}的通项公式. (2)由 cn= an?bn= . 解答: (1)解:∵数列{an}中,a1= ,且 an+1= an, ∴数列{an}是首项为 ,公比为 的等比数列, ∴an=( ) . ∵正项数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且对任意的 n∈N ,2 ∴4Sn=bn(bn+2)= ,① ,②,n≥2, ①﹣②,得 4bn= +2bn﹣2bn﹣1,n≥2
* n

=(n﹣ )×( ) ,利用错位相减法能证明

n

是 bn+2 和 bn 的等比中项,

∴(bn+bn﹣1) (bn﹣bn﹣1﹣2)=0, ∵bn>0,∴bn﹣bn﹣1=2, 又 ,解得 b1=1,

∴{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列, ∴bn=1+(n﹣1)×2=2n﹣1. (2)证明:∵cn= an?bn= ∴Tn= + =(n﹣ )×( ) , +?+(n﹣ )× ,① ,②
n

- 16 -

①﹣②,得:

=

=

﹣(n﹣ )×

= ∴Tn= ﹣ ∵0< ∴ .

, , ≤ = ,

点评: 本题主要考查数列的通项公式、前 n 项和公式的求法,考查等差数列、等比数列等 基础知识,考查抽象概括能力,推理论证能力,运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与 方程思想,解题时要注意错位相减法的合理运用.

20. (13 分)已知点 M(

,2)是椭圆

=1(a>b>0)上的一点,MF2 垂直于 x 轴,F1,

F2 分别为椭圆的左、右焦点,A1,A2 分别为椭圆的左、右顶点 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)动直线 l:x=my+1 与椭圆 C 交于 P、Q 两点,直线 A1P 与直线 A2Q 交于点 S,当直线 l 变 化时,点 S 是否在一条定直线上?若是,求出定直线方程;若不是,请说明理由. 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1) 根据过右焦点 F2 且垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 在第一象限的交点为 M ( 可得∴ + =1,求出 a =9,b =a ﹣c =6,从而可得椭圆 C 的方程;
2 2 2 2

, 2) ,

(2)利用特殊位置猜想结论,再进行一般性的证明.将直线方程代入椭圆方程,利用韦达定 理可以证明. 解答: 解: (1)∵过右焦点 F2 且垂直于 x 轴的直线与 椭圆 C 在第一象限的交点为 M( ,2) . 2 2 2 2 ∴c= ,b =a ﹣c =a ﹣3. ∵点 M( ,2 在椭圆上, ∴
2

+
2

=1,
4 2

∴3a ﹣9+4a =a ﹣3a 4 2 2 2 ∴a ﹣10a +9=0,∴(a ﹣9) (a ﹣1)=0, 2 2 2 ∴a =9 或 a =1<c (舍去) .

- 17 -

∴b =a ﹣c =6. ∴椭圆 C 的方程为 + =1;

2

2

2

(2)当 l⊥x 轴时,P(1, A1P 的方程:y= 联立解得 S(9,4

) ,Q(1,﹣

) ,又 A1(﹣3,0) ,A2(3,0) (x﹣3) ,

(x+3) ,A2Q 的方程:y= ) . ﹣ x,P(0,

当 l 过椭圆的上顶点时,y= A1P 的方程:y=

) ,Q(

,﹣

) ) .

(x+3) ,A2Q 的方程:y=

(x﹣3) ,联立解得 S(9,4

若定直线存在,则方程应是 x=9. 下面给予证明. 2 2 把 x=my+1 代入椭圆方程,整理得(2m +3)y +4my﹣16=0, △>0 成立,记 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,则 y1+y2= ,y1y2= .

A1P:y=

(x+3) ,A2Q 的方程:y=

(x﹣3) ,

当 x=9 时,纵坐标 y 应相等,

=

,须

=



须 2y1(my2﹣2)=y2(my1+4) ,须 my1y2=4(y1+y2) ∵y1+y2= ,y1y2= .

∴m?

=4?

成立.

综上,定直线方程为 x=9.

点评: 本题考查椭圆的标准方程的求法,考查探究性问题,解题的关键是利用特殊位置猜 想结论,再进行证明.

- 18 -

21. (13 分)已知函数 f(x)= ax ﹣lnx,g(x)=bx,a,b∈R,h(x)=f(x)﹣g(x) (1)当 a= 时,求 f(x)的极值;

2

(2)当 a>0,且 a 为常数时,若函数 p(x)=x 对任意的 x1>x2≥4, ﹣1 恒成立,试用 a 表示出 b 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用.



分析: (1)把 a= 代入 f(x)的解析式并求出定义域,求出函数的导数化简后求出单调区 间,从而可求出函数的极值; (2)先由题意求出 h(x) ,将不等式化简后构造函数 k(x)=p(x)+x,根据恒成立和函数 的单调性定义转化为:k′(x)≥0 在 (2)∵h(x)=f(x)﹣g(x)= ax ﹣lnx﹣bx, ∴函数 p(x)=x=x( ax ﹣bx)= ax ﹣bx ,
2 3 2 2

∵对任意的 x1>x2≥4,

>﹣1 恒成立,

∴p(x1)﹣p(x2)>﹣x1+x2 对任意的 x1>x2≥4 恒成立, 则 p(x1)+x1>p(x2)+x2 对任意的 x1>x2≥4 恒成立, 设 k(x)=p(x)+x= ax ﹣bx +x,则 k(x)在[4,+∞)上单调递增, ∴k′(x)=ax ﹣2bx+1≥0 在[4,+∞)上恒成立, ∴2bx≤ax +1,则 构造函数 F(x)=
2 2 3 2



) ,

(a>0) ,x∈[4,+∞) ,

∴F′(x)=a﹣

=



由 F′(x)=0 得,x= ①当 时,即

或﹣

(舍去) ,

,则在[4,+∞)上有 F′(x)>0,

∴函数 F(x)在[4,+∞)上单调递增, ∴函数 F(x)的最小值是 F(4)= ②当 时,即 , ,则 = ;

- 19 -

则在[4,

)上 F′(x)<0,在(

,+∞)上有 F′(x)>0, ,+∞)上单调递增,

∴函数 F(x)在[4,

)上单调递减,在( )=2 ,

∴函数 F(x)的最小值是 F( 则 综上可得,当 = , 时,b≤

;当

时,



点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值,构造函数法解决不等式问题, 以及分类讨论思想、转化思想,考查了推理能力和计算能力,属于难题.

- 20 -


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