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2016黑龙江工业学院单招数学模拟试题(附答案)


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2016 黑龙江工业学院单招数学模拟试题(附答案)
一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合要求) 1.数列 {an } 是首项为 2 ,公差为 3 的等差数列,数列 {bn } 是首项为 ?2 ,公差为 4 的等差数 列.若 an ? bn ,则 n 的值为( A. 4
7
?
12

). B. 5
?
12

C. 6

D.

2.函数 y ? cos2 ( x ? A.
2?
?
4

) ? sin 2 ( x ?

) ? 1 的最小正周期为(
?
2

). C. ?

B.

D.

3.已知 f (10x ) ? x ,则 f (5) ? ( A. 105 log5 10

). B. 510 C. lg 5 D.

4.两个集合 A 与 B 之差记为“ A / B ”,定义为 A / B ? {x | x ? A, x ? B} .如果集合
A ? {x | log2 x ? 1, x ? R} ,集合 B ? {x || x ? 2 |? 1, x ? R} ,那么 A / B ? (

). D. {x | 0 ? x ? 1}

A. {x | x ? 1} 5.设 a, b ? R , a ? 2i ? A. 1 在
?1 ? bi 3?i

B. {x | x ? 3} ,则 lim B. ?1
a ?b a ?b
n n n n

C. {x |1 ? x ? 2} 等于( ). C. ?1或 1

n ??

D.不存

6.已知球面上的四点 P 、 A 、 B 、 C , PA 、 PB 、 PC 的长分别为 3 、 4 、 5 ,且这三条 线段两两 垂直,则这个球面的表面积为( A. 20 2? D. 200? B. 25 2? ). C. 50?

7.正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,若 E 为棱 AB 的中点,则直线 C1E 与平面 ACC1 A1 所成角的 正切值为( ).

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A.
17
2 6

B.

2 4

C.

17 17

D.

8.已知椭圆

x

2

8

?

y

2 2

m

? 1(0 ? m ? 2 2 ) 的两焦点分别为 F1 、 F2 ,点 P(2, 2 ) 满足

| PF1 | ? | PF2 |? 4 2 ,则 m ? (
A. 2

). B.
2 2

C. 1

D. 2

9.直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 4 交于 M 、 N 两点,若满足 C 2 ? A2 ? B 2 ,则 ???? ? ???? OM ? ON ( O 为坐标原点)等于( ). A. ?2 B. ?1 C. 0
b

D. 1

10.已知方程 x2 ? (1 ? a) x ? 1 ? a ? b ? 0 的两根为 x1 , x2 ,且 0 ? x1 ? 1 ? x2 ,则 的取值范围
a

是(

). A. (?1, ? ]
2 1

B. (?1, ? )
2

1

C. (?2, ? ]
2

1

D. (?2, ? )
2

1

B

C

11.五个人站在图中 A 、 B 、 C 、 D 、 E 五个位置上互相传球,规定每次 只能传给相邻的人,如 B 不能直接传给 D 等.若开始时球在 A 手中,则经 过四次传球后,球又回到 A 手中的传法种数是( A. 16 B. 32 C. 64 ). D. 128
E

A

D

12.设 f (n) 为整数 n (十进制)的各位数上的数字的平方之和,比如 f (123) ? 12 ? 22 ? 32 , 记 f1 (n) ? f (n) , f k ?1 (n) ? f [ f k (n)](k ? 1,2,3,?) ,则 f 2007 (2006) 等于( A. 20 B. 42 第(Ⅱ)卷 (非选择题 C. 37 共90分) ). D. 45

二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)

? ? 13.已知 a ? (2, ?1) , b ? (1,2) ,且 | a ? tb |? 5 ,则实数 t ? __________ .

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14.已知 (1 ? x) ? (1 ? x)2 ? (1 ? x)3 ? ? ? (1 ? x)n ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? ? ? an xn ,且
a0 ? a1 ? ? ? an ? 126 ,那么二项式 (3 x ?
1 x

) n 的展开式中常数项为 __________ .

15.过双曲线 M : x 2 ?

y b

2 2

? 1(b ? 0) 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l ,若 l 与双曲线 M 的

两条渐近线分别交于点 B 、 C ,且 | AB |?| BC | ,则双曲线 M 的离心率 __________ . 16.在 000,001,?,999 这 1000 个连号中抽奖,若抽出的号码中,出现仅出现两个偶数数 字则中奖,那么抽取一个号码能中奖的概率是 ________ . 三.解答题(本大题 6 个小题,共 74 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,已知

sin B ?

5 13

,且 a 、 b 、 c 成等比数列.

(Ⅰ)求 cot A ? cot C 的值;
??? ? ??? ? (Ⅱ)若 AB ? BC ? ?12 ,求 a ? c 的值.

18.(本小题满分12分)四个纪念币 A 、 B 、 C 、 D ,投掷时正面向上的概率如下表所示 (0 ? a ? 1) . 纪念币 概率

A
1 2

B
1 2

C

D
a

a

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这四个纪念币同时投掷一次,设 ? 表示出现正面向上的个数. (Ⅰ)求 ? 的分布列及数学期望; (Ⅱ)在概率 P(? ? i)(i ? 0,1,2,3,4) 中,若 P(? ? 2) 的值最大,求 a 的取值范围;

19.(本小题满分12分)如图,在斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 AA1 B1 B ? 底面 ABC ,侧棱
AA1 与底面 ABC 成 60 ? 的角, AA1 ? 2 .底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,

其重心为 G 点. E 是线段 BC1 上的一点,且 BE ? BC1 .
3

1

A1 C1

B1

(Ⅰ)求证: GE // 侧面 AA1 B1 B ; (Ⅱ)求平面 B1GE 与底面 ABC 所成的锐二面角的大小.

E A

G

B

C

20.(本小题满分12分)设 f ( x ) ?

x

3

3

, g ( x) ? t 3 x ? t (t ? R) .
3

2

2

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(Ⅰ)当 t ? 8 时,求函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的单调区间; (Ⅱ)求证:当 x ? 0 时, f ( x) ? g ( x) 对任意正实数 t 成立.

21.(本小题满分12分)已知为正实数,数列 {an } 由 a1 ? 1 , an ?1 ? (Ⅰ)对于一切的 n ? N * ,证明: (Ⅱ)若 a 是满足 a ?
S n ? 1.
1 c?a 1 c ?1

1 c ? an

(n ? 1, 2,3,?) 确定.

? an ? 1 ;

的正实数,且 Sn ?| a1 ? a | ? | a2 ? a | ??? | an ? a | ,证明:

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22.(本小题满分14分)已知常数列 a ? 0 ,点 A(?a,0) 是直角 ?ABC 的直角顶点,顶点 B 在定直线 l : x ? 上移动,斜边 BC 所在直线恒过定点 D(a,0) .
2 a

(Ⅰ)求顶点 C 的轨迹 T 的方程; (Ⅱ)设 P 是轨迹 T 上的任一点, l 是过点 P 法线(即与过 P 点的切线垂直的直线),且
M (?2a,0) , N (2a,0) ,证明:直线 MP 、 NP 与直线 l 的夹角相等.

参考答案
一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.) 题 号 答 案 二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,) 13.0 14. ?540 15.
10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

B

C

C

D

B

C

C

D

A

D

B

B

16.

27 200

.

三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

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17.(本小题满分12分)在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,已知
5 13

sin B ?

,且 a 、 b 、 c 成等比数列.
??? ? ??? ? (Ⅱ)若 AB ? BC ? ?12 ,求 a ? c 的值.
5 13

(Ⅰ)求 cot A ? cot C 的值;

解:(Ⅰ)依题意, b 2 ? ac ,由正弦定理及 sin B ?

,得 sin Asin C ? sin 2 B ?
5 13

25 169

.

cot A ? cot C ?

cos A sin A

?

cos C sin C

?

sin( A ? C ) sin A sin C

?

sin B sin A sin C

?

?

169 25

?

13 5

.

??? ? ??? ? 5 (Ⅱ)由 AB ? BC ? ?12 ,得 ac cos(? ? B) ? ?12 ,即 ac cos B ? 12 .由 sin B ? ,得
13

cos B ? ?

12 13

(舍负)
12 13

∴ b2 ? ac ? 13 ,由余弦定理,得 13 ? (a ? c)2 ? 2ac ? 2 ?
a?c?3 7.

ac ,∴ (a ? c)2 ? 63 ,故

18.(本小题满分12分)四个纪念币 A 、 B 、 C 、 D ,投掷时正面向上的概率如下表所示 (0 ? a ? 1) . 纪念币 概率

A
1 2

B
1 2

C

D
a

a

这四个纪念币同时投掷一次,设 ? 表示出现正面向上的个数. (Ⅰ)求 ? 的分布列及数学期望; (Ⅱ)在概率 P(? ? i)(i ? 0,1,2,3,4) 中,若 P(? ? 2) 的值最大,求 a 的取值范围; 解:(Ⅰ) P (? ) 是 ? 个正面向上, 4 ? ? 个背面向上的概率.其中 ? 的可能取值为 0,1, 2,3, 4 .
0 0 ∴ P(? ? 0) ? C2 (1 ? )2 C2 (1 ? a)2 ? (1 ? a)2 ,

1

1

2

4

1 0 0 1 P(? ? 1) ? C2 ? (1 ? )C2 (1 ? a)2 ? C2 (1 ? )C2 a(1 ? a) ? (1 ? a) ,

1

1

1

1

2

2

2

2

2 0 1 1 0 2 2 P(? ? 2) ? C2 ? ( )2 C2 (1 ? a)2 ? C2 ? (1 ? )C2 a(1 ? a) ? C2 (1 ? )2 C2 a ? (1 ? 2a ? 2a2 ) ,

1

1

1

1

1

2

2

2

2

4

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2 1 1 2 2 2 2 2 P(? ? 3) ? C2 ( )2 C2 a(1 ? a) ? C2 ? (1 ? )C2 a ? , P(? ? 4) ? C2 ( )2 C2 a ? a2 .

1

1

1

a

1

1

2

2

2

2

2

4

∴ ? 的分布列为

?
1 4

0

1
1 2 1

2
(1 ? 2a ? 2a 2 )

3
a 2

4
1 4

P
? 的数学期望为

(1 ? a)2

(1 ? a)

4

a2

E? ? 0 ? (1 ? a)2 ? 1? (1 ? a) ? 2 ? (1 ? 2a ? 2a2 ) ? 3 ? ? 4 ? a2 ? 2a ? 1.
4 2 4 2 4

1

1

1

a

1

(Ⅱ)∵ 0 ? a ? 1 ,∴ P(? ? 0) ? P(? ? 1) , P(? ? 4) ? P(? ? 3) .则

P(? ? 2) ? P(? ? 1) ? (1 ? 2a
4

1

?2a2 ) ? ? ? (2a2 ? 4a ? 1) ? 0 , P(? ? 2) ? P(? ? 3) ? (1 ? 2a ? 2a2 ) ? ? ? (2a2 ? 1) ? 0 ,
2 4 4 2 4
2 ? 2? 2 2 2? 2 2 ? 2a ? 4 a ? 1 ? 0 , ]. ?a? 由? 2 ,得 ,即 a 的取值范围是 [ 2 2 2 2 ? ? 2a ? 1 ? 0

a

1

1

a

1

19.(本小题满分12分)如图,在斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 AA1 B1 B ? 底面 ABC ,侧棱
AA1 与底面
ABC 成 60 ? 的角, AA1 ? 2 .底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,
A1 C1

B1

E A

其重心为 G 点. E 是线段 BC1 上的一点,且 BE ? BC1 .
3

1

G

B

C

(Ⅰ)求证: GE // 侧面 AA1 B1 B ; (Ⅱ)求平面 B1GE 与底面 ABC 所成的锐二面角的大小. 解:(Ⅰ)延长 B1E 交 BC 于点 F ,则 BF ? B1C1 ? BC ,即 F 为 BC 的中点.∵ G 为
2 2 1 1

?ABC 的重心,

∴ A 、 G 、 F 三点共线,且

FG FA

?

FE FB1

? ,∴ GE // AB1 ,故 GE // 侧面 AA1 B1 B .
3

1

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(Ⅱ)作 B1 H ? AB 于 H ,∴ B1 H ? 面 ABC .∵侧棱 AA1 与底面 ABC 成 60 ? 的角, AA1 ? 2 . ∴ ?B1BH ? 60? , BH ? 1 , B1 H ? 3 .作 HT ? AF 于 T ,连 B1T ,则 B1T ? AF ,∴
?B1TH 为

所求二面角的平面角 .又 AH ? AB ? BH ? 3 , ?HAT ? 30? ,∴ HT ? AH sin30? ? ,
2

3


Rt ?B1 HT 中, tan ?B1TH ?
B1 H HT

?

2 3 3
x
3

,故所求锐二面角的大小为 arctan
2

2 3 3

.

20.(本小题满分12分)设 f ( x ) ?

3

, g ( x) ? t 3 x ? t (t ? R) .
3

2

(Ⅰ)当 t ? 8 时,求函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的单调区间; (Ⅱ)求证:当 x ? 0 时, f ( x) ? g ( x) 对任意正实数 t 成立. (Ⅰ)解:当 t ? 8 时, y ?
x ? (??, ?2) ? (2, ??) 时, y ? ? 0 ;当 x ? (?2,2) 时, y ? ? 0 ,∴ y 的单调增区间是 (??, ?2) , (2, ??) ;单调增区间是 (?2, 2) .
x
3

3

? 4x ?

16 3

,由 y? ? x2 ? 4 ? 0 ,得 x ? ?2 .∵当

(Ⅱ)证明:令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?
h?( x) ? 0 ,

x

3

3

? t 3 x ? t ( x ? 0) ,则 h?( x) ? x2 ? t 3 .当 t ? 0 时,由
3

2

2

2

x ? t 3 ;当 x ? (t 3 , ??) 时, h?( x) ? 0 ;当 x ? (0, t 3 ) 时, h?( x) ? 0 ,∴ h( x) 在 (0, ??) 上的最小
值 是 h(t 3 ) ? 0 ,故当 x ? 0 时, f ( x) ? g ( x) 对任意正实数 t 成立. 21.(本小题满分12分)已知为正实数,数列 {an } 由 a1 ? 1 , an ?1 ? (Ⅰ)对于一切的 n ? N * ,证明:
1 c ?1
1 c ? an
1

1

1

1

(n ? 1, 2,3,?) 确定.

? an ? 1 ;

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(Ⅱ)若 a 是满足 a ?
S n ? 1.
1 c?a

的正实数,且 Sn ?| a1 ? a | ? | a2 ? a | ??? | an ? a | ,证明:

解:(Ⅰ)用数学归纳法证明:当 n ? 1 时, a1 ? 1 , c ? 0 , 假设 n ? k 时结论成立,即
1 c ?1

1 c ?1

? a1 ? 1成立.

1 c ?1

? ak ? 1 ,则 c ?

1 c ?1

? c ? ak ? c ? 1,即

?

1 c ? ak

?

1 c ? ?c ? 1
2

?1.
1 c ?1



1 c ?1

? ak ?1 ? 1,∴ n ? k ? 1 时结论也成立,综上,对一切的 n ? N * ,
1 c ? an

? an ? 1 成立.

(Ⅱ) | an ?1 ? a |?|

?

1 c?a

|?

1 (c ? an )(c ? a )

| an ? a |? an ?1a | an ? a |? a | an ? a | ,

∴ | an ? a |? a n?1 | a1 ? a | .当 a ? 1 时,

1 c ?1

? 1 ,与 a ?

1 c?a

矛盾,故 0 ? a ? 1 .

∴ Sn ?| a1 ? a | ? | a2 ? a | ??? | an ? a |?| a1 ? a | ?a | a1 ? a | ?? ? a n?1 | a1 ? a |

? (1 ? a)(1 ? a ? a2 ? ? ? an?1 ) ? (1 ? a) ?

1 1? a

? 1.

22.(本小题满分14分)已知常数列 a ? 0 ,点 A(?a,0) 是直角 ?ABC 的直角顶点,顶点 B 在定直线
l:x?
a 2

上移动,斜边 BC 所在直线恒过定点 D(a,0) .

(Ⅰ)求顶点 C 的轨迹 T 的方程; (Ⅱ)设 P 是轨迹 T 上的任一点, l 是过点 P 法线(即与过 P 点的切线垂直的直线),且 M (?2a,0) ,
N (2a,0) ,证明:直线 MP 、 NP 与直线 l 的夹角相等.

??? ? ??? ? 3a a 解:(Ⅰ)设 B( , t ) , C ( x, y ) ,依题意 AB ? AC ? 0 ,∴ ( , t ) ? ( x ? a, y) ? 0 ,即
2 2 3a 2

( x ? a) ? ty ? 0 ①.

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??? ? ???? a 又 CD 与 BD 共线,∴ (a ? x)(?t ) ? y ? ? 0 ②. 由①②消去 t ,得
2
x a
2 2

?

y

2 2

3a

? 1( y ? 0) .

(Ⅱ)由双曲线的对称性,不妨设 P( x0 , y0 ) 是双曲线上位于 x 轴上方的点,由
x a
2 2

?

y

2 2

3a

?1 ,
3x 3 x ? 3a
2 2

得 y ? 3x2 ? 3a2 ,∴ y ? ?
x0 a
2 2

.故过点 P 的切线的斜率 k切 ?

3 x0 3x0 ? 3a
2 2

,而

?

y0 3a

2 2

?1 ,
3 x0
y0

∴ k切 ?
y0 3 x0 y0

,∴ kl ? ?

y0
3 x0

, kMP ?

y0
x0 ? 2 a

.设 ? 是 MP 与直线 l 的夹角,则

?

?
?

y0
x0 ? 2a

tan ? ?|

1?

y0

|?|

4 x0 y0 ? 2ay0
2 3 x0

? 6ax0 ? y0

2 y0

|?|

4 x0 y0 ? 2ay0

3a ? 6ax0

2

|?

2 y0 3a

.

设 ? 是 NP 与直线 l 的夹角,

3 x0 x0 ? 2a ? y0 3 x0 y0 ?
? x0 ? 2a 4 x0 y0 ? 2ay0
2 3 x0

k NP ?

y0
x0 ? 2 a

,则 tan ? ?|

1?

y0

|?|

? 6ax0 ?

2 y0

|?|

4 x0 y0 ? 2ay0

3a ? 6ax0

2

|?

2 y0 3a

.

3 x0 x0 ? 2a

∴ tan ? ? tan ? ,又 0? ? ? ? 90?,0? ? ? ? 90? ,∴ ? ? ? ,故直线 MP 、 NP 与直线 l 的 夹角相等.


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