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2015届高三数学:概率(文科)复习


高三数学总复习第一轮: 概率(文科)复习专题讲解及训练
概率问题主要考查类型有:单独考查某种事件的概率;综合考查排列、组合与概率的计算;综合考查 等可能性事件、互斥事件、相互独立事件、独立重复事件等几种事件的概率计算等。 本部分内容的考题大多是课本中例、习题的变式或拓展。近年的考题有个明显的特征是注重了概率与 其它知识(如方程、不等式等)的交汇。此类试题体现了考试中心提

出的“突出应用能力考查”的指导思 想。 [知识要点]: (1)随机事件的概率:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率 数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件 A 的概率,记作 P ( A) . 0 ? P( A) ? 1 (2)等可能性事件:如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果出现的可能性都相等, 那么每个基本事件的概率都是

m 总是接近某个常 n

1 ,这种事件叫等可能性事件 n m n

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等可能性事件的概率:如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果都是等可能的,如 果事件 A 包含 m 个结果,那么事件 A 的概率 P ( A) ?
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(3)互斥事件的概念:不可能同时发生的个事件叫做互斥事件 A、B 互斥,即事件 A、B 不可能同时 发生, P(A+B)=P(A)+ P(B)
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一般地:如果事件 A1 , A2 ,

, An 中的任何两个都是互斥的,那么就说事件 A1 , A2 ,
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, An 彼此互斥

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对立事件的概念:事件A和事件 B 必有一个发生的互斥事件 A、B 对立,即事件 A、B 不可能同时
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发生,但 A、B 中必然有一个发生 这时 P(A?B)=0, P(A+B)=P(A)+ P(B)=1 一般地, p A ? 1 ? P? A?
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??

(4)相互独立事件:事件 A (或 B )是否发生对事件 B (或 A )发生的概率没有影响,这样的两个事件叫 做相互独立事件
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若 A 与 B 是相互独立事件,则 A 与 B , A 与 B , A 与 B 也相互独立

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互斥事件与相互独立事件的区别: 两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生,两事件相互独立是指不同试验下,二者互不影响;两 个相互独立事件不一定互斥,即可能同时发生,而互斥事件不可能同时发生
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相互独立事件同时发生的概率: P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 。 事件 A1 , A2 ,

, An 相互独立, P( A1 ? A2 ? ? An ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? P( An )
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(5)独立重复试验的定义:在同样条件下进行的各次之间相互独立的一种试验 独立重复试验的概率公式: 如果在一次试验中某事件发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复试验中这
k k 个事恰好发生 K 次的概率 Pn (k ) ? Cn 次 的概率 P (1 ? P) n?k 表示事件 A 在 n 次独立重复试验中恰好发生了 .....k . .
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[典型例题]: 例 1:有红色和黑色两个盒子,红色盒中有 6 张卡片,其中一张标有数字 0,两张标有数字 1,三张标有数 字 2;黑色盒中有 7 张卡片,其中 4 张标有数字 0,一张标有数字 1,两张标有数字 2。现从红色盒中任意 取 1 张卡片(每张卡片被抽出的可能性相等),黑色盒中任意取 2 张卡片(每张卡片抽出的可能性相等), 共取 3 张卡片。 (Ⅰ)求取出的 3 张卡片都标有数字 0 的概率;
1

(Ⅱ)求取出的 3 张卡片数字之积是 4 的概率; (Ⅲ)求取出的 3 张卡片数字之积是 0 的概率. 解:(I)记“取出的 3 张卡片都标有数字 0”为事件 A. (Ⅱ)记“取出的 3 张卡片数字之积是 4”为事件 B,
1 2 1 1 1 C2 ? C2 ? C3 ? C1 ? C2 4 P( B) ? ? 1 2 63 C6 ? C7

P( A) ?

1 2 C1 ? C4 1 ? 1 2 C6 ? C7 21

(Ⅲ)记“取出的 3 张卡片数字之积是 0”为事件 C.

P(C ) ? 1 ? P(C ) ? 1 ?

1 C5 ? C32 15 37 ? 1? ? 1 2 6 ? 21 42 C6 ? C7

例 2:甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是

2 3 和 .假设两人射击是否击中目标,相互之间没 3 4

有影响;每次射击是否击中目标,相互之间没有影响. (Ⅰ)求甲射击 4 次,至少 1 次未击中目标的概率; (Ⅱ)求两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率; (Ⅲ)假设某人连续 2 次未击中 目标,则停止射击.问:乙恰好射击 5 次后,被中止射击的概率是多少? ... 解: (Ⅰ)设“甲射击 4 次,至少 1 次未击中目标”为事件 A,则其对立事件 A 为“4 次均击中目标”, 则 P ? A? ? 1 ? P A ? 1 ? ? ? ?

? ?
2

?2? ?3?

4

65 81
3

(Ⅱ)设“甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次”为事件 B,则

1 1 ? 2? ?1? 3 ? 3? P ? B ? ? C ? ? ? ? ? ? ? C4 ?? ? ? ? ? 3? ? 3? ?4? 4 8
2 4

2

(Ⅲ)设“乙恰好射击 5 次后,被中止射击”为事件 C,由于乙恰好射击 5 次后被中止射击,故必然是最后 两次未击中目标,第三次击中目标,第一次及第二次至多有一次未击中目标。 例 3:某单位 6 个员工借助互联网开展工作,每个员工上网的概率都是 0.5(相互独立) (Ⅰ)求至少 3 人同时上网的概率; (Ⅱ)至少几人同时上网的概率小于 0.3? 解:(1)至少 3 人同时上网的概率等于 1 减去至多 2 人同时上网的概率
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0 1 2 即 1 ? C 6 ?0.5? ? C 6 ?0.5? ? C 6 ?0.5? ? 6 6 6

21 32

(Ⅱ)至少 4 人同时上网的概率为
5 ?0.5? ? C 66 ?0.5? ? C 64 ?0.5? ? C 6 6 6 6

11 ? 0.3 22
6

5 6 至少 5 人同时上网的概率为 C 6 ?0.5? ? C 6 ?0.5? ? 6

7 ? 0.3 64

因此至少 5 人同时上网的概率小于 0.3。 例 4:某课程考核分理论与实验两部分进行,每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考核都 是“合格”则该课程考核“合格”,甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为 0.9,0.8,0.7 ;在实 验考核中合格的概率分别为 0.8,0.7,0.9 ,所有考核是否合格相互之间没有影响。 (Ⅰ)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率; (Ⅱ)求这三人该课程考核都合格的概率。(结果保留三位小数) 解:记“甲理论考核合格”为事件 A “乙理论考核合格”为事件 A2 ; “丙理论考核合格”为事件 A3 ; 1;
2

记 Ai 为 Ai 的对立事件,i ? 1, 2,3 ;记“甲实验考核合格”为事件 B1 ; “乙实验考核合格”为事件 B2 ; “丙实验考核合格”为事件 B3 ; (Ⅰ)记“理论考核中至少有两人合格”为事件 C ,记 C 为 C 的对立事件 解法 1: P ? C ? ? P A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3
1 2 3 1 2 3 1 2 3

? ? ? P? A A A ? ? P? A A A ? ? P? A A A ? ? P? A A A ?
1 2 3

解法 2: P ? C ? ? 1 ? P C ? 1 ? P A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

? ? ? 1 ? ? P ? A A A ? ? P ? A A A ? ? P ? A A A ? ? P ? A A A ?? ? ?
? ?
? 1 ? 0.098 ? 0.902

? 0.9 ? 0.8 ? 0.3 ? 0.9 ? 0.2 ? 0.7 ? 0.1? 0.8 ? 0.7 ? 0.9 ? 0.8 ? 0.7 ? 0.902

? 1 ? ? 0.1? 0.2 ? 0.3 ? 0.9 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.1? 0.8? 0.3 ? 0.1? 0.2 ? 0.7?

所以,理论考核中至少有两人合格的概率为 0.902 (Ⅱ)记“三人该课程考核都合格” 为事件 D

P ? D? ? P ? 1?B 1 ?? P? A 2 ? B2 ? ? P ? A 3 ? B3 ? ?? A1 ? B1 ? ? ? A2 ? B2 ? ? ? A3 ? B3 ? ? ? ? P? A

? P ? A1 ? ? P ? B1 ? ? P ? A2 ? ? P ? B2 ? ? P ? A3 ? ? P ? B3 ?

? 0.9 ? 0.8 ? 0.8 ? 0.8 ? 0.7 ? 0.9 ? 0.254016 ? 0.254 所以,这三人该课程考核都合格的概率为 0.254 例 5:质点 A 位于数轴 x ? 0 处,质点 B 位于 x ? 2 处。这两个质点每隔 1 秒就向左或向右移动 1 个单位, 1 2 设向左移动的概率为 ,向右移动的概率为 。 3 3 (Ⅰ)求 3 秒后,质点 A 位于点 x ? 1 处的概率;
(Ⅱ)求 2 秒后,质点 A, B 同时在点 x ? 2 处的概率; 解析:(Ⅰ)3 秒后,质点 A 到 x ? 1 处,必须经过两次向右,一次向左移动;? P ? C3 ( ) ( ) ?
2 2

2 3

1 3

4 . 9

(Ⅱ)2 秒后,质点 A, B 同时在点 x ? 2 处,必须质点 A 两次向右,且质点 B 一次向左,一次向右;故

2 2 2 1 16 1 P ? ? ? C2 ? ? ? 3 3 3 3 81
例 6:猎人在距离 100 米处射击一野兔,其命中率为

1 ,如果第一次射击未中,则猎人进行第二次射击, 2

但在发射瞬间距离为 150 米, 如果第二次射击又未中, 则猎人进行第三次射击, 且在发射瞬间距离 200 米, 已知猎人的命中的概率与距离的平方成反比,求猎人命中野兔的概率。 解析:记三次射击命中野兔的事件依次为 A, B, C ,由 P ( A) ?

1 k , 且 P ( A) ? ,则 2 1002 1 k 5000 2 5000 1 ? ,? k ? 5000 ,于是 P( B) ? ? , P(C ) ? ? 2 2 2 100 150 9 2002 8

猎人命中野兔的事件为:A ? A ? B ? A ? B ? C, 又 A, A ? B, A ? B ? C 为互斥事件, 且 A, B; A, B, C 都是相 互独立事件;故所求概率为 P ? P( A) ? P( AB) ? P( ABC) = P( A) ? P( A) ? P( B) ? P( A) ? P( B) ? P(C) =

1 1 2 1 2 1 95 ? (1 ? ) ? ? (1 ? )(1 ? ) ? ? 2 2 9 2 9 8 144

例 7:如图:每个电子元件能正常工作的概率均为 P(0 大?
3

P 1) ,问甲、乙两个系统那个正常工作的概率

(甲)

(乙)
2 2 2 4 解: P 甲 ? 1 ? (1 ? P ) ? 2P ? P ;
2 2 2 2 2 ? ? P 乙 ? ?1 ? (1 ? P) ? ? (2 P ? P ) ? P (4 ? 4 P ? P ) 2

2 2 2 2 2 P 乙 ? P (2 ? P ? 4 ? 4P ? P ) ? ?2P (1 ? P) 甲?P

0

所以,乙正常工作的概率较大。 例 8.招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案,方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试 通过;方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过。假定某应聘者对三门课程的考 试及格的概率分别为 a, b, c ,且这三门课程考试是否及格相互之间没有影响。 (1) 分别求应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率; (2) 试比较应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小; 解:记应聘者对三门课程考试及格的事件分别为 A, B, C ,则 P( A) ? a, P( B) ? b, P(C ) ? c (1) 应聘者用方案一,考试通过的概率

P 1 ? P( ABC) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? P( ABC )
= abc ? (1 ? a)bc ? a(1 ? b)c ? ab(1 ? c) = ab ? bc ? ac ? 2abc

1 1 1 1 P( A ? B) ? P( B ? C ) ? P( A ? C ) ? (ab ? bc ? ac) 3 3 3 3 2 2 (ab ? bc ? ac) ? 2abc = ? (1 ? a )bc ? a (1 ? b)c ? ab(1 ? c) ? ? 0 , (2) a, b, c ??0,1? , ? P 1?P 2 ? 3 3
应聘者用方案二,考试通过的概率为 P2 ? 所P 1 ? P 2, 该应聘者采用方案一通过考试的概率较大。

专题综合训练

一、等可能事件的概率 1. (08 全国Ⅱ卷理 6)从 20 名男同学,10 名女同学中任选 3 名参加体能测试,则选到的 3 名同学中既有 男同学又有女同学的概率为( ) C.

9 A. 29
【答案】D

10 B. 29

19 29

D.

20 29

4

【解析】 P ?

1 2 2 1 C20 C10 ? C20 C10 20 ? 3 29 C30

2. (08 重庆卷文 9)从编号为 1,2,?,10 的 10 个大小相同的球中任取 4 个,则所取 4 个球的最大号码是 6 的概率为( (A) ) (B)

1 84

1 21

(C)

2 5

(D)

3 5

【答案】B 【解析】本小题主要考查组合的基本知识及等可能事件的概率。 P ?
3 C5 1 ? ,故选 B。 4 C10 21

3. (08 辽宁卷理 7 文 7)4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为( A. ) C.

1 3

B.

1 2

2 3

D.

3 4

【答案】:C 【解析】:本小题主要考查等可能事件概率求解问题。依题要使取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数,则 取出的 2 张卡片上的数字必须一奇一偶,∴取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率

P?

1 1 C2 ? C2 4 2 ? ? . 2 C3 6 3

4. (08 江西卷理 11 文 11)电子钟一天显示的时间是从 00:00 到 23:59 的每一时刻都由四个数字组成,则一 天中任一时刻的四个数字之和为 23 的概率为( A. )

1 180

B.

1 288

C.

1 360

D.

1 480

【标准答案】 C . 【标准答案】一天显示的时间总共有 24 ? 60 ? 1440 种,和为 23 总共有 4 种,故所求概率为

1 . 360

5.(08 北京卷文 18)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A,B,C,D 四个不同的岗位服务,每个岗 位至少有一名志愿者. (Ⅰ)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率. 【试题解析】(Ⅰ)记甲、乙两人同时参加 A 岗位服务为事件 EA ,那么 P( EA ) ? 即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是
3 A3 1 , ? 2 4 C5 A4 40

1 . 40
4 A4 1 ? , 2 4 C5 A4 10

(Ⅱ)设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E ,那么 P( E ) ?

所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P ( E ) ? 1 ? P ( E ) ?

9 . 10

6. (08 陕西卷文 18)一个口袋中装有大小相同的 2 个红球,3 个黑球和 4 个白球,从口袋中一次摸出一个球, 摸出的球不再放回. (Ⅰ)连续摸球 2 次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率; (Ⅱ)如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过 3 次的概率. 【试题解析】
5

(1)从袋中依次摸出 2 个红球共有种结果, A9 2 ,第一次摸出黑球,第二次摸出白球的结果有 A31 A41 ,则 所求概率为 P 1 ?

3 4 1 A31 A41 1 ? ? ; ? ,或 P 1 ? 2 9 8 6 A9 6

A71 A21 A7 2 A21 A21 (2)第一次摸出红球的概率 1 ,第二次摸出红球的概率 ,第三次摸出红球的概率 ,则摸 A93 A9 A9 2
球次数不超过 3 的概率为

A7 2 A21 7 A21 A71 A21 + + ? ; A93 12 A91 A9 2

【点评】 几何分布的模型,注意互斥事件的概率计算; 【易错指导】 摸球认不清不放回的特征,误用独立重复试验模型求解; 7 (08 浙江卷文 19)一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球。已知袋中共有 10 个球。从袋中任意摸 出 1 个球,得到黑球的概率是

2 7 ;从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率是 。求: 5 9

(Ⅰ)从中任意摸出 2 个球,得到的都是黑球的概率; (Ⅱ)袋中白球的个数。 【试题解析】 本题主要考查排列组合、概率等基础知识,同时考查逻辑思维能力和数学应用能力。 (Ⅰ)解:由题意 知,袋中黑球的个数为 10 ?

2 ? 4. 5
2 C4 2 ? . 2 C10 15

记“从袋中任意摸出两个球,得到的都是黑球”为事件 A,则 P( A) ?

(Ⅱ)解:记“从袋中任意摸出两个球,至少得到一个白球”为事件 B。 设袋中白球的个数为 x,则 P( B) ? 1 ? P( B) ? 1 ?
2 Cn 7 ?1 ? , 2 9 Cn

解得 x =5。

8.一盒中放有除颜色不同外,其余完全相同的黑球和白球,其中黑球 2 个,白球 3 个. (Ⅰ)从盒中同时摸出两个球,求两球颜色恰好相同的概率; (Ⅱ)从盒中摸出一个球,放回后再摸出一个球,求两球颜色恰好不同的概率.
2 解:(Ⅰ)从盒中同时摸出两个球有 C5 ? 10 种可能情况. 2 2 摸出两球颜色恰好相同即两个黑球或两个白球,有 C2 ? C3 ? 4 种可能情况
2 C2 ? C32 4 2 故所求概率为 P ? ? ? . 2 10 5 C5

1 1 1 1 (Ⅱ)有放回地摸两次,两球颜色不同,即“先黑后白”或“先白后黑”,有 C2 C3 ? C3 C2 ? 6 ? 6 ? 12

种可能情况. 故所求概率为 P ?
1 1 1 1 C2 ? C3 ? C3 ? C2 6 ? 6 12 ? ? . 1 1 25 25 C5 ? C5

9. 盒中装有 8 个乒乓球,其中 6 个是没有用过的,2 个是用过的. (Ⅰ)从盒中任取 2 个球使用,求恰好取出 1 个用过的球的概率; (Ⅱ)若从盒中任取 2 个球使用,用完后装回盒中,求此时盒中恰好有 4 个是用过的球的概率.
6

解:(I)恰好取出 1 个用过的球的概率为 P, 则 P ?

1 1 C2 C6 3 ? . 7 C82

2 C6 15 (II)设盒中恰有 4 个是用过的球的概率为 P1,则 P ? . 1 ? 2 C8 28

10. 袋中黑白球共 7 个,从中任取 2 个球都是白球的概率为

1 ,现有甲、乙两人从袋中轮流摸取 1 球,规 7

定甲先乙后,然后甲再取?,取后不放回,直到两人中有一人取到白球就终止,每个球在每次被摸出的机 会均等。 (Ⅰ)求袋中原有白球的个数;(Ⅱ)求甲取到白球的概率。
2 Cn 1 解:(Ⅰ)设袋中原有白球 n 个,依题意有, 2 ? ,解得,n=3. C7 7

所以,袋中原有白球的个数为 3. (Ⅱ)甲取到白球的事件可能发生在第 1 次、第 3 次、第 5 次,所以甲取到白球的概率为

3 4 3 3 4 3 2 1 22 + ? ? + ? ? ? ?1 = 。 7 7 6 5 7 6 5 4 35
11. 学校组织 5 名学生参加区级田赛运动会,规定每人在跳高、跳远、铅球 3 个项目中任选一项,假设 5 名学生选择哪个项目是等可能的. (Ⅰ)求 3 个项目都有人选择的概率; (Ⅱ)求恰有 2 个项目有人选择的概率. 解:5 名学生选择 3 个项目可能出现的结果数为 3 ,由于是任意选择,这些结果出现的可能性都相等.
3 1 1 2 2 1 (Ⅰ)3 个项目都有人选择,可能出现的结果数为 3C5 C2C1 ? 3C5 C3 C1 .
5

记“3 个项目都有人选择”为事件 A 1 ,那么事件 A 1 的概率为

P ( A1 ) ?

3 1 1 1 3C5 C2C1 ? 3C52C32C1 50 . ? 5 81 3

(Ⅱ)记“5 人都选择同一个项目”和“恰有 2 个项目有人选择”分别为事件 A2 和 A3 , 则事件 A2 的概率为 P ? A2 ? ?

3 1 ? , 5 3 81 50 1 10 ? ? . 81 81 27

1? 事件 A3 的概率为 P ? A3 ? ? 1 ? P ? A 1 ? ? P? A 2? ?

12. 某条公共汽车线路沿线共有 11 个车站(包括起点站和终点站),在起点站开出的一辆公共汽车上有 6 位乘客,假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的.求: (I)这 6 位乘客在互不相同的车站下车的概率; (II)这 6 位乘客中恰有 3 人在终点站下车的概率; 解:(I)这 6 位乘客在互不相同的车站下车的概率为: P ? (II)这 6 位乘客中恰有 3 人在终点站下车的概率为:
6 A10 1512 ? ≥ ?.1512 . 6 10 106

P?

3 C6 ? 93 1458 ? 6 ? 0.01458 . 106 10

13(08 崇文区二模)已知 8 人组成的抢险小分队中有 3 名医务人员,将这 8 人分为 A、B 两组,每组 4 人.
7

(Ⅰ)求 A 组中恰有一名医务人员的概率; (Ⅱ)求 A 组中至少有两名医务人员的概率; 解:(Ⅰ)设“A 组中恰有一名医务人员”为事件 A1 , P( A1) ? (Ⅱ)设“A 组中至少有两名医务人员”为事件 A 2 ,
3 1 C32 C52 C3 C5 1 P( A 2) ? ? ? . 4 2 C8 C84

1 3 C3 C5 3 ? . 7 C84

14 某市举行的一次数学新课程骨干培训,共邀请 15 名使用不同版本教材的教师,数据如下表所示: 版本 性别 人数 6 人教 A 版 男教师 师 3 4 女 教 人教 B 版 男教师 师 2 女教

(Ⅰ)从这 15 名教师中随机选出 2 名,求 2 人恰好是教不同版本的男教师的概率; (Ⅱ)培训活动随机选出 3 名教师发言,求使用不同版本教材的女教师各至少一名的概率.
2 解:(Ⅰ)从 15 名教师中随机选出 2 名共 C15 种选法,
1 1 C6 C4 8 所以这 2 人恰好是教不同版本的男教师的概率是 ? . 2 C15 35

(Ⅱ)3 名发言教师中使用不同版本教材的女教师各至少一名的不同选法共有
1 1 1 2 1 1 2 C3 C2C10 ? C3 C2 ? C3 C2 ? 69 种,

所以使用不同版本教材的女教师各至少一名的概率为
1 1 1 1 1 2 C3 C2C10 + C32C2 + C3 C2 69 P= = 3 C15 455

二、互斥事件的概率 1. (08 四川延考理 8 文 8)在一次读书活动中,一同学从 4 本不同的科技书和 2 本不同的文艺书中任选 3
本,则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为( (A)


(D)

1 5

(B)

1 2

(C)

2 3

4 5

解:因文艺书只有 2 本,所以选 3 本必有科技书。问题等价于选 3 本书有文艺书的概率:

P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ?

3 C4 4 4 ? 1? ? 3 C6 20 5

2. (08 江西卷文 18)因冰雪灾害,某柑桔基地果林严重受损,为此有关专家提出一种拯救果树的方案,该 方案需分两年实施且相互独立.该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的 1.0 倍、0.9 倍、0.8 倍的 概率分别是 0.2、0.4、0.4;第二年可以使柑桔产量为第一年产量的 1.5 倍、1.25 倍、1.0 倍的概率分别是 0.3、0.3、0.4. (1)求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率; (2)求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率.
8

【试题解析】 (1)令 A 表示两年后柑桔产量恰好达到灾前产量这一事件

P( A) ? 0.2 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.3 ? 0.2
(2)令 B 表示两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件

P( B) ? 0.2 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.3 ? 0.48
3. 厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定 数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品. (Ⅰ)若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.8,从中任意取出 4 种进行检验,求至少有 1 件是合格产 品的概率. (Ⅱ)若厂家发给商家 20 件产品,其中有 3 件不合格,按合同规定该商家从中任取 2 件,都进行检验, 只有 2 件产品都合格时才接收这批产品,否则拒收,分别求出该商家计算出不合格产品为 1 件和 2 件的概率,并求该商家拒收这批产品的概率。 解:本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算,考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力. (Ⅰ)记“厂家任取 4 件产品检验,其中至少有 1 件是合格品”为事件 A . 用对立事件 A 来算,有

P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? 0.24 ? 0.9984
(Ⅱ)记“商家任取 2 件产品检验,其中不合格产品数为 i 件” (i ? 1, 2) 为事件 Ai .

P( A1 ) ?

1 1 C17 C3 51 ? 2 C20 190

P( A2 ) ?

C32 3 ? 2 C20 190

∴商家拒收这批产品的概率

51 3 27 ? ? . 190 190 95 27 故商家拒收这批产品的概率为 . 95 P ? P( A1 ) ? P( A2 ) ?
4. (08 海淀区二模)甲、乙、丙三人组成一组,参加一个闯关游戏团体赛.三人各自独立闯关,其中甲闯 关成功的概率为

1 1 1 ,甲、乙都闯关成功的概率为 ,乙、丙都闯关成功的概率为 .每人闯关成功记 2 分, 3 6 5

三人得分之和记为小组团体总分. (I)求乙、丙各自闯关成功的概率; (II)求团体总分为 4 分的概率; (III)若团体总分不小于 4 分,则小组可参加复赛.求该小组参加复赛的概率. 解:(I)设乙闯关成功的概率为 P 1 ,丙闯关成功的概率为 P 2 因为乙丙独立闯关,根据独立事件同时发生的概率公式得:

1 ?1 P , 1 ? ? ?3 6 ? ?P ? P ? 1 . 1 2 ? 5 ?

解得 P 1 ?

1 2 , P2 ? . 2 5

答:乙闯关成功的概率为

1 2 ,丙闯关成功的概率为 . 2 5

(II)团体总分为 4 分,即甲、乙、丙三人中恰有 2 人过关,而另外一人没过关. 设“团体总分为 4 分”为事件 A,
9

1 2 1 1 2 1 1 2 3 ? ? ? (1 ? ) ? ? ? ? (1 ? ) ? . 2 5 3 2 5 3 2 5 10 3 答:团体总分为 4 分的概率为 . 10
则 P( A) ? (1 ? ) ? (III)团体总分不小于 4 分, 即团体总分为 4 分或 6 分, 设“团体总分不小于 4 分”为事件 B, 由(II)知团体总分为 4 分的概率为

1 3

3 , 10 1 1 2 1 ? . 3 2 5 15

团体总分为 6 分, 即 3 人都闯关成功的概率为 ? ? 所以参加复赛的概率为 P ( B ) = 答:该小组参加复赛的概率为

3 1 11 ? ? . 10 15 30

11 . 30

5. 某职业联赛的总决赛在甲、乙两队之间角逐,采用七场四胜制,即有一队胜四场,则此队获胜,且比赛 结束.在每场比赛中,甲队获胜的概率是

2 1 ,乙队获胜的概率是 ,根据以往资料统计,每场比赛组 3 3

织者可获门票收入为 30 万元,两队决出胜负后,问: (Ⅰ)组织者在总决赛中获门票收入为 120 万元的概率是多少? (Ⅱ)组织者在总决赛中获门票收入不低于 180 万元的概率是多少?

2 4 1 4 17 . 3 3 81 2 1 200 3 2 3 1 2 3 1 3 2 2 (Ⅱ)门票收入为 180 万元的概率为: P2 ? C5 ( ) ( ) ? ? C5 ( ) ( ) ? ? . 3 3 3 3 3 3 729 2 1 160 3 2 3 1 3 3 1 3 2 3 门票收入为 210 万元的概率为: P3 ? C6 ( ) ( ) ? ? C6 ( ) ( ) ? ? . 3 3 3 3 3 3 729 门票收入不低于 180 万元的概率是: 40 P ? P2 ? P3 ? . 81
解:(Ⅰ)门票收入为 120 万元的概率为: P 1 ? ( ) ?( ) ? 6. 盒内有大小相同的 9 个球,其中 2 个红色球,3 个白色球,4 个黑色球. 规定取出 1 个红色球得 1 分, 取出 1 个白色球得 0 分,取出 1 个黑色球得 ?1 分 . 现从盒内任取 3 个球. (Ⅰ)求取出的 3 个球颜色互不相同的概率; (Ⅱ)求取出的 3 个球得分之和是正数的概率. (Ⅰ)解:记 “取出 1 个红色球,1 个白色球,1 个黑色球”为事件 A , 则
1 1 C1 2 2 C3C4 ? . 3 C9 7

P( A) ?

………….. 5 分

(Ⅱ)解:先求取出的 3 个球得分之和是 1 分的概率 P 1: 记 “取出 1 个红色球,2 个白色球”为事件 B ,“取出 2 个红色球,1 个黑色球”为事件 C ,
2 1 C1 C2 5 2 C3 2 C4 ; ? ? 3 3 C9 C9 42 记“取出 2 个红色球,1 个白色球”为事件 D , 1 C2 1 2 C3 则取出的 3 个球得分之和是 2 分的概率: P . ? 2 ? P ( D) ? 3 C9 28 5 1 13 ? ? 所以,取出的 3 个球得分之和是正数的概率 P ? P 1?P 2 ? 42 28 84

则P 1 ? P( B ? C ) ? P( B) ? P(C ) ?

7. 某投资商准备在某市投资甲、乙、丙三个不同的项目,这两个项目投资是否成功相互独立,预测结果如 下表:
10

预测结果 项目 甲 乙 丙 成
2 3 2 3 3 4

概 功

率 失 败
1 3 1 3 1 4

(1)求恰有一个项目投资成功的概率; (2)求至少有一个项目投资成功的概率. 解:(1)设投资甲、乙、丙三个不同项目成功的事件分别为 A、B、C

2 1 1 1 2 1 1 1 3 7 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 4 3 3 4 3 3 4 36 7 所以恰有一个项目投资成功的概率为 36 ? ? ? 1 1 1 35 (2) P2 ? 1 ? P( A B C ) ? 1 ? ? ? ? 3 3 4 36 35 所以至少有一个项目投资成功的概率为 . 36 P1 ? P( A B C ? A B C ? A B C ) ?
三、相互独立事件的概率与 n 次独立重复试验恰好发生 k 次的概率 1.(08 福建卷文 5)某一批花生种子,如果每 1 粒发芽的概率为 概率是( A. ) B.

? ?

?

?

? ?

4 ,那么播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的 5
D.

12 125

16 125
2 1

C.

48 125

96 125

【标准答案】C

48 ? 4? ?1? 【标准答案】由 P 3 (2) ? C ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 5 ? 125
2 3

【高考考点】独立重复实验的判断及计算 【易错提醒】容易记成二项展开式的通项. 【备考提示】请考生注意该公式与二项展开式的通项的区别,所以要强化公式的记忆. 2. (08 湖北卷文 14)明天上午李明要参加奥运志愿者活动,为了准时起床,他用甲、 乙两个闹钟叫醒自己, 假设甲闹钟准时响的概率是 0.80,乙闹钟准时响的概率是 0.90,则两个闹钟至少有一准时响的概率是 【标准答案】0. 98 【试题解析】用间接法做: 两个闹钟一个也不准时响的概率是 (1 ? 0.8)(1 ? 0.9) ? 0.02 ,所以要求的结果是

1 ? 0.02 ? 0.98 .
【高考考点】间接法求概率,分类讨论思想。 【易错提醒】计算出错. 【备考提示】本题还可以这样做: 要求的概率是 (1 ? 0.8)0.9 ? 0.8(1 ? 0.9) ? 0.8 ? 0.9 ? 0.98 3. (08 福建卷文 18)三人独立破译同一份密码.已知三人各自破译出密码的概率分别为 , , , 且他们是 否破译出密码互不影响. (Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率; (Ⅱ)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大?说明理由. 【试题解析】 解:记“第 i 个人破译出密码”为事件 A1(i=1,2,3),依题意有

1 1 1 5 4 3

11

1 1 1 P( A1 ) ? , P( A2 ) ? , P( A3 ) ? , 且 A1,A2,A3 相互独立. 5 4 .3
(Ⅰ)设“恰好二人破译出密码”为事件 B,则有 B=A1·A2· A3 ·A1· A2 ·A3+ A1 ·A2·A3 且 A1·A2· A3 ,A1· A2 ·A3, A1 ·A2·A3 彼此互斥 于是 P(B)=P(A1·A2· A3 )+P(A1· A2 ·A3)+P( A1 ·A2·A3)

1 1 2 1 3 1 4 1 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? = . 5 4 3 5 4 3 5 4 3 20 3 答:恰好二人破译出密码的概率为 . 20
= (Ⅱ)设“密码被破译”为事件 C,“密码未被破译”为事件 D. D= A1 · A2 · A3 ,且 A1 , A2 , A3 互相独立,则有 P(D)=P( A1 )·P( A2 )·P( A3 )= 而 P(C)=1-P(D)=

4 3 2 2 ? ? = . 5 4 3 5

3 ,故 P(C)>P(D). 5

答:密码被破译的概率比密码未被破译的概率大. 【高考考点】本小题主要考查概率的基本知识与分类思想,考查运用数学知识分析问题、解决问题的能力. 满分 12 分. 【易错提醒】对于恰有二人破译出密码的事件分类不清. 【备考提示】对于概率大家都知道要避免会而不全的问题,上述问题就是考虑不周全所造成的,所以建议让 学生一定注重题干中的每一句话,每一个字的意思.只有这样才能做到满分. 4. (08 湖南卷文 16)甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格 就签约,乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是 且面试是否合格互不影响。求: (I)至少一人面试合格的概率; (II)没有人签约的概率。 【试题解析】 用 A,B,C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知 A,B,C 相互独立, 且 P( A) ? P( B) ? P(C ) ?

1 , 2

1 . 2

(I)至少有一人面试合格的概率是 1 ? P( A ? B ? C )

1 7 ? 1 ? P( A) P( B) P(C ) ? 1 ? ( ) 3 ? . 2 8
(II)没有人签约的概率为 P( A ? B ? C) ? P( A ? B ? C) ? P( A ? B ? C)

P( A)? P( B) ? P( C? )

P( A ? ) P( B ? ) P( ? C)

P(? A) P? ( B) P( C)

1 1 1 3 ? ( )3 ? ( )3 ? ( )3 ? . 2 2 2 8
5. (08 辽宁卷文 18)某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近 100 周的统计结果如 下表所示: 周销售量 频数 2 20 3 50 4 30

(Ⅰ)根据上面统计结果,求周销售量分别为 2 吨,3 吨和 4 吨的频率;
12

(Ⅱ)若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求 (ⅰ)4 周中该种商品至少有一周的销售量为 4 吨的概率; (ⅱ)该种商品 4 周的销售量总和至少为 15 吨的概率. 【试题解析】 本小题主要考查频率、概率等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分 12 分. 解:(Ⅰ)周销售量为 2 吨,3 吨和 4 吨的频率分别为 0.2,0.5 和 0.3. (Ⅱ)由题意知一周的销售量为 2 吨,3 吨和 4 吨的频率分别为 0.2,0.5 和 0.3, 故所求的概率为
4 (ⅰ) P 1 ? 1 ? 0.7 ? 0.7599 . 3 3 4 (ⅱ) P 2 ? C4 ? 0.5 ? 0.3 ? 0.3 ? 0.0621 .

6. (08 四川卷文 18)设 进 入 某 商 场 的 每 一 位 顾 客 购 买 甲 种 商 品 的 概 率 为 0.5 , 购 买 乙 种 商 品 的 概 率 为 0 . 6, 且 购 买 甲 种 商 品 与 购 买 乙 种 商 品 相 互 独 立 , 各 顾 客 之 间 购 买 商 品 也 是 相 互 独立的。 (Ⅰ)求进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (Ⅱ)求进入商场的 3 位顾客中至少有 2 位顾客既未购买甲种也未购买乙种商品的概率。 【试题解析】 (Ⅰ)记 A 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买甲种商品, 记 B 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买乙种商品, 记 C 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种,

C ? A? B ? A? B

?

? ?

?
? ? ? ? ? ? ? ? ?

P ? C ? ? P A ? B ? A ? B ? P A ? B ? P A ? B ? P ? A? ? P B ? P ? A? ? P B
? 0.5 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.5

?

(Ⅱ)记 A2 表示事件:进入商场的 3 位顾客中都未选购甲种商品,也未选购买乙种商品;

D 表示事件:进入商场的 1 位顾客未选购甲种商品,也未选购买乙种商品; E 表示事件:进入商场的 3 位顾客中至少有 2 位顾客既未选购甲种商品,也未选选购乙种商品;

D ? A? B

P D ? P A ? B ? P A ? P B ? 0.5 ? 0.4 ? 0.2
2 P ? A2 ? ? C2 ? 0.22 ? 0.8 ? 0.096

? ?

?

?

? ? ? ?

P ? A3 ? ? 0.23 ? 0.008 P ? E ? ? P ? A1 ? A2 ? ? P ? A1 ? ? P ? A2 ? ? 0.096 ? 0.008 ? 0.104
【点评】:此题重点考察相互独立事件有一个发生的概率; 【突破】:分清相互独立事件的概率求法;对于“至少”常从反面入手常可起到简化的作用。 7. (08 天津卷文 18)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为

1 与 p ,且乙投 2

1 . 16 (Ⅰ)求乙投球的命中率 p ;
球 2 次均未命中的概率为 (Ⅱ)求甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率; (Ⅲ)若甲、乙两人各投球 2 次,求两人共命中 2 次的概率.
13

解:本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识,考查运用概率知识解决实际 问题的能力.满分 12 分. (Ⅰ)解法一:设“甲投球一次命中”为事件 A,“乙投球一次命中”为事件 B. 由题意得 ?1 ? P ?B ?? ? ?1 ? p ? ?
2 2

1 16

解得 p ?

3 3 5 或 (舍去),所以乙投球的命中率为 . 4 4 4

解法二:设设“甲投球一次命中”为事件 A,“乙投球一次命中”为事件 B.

1 1 1 3 ,于是 P( B) ? 或 P( B) ? ? (舍去),故 p ? 1 ? P( B) ? . 16 4 4 4 3 所以乙投球的命中率为 . 4 1 1 (Ⅱ)解法一:由题设和(Ⅰ)知 P ? A? ? , P A ? . 2 2 3 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 1 ? P A ? A ? 4 1 1 解法二:由题设和(Ⅰ)知 P ? A? ? , P A ? 2 2 3 1 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 C 2 P? A?P A ? P? A?P? A? ? 4 1 1 3 1 (Ⅲ)由题设和(Ⅰ)知, P? A? ? , P A ? , P?B ? ? , P B ? 2 2 4 4
由题意得 P ( B ) P ( B ) ?

?? ?

?

??

??

??

??

甲、乙两人各投球 2 次,共命中 2 次有三种情况:甲、乙两人各中一次;甲中两次,乙两次均不中;甲两 次均不中,乙中 2 次。概率分别为
1 1 C2 P? A?P A ? C 2 P?B ?P B ?

?? ?

??

1 , 64 9 P A ? A P ?B ? B ? ? 64 P ? A ? A?P B ? B ?

?

3 , 16

?

?

所以甲、乙两人各投两次,共命中 2 次的概率为

3 1 9 11 ? ? ? . 16 64 64 32

8. (08 重庆卷文 18)在每道单项选择题给出的 4 个备选答案中,只有一个是正确的.若对 4 道选择题中的 每一道都任意选定一个答案,求这 4 道题中: (Ⅰ)恰有两道题答对的概率; (Ⅱ)至少答对一道题的概率. 【解析】本小题主要考查相互独立事件、互斥事件、对立事件概率的求法及运算能力。 【答案】视“选择每道题的答案”为一次试验,则这是 4 次独立重复试验,且每次试验中“选择正确”这 一事件发生的概率为

1 . 4
4

由独立重复试验的概率计算公式得: (Ⅰ)恰有两道题答对的概率为 P4 (2) ? C 2 ( ) ( ) ?
2 2

1 4

3 4

27 . 128

(Ⅱ)解法一:至少有一道题答对的概率为

1 0 3 4 81 175 1 ? P4 (0) ? 1 ? C0 ? . 4 ( ) ( ) ? 1? 4 4 256 256
解法二:至少有一道题答对的概率为

1 3 2 2 1 2 3 2 3 1 3 3 4 1 4 3 0 C1 4 ( )( ) ? C 4 ( ) ( ) ? C 4 ( ) ( ) ? C 4 ( ) ( ) 4 4 4 4 4 4 4 4
14

108 54 12 1 ? ? ? 256 256 256 256 175 ? . 256 ?
9. (08 四川延考文 18)一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类: A 类、 B 类、 C 类.检验员定时 从该生产线上任取 2 件产品进行一次抽检, 若发现其中含有 C 类产品或 2 件都是 B 类产品,就需要调整设

B 类品和 C 类品的概率分别为 0.9 , 0.05 备, 否则不需要调整. 已知该生产线上生产的每件产品为 A 类品,
和 0.05 ,且各件产品的质量情况互不影响. (Ⅰ)求在一次抽检后,设备不需要调整的概率; (Ⅱ)若检验员一天抽检 3 次,求一天中至少有一次需要调整设备的概率. 【解析】(Ⅰ)设 Ai 表示事件“在一次抽检中抽到的第 i 件产品为 A 类品”, i ? 1, 2 .

Bi 表示事件“在一次抽检中抽到的第 i 件产品为 B 类品”, i ? 1, 2 . Ci 表示事件“一次抽检后,设备不需要调整”.
则C ? A 1 ? A2 ? A 1 ? B2 ? B 1 ? A2 . 由已知

P( Ai ) ? 0.9 , P( Bi ) ? 0.05 , i ? 1, 2 .

所以,所求的概率为 P(C) ? P( A 1?A 2 ) ? P( A 1 ? B2 ) ? P( B 1?A 2)

? 0.92 ? 2 ? 0.9 ? 0.05 ? 0.9 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,一次抽检后,设备不需要调整的概率为 P(C ) ? 0.9 . 故所求概率为:

1 ? 0.93 ? 0.271

10.在同一时间段里, 有甲、 乙两个气象站相互独立的对天气预测, 若甲气象站对天气预测的准确率为 0.85, 乙气象站对天气预测的准确率为 0.9,求在同一时间段里, (Ⅰ)甲、乙两个气象站同时预测准确的概率; (Ⅱ)至少有一个气象站预测准确的概率; (Ⅲ)如果乙站独立预测 3 次,其中恰有两次预测准确的概率。 解:设 A=“甲气象站预测的准确”, 设 B=“乙气象站预测的准确” (Ⅰ) P(A ? B) ? P(A) ? P(B) ? 0.85? 0.9 ? 0.765 (Ⅱ)所求概率为 1- P(A) ? P(B) ? 1 -(1-0.85)(1 -0.9) ? 0.985
2 (Ⅲ)如果乙站独立预测 3 次,其中恰有两次预测准确的概率 P ? C3 ? 0.92 ? 0.1 =0.2432.

11.某学校对其网络服务器开放的 4 个外网络端口的安全进行监控,以便在发现黑客入侵时及时跟踪锁定。 根据以往经验,从周一至周五,这 4 个网络端口各自受到黑客入侵的概率为 0.1。求: (I)恰有 3 个网络端口受到黑客入侵的概率是多少? (II)至少有 2 个网络端口受到黑客入侵的概率是多少? 解:(I) P ? C4 ? 01 . ? 0.9 ? 0.0036 1
3 3

(II)“至少有 2 个网络端口被入侵”的对立事件为“没有和有 1 个网络端口被入侵”, 因此 P ? 1 ? (0.9) ? C4 ? 01 . ? (0.9) ? 0.0523 2
4 1 3

15

12.某院校招收学员,指定三门考试课程.甲对三门指定课程考试通过的概率都是 试通过的概率都是

1 ,乙对三门指定课程考 2

2 ,且三门课程考试是否通过相互之间没有影响.求: 3

(Ⅰ)甲恰好通过两门课程的概率; (Ⅱ)乙至多通过两门课程的概率; (Ⅲ)求甲恰好比乙多通过两门课程的概率. 解:(Ⅰ)甲恰好通过两门课程的概率为 C 3 ( ) (1 ? )
2 2

1 2

1 2

3? 2

1 3 ? C32 ( )3 ? . 2 8

? 2 ? 19 (Ⅱ)乙至多通过两门课程的概率 1- ? ? = . ? 3 ? 27
(Ⅲ) 设甲恰好比乙多通过两门课程为事件 A , 甲恰通过两门且乙恰都没通过为事件 B1 ,甲恰通过三门且乙恰通过一门为事件 B2 , 则 A ? B1 ? B2 , B1 , B2 为互斥事件.

3

3 1 1 2 1 P( A) ? P( B1 ) ? P( B2 ) ? ? ? ? ? . 8 27 8 9 24 1 所以,甲恰好比乙多通过两门课程的概率为 . 24
13.甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 有影响. (Ⅰ)求甲射击 5 次,有两次未击中目标的概率; (Ⅱ)求两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次,且乙恰好击中目标 3 次的概率. 解:(I)设“甲射击 5 次,有两次未击中目标”为事件 A,则 P ( A) ? C 5 ( ) ? ( ) ?
2 3 2

2 3 和 ,假设两人每次射击是否击中目标相互之间没 3 4

2 3

1 3

80 243

(Ⅱ)设“两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次,且乙恰好击中目标 3 次”为事件 B,

( ) · C4 ( ) · ? 则 P( B) ? C 4 ( ) ·
2 2 2 3 3

2 3

1 3

3 4

1 4

1 8 1 3 ,乙每次投中的概率为 ,求: 2 4

14. 甲、乙两人各进行 3 次投篮,甲每次投进的概率为 (I)甲恰好投中 2 次的概率; (Ⅱ)乙至少投中 2 次的概率; (III)乙恰好比甲多投中 2 次的概率.

1 3 3 ; 2 8 27 2 3 2 1 3 3 3 (2)乙至少投中 2 次的概率为 C 3 ( ) ? ? C 3 ( ) ? ; 4 4 4 32
解:(1)甲恰好投中 2 次的概率为 C 3 ( ) ?
2

(3)设乙恰好比甲多投中 2 次为事件 A,乙恰好投中 2 次且甲恰好投中 0 次为事件 B1,乙恰好投中 3 次, 且甲恰好投中 1 次为事件 B2,则 A=B1+B2,B1,B2 为互斥事件. P(A)=P(B1)+P(B2)= C 3 ( ) ?
2 2

3 4

1 27 0 1 3 3 3 3 1 1 3 ? C3 ( ) ? C3 ( ) ? C3 ( ) ? . 4 2 4 2 128

所以,乙恰好比甲多投中 2 次的概率为

27 . 128

15. 在一天内甲、乙、丙三台设备是否需要维护相互之间没有影响,且甲、乙、丙在一天内不需要维护的 概率依次为 0.9、0.8、0.85. 则在一天内 (I)三台设备都需要维护的概率是多少?
16

(II)恰有一台设备需要维护的概率是多少? (III)至少有一台设备需要维护的概率是多少? 解:记甲、乙、丙三台设备在一天内不需要维护的事件分别为 A,B,C, 则 P( A) ? 0.9, P( B) ? 0.8, P(C ) ? 0.85. (I)解:三台设备都需要维护的概率

p1 ? P( ABC) ? P( A) ? P(B) ? P(C)
=(1-0.9)×(1-0.8)×(1-0.85)=0.003. (II)解:恰有一台设备需要维护的概率 p2 ? P( A ? B ? C) ? P( A ? B ? C) ? P( A ? B ? C) =(1-0.9)×0.8×0.85+0.9×(1-0.8)×0.85+0.9×0.8×(1-0.85) =0.329. (III)解:三台设备都不需要维护的概率

p3 ? P( ABC) ? P( A) ? P( B) ? P(C) ? 0.612 ,
所以至少有一台设备需要维护的概率

p4 ? 1 ? p3 ? 0.388.
16. 甲、乙两支篮球队进行比赛,已知每一场甲队获胜的概率为 0.6,乙队获得的概率为 0.4,每场比赛均 要分出胜负,比赛时采用三场两胜制,即先取得两场胜利的球队胜出. (Ⅰ)求甲队以二比一获胜的概率; (Ⅱ)求乙队获胜的概率; 解:(Ⅰ)甲队以二比一获胜,即前两场中甲胜 1 场,第三场甲获胜,其概率为
1 P . 1 ? C2 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.288

(Ⅱ)乙队以 2:0 获胜的概率为 P2? ? 0.4 ? 0.4 ? 0.16 ; 乙队以 2:1 获胜的概率为 P2?? ? C2 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.192
1
1 ∴乙队获胜的概率为 P2 ? 0.4 2 ? C2 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.16 ? 0.192 ? 0.352

17. 甲、乙两人进行一场乒乓球比赛,根据以往经验,单局比赛甲胜乙的概率为 0.4,本场比赛采用五局三 胜制,即先胜三局的人获胜,比赛结束,设各局比赛相互间没有影响,求: (I)前三局比赛乙领先的概率; (Ⅱ)本场比赛甲以 3:2 取胜的概率. (1)解:单局比赛甲胜乙的概率为 0.4,乙胜甲的概率为 1-0.4=0.6 记前三局比赛“乙胜三局”为事件 A,“乙胜两局”为事件 B, 则 P(A)=0.63=0.216
2 P(B)= C3 ? 0.6 2 ? 0.4 ? 0.432,

所以前三局比赛乙领先的概率为 P(A)+P(B)=0.648 (2)解:若本场比赛甲以 3:2 取胜,则前四局双方应以 2:2 战平,且第五局甲胜所以所求事件的概率 为 C4 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.13824
2 2 2

18. 某校田径队有三名短跑运动员,根据平时的训练情况统计,甲、乙、丙三人 100 米跑(互不影响)的 成绩在 13 秒内 (称为合格) 的概率分别是

2 3 1 , , .如果对这 3 名短跑运动员的 100 米跑的成绩进行一 5 4 3

次检测. 问: (I)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少? (Ⅱ)出现几个合格的概率最大? 解:分别记甲、乙、丙三人 100 米跑合格为事件 A,B,C。 显然,A、B、C 相互独立。

17

P( A) ?

2 3 1 2 3 3 1 1 2 , P( B) ? , P(C ) ? , P( A) ? 1 ? ? , P( B) ? 1 ? ? , P(C ) ? 1 ? ? 5 4 3 5 5 4 4 3 3.

设恰有 k 人合格的概率为 Pk(k=0,1,2,3)
2 3 1 1 (1) 三人都合格的概率为 P3=P(A· B· C)=P(A)· P(B)· P(C)= ? ? ? 5 4 3 10

B ? C ) ? P( A) ? ( B) ? P(C ) ? 三人都不合格的概率为 P0= P( A·
因此三人都合格的概率与三人都不合格的概率都是 (2)因为 A· B· C, A · B· C 两两互斥, B· C ,A·

3 1 2 1 ? ? ? 5 4 3 10

1 . 10

∴恰有两人合格的概率为 P2=P(A· B· C+ A · B· C)=P(A· B· C)+P( A · B· C) B· B· C + A· C )+P(A· =

2 3 2 2 1 1 3 3 1 23 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; 5 4 3 5 4 3 5 4 3 60 1 1 23 25 ? ? ? . 恰有一人合格的概率为:P1=1- 10 10 60 60

由(1)(2)知,P0,P1,P2,P3 中,P1 最大。 因此出现恰有 1 人合格的概率最大。 19. 甲乙两个篮球运动员相互没有影响的站在罚球线投球,其中甲的命中率为 每人都投球三次,且各次投球的结果互不影响。求: (I)甲恰好投进两球的概率 (II)乙至少投进一球的概率 (III)甲比乙多投进两球的概率
2 解:(I)记甲恰好投进两球为事件 A ,则 P? A? ? C3 ? ?

1 2 ,乙的命中率为 ,现在 2 3

?1? 1 3 ? ?2? 2 8 ?1? ? 3?
3

2

(II)记乙至少投进一球为事件 B ,则由对立事件概率公式得 P?B ? ? 1 ? ? ? ?

26 27

(III)记甲比乙多投进两球,其中恰好甲投进两球乙投进零球为事件 C 1,恰好甲投进三球乙投进一球为 事件 C 2,根据题意, C 1、 C 2 互斥,有互斥事件概率加法公式,则:
1 ? 1? 1 ?1? ? 1? 1 2 ?1? P ? C1 ? C2 ? ? P(C1 ) ? P(C2 ) ? C32 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C3 ?? ? ? 2 2 3 2 3 3 24 ? ? ? ? ? ? ? ?
2 3 3 2

20. 栽培甲、乙两种果树,先要培育成苗 ,然后再进行移栽.已知甲、乙两种果树成苗 .. .. 0.6 0.5 0.7 0.9 的概率分别为 , ,移栽后成活 的概率分别为 , . .. (I)求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗 的概率; .. (Ⅱ)求恰好有一种果树能培育成苗 且移栽成活 的概率. .. .. 解:分别记甲、乙两种果树成苗为事件 A 1 , A2 ;分别记甲、乙两种果树苗移栽成活 为事件 B1 , B2 , P( A 1 ) ? 0.6 , P( A2 ) ? 0.5 , P( B 1 ) ? 0.7 , P( B2 ) ? 0.9 . (I)甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为

P( A1 ? A2 ) ? 1 ? P( A1 A2 ) ? 1 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.8 ;
(Ⅱ)解法一:分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件 A,B , 则 P( A) ? P( A 1B 1 ) ? 0.42 , P( B) ? P( A2 B2 ) ? 0.45 .
18

恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为

P( AB ? AB) ? 0.42 ? 0.55 ? 0.58? 0.45 ? 0.492 .
解法二:恰好有一种果树栽培成活的概率为

P( A1B1 A2 ? A1B1 A2 B2 ? A1 A2 B2 ? A1 A2 B1B2 ) ? 0.492 .
21. 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可以选 择参加一项培训、 参加两项培训或不参加培训, 已知参加过财会培训的有 60%, 参加过计算机培训的有 75%. 假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响. (I)任选 1 名下岗人员,求该人参加过培训的概率; (II)任选 3 名下岗人员,求这 3 人中至少有 2 人参加过培养的概率. 解:任选 1 名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件 A ,“该人参加过计算机 培训”为事件 B ,由题设知,事件 A 与 B 相互独立,且 P( A) ? 0.6 , P( B) ? 0.75 . (I)解法一:任选 1 名下岗人员,该人没有参加过培训的概率是

P 1 ? P( A B) ? P( A) P( B) ? 0.4 ? 0.25 ? 0.1
所以该人参加过培训的概率是 1 ? P 1 ? 1 ? 0.1 ? 0.9 . 解法二:任选 1 名下岗人员,该人只参加过一项培训的概率是

P 2 ? P( A B) ? P( A B) ? 0.6 ? 0.25 ? 0.4 ? 0.75 ? 0.45
该人参加过两项培训的概率是 P 3 ? P( A B) ? 0.6 ? 0.75 ? 0.45 . 所以该人参加过培训的概率是 P 2 ?P 3 ? 0.45 ? 0.45 ? 0.9 . (II)解法一:任选 3 名下岗人员,3 人中只有 2 人参加过培训的概率是
2 P4 ? C3 ? 0.92 ? 0.1 ? 0.243 . 3 3 人都参加过培训的概率是 P 3 ? 0.9 ? 0.729 .

所以 3 人中至少有 2 人参加过培训的概率是 P 4 ?P 5 ? 0.243 ? 0.729 ? 0.972 . 解法二:任选 3 名下岗人员,3 人中只有 1 人参加过培训的概率是
1 C3 ? 0.9 ? 0.12 ? 0.027 .

3 人都没有参加过培训的概率是 0.1 ? 0.001 .
3

所以 3 人中至少有 2 人参加过培训的概率是 1 ? 0.027 ? 0.001 ? 0.972 . 3 4 22. 设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为 和 ,且各次射击相互独立。 4 5 (Ⅰ)若甲、乙各射击一次,求甲命中但乙未命中目标的概率; (Ⅱ)若甲、乙各射击两次,求两人命中目标的次数相等的概率。 解:(Ⅰ)设 A 表示甲命中目标,B 表示乙命中目标,则 A、B 相互独立, 3 4 且 P(A)= , P( B) ? ,从而甲命中但乙未命中目标的概率为 4 5

3 ? 4? 3 P( A ? B) ? P( A) ? P( B ) ? ? ?1 ? ? ? . 4 ? 5 ? 20
(Ⅱ)设 A1 表示甲在两次射击中恰好命中 k 次,B1 表示乙有两次射击中恰好命中 l 次。
19

依题意有
k?3? ?1? P( A1 ) ? C 2 ? ? ? ? ?4? ?4? l ? 4? ?1? P( B1 ) ? C 2 ? ? ? ? ? 5? ?5? l k 2? k

, k ? 0,1,2. , l ? 0,1,2.

2 ?l

由独立性知两人命中次数相等的概率为

P ( A0 B0 ) ? P ( A1 B1 ) ? P ( A2 B2 ) ? P ( A0 ) P ( B0 ) ? P ( A1 ) P ( B1 ) ? P ( A2 ) ? P ( B2 ) ?1? ?1? 1 3 1 2 4 1 2 ? 3? 2 ? 4? ?? ? · C3 · · ? C2 · ? ? ? C2 · · · ? ? C2 · ? ? 4 4 5 5 ? 4? ?5? ?4? ?5? 1 1 3 4 9 16 193 = ? ? ? ? ? = =0.4825. 16 25 4 25 16 25 400
2 2 2 2

23. .甲、乙两名跳高运动员一次试跳 2 米高度成功的概率分别是 0.7 ,0.6 ,且每次试跳成功与否相互之间 没有影响,求: (Ⅰ)甲试跳三次,第三次才成功的概率; (Ⅱ)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率; (Ⅲ)甲、乙各试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次的概率. 解: 记 “甲第 i 次试跳成功” 为事件 Ai , “乙第 i 次试跳成功” 为事件 Bi , 依题意得 P( Ai ) ? 0.7 , P( Bi ) ? 0.6 ,

, 2, 3 )相互独立. 且 Ai , Bi ( i ? 1
(Ⅰ)“甲第三次试跳才成功”为事件 A1 A2 A3 ,且三次试跳相互独立,

? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? 0.3? 0.3? 0.7 ? 0.063.
答:甲第三次试跳才成功的概率为 0.063 . (Ⅱ)“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件 C . 解法一:

C ? A1 B1 ? A1B1 ? A1B1 ,且 A1 B1 , A1B1 , A1B1 彼此互斥,

? P(C) ? P( A1 B1 ) ? P( A1 B1 ) ? P( A1 B1 ) ? P( A1 )P(B1 ) ? P( A1 )P(B1 ) ? P( A1)P(B1)
? 0.7 ? 0.4 ? 0.3 ? 0.6 ? 0.7 ? 0.6 ? 0.88 .
解法二: P(C) ? 1 ? P( A 1 ) P( B 1 ) ? 1 ? 0.3? 0.4 ? 0.88 . 答:甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为 0.88 . (Ⅲ)设“甲在两次试跳中成功 i 次”为事件 Mi (i ? 01 , , 2) , “乙在两次试跳中成功 i 次”为事件 Ni (i ? 0, 1, 2) , 事件“甲、乙各试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为 M1 N0 ? M 2 N1 , 且 M1 N0 , M 2 N1 为互斥事件,

20

? 所求的概率为 P(M1N0 ? M 2 N1 ) ? P(M1N0 ) ? P(M 2 N1 )
? P(M1 ) P( N0 ) ? P(M 2 ) P( N1 )
1 1 ? C2 ? 0.7 ? 0.3? 0.42 ? 0.72 ? C2 ? 0.6 ? 0.4

? 0.0672 ? 0.2352 ? 0.3024
答:甲、乙每人试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为 0.3024 . 24. 某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知 某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为

4 3 2 1 、 、 、 ,且各轮问题能否正确回答 5 5 5 5

互不影响. (Ⅰ)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率; (Ⅱ)求该选手至多进入第三轮考核的概率. (注:本小题结果可用分数表示) 解:(Ⅰ)记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai (i ? 1 , 2, 3, 4) ,则 P ( A1 ) ?

4 3 , P ( A2 ) ? , 5 5

P ( A3 ) ?

2 1 , P ( A4 ) ? , 5 5

? 该选手进入第四轮才被淘汰的概率为
4 3 2 4 96 P4 ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( P4 ) ? ? ? ? ? . 5 5 5 5 625
(Ⅱ)该选手至多进入第三轮考核的概率

P 3 ? P( A 1?A 1A 2 ?A 1A 2A 3 ) ? P( A 1 ) ? P( A 1 ) P( A 2 ) ? P( A 1 ) P( A 2 ) P( A 3)
? 1 4 2 4 3 3 101 ? ? ? ? ? ? . 5 5 5 5 5 5 125

25. 某气象站天气预报的准确率为 80% ,计算(结果保留到小数点后面第 2 位) (I)5 次预报中恰有 2 次准确的概率;(4 分) (Ⅱ)5 次预报中至少有 2 次准确的概率;(4 分) (Ⅲ)5 次预报中恰有 2 次准确,且其中第 3 次预报准确的概率;(4 分) 解:(I) 5 次预报中恰有 2 次准确的概率为
2 2 5?2 P ? 10 ? 0.82 ? 0.23 ? 0.05 . 5 (2) ? C5 ? 0.8 ? (1 ? 0.8)

(Ⅱ) 5 次预报中至少有 2 次准确的概率为
0 0 5?0 1 1? P ? C5 ? 0.81 ? (1 ? 0.8)5?1 5 (0) ? P 5 (1) ? 1 ? C5 ? 0.8 ? (1 ? 0.8)

? 1 ? 0.00032 ? 0.0064 ? 0.99 . (3)“ 5 次预报中恰有 2 次准确,且其中第 3 次预报准确”的概率为
1 0.8 ? C4 ? 0.8 ? (1 ? 0.8)4?1 ? 4 ? 0.82 ? 0.23 ? 0.02 .

1 1 26. (08 西城区二模)设甲、乙两人每次投球命中的概率分别是 , ,且两人各次投球是否命中相互之间 3 2

没有影响。 (Ⅰ)若两人各投球 1 次,求两人均没有命中的概率; (Ⅱ)若两人各投球 2 次,求乙恰好比甲多命中 1 次的概率。 (I)解:记“甲投球命中”为事件 A,“乙投球命中”为事件 B,则 A,B 相互独立, 且 P ( A) ?

1 1 , P( B) ? . 3 2
21

那么两人均没有命中的概率 P ? P( AB ) ? P( A) P( B) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ?

1 3

1 2

1 . 3

(II)解:记“乙恰好比甲多命中 1 次”为事件 C,“乙恰好投球命中 1 次且甲恰好投球命中 0 次”为 事件 C1,“乙恰好投球命中 2 次且甲恰好投球命中 1 次”为事件 C2,则 C=C1+C2,C1,C2 为互斥事 件.

2 1 1 1 1 2 0 2 2 2 1 2 1 1 2 P(C1 ) ? C 2 ( ) ? C2 ( ) ? , P(C 2 ) ? C 2 ( ) ? C2 ? ? , P(C ) ? P(C1 ) ? P(C 2 ) ? . 2 3 9 2 3 3 9 3 1 27. (08 东城区二模)已知将一枚质量不均匀 的硬币抛掷一次正面均朝上的概率为 . ... 3
(1)求抛掷这样的硬币三次,恰有两次正面朝上的概率; (2)抛掷这样的硬币三次后,抛掷一枚质地均匀的硬币一次,求四次抛掷后总共有三次正面朝上的概 率. 解:(1)抛掷这样的硬币三次,恰有两次正面朝上的概率为

1 2 2 P1 ? C32 ? ( ) 2 ? ? . 3 3 9
(2)解:四次抛掷后总共有三次正面朝上的概率为

1 2 1 1 1 7 3 P2 ? C 32 ? ( ) 2 ? ? ? C 3 ? ( )3 ? ? . 3 3 2 3 2 54
28. 某工厂为了保障安全生产,每月初组织工人参加一次技能测试. 甲工人通过每次测试的概率是

3 . 4

(I)求甲工人连续 3 个月参加技能测试至少 1 次未通过的概率; (II)求甲工人连续 3 个月参加技能测试恰好通过 2 次的概率; (III)工厂规定:工人连续 2 次没通过测试,则被撤销上岗资格. 求甲工人恰好参加 4 次测试后被撤销 上岗资格的概率. 解:(I)记“甲工人连续 3 个月参加技能测试,至少有 1 次未通过”为事件 A1,

3 37 P( A1 ) ? 1 ? P( A1 ) ? 1 ? ( ) 3 ? , 4 64
(II)记“连续 3 个月参加技能测试,甲工人恰好通过 2 次”为事件 A2, 则 P( A2 ) ? C 3 ? ( ) ? (1 ? ) ?
2 2

3 4

3 4

27 , 64

(III)记“甲工人恰好测试 4 次后,被撤销上岗资格”为事件 A3,

3 1 1 3 1 3 P( A3 ) ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? ? ? ( ) 2 ? . 4 4 4 4 4 64
四、几类事件的综合 1. (08 安徽卷文 18)在某次普通话测试中,为测试汉字发音水平,设置了 10 张卡片,每张卡片印有一个 汉字的拼音,其中恰有 3 张卡片上的拼音带有后鼻音“g”. (Ⅰ)现对三位被测试者先后进行测试,第一位被测试者从这 10 张卡片总随机抽取 1 张,测试后放回, 余下 2 位的测试,也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上,拼音都带有后鼻音“g”的概 率。 (Ⅱ)若某位被测试者从 10 张卡片中一次随机抽取 3 张,求这三张卡片上,拼音带有后鼻音“g”的卡 片不少于 2 张的概率。 【解析】(I)记第一位被测试者抽取的卡片上,拼音都带有后鼻音“g”为事件 A ,则 p ( A) ? 二位被测试者抽取的卡片上,拼音都带有后鼻音“g”为事件 B ,则 p ( B ) ? 的卡片上,拼音都带有后鼻音“g”为事件 C ,则 p (C ) ?

3 。记第 10

3 。记第三位被测试者抽取 10

3 。又 A , B , C 相互独立则这三位被测试 10 3 3 3 27 ? ? ? 者抽取的卡片上,拼音都带有后鼻音“g”是 ABC 所以 p( ABC ) ? p( A) p( B) p(C ) ? 10 10 10 1000
22

(Ⅱ) p ? 1 ?

3 2 1 C7 ? C7 C3 11 ? 3 C10 60

【试题解析】主要考查相互独立事件、互斥事件、对立事件概率的求法. 【高考考点】概率 【易错提醒】相互独立事件、互斥事件、对立事件概念 【备考提示】高考对概率知识的考查,主要是以实际应用题为主,这既是这类问题的热点,又符合高考的 发展方向,对这部分的学习要以课本的基础知识为主,难度不会太大. 2. (08 全国Ⅱ卷文 19)甲、乙两人进行射击比赛,在一轮比赛中,甲、乙各射击一发子弹.根据以往资料 知,甲击中 8 环,9 环,10 环的概率分别为 0.6,0.3,0.1,乙击中 8 环,9 环,10 环的概率分别为 0.4, 0.4,0.2. 设甲、乙的射击相互独立. (Ⅰ)求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率; (Ⅱ)求在独立的三轮比赛中,至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率. 【试题解析】 记 A1,A2 分别表示甲击中 9 环,10 环,

B1,B2 分别表示乙击中 8 环,9 环,
A 表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数, B 表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数,

C1,C2 分别表示三轮中恰有两轮,三轮甲击中环数多于乙击中的环数.
(Ⅰ) A ? A 1 B 1?A 2 B 1?A 2 B2 ,

P( A) ? P( A1 B1 ? A2 B1 ? A2 B2 ) ? P( A1 B1 ) ? P( A2 B1 ) ? P( A2 B2 ) ? P( A1 ) P( B1 ) ? P( A2 ) P( B1 ) ? P( A2 ) P( B2 )
? 0.3 ? 0.4 ? 0.1? 0.4 ? 0.1? 0.4 ? 0.2 .
(Ⅱ) B ? C1 ? C2 ,
2 P(C1 ) ? C3 [P( A)]2[1 ? P( A)] ? 3? 0.22 ? (1 ? 0.2) ? 0.096 ,

P(C2 ) ? [P( A)]3 ? 0.23 ? 0.008 ,
P( B) ? P(C1 ? C2 ) ? P(C1 ) ? P(C2 ) ? 0.096 ? 0.008 ? 0.104 .
3. 某商场经销某商品,顾客可采用一次性付款或分期付款购买。根据以往资料统计,顾客采用一次性付款 的概率是 0.6,经销一件该商品,若顾客采用一次性付款,商场获得利润 200 元;若顾客采用分期付款, 商场获得利润 250 元。 (Ⅰ)求 3 位购买该商品的顾客中至少有 1 位采用一次性付款的概率; (Ⅱ)求 3 位顾客每人购买 1 件该商品,商场获得利润不超过 650 元的概率。 解:(Ⅰ)记 A 表示事件:“ 3 位顾客中至少 1 位采用一次性付款”, 则 A 表示事件:“ 3 位顾客中无人采用一次性付款”.

23

P( A) ? (1 ? 0.6)3 ? 0.064 , P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? 0.064 ? 0.936 .
(Ⅱ)记 B 表示事件:“ 3 位顾客每人购买 1 件该商品,商场获得利润不超过 650 元”.

B0 表示事件:“购买该商品的 3 位顾客中无人采用分期付款”.

B1 表示事件:“购买该商品的 3 位顾客中恰有1 位采用分期付款”.
1 则 B ? B0 ? B1 . P( B0 ) ? 0.63 ? 0.216 , P( B1 ) ? C3 ? 0.62 ? 0.4 ? 0.432 .

P( B) ? P( B0 ? B1 ) ? P( B0 ) ? P( B1 ) ? 0.216 ? 0.432 ? 0.648 .
4. 从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取 1 件,假设事件 A : “取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品”的概率 P( A) ? 0.96 . (Ⅰ)求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p ; (Ⅱ)若该批产品共 100 件,从中任意抽取 2 件,求事件 B :“取出的 2 件产品中至少有一件二等品”的 概率 P ( B ) . 解:(Ⅰ)记 A0 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品”, A 1 表示事件“取出的 2 件产品中恰有 1 件二 等品”. 则 A0,A1 互斥,且 A ? A0 ? A 1 ,故

2 P( A) ? P( A0 ? A1 ) ? P( A0 ) ? P( A1 ) ? (1 ? p)2 ? C1 2 p(1 ? p) ? 1 ? p

于是 0.96 ? 1 ? p 2 . 解得 p1 ? 0.2,p2 ? ?0.2 (舍去). (Ⅱ)记 B0 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品”, 则 B ? B0 . 若该批产品共 100 件,由(1)知其中二等品有 100 ? 0.2 ? 20 件, 故 P( B0 ) ?
2 316 179 C80 316 ? . P( B) ? P( B0 ) ? 1 ? P( B0 ) ? 1 ? ? 2 495 495 C100 495

5. 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管 1000 支,该公司对这些灯管的使用寿命 (单位:小时)进行了统计,统计结果如下表所示: 分组 频数 频率 (I)将各组的频率填入表中; (II)根据上述统计结果,计算灯管使用寿命不足 1500 小时的频率; (III)该公司某办公室新安装了这种型号的灯管 3 支,若将上述频率作为概率,试求至少有 2 支灯管的使 用寿命不足 1500 小时的概率. 解:本小题主要考查频率、概率、总体分布的估计、独立重复试验等基础知识, 考查运用统计的有关知识解决实际问题的能力. (I)解: 分组 频数 频率 [500 ,900) 48 0.04 [900 ,1100) 121 0.12 [110 0,1300) 208 0.20 [130 0,1500) 223 0.22
24

[500 ,900) 48

[900 ,1100) 121

[110 0,1300) 208

[130 0,1500) 223

[150 0,1700) 193

[170 0,1900) 165

[190 0, ?? ) 42

[150 0,1700) 193 0.19

[170 0,1900) 165 0.16

[190 0, ?? ) 42 0.04

8 1 8 3 3 5 (II)解:由(I)可得 0.048 ? 0.121 ? 0.208 ? 0.223 ? 0.6 , 所以灯管使用寿命不足 1500 小时的频率为 0.6. (III)解:由(II)知,1 支灯管使用寿命不足 1500 小时的概率 P ? 0.6 , 根据在 n 次独立重复试验中事件恰好发生 k 次的概率公式可得
2 2 3 P 3 (2) ? P 3 (3) ? C3 0.6 0.4 ? 0.6 ? 0.648 .

2

所以至少有 2 支灯管的使用寿命不足 1500 小时的概率是 0.648. 6.(08 全国Ⅰ卷文 20)已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液 化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性即没患病.下面是两种化验方案: 方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止. 方案乙:先任取 3 只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的 1 只,然 后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验. 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率. 解析:记 A 表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数,B 表示依方案乙需化验 3 次, A1、A2 分别表示依方案甲需化验 1 次、2 次。 依题意得 A2 与 B 相互独立,且 A ? A1 ? A2 B 。
2 A1 C4 C1 1 1 1 6 2 2 4 2 = , P(A )= = , P(B) = = ? = , 2 1 2 3 1 C5 5 A5 5 C5 C3 10 3 5 1 1 2 7 ∴P(A)=P(A1 )+P(A 2 ) ? P(B)= + ? = , 5 5 5 25

则P(A1 )=

∴P(A)=1-

7 18 。 = 25 25 点评:本题以实际问题为背景考查了排列组合与几种事件概率的综合应用。难度较大。

7. (08 朝阳区二模)甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球,已知甲袋中共有 m 个球,乙袋中共 有 2 m 个球,从甲袋中摸出 1 个球为红球的概率为 (Ⅰ)若 m =10,求甲袋中红球的个数; (Ⅱ)若将甲、乙两袋中的球装在一起后,从中摸出 1 个红球的概率是 (Ⅲ)设 P 2=

2 ,从乙袋中摸出 1 个球为红球的概率为 P 2. 5

1 ,求 P 2 的值; 3

1 ,从甲、乙两袋中各自有放回地摸球,每次摸出 1 个球,并且从甲袋中摸 1 次,从乙袋 5 2 5 4,

中摸 2 次,求摸出的 3 个球中恰有 2 个红球的概率. 解:(Ⅰ)设甲袋中红球的个数为 x ,则 x = 10? 甲袋中红球的个数是 4 个.

2 m + 2mP2 3 1 (由已知得: 5 . = ,解得 P2 = 10 3m 3 2 3 (Ⅲ)从甲袋摸出 1 个红球的概率是 P ,则 1- p1 = . 1 = 5 5 1 4 又 P2 = ,则 1- p2 = . 5 5
恰有 2 个红球分为甲袋取一个红球、乙袋取一个红球一个白球及甲袋取一个白球、乙袋取 2 个红球.

2 1 1 4 3 ?1? 19 其概率为 P ? ? C2 . ? ? ? ?? ? ? 5 5 5 5 ? 5 ? 125
25

2

8. (08 丰台区二模)甲乙两名跳高运动员一次试跳 2 米高度成功的概率分别为 0.7 和 0.6,且每次试跳成 功与否相互之间没有影响.求: (Ⅰ)甲试跳三次,第三次才成功的概率; (Ⅱ)甲、乙各试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次的概率. 解:(Ⅰ)记“甲第 i 次试跳成功”为事件 Ai ,“乙第 i 次试跳成功”为事件 Bi, 依题意,得 P( Ai ) ? 0.7 , P( Bi ) ? 0.6 , 且 Ai , Bi(i=1,2,3)相互独立. “甲第三次试跳才成功”为事件 A1 A2 A3 ,且三次试跳相互独立. ∴ P( A 1A 2A 3 ) ? P( A 1 ) P( A 2 ) P( A 3)

? 0.3 ? 0.3 ? 0.7 ? 0.063 . (Ⅱ) 设“甲在两次试跳中成功 i 次”为事件 Mi (i=0,1,2), “乙在两次试跳中成功 i 次”为事件 Ni (i=0,1,2), ∴ 事件“甲、乙各试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次” 可表示为 M1 N0 ? M 2 N1 ,且 M1N0、M2N1 为互斥事件.
∴ P(M1N0 ? M 2 N1 ) ? P(M1N0 ) ? P(M 2 N1 )

? P(M1 ) P( N0 ) ? P(M 2 ) P( N1 )
1 1 ? C2 ? 0.7 ? 0.3? 0.42 ? 0.72 ? C2 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.0672 ? 0.2352 ? 0.3024 . 9. 已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球,乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑球,现从甲、乙 两个盒内各任取 2 个球. (Ⅰ)求取出的 4 个球均为黑球的概率; (Ⅱ)求取出的 4 个球恰有 1 个红球的概率. 解:(Ⅰ)设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 A,“从乙盒内取出的 2 个球均为黑球”为事
2 件 B.由于事件 A、B 相互独立,且 P( A) ? C3 ? 1 , 2 C4 2

P( B) ?

2 C4 2 ? . 2 C6 5

所以取出的 4 个球均为黑球的概率为 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? 1 ? 2 ? 1 .
2 5 5

(Ⅱ)设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球;从乙盒内取出的 2 个球中,1 个是红球,1 个是黑球” 为事件 C,“从甲盒内取出的 2 个球中,1 个是红球,1 个是黑球;从乙盒内取出的 2 个球 2 1 1 均 为 黑 球 ” 为 事 件 D. 由 于 事 件 C 、 D 互 斥 , 且 P(C ) ? C3 ? C2 ? C4 ? 4 , 2 2 C4 C6 15
P( D) ?
1 2 C3 C4 1 ? ? . 2 2 C4 C6 5

所以取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率为 P(C ? D) ? P(C ) ? P( D) ? 4 ? 1 ? 7 .
15 5 15

10. 袋中装有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球. (Ⅰ)从袋中任意取出两个球,求两球颜色不同的概率; (Ⅱ)从袋中任意取出一个球,记住颜色后放回袋中,再任意取出一个球,求两次取出的球颜色不 同的概率. 解: (Ⅰ)记 “从袋中任意取出两个球,两球颜色不同”为事件 A ,
1 取出两个球共有方法 C5 ? 10 种,其中“两球一白一黑”有 C2 ? C31 ? 6 种. 2
1 1 C2 C3



P( A) ?

C

2 5

3 ? . 5

答:从袋中任意取出两个球,两球颜色不同的概率是

3 . 5

(Ⅱ)记 “取出一球,放回后再取出一个球,两次取出的球颜色不同”为事件 B , 取出一球为白球的概率为

2 3 ,取出一球为黑球的概率为 , 5 5
26

∴ P(B)= C2 ? ?
1

2 3 12 ? . 5 5 25 12 . 25

答:取出一球,放回后再取出一个球,两次取出的球颜色不同的概率是

11. 某社区举办北京奥运知识宣传活动,现场的“抽卡有奖游戏”特别引人注目,游戏规则是:盒子中装 有 8 张形状大小相同的精美卡片,卡片上分别印有“奥运吉祥物”或“奥运会徽”,要求两人一组参加游 戏,参加游戏的两人从盒子中轮流抽取卡片,一次抽 1 张,抽后不放回,直到两人中的一人抽到“奥运会 徽”卡得奖才终止游戏。 (1)游戏开始之前,一位高中生问:盒子中有几张“奥运会徽”卡?主持人说:若从盒中任抽 2 张 卡片不都是“奥运会徽”卡的概率为

25 。请你回答有几张“奥运会徽”卡呢? 28

(2)现有甲、乙两人参加游戏,双方约定甲先抽取乙后抽取,求甲获奖的概率。
2 Cn 25 解:(1)设盒子中有“会徽卡”n 张,依题意有, 1 ? 2 ? ,解得 n=3 C8 28

即盒中有“会徽卡”3 张。 (2)由题意知,甲最多可能摸三次, 若甲第一次抽取就中奖,则 P 1 ? 若甲第二次抽取才中奖,则 P2 ? 若甲第三次抽取才中奖,则 P3 ?
1 C3 3 ? ; 1 C8 8 1 1 1 C5 C3 C4 5 ; ? ? ? 1 1 1 C8 C7 C6 28

1 1 1 1 1 C5 C3 C3 C4 C2 3 ? ? ? ? ? , 1 1 1 1 1 C8 C7 C6 C5 C4 56 7 5 5 17 ? ? ? ∴甲获奖的概率为 P ? P 。 1 ?P 2 ?P 3 ? 8 28 56 28

12. (08 广东卷文 19)某初级中学共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表: 初一年级 女生 男生 373 377 初二年级 x 370 初三年级 y z

已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到初二年级女生的概率是 0.19. (1) 求 x 的值; (2) 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在初三年级抽取多少名? (3) 已知 y ? 245,z ? 245,求初三年级中女生比男生多的概率. 【试题解析】

x ? 0.19 ,解得 x ? 380 , 2000 (2)初三年级人数为 y ? z ? 2000? (373? 377 ? 380? 370) ? 500, m 48 ? 设应在初三年级抽取 m 人,则 ,解得 m=12. 500 2000 答: 应在初三年级抽取 12 名.

(1)由

(3)设初三年级女生比男生多的事件为 A ,初三年级女生和男生数记为数对 ( y , z ) , 由(2)知 y ? z ? 500, ( y, z ? N , y ? 245, z ? 245) ,则基本事件总数有:

(245, 255),(246, 254),(247, 253),(248, 252), (249, 251),(250, 250), (251, 249),(252, 248),(253, 247),(254, 246), (255, 245) 共 11 个,
27

而事件 A 包含的基本事件有:

(251, 249),(252, 248),(253, 247),(254, 246), (255, 245) 共 5 个,∴ P ( A) ?

5 11

28


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