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高中数学公式汇总&结论


高中数学常用公式汇总及结论
1 、元素与集合的关 系

2 、集合

的子集个数共有 个.

个;真子集有

个;

非空子集有个;非空的真子集有

3 、二次函数的解析式的三种形式: (1) 一般式: (2) 顶点式 : 坐标 时,设为此式) (当已

知抛物线与轴的交 时,设为此式) 。(当已知抛物线与 时, (当已知抛物线的顶点

(3) 零点式: 点坐标为 (4)切线式: 直线 设为此式) 相切且切点的横坐标为

4、 真值表: 同真且真,同假或假

5 、常见结论的否定形式;

1

6 、四种命题的相互关系(下图):(原命题与逆否命题同真同假; 逆命题与否命题同真同假.)

充要条件: (1) 要条件;

则 P 是 q 的充分条件,反之,q 是 p 的必

(2)

且 q ≠ > p, 则 P 是 q 的充分不必要条件; ,则 P 是 q 的必要不充分条

(3) p ≠> p ,且 件;

2

(4)p ≠> p ,且

则 P 是 q 的既不充分又不必要条件。

7、 函数单调性:

增函数:(1)文字描述是:y 随 x 的增大而增大。 (2)数学符号表述是:设 f(x)在 义, 若对任意的 则就叫 , 都有 上有定 成立,

在上是增函数。D 则就是 f(x)的递增区间。

减函数:(1)、文字描述是:y 随 x 的增大而减小。 (2)、数学符号表述是:设 f(x)在 xD 上有定义, 若对任意的 ,都有 成立,则就叫 f(x)在上是减函数。D 则就是 f(x) 的递减区间。

单调性性质:(1)、增函数+增函数=增函数; (2)、减函数+ 减函数=减函数; (3)、增函数-减函数=增函数; (4)、减函数-增 函数=减函数;

注:上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的,是等号左 边两个函数定义域的交集。
3

复合函数的单调性:

等价关系: (1)设 ,那么

上是增函数; 上是减 函数.

(2)设函数 则

在某个区间内可导,如果 为增函数;如果 ,则为减函 数.



8、函数的奇偶性:(注:是奇偶函数的前提条件是:定义域必 须关于原点对称) 奇函数定义: 在前提条件下, 若有 则 f(x)就是奇函数。 ,

4

性质:(1)、奇函数的图象关于原点对称; (2)、奇函数在 x>0 和 x<0 上具有相同的单调区间; (3)、定义在 R 上的奇函数,有 f(0)=0 .

偶函数定义:在前提条件下,若有 f(—x)=f(x),则 f(x)就 是偶函数。

性质:(1)、偶函数的图象关于 y 轴对称; (2)、偶函数在 x>0 和 x<0 上具有相反的单调区间;

奇偶函数间的关系: (1)、奇函数·偶函数=奇函数; (2)、奇函数·奇函数= 偶函数; (3)、偶奇函数·偶函数=偶函数; (4)、奇函数±奇函数= 奇函数(也有例外得偶函数的) (5)、偶函数±偶函数=偶函数; (6)、奇函数±偶函数= 非奇非偶函数

奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过 来,如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那
5

么这个函数是偶函数.

9、函数的周期性:

定义:对函数 f(x),若存在



使得 f(x+T)=f(x),则就叫 f(x)是周期函数, 其中,T 是 f(x)的一个周期。 周期函数几种常见的表述形式: (1)、 f(x+T)= - f(x),此时周期为 2T ; (2)、 f(x+m)=f(x+n),此时周期为 (3)、 此时期为 2m 。 ;

10、常见函数的图像:

11、 对于函数 的对称轴是 ;

恒成立,则函数

两个函数 f=(x+a)与 y=(b-x) 的图象关于直线 称.
6



12、 分数指数幂与根式的性质:

13 、指数式与对数式的互化 式: . 指数性质:

指数函数: (1)、 在定义域内是单调递增函数;

(2)、

在定义域内是单调递减函数。注:

指数函数图象都恒过点(0,1)

对数性质:

7

对数函数: (1)、 (2)、 在定义域内是单调递增函数; 在定义域内是单调递减函数;

注: 对数函数图象都恒过点(1,0)

(3)、

(4)、

14、 式 :

对数的换底公

对数恒等式 推论

15、对数的四则运算法则:若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则

8

16、 平均增长率的问题(负增长时):如果原来产值的基础数 为 N,平均增长率为 p,则对于时间的总产值, 有 .

17 、 等差数列: 通项公式: (1) 首项,d 为公差,n 为项数, (2)推广: (3) 意数列都适用) 为末项。

, 其中



(注:该公式对任

前 n 项和: 数,为末项。

(1)

;其中为首项,n 为项

(2) (3) 数列都适用) (4)
9

(注:该公式对任意

(注:该公式对任

意数列都适用)

常用性质:(1)、若 m+n=p+q ,则有 注:若 有 n、m、p 成等差。 (2)、若 则 为等差数列。 (3)、 则 (4)、 (5) 、为等差数列, 的等差中项,则



为等差数列,为其前 n 项和, 也成等差数列。

等比数列: 通项公式:(1) 为项数,q 为公比。 (2)推广 (3) 意数列都适用) : (注:该公式对任 ,其中为首项,n

前 n 项和:(1)
10

(注:该公式对任意

数列都适用) (2) 列都适用) (注:该公式对任意数

(3)

常用性质: (1)、若 m+n=p+q ,则有 注:若 有 成等比。 (2)、若、 则 为等比数列。 为等比数列,

; 的等比中项,则

18、 分期付款(按揭贷款) : 每次还款 次还清,每期利率为).

元(贷款元,

19、三角不等式: (1)若 (2) 若 (3) . 20 、同角三角函数的基本关系 式 :
11

,则 ,则

. .

21、

正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)

22、 和角与差角公式

(辅助角

所在象限由点(a,b) 的象限决定

, ).

23、 二倍角公式及降幂公式

.

24、 三角函数的周期公式 函数 及函数 ; 函数,(A,ω ,为常数,且 A≠
12

),x∈

R(A,ω ,为常数,且 A≠0)的周期

0)的周期

.

三角函数的图 像:

25 、正弦定理 : 半径).

(R 为

外接圆的

26、余弦定 理:

27、面积定理: (1) 上的高). 分别表示 a、b、c 边

13

28、三角形内角和定理 : 在△ABC 中, 有 . 29、实数与向量的积的运算律:设λ、μ 为实数,那么:

30、与的数量积(或内积):

·

31、平面向量的坐标运算:

32 、两向量的夹角公
14

式:

33、 平面两点间的距离公 式:

34、 向量的平行与垂直 :设=,=, 则: (交叉相乘差为零)



(对应相乘和为 零)

35 、线段的定比分公式 :设 段 且 的分点,是 ,则 实数,

,是线

36、 三角形的重心坐标公式:
为 三个顶点的坐标分别

15

则的重心的坐标是 .

37、 则

三角形五“心”向量形式的充要条件:设为所在平面上一点,角所对边长分别为,

38、常用不等式:

39、极值定理:已知都是正数,则有
(1)若 xy 积是定值 P,则当 x=y 时和有最小值 ;

(2)若 x+y 和是定值 S,则当 x=y 时积有 xy 最大值

.

(3)已知

,若

则有

16

(4)已知

,若则有

40、 一元二次不等式
与 同号,则其解集在两根之外;如果 a 与

,如果 a

异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根

之外,异号两根之间.即:

.

41 、含有绝对值的不等式 :当 a> 0 时,有
.

42、 斜率公式 :

17

43 、直线的五种方程:
(1)点斜式: (直线 ).

(2)斜截式:

(b 为直线在 y 轴上的截距).

(3)两点式:

两点式的推广:

(无任何限制条件!)

(4)截距式 : (5)一般式:

(分别为直线的横、纵截距, (其中 A、B 不同时为 0).

)

直线的

法向量:

,方向向量



44 、夹角公式:

45 、到的角公式:

18

46、 点到直线的距 离



(点,直线:).

47、 圆的四种方程:
(1)圆的标准方程 :

(2)圆的一般方程:

(>0).

(3)圆的参数方程 :

(4)圆的直径式方程 :

(圆的直径的端点是

48、点与圆的位置关系:点 圆 若



的位置关系有三种:

19

49、直线与圆的位置关系:直线





的位置关系有三种

50 、两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,
r2,, 则:

.

51 、椭圆

的参数方程是

.

离心





20

准线到中心的距离为

,焦点到对应准线的距离(焦准距)



过焦点且垂直于长轴的弦叫通经,其长度为

:.

52、 椭圆

焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:

53、椭圆的的内外部 :

54、椭圆的切线方程:

21

55 、 双曲线的 心的距离为

离 心率 ,焦点到对应准线的距离(焦准距)



准线到中 。过焦

点且垂直于实轴的弦叫通经,其长度为:. 焦半径公式 两焦半径与焦距构成三角形的面积 ,


56 、双曲线的方程与渐近线方程的关系: (1)若双曲线方程为 程: (2)若渐近线方程为 为. (3)若双曲线 为 与有公共渐近线,可设 双曲线可设 渐近线方

22



,焦点在 x 轴上,

,焦点在 y 轴上).

(4) 焦点到渐近线的距离总是 b。

57、双曲线的切线方程:

.

58、抛物线 抛物线 过焦点弦长

的焦半径公式: 焦半径
.

59、二次函数 线: (1)顶点坐标为 为 ;

的图象是抛物

;(2)焦点的坐标

23

(3)准线方程是

60 、直线与圆锥曲线相交的弦长公 式 :



(弦端点 到 为直线的倾斜角,

,由方程

消去 y 得

为直线的斜率

61、证明直线与平面的平行的思考途径:
(1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行.

62、证明直线与平面垂直的思考途径:
(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面。

63、证明平面与平面的垂直的思考途径:
24

(1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直; (3) 转化为两平面的法向量平行。

64、 向量的直角坐标运算:

65、 夹角公式:





66 、异面直线间的距离 :
( 是两异面直线,其公垂向量为 ,C,D 是 上任一点,d 为 间的距离).

67、点到平面
线段).

的距离:



为平面的法向量,,

是的一条斜

68、球的半径是 R,则其体积

,其表面积



25

69、球的组合体:

(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

(3)球与正四面体的组合体: 棱长为

的正四面体的内切球的半径为

(正四面体高

,外接球的半径为

(正四面体高

70 、分类计数原理(加法原理): 分步计数原理(乘法原理): .

.

71、排列数公 式 :

72 组合数公 式:

组合数的两个性 质:

26

73 、二项式定 理: 二项展开式的通项公式: 的展开式的系数关系:

74 、 互斥事件 A, B 分别发生的概率的和: P(A+B)=P(A)+P(B). 个互斥事件分别发生的概率的和: P(A1+A2+…+An)=P(A1) +P(A2)+…+P(An).

75 、独立事件 A,B 同时发生的概率:P(A·B)= P(A)·P(B). n 个独立事件同时发生的概率: P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An).

76、 n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概 率:

77、 数学期望: 数学期望的性质 ( 1) .
27

(2)若 (3) 若 且



.

服从几何分布,

78、方差: 标准差: 方差的性质: (1); (2)若 (3) 若 且 方差与期望的关系: 服从几何分布,

79、正态分布密度函数: 式中的实数 标准差. 对于 ,取值小于 x 的概率: . 是参数,分别表示个体的平均数与

28

80 、

处的导数(或变化率):

.

81 、函数 函数 率

在点 处的导数的几何意义: 在点处的导数是曲线 在处的切线的斜 .

,相应的切线方程是

82、几种常见函数的导数:

83、 导数的运算法 则:

29

84、 判别

是极大(小)值的方法:

当函数 f(x)在点处连续时,

85 、复数的相等:

86、 复数

的模(或绝对值)

87、 复平面上的两点间的距离公 式:

88、实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程

③若

,它在实数集内没有实数根;在复数集内有且

仅有两个共轭复数根.

30


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