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2014届高考数学一轮复习课件:第六章第2课时一元二次不等式、绝对值不等式及其解法(新人教A版)


第2课时

一元二次不等式、绝对值

不等式及其解法

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考纲展示 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式 模型. 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相 应的二次函数、一元二次方程的联系. 3.会解一元二次不等式,对给定的一元二 次不等式,会设计求解的程序框图. 4.理解绝对值的几何意义,并

能利用含绝 对值不等式的几何意义证明以下不等式: (1)|a+b|≤|a|+|b|. (2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|. (3)会利用绝对值的几何意义求解以下类 型的不等式: |ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c. 备考指南

1.一元二次不等式、绝 对值不等式的解法及三 个二次间的关系问题是 命题热点. 2.考查题型多为客观题, 有时会在解答中出现交 汇命题,着重考查二次 不等式的解法,属中、 低档题.

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

名 师 讲 坛 精 彩 呈 现

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理
1.一元一次不等式的解法 一元一次不等式 ax>b(a≠0)的解集为
b {x|x> } a (1)当 a>0 时,解集为___________.
b {x|x< } a (2)当 a<0 时,解集为___________.

2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式Δ=b2 -4ac 二次函数y= ax2+bx+ c(a>0)的图象 Δ>0 Δ=0 Δ<0

判别式Δ =b2- 4ac 一元二次方程 ax2+bx+c= 0(a>0)的根 ax2+bx+ c >0(a>0)的解集

Δ >0 有两相异实根 x1,x2(x1<x2)

Δ =0

Δ <0

有两相等实根 没有实 b 数根 x1=x2=- 2a b {x|x≠- } {x|x>x2或x<x1} ___________ ____ R 2a ______________

ax2+bx+c<0(a {x|x <x<x } 1 2 ______________ >0)的解集

? ____

? ____

思考探究 不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R的充要条件是什么?
?a>0, ? 提示:? ?Δ <0. ?

3.绝对值三角不等式 |a|+|b| 定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤________,当且仅当 ab≥0 _______时,等号成立. |a-c|≤|a-b|+|b-c| 定理2:如果a,b,c是实数,那么___________________,

(a-b)(b-c)≥0 当且仅当________________时,等号成立.

思考探究
2.绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什么?

提示:当a,b不共线时,|a+b|<|a|+|b|,它的几何意义就
是三角形的两边之和大于第三边.

4.绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集
不等式 a>0 {x|-a<x<a} _______________ a=0 a<0

|x|<a
|x|>a

_____ ?

_____ ? R ____

{x|x>a或x<-a} ______________ _______________ {x|x∈R且x≠0}

(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 -c≤ax+b≤c ①|ax+b|≤c?____________________;

ax+b≥c或ax+b≤-c ②|ax+b|≥c?________________________.

课前热身
1.(教材习题改编)不等式 x2-3x+2<0 的解集为( A.(-∞,-2)∪(-1,+∞) C.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-2,-1) D.(1,2) )

答案:D

?x -1<0 ? 2.不等式组? 2 的解集是( ?x -3x<0 ?

2

)

A.{x|-1<x<1} C.{x|0<x<1}
2

B.{x|0<x<3} D.{x|-1<x<3}

?x -1<0 ?-1<x<1 ? ? ? 2 解析:选 C.由 ,得? ,∴0<x<1. ? ?x -3x<0 ?0<x<3 ?

3.设一元二次不等式 ax2+bx+1>0 的解集为{x|-1<x 1 < },则 ab 的值为( 3 A.-6 C.6 ) B.-5 D.5

答案:C

4.若不等式x2-x≤0的解集为M,函数f(x)=ln(1-|x|)的 定义域为N,则M∩N为________. 解析:由x2-x≤0,解得0≤x≤1, ∴M={x|0≤x≤1}. 又1-|x|>0,解得-1<x<1,

∴N={x|-1<x<1},
则M∩N={x|0≤x<1}. 答案:[0,1)

5.(2012· 高考陕西卷)若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成 立,则实数a的取值范围是________. 解析:|x-a|+|x-1|≥|a-1|,则只需要|a-1|≤3,解得 -2≤a≤4.

答案:[-2,4]

考点探究讲练互动
考点突破
考点1 例1 一元二次不等式的解法 解下列不等式:

(1)2x2+4x+3>0; (2)-3x2-2x+8≥0;

(3)12x2-ax>a2(a∈R).

【解】 (1)∵Δ=42-4×2×3<0, ∴方程 2x2+4x+3=0 没有实根, 二次函数 y=2x2+4x+3 的图象开口向上, x 轴没有交 与 点,即 2x2+4x+3>0 恒成立, 所以不等式 2x2+4x+3>0 的解集为 R. (2)原不等式可化为 3x2+2x-8≤0,∵Δ=100>0, 4 2 ∴方程 3x +2x-8=0 的两根为-2, , 3 结合二次函数 y=3x2+2x-8 的图象可知原不等式的解 4 集为{x|-2≤x≤ }. 3

(3)由 12x2-ax-a2>0?(4x+a)(3x-a)>0 a a ?(x+ )(x- )>0, 4 3 a a a a ①a>0 时,- < ,解集为{x|x<- 或 x> }; 4 3 4 3 ②a=0 时,x2>0,解集为{x|x∈R 且 x≠0}; a a a a ③a<0 时,- > ,解集为{x|x< 或 x>- }. 4 3 3 4

【方法感悟】

(1)解一元二次不等式的一般步骤:

①对不等式变形,使一端为0且二次项系数大于0,即ax2+bx +c>0(a>0),ax2+bx+c<0(a>0);

②计算相应的判别式;
③当Δ≥0时,求出相应的一元二次方程的根; ④根据对应二次函数的图象,写出不等式的解集. (2)解含参数的一元二次不等式可考虑因式分解,然后比较两 根大小,若不能分解因式,则可对判别式Δ进行分类讨论.

跟踪训练
1.解下列不等式: (1)8x-1≤16x2; (2)x2-2ax-3a2<0(a<0). 解:(1)原不等式转化为16x2-8x+1≥0,即(4x-1)2≥0,

∴x∈R,故原不等式的解集为R.
(2)原不等式转化为(x+a)(x-3a)<0. ∵a<0,∴3a<-a, ∴原不等式的解集为{x|3a<x<-a}.

考点2 例2

三个“二次”间的关系

(2012· 高考江苏卷)已知函数f(x)=x2 +ax+b(a,

b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<c的解集 为(m,m+6),则实数c的值为__________.
a2 a2 【解析】 由题意知 f(x)=x +ax+b=(x+ ) +b- . 2 4 a2 a2 ∵f(x)的值域为[0,+∞),∴b- =0,即 b= . 4 4 a2 ∴f(x)=(x+ ) . 2
2

?x+a ?2<c, 又∵f(x)<c,∴? 2 ?
a a 即- - c<x<- + c. 2 2

? ∴? a ?-2+

a - - c=m, 2 c=m+6, ②



②-①,得 2 c=6,∴c=9.

【答案】

9

【题后感悟】

二次函数、一元二次不等式、一元二次方程

之间有着密切关系.

(1)一元二次不等式解集的端点就是对应的一元二次方程的解.
(2)不等式的解集结构与二次项系数有直接的关系. (3)二次函数的图象能直观反映一元二次不等式解集的情况.

跟踪训练 2. 若不等式-4<2x-3<4 与不等式 x2+px+q<0 的解集 p 相同,则 =__________. q 1 7 解析:由-4<2x-3<4,得- <x< . 2 2

7 1 1 7 由题意得 - =-p,(- )× =q, 2 2 2 2 7 p 12 即 p=-3,q=- ,∴ = . 4 q 7

12 答案: 7

考点 3

一元二次不等式的应用 (2013· 杭州模拟)某商品每件成本价为 80 元,售价

例3

为 100 元, 每天售出 100 件. 若售价降低 x 成(1 成=10%), 8 售出商品数量就增加 x 成.要求售价不能低于成本价. 5 (1)设该商店一天的营业额为 y,试求 y 与 x 之间的函数关 系式 y=f(x),并写出定义域; (2)若再要求该商品一天营业额至少为 10 260 元,求 x 的取 值范围.

【解】

(1)依题意, x 8 y=100(1- )· 100(1+ x). 10 50 又售价不能低于成本价, x 所以 100(1- )-80≥0,即 x≤2, 10 所以 y=f(x)=20(10-x)(50+8x),定义域为 x∈[0,2]. (2)由题意得 20(10-x)(50+8x)≥10 260, 化简得 8x2-30x+13≤0. 1 13 解得 ≤x≤ . 2 4 1 所以 x 的取值范围是[ ,2]. 2

【题后感悟】

求解不等式应用题一般可按如下四步进行:

(1)阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系. (2)引进数学符号,用不等式表示不等关系.

(3)解不等式.
(4)回归实际问题.

跟踪训练 3.汽车在行驶中,由于惯性作用,刹车后还要继续向前滑 行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离 ”.刹车距离是分析交通事故的一个重要因素.在一个限

速40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况
不对,同时刹车,但还是相碰了,事发后现场测得甲车的刹 车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、

乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间有如下关系:
s 甲 =0.1x+0.01x2 ,s 乙 =0.05x+0.005x2.问:是谁超速行驶, 在此事故中应负主要责任?

解:由题意列出不等式,
对甲车型:0.1x+0.01x2>12, 解得x>30(x<-40舍去); 对乙车型:0.05x+0.005x2>10, 解得x>40(x<-50舍去),

从而x甲>30 km/h,x乙>40 km/h,
经比较知乙车超过限速,在此事故中应负主要责任.

考点4 绝对值不等式的解法 例4 (2012· 高考课标全国卷)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|. (1) 当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集; (2) 若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.

?-2x+5,x≤2, ? 【解】 (1)当 a=-3 时,f(x)=?1,2<x<3, ?2x-5,x≥3. ?
当 x≤2 时,由 f(x)≥3 得-2x+5≥3,解得 x≤1; 当 2<x<3 时,f(x)≥3 无解; 当 x≥3 时,由 f(x)≥3 得 2x-5≥3,解得 x≥4, 所以 f(x)≥3 的解集为{x|x≤1 或 x≥4}.

(2)f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a|.

当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|
?4-x-(2-x)≥|x+a|

?-2-a≤x≤2-a.
由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0. 故满足条件的a的取值范围为[-3,0].

【名师点评】

(1)形如|x-a|±|x-b|≥c不等式的解法常用

零点分段讨论法,其步骤为: ①求零点;②划分区间、去绝对值号;③分别解去掉绝对

值的不等式;④取每个结果的并集,特别注意在分段时不
要漏掉区间的端点值. (2)上述不等式也可用|x-a1|±|x-a2|的几何意义去求解集.

跟踪训练 4.设函数f(x)=2|x-1|+|x+2|. (1)求不等式f(x)≥4的解集;

(2)若不等式f(x)<|m-2|的解集是非空集合,求实数m的取值
范围.

?-3x, ?x≤-2? ? 解:(1)f(x)=?-x+4, ?-2<x≤1?, ?3x, ?x>1? ?
4 令-x+4=4 或 3x=4,得 x=0 或 x= , 3 4 所以不等式 f(x)≥4 的解集是{x|x≤0 或 x≥ }. 3

(2)f(x)在(-∞,1]上递减,在[1,+∞)上递增, 所以f(x)≥f(1)=3, 由于不等式f(x)<|m-2|的解集是非空集合,

所以|m-2|>3,
解之得,m<-1或m>5, 即实数m的取值范围是(-∞,-1)∪(5,+∞).

方法感悟
1.解一元二次不等式时,首先要将一元二次不等式化成 标准型,即ax2 +bx+c>0或ax2 +bx+c<0的形式,其中 a>0.求解时要善于联想:(1)二次函数y=ax2+bx+c与x轴 的交点;(2)方程ax2 +bx+c=0(a≠0)的根,运用好“三

个二次”间的关系.
2.解不等式的基本思路是等价转化,分式不等式整式化, 使要求解的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等 式,进而获得解决.

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难题易解


破解一元二次不等式恒成立问题
:x y= (x+a)<1对任意实数x恒成立, 破难点

(2013· 包头模拟)在实数集上定义运算

x(1-y),若不等式(x-a)

则实数a的取值范围是__________. 抓信息 (1)利用定义把(x-a) (x+a)<1转化为关于x的不等关系.

(2)利用判别式或以函数最值求解.

【解析】 由题意知(x-a)? ( x+a)=(x-a)(1-x-a) =-x2+x+a2-a. 故-x2+x+a2-a<1 对任意 x∈R 都成立. 即-x2+x<-a2+a+1 对任意 x∈R 都成立. 12 1 1 1 2 2 而-x +x=-(x- ) + ≤ ,∴-a +a+1> , 2 4 4 4 1 3 2 即 4a -4a-3<0,解得- <a< , 2 2 1 3 故所求 a 的取值范围为(- , ). 2 2 1 3 【答案】 (- , ) 2 2

【方法提炼】

对一元二次不等式恒成立问题往往从以

下几个角度入手: (1)结合二次函数图象和性质用判别式法,当取值为全体 实数时,一般用此法. (2)从函数的最值入手考虑,如大于零恒成立可转化为最

小值大于零.
(3)能分离变量的尽量把参数和变量分离出来.

跟踪训练
5.(2013· 安徽省名校联考)已知a∈[-1,1],不等式x2+(a- 4)x+4-2a>0恒成立,则x的取值范围为( A.(-∞,2)∪(3,+∞) C.(-∞,1)∪(3,+∞) )

B.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(1,3)

解析:选C.把不等式的左端看成关于a的一次函数,记f(a)=
(x-2)a+(x2-4x+4),则f(a)>0对于任意的a∈[-1,1]恒成 立,易知只需f(-1)=x2-5x+6>0,且f(1)=x2-3x+2>0 即可,联立方程并解得x<1或x>3.故选C.

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