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高二数学下学期期末复习题(四)


高二数学下学期期末复习题(四)
班级 一、填空题 学号 得分

1.不等式 x | x |? 1 的解集是_____________. 2.若方程 x ? 2ax ? 4 ? 0 在区间(1,2]上有且仅有一个根,则实数 a 的取值范围是_____.
2

3.国家规定个人稿费纳税办法是:不超过 800 元的不纳税;超过

800 元而不超过 4000 元的按超过 800 元部分的 14%纳税;超过 4000 元的按全部稿酬的 11%纳税.已知某人出 版一本书,共纳税 420 元时,这个人应得稿费(扣税前)为 4.已知函数 f ( x) ? ? 元.

? x 2 , x ? 0,

若f ( f ( x0 )) ? 2, 则 x0= ?2 cos x,0 ? x ? ? .
2

.

5.若对于任意 a ? [-1,1], 函数 f(x) = x + (a-4)x + 4-2a 的值恒大于零, 则 x 的取值范 围是 .

6.如果函数 f(x)的定义域为 R,对于 m, n ? R, 恒有f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? 6, 且f (?1) 是不大于 5 的正整数,当 x>-1 时,f(x)>0. 那么具有这种性质的函数 f(x)= 填上你认为正确的一个函数即可) 7.集合 A、B 各有 2 个元素, A ? B 中有一个元素,若集合 C 同时满足① C ? A ? B ,② C ? A ? B ,则满足条件的集 合 C 的个数是________. .(注:

? f ? x ? 1? , x ? 4 ? 8. 若函数 f ? x ? ? ? ? 1 ? x ,则 f ? log2 3? =________. , x ? 4 ? ? ? ? ?2?
9. 函数 y ?| log 1 x | 的定义域为[ a , b ],值域为[0,2],则 b ? a 的最小值是________.
2

10. 一个由 9 辆轿车组成的车队,要通过一个长为 8 Km 的隧道,若轿车的速度为 v Km / h ,为了安全,两辆轿车的间距不

v 2 ) Km (每辆轿车的长度忽略不计) ,那么车队全部通过隧道,至少需要_________分钟. 20 1 2 11. 如图,等腰梯形 ABCD 的三边 AB, BC , CD 分别与函数 y ? ? x ? 2 , x ?? ?2, 2? 的图象切于点 P, Q, R ,则梯形 2 ABCD 面积的最小值是_________. y ? x ?1
得小于 ( y C Q
y

R D P
Ⅳ Ⅴ

Ⅲ Ⅱ Ⅰ Ⅷ Ⅵ Ⅶ O
x ?1

y?x

y ?1

B

O 题 11 图

A x

x

题 12 图

12. 幂函数 y ? x ?1 , y ? x 及直线 y ? 1 ,④ x ? 1 将直角坐标系第一象限分成八个“卦限” :Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ, Ⅷ(如图所示) ,那么幂函数 y ? x
? 3 2

的图象在第一象限中经过的“卦限”是

13.已知关于 x 的方程 x 2 ? 2 px ? (q 2 ? 2) ? 0 无实根,其中 p, q ? R , p ? q 可能取的一 个值是 14. 函数 f(x)=lg(ax-bx) (a >1>b>0),则 f(x)>0 的解集为(1,+∞) 的充要条件是

二、解答题 15.设 f(x)=ax2+bx+c,且 f(1)= (1)求 f (?1) ; (2)求函数 f(x)解析式.

7 1 3 ,如果不等式 x2+ ≤f(x)≤2x2+2x+ 对一切实数 x 都成立. 2 2 2

16. 如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花园 AMPN,要求 B 在 AM 上,D 在 AN 上,且对角线 MN 过 C 点,已知|AB|=3 米,|AD|=2 米, (I)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 AN 的长应在什么范围内? (II)当 AN 的长度是多少时,矩形 AMPN 的面积最小?并求出最小面积. (Ⅲ)若 AN 的长度不少于 6 米,则当 AN 的长度是多少时,矩形 AMPN 的面积最小?并求出最小面积.
N P

D

C B M

A

17.已知 f(x)=x|x-a|+2x-3. (I) 当 a=4,2≤x≤5 时,问 x 分别取何值时,函数 f(x)取得最大值和最小值,并求出相应的最大值和最小值; (II) 求 a 的取值范围,使得 f(x)在 R 上恒为增函数.

18. 函数 f(x)=

x (a,b 是非零实常数),满足 f(2)=1,且方程 f(x)=x 有且仅有一个解。 ax ? b

(1)求 a、b 的值; (2)是否存在实常数 m,使得对定义域中任意的 x,f(x)+ f(m–x)= 4 恒成立?为什么?

19.已知函数 f ( x) ? 1 ?

1 ,(x>0). x

(I)当 0<a<b,且 f(a)=f(b)时,求证:ab>1; (II)是否存在实数 a,b(a<b) ,使得函数 y=f(x)的定义域、值域都是[a,b],若存在,则求出 a,b 的值,若不存在,请说 明理由. (III)若存在实数 a,b(a<b) ,使得函数 y=f(x)的定义域为 [a,b]时,值域为 [ma,mb] (m≠0),求 m 的取值范围.

期末复习试卷

考试时间 120 分钟

本卷满分 160 分

命题人:王朝和

一、填空题(本大题共 10 小题,每题 5 分,合计 50 分,请将答案填入答题纸的相应位置) 1.不等式 x | x |? 1 的解集是_____________. 2.若方程 x ? 2ax ? 4 ? 0 在区间(1,2]上有且仅有一个根,则实数 a 的取值范围是_____.
2

3.. 13. 国家规定个人稿费纳税办法是: 不超过 800 元的不纳税; 超过 800 元而不超过 4000 元的按超过 800 元部分的 14% 纳税;超过 4000 元的按全部稿酬的 11%纳税.已知某人出版一本书,共纳税 420 元时,这个人应得稿费(扣税前)为 元. 4.已知函数 f ( x) ? ?

? x 2 , x ? 0,

若f ( f ( x0 )) ? 2, 则 x0= ?2 cos x,0 ? x ? ? .
2

.

5. 若对于任意 a ? [-1,1], 函数 f(x) = x + (a-4)x + 4-2a 的值恒大于零, 则 x 的取值范围是

.

6.如果函数 f(x)的定义域为 R,对于 m, n ? R, 恒有f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? 6, 且f (?1) 是不大于 5 的正整数,当 x>-1 时,f(x)>0. 那么具有这种性质的函数 f(x)= .(注:填上你认为正确的一个函数即可)

7.. 集合 A、B 各有 2 个元素, A ? B 中有一个元素,若集合 C 同时满足① C ? A ? B ,② C ? A ? B ,则满足条件的 集合 C 的个数是________.

? f ? x ? 1? , x ? 4 ? 8. 若函数 f ? x ? ? ? ? 1 ? x ,则 f ? log2 3? =________. ? ? ? ,x ? 4 ? ?2?
9. 函数 y ?| log 1 x | 的定义域为[ a , b ],值域为[0,2],则 b ? a 的最小值是________.
2

10. 一个由 9 辆轿车组成的车队,要通过一个长为 8 Km 的隧道,若轿车的速度为 v Km / h ,为了安全,两辆轿车的间距不

v 2 ) Km (每辆轿车的长度忽略不计) ,那么车队全部通过隧道,至少需要_________分钟. 20 1 2 11. 如图,等腰梯形 ABCD 的三边 AB, BC , CD 分别与函数 y ? ? x ? 2 , x ?? ?2, 2? 的图象切于点 P, Q, R ,则梯形 2 y ABCD 面积的最小值是_________. C R D
得小于 ( Q P

B

O 题 10 图

A x

y

y ? x ?1

Ⅲ Ⅱ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ O
x ?1

y?x

12. 幂函数 y ? x , y ? x 及直线 y ? 1 ,④ x ? 1 将直角 坐标系第一象限分成八个“卦限” :Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ, Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ(如图所示) ,那么幂函数 y ? x
? 3 2

?1

Ⅰ Ⅷ

y ?1



x

题 11 图

图象在第一象限中经过的“卦限”是 13.已知关于 x 的方程 x 2 ? 2 px ? (q 2 ? 2) ? 0 无实根,其中 p, q ? R , p ? q 可能取的一个值是 14. 函数 f(x)=lg(ax-bx) (a >1>b>0),则 f(x)>0 的解集为(1,+∞) 的充要条件是 三、解答题(本大题共 5 题,合计 80 分,请将有关的解题过程写在答题纸的相应位置) 17.(本题 14 分) 设 f(x)=ax2+bx+c,且 f(1)= (1)求 f (?1) ; (2)求函数 f(x)解析式.

7 1 3 ,如果不等式 x2+ ≤f(x)≤2x2+2x+ 对一切实数 x 都成立. 2 2 2

18. (本题 16 分)如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花园 AMPN,要求 B 在 AM 上,D 在 AN 上,且对 角线 MN 过 C 点,已知|AB|=3 米,|AD|=2 米, (I)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 AN 的长应在什么范围内? (II)当 AN 的长度是多少时,矩形 AMPN 的面积最小?并求出最小面积. (Ⅲ)若 AN 的长度不少于 6 米,则当 AN 的长度是多少时,矩形 AMPN 的面积最小?并求出最小面积.
N P

D

C

19.(本题 16 分) 已知 f(x)=x|x-a|+2x-3. M A B (I) 当 a=4,2≤x≤5 时,问 x 分别取何值时,函数 f(x)取得最大值和最小值,并求出相应的最大值和最小值; (II) 求 a 的取值范围,使得 f(x)在 R 上恒为增函数.

20. (本题 16 分) 函数 f(x)=

x (a,b 是非零实常数),满足 f(2)=1,且方程 f(x)=x 有且仅有一个解。 ax ? b

(1)求 a、b 的值; (2)是否存在实常数 m,使得对定义域中任意的 x,f(x)+ f(m–x)= 4 恒成立?为什么? 21. (本题 18 分) 已知函数 f ( x) ? 1 ?

1 ,(x>0). x

(I)当 0<a<b,且 f(a)=f(b)时,求证:ab>1; (II)是否存在实数 a,b(a<b) ,使得函数 y=f(x)的定义域、值域都是[a,b],若存在,则求出 a,b 的值,若不存在,请说 明理由. (III)若存在实数 a,b(a<b) ,使得函数 y=f(x)的定义域为 [a,b]时,值域为 [ma,mb] (m≠0),求 m 的取值范围.

参考答案及评分标准
一、填空题 1. {x | x ? 1} 9. 48 2. (2, )

5 2

3.8

4.4

5.9

6.4

7.

1 24

8.

3 4

10. 4 2 13.B 14.D 15. D 16. A

二、选择题 11.D 12.C 三、解答题 17. 解:(1) a+b+c=

7 ; ??????????2 分 2 1 3 3 当 x=-1 时 x2+ =2x2+2x+ = ,??????????4 分 2 2 2

所以 f(-1)=

3 2

?????????????6 分

(2)由(1)知 a-b+c= ∴x2+

3 2

∴c=

5 -a,b=1 ???????????????8 分 2

1 5 3 ≤ax2+x+ -a≤2x2+2x+ 恒成立, 即 ?(a ? 1) x 2 ? x ? 2 ? a ? 0 恒成立??10 分 ? 2 2 2 2 ?(2 ? a) x ? x ? 1 ? a ? 0

a ?1 ? 0 ? 从而有 ? ? ? 1 ? 4 ( a ? 1)(2 ? a ) ? 0 ,?????????12 分 ? ? 2?a ? 0 ?

∴a=

3 2

∴存在 f(x)=

3 2 x +x+1 满足条件. ?????????14 分 2

18. 解:设 AN 的长为 x 米(x >2) ,∵

|DN| |DC| 3x ,∴|AM|= ??2 分 ? x?2 |AN| |AM|

∴SAMPN=|AN|?|AM|=

3x2 x?2

(I)由 SAMPN > 32 得

3x2 > 32 ,???????????4 分 x?2

2 ∵x >2,∴ 3x ? 32 x ? 64 ? 0 ,即(3x-8) (x-8)> 0

∴2 ? x ? (II) y ?

8 8 或 x ? 8 ,即 AN 长的取值范围是 (2, ) ? (8,+?) ???6 分 3 3

3x 2 3( x ? 2) 2 ? 12( x ? 2) ? 12 12 ? ? 3( x ? 2) ? ? 12 x?2 x?2 x?2
12 ? 12 ? 24 x?2

? 2 3( x ? 2) ?

???????????8 分

当且仅当 3( x ? 2) ?

12 3x2 , 即x=4时 ,y= 取得最小值. x?2 x?2

即 SAMPN 取得最小值 24(平方米)?????????????10 分 (Ⅲ)令 y=

3x2 6 x( x ? 2) ? 3x 2 3( x x ? 4) ,则 y′= ????12 分 ? 2 x?2 ( x ? 2) ( x ? 2)2 3x2 在(4,+∞)上单调递增, x?2

∴当 x > 4,y′> 0,即函数 y=

3x2 ∴函数 y= 在[6,+∞]上也单调递增???????????14 分 x?2
∴当 x=6 时 y=

3x2 取得最小值,即 SAMPN 取得最小值 27(平方米) .???16 分 x?2

注:对于第(Ⅲ)问学生直接利用对勾函数单调性,而没有加以证明的,得 2 分. 19. 解: (Ⅰ)当 a ? 4 时, f ( x) ? x | x ? 4 | ?2 x ? 3

(1) 2 ? x ? 4 时, f ( x) ? x(4 ? x) ? 2 x ? 3 ? ?( x ? 3)2 ? 6 ???2 分 当 x ? 2 时, f ( x)min ? 5 ;当 x ? 3 时, f ( x)max ? 6 ????4 分

(2)当 4 ? x ? 5 时, f ( x) ? x( x ? 4) ? 2x ? 3 ? ( x ?1)2 ? 4 当 x ? 4 时, f ( x)min ? 5 ;当 x ? 5 时, f ( x)max ? 12 ????6 分 综上所述,当 x ? 2 或 4 时, f ( x)min ? 5 ;当 x ? 5 时, f ( x)max ? 12 ??8 分

? a ? 2 2 (a ? 2) 2 ( x ? ) ? ? 3, x ? a ? x 2 ? (2 ? a) x ? 3, x ? a ? ? 2 4 (Ⅱ) f ( x) ? ? 2 ?12 分 ?? 2 ?? x ? (2 ? a) x ? 3, x ? a ??( x ? a ? 2 )2 ? (a ? 2) ? 3, x ? a ? ? 2 4
?a ? 2 ?a ? ? 2 f ( x) 在 R 上恒为增函数的充要条件是 ? ,????????14 分 ?a ? 2 ? a ? ? 2
解得 ?2 ? a ? 2 即当 ?2 ? a ? 2 时, f ( x ) 在 R 上恒为增函数???????????16 分 20. 解(1)由 f(2)=1 得 2a+b=2,又 x=0 一定是方程 所以

x =x 的解, ax ? b

1 =1 无解或有解为 0,????????????4 分 ax ? b

若无解,则 ax+b=1 无解,得 a=0,矛盾; 若有解为 0,则 b=1,所以 a= (2)f(x)=

1 . ??????????8 分 2

2x ,设存在常数 m,使得对定义域中任意的 x,f(x)+f(m–x)=4 恒成立, x?2 2m 取 x=0,则 f(0)+f(m–0)=4,即 =4,m= –4(必要性),??????12 分 m?2 2x 2(?4 ? x) ? 又 m= –4 时,f(x)+f(–4–x)= =??=4 成立(充分性) , x?2 ?4? x?2
所以存在常数 m= –4,使得对定义域中任意的 x,f(x)+f(m–x)=4 恒成立,???16 分

? 1 1 ? , x ? 1, ? ? x 21.解: (I) ∵x>0,∴ f ( x ) ? ? ? 1 ? 1, 0 ? x ? 1. ? ?x ∴f(x)在(0,1)上为减函数,在 (1, ??) 上是增函数. 1 1 由 0<a<b,且 f(a)=f(b),可得 0<a ? 1<b 和 ? 1 ? 1 ? . a b 1 1 即 ? ? 2 .∴2ab=a+b> 2 ab .??????????????3 分 a b 故 ab ? 1 ,即 ab>1.??????????????4 分
(II)不存在满足条件的实数 a,b. 若存在满足条件的实数 a,b,使得函数 y= f ( x ) ? 1 ?

1 的定义域、值域都是[a,b], x

? 1 1 ? , x ? 1, ? ? x 则 a>0. 而 f ( x ) ? ? ? 1 ? 1, 0 ? x ? 1. ? ?x 1 ①当 a , b ? (0,1) 时, f ( x ) ? ? 1 在(0,1)上为减函数. x ?1 ? 1 ? b, ? ?f (a ) ? b, ?a 故? 即 ? 解得 a=b. ?f (b) ? a. ? 1 ? 1 ? a. ? ?b
故此时不存在适合条件的实数 a,b.????????????6 分 ②当 a , b ? [1,??) 时, f (x) ? 1 ?

1 在 (1, ??) 上是增函数. x ? 1 1 ? ? a, ? f ( a ) ? a , ? ? a 故? 即 ? ?f (b) ? b. ?1 ? 1 ? b. ? ? b 2 此时 a,b 是方程 x ? x ? 1 ? 0 的根,此方程无实根.

故此时不存在适合条件的实数 a,b.????????????8 分 ③当 a ? (0,1) , b ? [1,??) 时,由于 1 ? [a , b] ,而 f (1) ? 0 ? [a, b] , 故此时不存在适合条件的实数 a,b. 综上可知,不存在适合条件的实数 a,b.????????????10 分 (III)若存在实数 a,b(a<b) ,使得函数 y=f(x)的定义域为[a,b]时,值域为[ma,mb]. 则 a>0,m>0.

?1 ? 1 ? mb, ? ?a ① 当 a , b ? (0,1) 时,由于 f(x)在(0,1)上是减函数,故 ? .此时刻得 a,b 异号,不符合题意,所以 a, 1 ? ? 1 ? ma. ? ?b
b 不存在. ????????????12 分 ② 当 a ? (0,1) , b ? [1,??) 时,由(II)知 0 在值域内,值域不可能是[ma,mb],所以 a,b 不存在. 故只有 a , b ? [1,??) .????????????14 分

1 在 [1,??) 上是增函数, x ? 1 1 ? ? ma, ? f ( a ) ? ma , ? ? a 2 ∴? 即 ? 所以 b 是方程 mx ? x ? 1 ? 0 的两个根. ?f (b) ? mb. ?1 ? 1 ? m b . ? ? b 2 即关于 x 的方程 mx ? x ? 1 ? 0 有两个大于 1 的实根.????????16 分 1 1 设这两个根为 x 1 , x 2 .则 x 1 + x 2 = , x 1 · x2 = . m m ?? ? 0, ?1 ? 4m ? 0, 1 ? ? 0?m? . ∴ ?(x1 ? 1) ? ( x 2 ? 1) ? 0, 即 ?1 解得 4 ? 2 ? 0. ?( x ? 1)(x ? 1) ? 0. ? ?m 2 ? 1 1 故 m 的取值范围是 0 ? m ? .????????????????18 分 4
∵ f (x) ? 1 ?


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