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2005年全国高中数学联赛试卷


2005年全国高中数学联赛试卷
(2005年10月16日上午8∶00-9∶40)
一、选择题:
  1.使关于x的不等式+≥k有解的实数k的最大值是 ( )
   A.- B. C.+ D.
  2.空间四点A、

B、C、D满足|→(→间)|=3,|→(→间)|=7,|→(→间)|=11,|→(→间)|=9.则→(→间)·→(→间)的取值( )
   A.只有一个 B.有二个 C.有四个 D.有无穷多个
  3.△ABC内接于单位圆,三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1,则的值为 ( )
   A.2 B.4 C.6 D.8
  4.如图,ABCD-A?B?C?D?为正方体,任作平面α与对角线AC?垂直,使得α与正方体的每个面都有公共点,记这样得到的截面多边形的面积为S,周长为l,则 ( )
   A.S为定值,l不为定值 B.S不为定值,l为定值
   C.S与l均为定值 D.S与l均不为定值
  5.方程+=1表示的曲线是 ( )
   A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在x轴上的双曲线
   C.焦点在y轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的双曲线
  6.记集合T={0,1,2,3,4,5,6},M={+++| ai∈T,i=1,2,3,4},将M中的元素按从大到小排列,则第2005个数是 ( )
   A.+++ B.+++ C.+++ D.+++
  
二、填空题:
  7.将关于x 的多项式f(x)=1-x+x2-x3+...-x19 +x20表为关于y的多项式g(y)=a0+a1y+a2y2+...+a19y19+a20y20,其中y=x-4,则a0+a1+...+a20= ;
  8.已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,若f(2a2+a+1)<f(3a2-4a+1)成立,则a的取值范围是 ;
  9.设α、β、γ满足0<α<β<γ<2π,若对于任意x∈R,cos(x+α)+cos(x+β)+cos(x+γ)=0,则γ-α= ;
  10.如图,四面体DABC的体积为,且满足∠ACB=45?,AD+BC+=3,则CD= ;
  11.若正方形ABCD的一条边在直线y=2x-17上,另外两个顶点在抛物线y=x2上,则该正方形面积的最小值为 ;
  12.如果自然数a的各位数字之和等于7,那么称a为"吉祥数".将所有"吉祥数"从小到大排成一列a1,a2,a3,...,若an=2005,则a5n= .


三、解答题:
  13.数列{an}满足a0=1,an+1=45a\o(\s\do3(n2,n∈N,
  证明:⑴ 对任意n∈N,an为正整数;
     ⑵ 对任意n∈N,anan+1-1为完全平方数.
  
  
  14.将编号为1,2,3,...,9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各放一个小球,设圆周上所有相邻两个球号码之差的绝对值之和为S,求使S达到最小值的放法的概率.(注:如果某种放法,经旋转或镜面反射后与另一种放法重合,则认为是相同的放法)
  
  
  15.过抛物线y=x2上一点A(1,1)作抛物线的切线,分别交x轴于点D,交y轴于点B,点C在抛物线上,点E在线段AC上,满足=λ1;点F在线段BC上,满足=λ2,且λ1+λ2=1,线段CD与EF交于点P,当点C在抛物线上移动时,求点P的轨迹方程.
  
  
  
加试卷
  一、如图,在△ABC中,设AB>AC,过点A作△ABC的外接圆的切线l,又以点A为圆心,AC为半径作圆分别交线段AB于点D;交直线l于点E、F.
  证明:直线DE、DF分别通过△ABC的内心与一个旁心.
  
  
  
  
  二、设正数a、b、c、x、y、z满足cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c.求函数f(x,y,z)=++的最小值.
  
  
  
  
  三、对每个正整数n,定义函数f(n)=(其中[x]表示不超过x的最大整数,{x}=x-[x]).试求k=1240f(k)的值.
            呜呼!不怕繁死人,就怕繁不成!

2005年全国高中数学联赛试卷
(2005年10月16日上午8∶00-9∶40)
一、选择题:
  1.使关于x的不等式+≥k有解的实数k的最大值是 ( )
   A.- B. C.+ D.
  选D.
  解:3≤x≤6,令=sinα(0≤α≤),则x=3+3sin2α,=cosα.
  故≥(sinα+cosα)≥.故选D.
  2.空间四点A、B、C、D满足|→(→间)|=3,|→(→间)|=7,|→(→间)|=11,|→(→间)|=9.则→(→间)·→(→间)的取值( )
   A.只有一个 B.有二个 C.有四个 D.有无穷多个
  选A.
  解:→(→无)+→(→无)+→(→无)+→(→无)=→(→无).
  DA2=→(→无)2=(→(→无)+→(→无)+→(→无))2=AB2+BC2+CD2+2(→(→无)·→(→无)+→(→无)·→(→无)+→(→无)·→(→无))
=AB2+BC2+CD2+2(→(→ )·→(→ )+→(→ )·→(→ )-→(→ )2),(其中→(→ )+→(→ )=→(→ ),→(→ )=→(→ )-→(→ ))
=AB2+BC2+CD2-2BC2+2(→(→ )·→(→ )).
  故2→(→ )·→(→ )=DA2+BC2-AB2-CD2=92+72-32-112=0==>→(→>)·→(→>)=0.选A.
  3.△ABC内接于单位圆,三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1,则的值为 ( )
   A.2 B.4 C.6 D.8
  选A.
  解:AA1·cos=2sin(B+)cos=sin(A+B)+sinB=sinC+sinB.
  AA1·cos+BB1·cos+CC1·cos=2(sinA+sinB+sinC).故原式=2.选A.
  4.如图,ABCD-A?B?C?D?为正方体,任作平面α与对角线AC?垂直,使得α与正方体的每个面都有公共点,记这样得到的截面多边形的面积为S,周长为l,则 ( )
   A.S为定值,l不为定值 B.S不为定值,l为定值
   C.S与l均为定值 D.S与l均不为定值
  选B.
  解:设截面在底面内的射影为EFBGHD,设AB=1,AE=x(0≤x≤),则
  l=3[x+(1-x)]=3为定值;
  而S=[1-x2-(1-x)2]secθ=(-x-x2)secθ(θ为平面α与底面的所成角)不为定值.故选B.
  
  5.方程+=1表示的曲线是 ( )
   A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在x轴上的双曲线
   C.焦点在y轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的双曲线
  选C.
  解:由于+>π==>>->->0==>cos(-)<cos(-)==>sin-sin>0;
  又,0<<c<π==>cos-cos>0,==>曲线为椭圆.
  sin-sin-(cos-cos)=[sin(-)-sin(-)].而0<-<-<==>
  sin-sin<cos-cos==>焦点在y轴上.故选C.
  6.记集合T={0,1,2,3,4,5,6},M={+++| ai∈T,i=1,2,3,4},将M中的元素按从大到小排列,则第2005个数是 ( )
   A.+++ B.+++ C.+++ D.+++
  选C.
  解:M={(a1×73+a2×72+a3×7+a4)| ai∈T,i=1,2,3,4},a1×73+a2×72+a3×7+a4可以看成是7进制数,(a1a2a3a4)7,其最大的数为(6666)7=74-1=2400.
  从而从大到小排列的第2005个数是2400-2004=396,即从1起从小到大排的第396个数,
  396=73+72+4==>(1104)7,故原数为+++.故选C.
  
二、填空题:
  7.将关于x 的多项式f(x)=1-x+x2-x3+...-x19 +x20表为关于y的多项式g(y)=a0+a1y+a2y2+...+a19y19+a20y20,其中y=x-4,则a0+a1+...+a20= ;
  填
  解:f(x)=a0+a1(x-4)2+a2(x-4)2+...+a20(x-4)20.令x=5得f(5)=1-5+52-53+...-519+520===a0+a1+...+a20.
  
  8.已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,若f(2a2+a+1)<f(3a2-4a+1)成立,则a的取值范围是 ;
  填(0,)∪(1,5).
  解:==>a∈(-∞,)∪(1,+∞).
  2a2+a+1>3a2-4a+1==>a2-5a<0==>0<a<5.
  故所求取值范围为(0,)∪(1,5).
  9.设α、β、γ满足0<α<β<γ<2π,若对于任意x∈R,cos(x+α)+cos(x+β)+cos(x+γ)=0,则γ-α= ;
  填π.
  解:由f(x)≡0,得f(-α)=f(-β)=f(-γ)=0:
  cos (β-α)+cos(γ-α)=cos(β-α)+cos(γ-β)=cos(γ-α)+cos(γ-β)=-1.
  故cos(β-α)=cos(γ-β)=cos(γ-α)=-,
  由于0<α<β<γ<2π,故β-α,γ-β,γ-α∈{π,π}.从而γ-α=π.
  10.如图,四面体DABC的体积为,且满足∠ACB=45?,AD+BC+=3,则CD= ;
  填.
  解:V=×AC×BCsin45?×h≤AC×BC×ADsin45?.
  即AC×BC×ADsin45?≥1==>×BC×AD≥1.
  而3=AD+BC+≥3=3,等号当且仅当AD=BC==1时成立,
  故AC=,且AD=BC=1,AD⊥面ABC.==>CD=.
  11.若正方形ABCD的一条边在直线y=2x-17上,另外两个顶点在抛物线y=x2上,则该正方形面积的最小值为 ;
  填80.
  解:设正方形ABCD的顶点A、B在抛物线上,C、D在直线上.
  设直线AB方程为y=2x+b,
  ⑴ 求AB交抛物线y=x2的弦长:以y=2x+b代入y=x2,得
x2-2x-b=0.
  △=4+4b==>l=2.
  ⑵ 两直线的距离=.
  ⑶ 由ABCD为正方形得,2===>100(b+1)=b2+34b+289==>b2-66b+189=0.
  解得b=3,b=63.
  正方形边长=4或16==>正方形面积最小值=80.
  
  12.如果自然数a的各位数字之和等于7,那么称a为"吉祥数".将所有"吉祥数"从小到大排成一列a1,a2,a3,...,若an=2005,则a5n= .
  填52000.
  解:一位的吉祥数有7,共1个;
  二位的吉祥数有16,25,34,43,52,61,70,共7个;
  三位的吉祥数为x1+x2+x3=7的满足x1≥1的非负整数解数,有C82=28个(也可枚举计数).
  一般的,k位的吉祥数为x1+x2+...+xk=7的满足x1≥1的非负整数解数,令xi?=xi+1(i=2,3,...,k),有x1+x2?+...+xk?=7+k-1.共有解Ck+5k-1=Ck+56 组.
  4位吉祥数中首位为1的有28个,2005是4位吉祥数中的第29个.故n=1+7+28+28+1=65.5n=325.
  C66+C76+C86+C96+C106=1+7+28+84+210=330.即是5位吉祥数的倒数第6个:
  5位吉祥数从大到小排列:70000,61000,60100,60010,60001,52000,....
三、解答题:
  13.数列{an}满足a0=1,an+1=45a\o(\s\do3(n2,n∈N,
  证明:⑴ 对任意n∈N,an为正整数;
     ⑵ 对任意n∈N,anan+1-1为完全平方数.
  证明:⑴ a1=5,且an单调递增.
  所给式即 (2an+1-7an)2=45an2-36==>an+12 -7an+1an+an2+9=0. ①
  下标加1: an+22 -7an+2an+1+an+12 +9=0. ②
  相减得: (an+2-an)(an+2-7an+1+an)=0.
  由an单调增,故an+2-7an+1+an=0==>an+2=7an+1-an. ③
  因a0、a1为正整数,且a1>a0,故a2为正整数,由数学归纳法,可知,对任意n∈N,an为正整数.
  ⑵ 由①:an+12 +2an+1an+an2=9(an+1an-1)==>an+1an-1=()2 ④
  由于an为正整数,故an+1an-1为正整数,从而()2为正整数.但an、an+1均为正整数,于是必为有理数,而有理数的平方为整数时,该有理数必为整数,从而是整数.即an+1an-1是整数的平方,即为完全平方数.故证.
  原解答上有一段似无必要:记f(n)=an+1an-()2,
  则f(n)-f(n-1)=(an+1an-anan-1)-(2an+an+1+an-1)(an+1-an-1)=(an-1-an+1)(an+1-7an+an-1)=0.即
  f(n)=f(n-1)=...=f(0)=1,故④式成立.
  故anan+1-1为完全平方数.
  又证:由上证,得③式后:an+2-7an+1+an=0.
  特征方程为 x2-7x+1=0.
  解得: x===.
  令 an=α+β.由a0=1,a1=5解得
   α=,β=;
  得 an=[+] ⑤
  注意到·=1,+=.
  有, anan+1-1=[+]·[+]-1
   =[+++-5]
   =[+]2
  由二项式定理或数学归纳法知+为k型数(k∈N*),故anan+1-1为完全平方数.
  (用数学归纳法证明:n=0时,+=2.
  设当n≤m(m∈N*)时,+=kn(kn∈N*),且k1<k2<...<km.
+=[+]·[+]-[+].
  =7km-km-1=(7km-km-1).由归纳假设知km+1=7km-km-1∈N*,且km<km+1成立.
  得证.
  
  14.将编号为1,2,3,...,9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各放一个小球,设圆周上所有相邻两个球号码之差的绝对值之和为S,求使S达到最小值的放法的概率.(注:如果某种放法,经旋转或镜面反射后与另一种放法重合,则认为是相同的放法)
  解:9个有编号的小球放在圆周的九个九等分点上,考虑镜面反射的因素,共有种放法;
  为使S取得最小值,从1到9之间应按增序排列:
  设从1到9之间放了k个球,其上的数字为x1,x2,...,xk,则|1-x1|+|x1-x2|+...+|xk-9|≥|1-x1+x1-x2+...+xk-9|=8.当且仅当1-x1、x1-x2、...、xk-9全部同号时其和取得最小值,即1,x1,x2,...,xk,9递增排列时其和最小.故S≥2×8=16.
  当S取得最小值时,把除1、9外的7个元素分成两个子集,各有k及7-k个元素,分放1到9的两段弧上,分法总数为C70+C71+...+C76种,考虑镜面因素,共有64种方法.
  所求概率P==.
  
  15.过抛物线y=x2上一点A(1,1)作抛物线的切线,分别交x轴于点D,交y轴于点B,点C在抛物线上,点E在线段AC上,满足=λ1;点F在线段BC上,满足=λ2,且λ1+λ2=1,线段CD与EF交于点P,当点C在抛物线上移动时,求点P的轨迹方程.
  解:过点A的切线方程为y=2x-1.交y轴于点B(0,-1).AB与x轴交于点D(,0).设点C坐标为C(x0,y0),=λ,点P坐标为(x,y).
  由=λ1==>=1+λ1,同理,=1+λ2;
  而、、成等差数列(过A、B作CD的平行线可证).
  得2λ=1+λ1+1+λ2=3,即λ=.从而点P为△ABC的重心.
  x=,y=.y0=x02.
  解得x0=3x-1,y0=3y,代入y0=x02得,y=(3x-1)2.
  由于x0≠1,故x≠.所求轨迹方程为y=(3x-1)2(x≠).
  又解:过点A的切线方程为y=2x-1.交y轴于点B(0,-1).AB与x轴交于点D(,0).设点C坐标为C(t,t2),
  CD方程为=,即y=(2x-1).
  点E、F坐标为E(,);F(,).从而得EF的方程为:
=.
  化简得:[(λ2-λ1)t-(1+λ2)]y=[(λ2-λ1)t2-3]x+1+t-λ2t2. ①
  当t≠时,直线CD方程为: y= ②
  联立①、②解得消去t,得点P的轨迹方程为y=(3x-1)2.
  当t=时,EF方程为:-y=(λ2-λ1-3)x+-λ2,CD方程为:x=,联立解得点(,),此点在上述点P的轨迹上,
  因C与A不能重合,故t≠1,x≠.
  故所求轨迹为 y=(3x-1)2 (x≠).
  
  
加试卷
  一、如图,在△ABC中,设AB>AC,过点A作△ABC的外接圆的切线l,又以点A为圆心,AC为半径作圆分别交线段AB于点D;交直线l于点E、F.
  证明:直线DE、DF分别通过△ABC的内心与一个旁心.
  证明:连DC、DE,作∠BAC的平分线交DE于点I,交CD于G.
  由AD=AC,∠DAI=∠CAI,AI=AI==>△ADI≌△ACI.
  故∠ADI=∠ACI,
  但∠FAD=∠ACB(弦切角);∠FAD=2∠ADE(等腰三角形顶角的外角)
  所以∠FAD=2∠ACI==>∠ACB=2∠ACI,即CI是∠ACB的平分线.
  故点I是△ABC的内心.
  连FD并延长交AI延长线于点I?,连CI?.
  由于AD=AE=AF==>∠EDF=90?==>∠IDI?=90?.
  而由△ADI≌△ACI知,∠AID=∠AIC==>∠DII?=∠CII?,又ID=IC,II?为公共边.故△IDI?≌△ICI?,==>∠ICI?=90?.由于CI是∠ACB的平分线,故CI?是其外角的平分线,从而I?为△ABC的一个旁心.
  又证:⑴ 连DE、DC,作∠BAC的平分线分别交DE于I,DC于G,连IC,则由AD=AC,得AG⊥DC,ID=IC.
  又D、C、E在⊙A上,故∠IAC=∠DAC=∠IEC.故A、I、C、E四点共圆.
  所以∠CIE=∠CAE=∠ABC,而∠CIE=2∠ICD,故∠ICD=∠ABC.
  所以,∠AIC=∠IGC+∠ICG=90?+∠ABC,所以∠ACI=∠ACB.故I为△ABC的内心.
  ⑵ 连FD并延长交∠ABC的外角平分线于I1,连II1,BI1、BI,则由⑴知,I为△ABC的内心,故∠IBI1=90?=∠EDI1.故D、B、I1、I四点共圆.
  故∠BII1=∠BDI1=90?-∠ADI=(∠BAC+∠ADG)-∠ADI=∠BAC+∠IDG,故A、I、I1共线.所以,I1是△ABC的BC边外的旁心.
  
  二、设正数a、b、c、x、y、z满足cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c.求函数f(x,y,z)=++的最小值.
  解:解方程组:得,由于x、y、z为正数,故==>即以a、b、c为边可以构成锐角三角形.记边a、b、c的对角分别为∠A、∠B、∠C.
  则cosA=x,cosB=y,cosC=z.(A、B、C为锐角)
  f(x,y,z)=f(cosA,cosB,cosC)=++.
  令u=cotA,v=cotB,w=cotC,则u,v,w∈R+,且uv+vw+wu=1.
  于是,(u+v)(u+w)=u2+uv+uw+vw=u2+1.同理,v2+1=(v+u)(v+w),w2+1=(w+u)(w+v).
  cos2A=sin2Acot2A==,所以,===
  =u2-=u2-≥u2-(+).
  同理≥v2-(+),≥w2-(+).
  于是f≥u2+v2+w2-(++)
=u2+v2+w2-(u2-uv+v2+v2-vw+w2+w2-wu+u2)
=(uv+vw+wu)=(等号当且仅当u=v=w,即a=b=c,x=y=z=时成立.)
  故知[f(x,y,z)]min=.
  又证:由约束条件可知

得,f(x,y,z)=. ⑴
显然有a+b-c>0,a-b+c>0,-a+b+c>0.由Cauchy不等式有,
·[bc(b+c-a)+ca(c+a-b)+ab(a+b-c)]≥(a2+b2+c2)2.
故f(x,y,z)≥
=·.
下面证明≥1.即证
a4+b4+c4≥a3b+a3c+b3c+b3a+c3a+c3b-(a+b+c)abc. ⑵
由于,a4-a3b-a3c+a2bc=a2(a2-ab-ac-bc)=a2(a-b)(a-c).故⑵式即
a2(a-b)(a-c)+b2(b-a)(b-c)+c2(c-a)(c-b)≥0.
不妨设a≥b≥c.则
    a2(a-b)(a-c)+b2(b-a)(b-c)≥a2(a-b)(b-c)-b2(a-b)(b-c)=(a2-b2)(a-b)(b-c)≥0,
又,c2(c-a)(c-b)≥0
于是a2(a-b)(a-c)+b2(b-a)(b-c)+ c2(c-a)(c-b)≥0成立.等号当且仅当a=b=c时成立.
所以,f(x,y,z)≥,且f(,,)=.
又证:令p=(a+b+c),⑴式即f(x,y,z)=(由Cauchy不等式)
≥·=·.
而a2+b2+c2=2(p2-4Rr-r2),ab+bc+ca=p2+4Rr+r2,abc=4Rrp.(*)
故,f(x,y,z)≥·=·.
而≥p2?p4+16R2r2+r4-8p2Rr-2p2r2+8Rr3≥p4-8p2Rr+p2r2
         ?16R2+8Rr+r2≥3p2?4R+r≥p. (**)
最后一式成立.故得结论.
关于(*)式:由△=rp,得 r2===
            ==; ①
又由△=,得4Rr=.故4Rr+r2=-p2+(ab+bc+ca).
就是 ab+bc+ca=p2+4Rr+r2;
a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=4p2-2p2-8Rr-2r2=2(p2-4Rr-r2);
abc=4R△=4Rrp.
关于(**)式:由r=4Rsinsinsin,故
4R+r=4R+4Rsinsinsin=4R+4R(cosA+cosB+cosC-1)=R(3+ cosA+cosB+cosC)
  =2R(cos2+cos2+cos2).
而p=RsinA+RsinB+RsinC=4R coscoscos.
故4R+r≥p?cos2+cos2+cos2≥2coscoscos.
又cos2+cos2+cos2≥3,而3≥2coscoscos
    ?≤? coscoscos≥? sinA+sinB+sinC≤3sin.(由琴生不等式可证)

  三、对每个正整数n,定义函数f(n)=(其中[x]表示不超过x的最大整数,{x}=x-[x]).试求k=1240f(k)的值.
  解:对于任意n(n不是完全平方数),存在k,满足k2<n<(k+1)2,则1≤n-k2≤2k.此时=k+{}.
  ===.
  由于2k<2k+{}<2k+1.故<<.从而在与之间没有整数.即=.若记n-k2=i(i=1,2,...,2k),又240=152+15.
  于是,k=1240f(k)=k=114i=12k+i=115.由于k<i≤2k时=1故i=k+12k=k.于是
  k=1240f(k)=k=115i=1k+k=114k=(2+6+11+16+22+29+34+42+49+56+63+72+78+87+96)+105=768.
  即所求值为768.
  又解:为计算i=12k,画一2k×2k的表格,在第i行中,凡i的倍数处填写*号,则这行的*号共有个,全表共有i=12k个.另一方面,第j列中的*号个数等于j的约数的个数T(j),从而全表中的*号个数等于j=12kT(j).故i=12k=j=12kT(j).以2k=6为例:
j i 1 2 3 4 5 6 1 * * * * * * 2 * * * 3 * * 4 * 5 * 6 *   故a=1(n+1f(a)=k=1nj=12kT(j)=n[T(1)+T(2)]+(n-1)[T(3)+T(4)]+...+[T(2n-1)+T(2n)]. ③
  由此,k=1162f(k)=k=116(16-k)[T(2k-1)+T(2k)] ④
  记an=T(2k-1)+T(2k).可得ak的取值如下表(k=1,2,...15):
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ak 3 5 6 6 7 8 6 9 8 8 8 10 7 10 10 k=1162f(k)=k=116(16-k)ak=783. ⑤
  又当k∈{241,242,...,255}时,设k=152+r(r=16,17,...30).则
  -15=-15=,从而<<,于是1≤<<<2.
  故,=1,k∈{241,242,...,255},又f(256)=0,
  所以k=1240f(k)=783-15=768.
            呜呼!不怕繁死人,就怕繁不成!


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