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高中必修一二次函数与一元二次方程根的分布(2012年最新)


二面角

成都七中

郑勇军

问题一、二次函数的图像可从哪些方面描述?
? ? ? ? 开口方向 对称轴 与x轴的交点 与y轴的交点

y

O

x

问题二、二次函数与一元二次方程(不等式) 有什么关系?
函数值

即y等于0时就成了一个一元二次方程。 函数值即y大于或小于0时就成了一个一元二次 y 不等式。
x

O

问题三、解下列一元二次不等式
y 1、x2-2x+3>0 ∵对应方程x2-2x+3 =0的△=4-12<0 ∴函数y=x2-2x+3恒为正,故不等式解集为R。 O x 2、x2+6x-7<0 ∵函数y= x2+6x-7开口向上,且与x轴的交点横 y 坐标分别为-7、1, ∴由图像得原不等式的解集为(-7,1)
-7 O 1 x

问题四、解下列一元二次方程
? ? ? ? ? ? ? ? 1、x2-2x+3=0 无实根 2、x2-2x+1=0 有两相等实根x1=x2=1 3、x2-6x+5=0 有两相异实根x1=5,x2=1 4、x2+6x-7=0 有两相异实根x1=-7,x2=1

思考:

? 可否用二次函数的相关知识反过来理解或解决 一元二次方程相关问题? ? 可以。如用二次函数的图像与x轴交点的位置来 判断实根的位置。 ? 一元二次方程的实根存在时,有两等根、正根、 负根、一正一负根等情况,其中有何规律? ? 这就是一元二次方程实根的分布问题,即是本 节课研究的内容。

问题五、关于x的一元二次方程X2+(m- 3)x+m=0有两个正根,求m的范围。
你首先想到了什么方法?
2

韦达定理

解:设方程的两实根分别为x1、x2,则

?? ? ( m ? 3 ) ? 4m ? 0 ? ? ? m 0 ? m ? 1? ? x1 ? x 2 ? 3 ? m ? 0 ?x x ? m ? 0 ? 1 2
你还有其他思路吗? 能从二次函数入手思考该问题吗?

问题五、关于x的一元二次方程x2+(m-3)x +m=0有两个正根,求m的范围。
解:设f(x)= x2+(m-3)x+m,要使二次函数与x轴的 交点在x轴的正半轴,由图像知只需满足以下条件:

? ? =(3 -m ) -4 m ? 0 ? b 3 -m ? =>0 ? 2a 2 ? f ( 0 )= m > 0 ? ?
2

y

?

{m|0<m≤1} x

比较两种思路,作出评价:

?? ? ( m ? 3 ) ? 4m ? 0 ? ? x1 ? x 2 ? 3 ? m ? 0 ?x x ? m ? 0 ? 1 2
2

法一:韦达定理法 1、形式不同,本质一样; 2、在本问题中韦达定理法更简洁。

? ? =(3 -m ) -4 m ? 0 ? b 3 -m ? =>0 ? 2a 2 ? f ( 0 )= m > 0 ? ? 法二:二次函数法
2

以本问题的条件,你还能提出其他问题吗?

以本问题的条件,你还能提出其他问题吗?

问题五、关于x的一元二次方程x2+(m-3)x +m=0有两个正根,求m的范围。

问题是数学的心脏, 是我们思维的起点。

其他问题: 问题六:方程满足下列条件x2+(m-3)x+m=0,求 m的范围。(1)两正实根(已解决)
(2)两负实根;(3)两实根均小于1; (4)两实根均大于0.5; (5)两实根均在(0,2); (6)一正一负两实根; (7)两实根中,一根大于1,一根小于1; (8)两实根中有且只有一根在(0,2); (9)两实根中,一根在(-2,0),一根在(1,3); (10)两实根中,一根在(-2,0),一根在(0,4); (11)一个根小于2,一个根大于4。

这么多问题如何在最短时间内解决?
思考一、上述(2)-(10)共九个问题你会模仿 第(1)问进行解决吗?你有什么初步感觉? (难还是简单?思维清晰还是有点乱?) 思考二、上述问题有什么规律? 你能从不同角度对上述问题进行归类吗? 特点一:(1)(2)(6)与原点有关,其余与原点无关; 与原点有关的问题便于用什么方法求解? 韦达定理法

特点二:(1)-(5)都是两根在同一区间内;(6)-(10) 都是两根在不同的区间内。 现在的问题变成了“如何解决这两类问题?” 分成两组研究: 第一组:(1)-(5) 第二组:(6)-(10)

问题六:方程满足下列条件x2+(m-3)x+m=0,

求m的范围。
(2)有两个负根
解法一:设方程的两实根分别为x1、x2,则

?? ? ( m ? 3 ) ? 4m ? 0 ? ? x1 ? x 2 ? 3 ? m ? 0 ?x x ? m ? 0 ? 1 2
2

? ?m m

? 9?

问题六:方程满足下列条件x2+(m-3)x+m=0,

求m的范围。
(2)有两个负根
解法二:设f(x)= x2+(m-3)x+m,要使二次函数与x轴 的交点在x轴的负半轴,由图像知只需满足以下条件:

? ? =(3 -m ) -4 m ? 0 ? b 3 -m ? =<0 ? 2a 2 ? f ( 0 )= m > 0 ? ?
2

y

? ?m m

? 9?

x

问题六:方程满足下列条件x2+(m-3)x+m=0,求 m的范围。 (3) 两个根都小于1
解:设f(x)= x2+(m-3)x+m,要使二次函数与x轴的交 点在x轴上1的左边,由图像知只需满足以下条件:

? ? ? ( m ? 3) ? 4 m ? 0 ? 3?m ? b ? ?1 ? ?? 2a 2 ? ? f (1) ? 2 m ? 2 ? 0 ?
2

y

?m m 1? 9 ?
x

问题六:方程满足下列条件x2+(m-3)x+m=0,求 m的范围。
(4) 两个根都大于0.5
解:设f(x)= x2+(m-3)x+m,要使二次函数与x轴的交 点在x轴上0.5的右边,由图像知只需满足以下条件:
? 2 ?? ? ( m ? 3 ) ? 4m ? 0 ? b 3 ? m ? O? 0.5 5 x? ? ? 0 .5 ? ? m ? m ? 1? ?? 2a 2 ? 6 ? ? 6m ? 5 ? ? 0 ? f ( 0 .5 ) ? ? 4
y

问题六:方程满足下列条件x2+(m-3)x+m=0,求 m的范围。 (5) 两个根都在(0 ,2)内
解:设f(x)= x2+(m-3)x+m,要使二次函数与x轴的交 点在0与2的之间,由图像知只需满足以下条件:
y

?? ? ( m ? 3 ) ? 4m ? 0 ? 3?m ? 0? 2 ? ? ?2 ? ? ?mO ? m ?2 1 ? x 2 ? 3 ? ? ? f(0)? m ? 0 ? ? f ( 2 ) ? 3m ? 2 ? 0 ?
2

问题六:方程满足下列条件x2+(m-3)x+m=0,

求m的范围。
(6) 一个正根,一个负根
解法一:设方程的两实根分别为x1、x2,则

?? ? ( m ? 3 ) ? 4m ? 0 ? ? x1 x 2 ? m ? 0
2

? ?m

m ? 0?

问题六:方程满足下列条件x2+(m-3)x+m=0,

求m的范围。
(6) 一个正根,一个负根
解法二:设f(x)= x2+(m-3)x+m,要使二次函数与x轴 的交点分别在x轴的正、负半轴,由图像知只需满足:
y

f ( 0 )= m < 0

? ?m

m ? 0?
x

问题六:方程满足下列条件x2+(m-3)x+m=0,求 m的范围。 (7) 一个根大于1,一个根小于1
解:设f(x)= x2+(m-3)x+m,要使二次函数与x轴的交 点在x轴上1的两边,由图像知只需满足以下条件:
y

f(1)=2m-2 <0

?

?m m ? 1?
1
x

问题六:方程满足下列条件x2+(m-3)x+m=0,求 m的范围。 (8) 两个根有且仅有一个在(0 ,2)内
解:设f(x)= x2+(m-3)x+m,要使二次函数与x轴的交 点有且只有一个在0与2的之间,由图像知只需满足以 下条件:
y

f(0)f(2)=m(3m-2) <0 ? ? m 0 ? m ? 2 ? ? O 2 ? x
? 3?

问题六:方程满足下列条件x2+(m-3)x+m=0,求 m的范围。
(9) 一个根在(-2 ,0)内,另一个根在(1 ,3)内
解:设f(x)= x2+(m-3)x+m,要使二次函数与x轴的交 点一个在-2与0的之间,一个在1与3之间,由图像知 y 只需满足以下条件:

? ? ? ? ? ? ?

f ( ? 2 ) ? ? m ? 10 ? 0 f (0) ? m ? 0 f (1) ? 2 m ? 2 ? 0 f (3) ? 4 m ? 0 ?
-2

O

1

3

x

?

问题六:方程满足下列条件x2+(m-3)x+m=0,求 m的范围。
(10)一个根在(-2 ,0)内,另一个根在(0 ,4)内

解:设f(x)= x2+(m-3)x+m,要使二次函数与x轴的交 点一个在-2与0的之间,一个在0与4之间,由图像知 只需满足以下条件:
y

? f ( ? 2 ) ? ? m ? 10 ? 0 ? ? ? f (0) ? m ? 0 ? f (4) ? 5m ? 4 ? 0 ?

4 ? ? ? m ? 0? ?m ? -2 O 5 x 4 ? ?

问题六:方程满足下列条件x2+(m-3)x+m=0,求 m的范围。
(11)一个根小于2,一个根大于4

解:设f(x)= x2+(m-3)x+m,要使二次函数与x轴的交 点一个在2以左,一个在4以右,由图像知只需满足以 下条件: y

4? ? ? f (2) ? 3m ? 2 ? 0 ? ? m m ? ? ?x O 2 4 ? 5? ? f (4) ? 5m ? 4 ? 0 ?

根据研究,请解决以下问题: 1、当一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根分布 在同一个区间内时,限定时要考虑哪些方面?
y y y

k

x

k

x

k1 O

k2 x

判别式、对称轴、区间端点对应的函数值

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)根的分布
两个根都小于k 两个根都大于k
y

两个根都在(k1 .k2)内
y



y

k

x

k

x

k1 O

k2 x


?? ? 0 ? b ? ? k ?? 2a ? ? f (k ) ? 0 ? ?? ? ? ?? ? ? f ? ? 0 b 2a (k ) ? 0 ? k
?? ? 0 ? b ? k1 ? ? ? k2 ? 2a ? ? f (k ) ? 0 1 ? ? f (k 2 ) ? 0 ?

2、当一元二次方程的根分布在不同的区间时, 限定要考虑哪些方面?
y

y

y

k
x O k1

k2

x

k1

k2 p1 p2 x

区间端点对应的函数值一般可以作出简洁限制。

3、由此请你总结解决一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)实根分布的方法、步骤:
(1)确定方程根是在同一区间还是不同区间; (2)分别用相应的限制规律得到相应不等式 (组); (3)求解不等式即得相应参数的范围。

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)根的分布
一个根小于k,一个 根大于k
y

两个根有且仅有 一个在(k1 .k 2 )内
y

x 1∈(k1,k2) x∈(p1,p2) 2
y

k
x

O k1

k2

x

k1

k2 p1 p2 x

小 结
f(k)<0 , f(k )f(k )<0
1 2

? ? ? ? ? ? ?

f ( k1 ) ? 0 f ( k2 ) ? 0 f ( p1 ) ? 0 f ( p2 ) ? 0

问题七:应用 x x 例 1 若方程 4 ? ( m ? 3 ) 2 ? m ? 0 有两个相异实
根,求 m 的取值范围。
思路:通过换元,转化为一元二次方程根的分布问题

解:设t=2x,则t∈(0,+∞)
t ? ( m ? 3) t ? m ? 0
2
2

(1)

问题转化为方程(1)有两相异正实根,求m的取值范围。
设 f ( t ) ? t ? ( m ? 3) t ? m ,则
? ? =(3 -m ) 2 -4 m ? 0 ? b 3 -m ? => 0 ? 0 < m ? 1 ? { m |0 < m ? 2a 2 ? 也可用韦达定理法 f ( 0 )= m > 0 ? ?

? 1}

问题八:
例 2 若关于 x 的不等式 x ? 4 x ? m 对任意 x∈
2
2

? 0 ,1? 恒成立,求 m 的取值范围。
解法一、原不等式化为 x ? 4 x ? m ? 0 ,
设 f ( x ) ? x ? 4x ? m ,
2

要 f ( x ) ? 0 对 x∈ ? 0 ,1 ? 恒成立,因 f ( x ) 的图像 开口向上,则只需要方程 f ( x ) ? 0 无实根或两实 根在 ? 0 ,1 ? 之外,
y

? ? ? 16 ? 4m ? 0 ? 2 ?1 ∴ ? ? 16 ? 4 m ? 0 或 ? ? f (1 ) ? ?3 ? m ? 0 ?

O ∴ m ? ?3 1

x

问题八:
例 2 若关于 x 的不等式 x ? 4 x ? m 对任意 x∈
2

? 0 ,1? 恒成立,求 m 的取值范围。
解法二、∵ x ? 4 x ? m 对任意 x∈ ? 0 ,1 ? 恒成立
2

∴只需 m ? ? x ? 4 x ? ,x∈ ? 0 ,1 ? ? ? m in
2

设 g ( x ) ? x ? 4 x , x ? ? 0 ,1 ? , g ( x ) 在 ? 0 ,1 ? ∵
2

单调递减,
∴ g ( x )m in ? g ( 1 ) ? ? 3 ,∴ m ? ? 3 。

此法叫分离参数法。

练习:
2

1.m 为何值时,方程 2 x ? 4 m x ? 3 m ? 1 ? 0 有两 个负实根。 2.关于 x 的方程 3 x ? 5 x ? a ? 0 的一根大于-2 小于 0,另一根大于 1 小于 3,求 a 的范围。
2

3.关于 x 的方程 ( 1 ? m )x ? 2 m x ? 1 ? 0 ,一根
2 2

小于 0,另一根大于 1,求 m 的取值范围。
1.
1 3 ? m ? 1 2 或m ? 1

2.-12<a<0

3.-1<m<0

思考:
4、若不等式 8x
4

? 8(a - 2)x

2

-a ? 5 ? 0 a 的取值范围。

对于任意实数

x 均成立,求实数

1 2

< a< 5
2

5、已知 函数 f(x) ? x ? (k - 4)x - 2k ? 4 当 - 1 ? k ? 1时, f(x) 的值恒大于零, 求 x 的取值范围。

X<1或x>3

反思归纳,拓展深化
1、通过本节课的学习,你对一元二次方程根的分 布有什么认识? 2、你又掌握了哪些解决问题的方法? 3、你能解决可化为一元二次方程实根分布相关的 问题吗?

课后作业
1、 完成练习或思考; 2、 研究二次项系数 a 由“a>0” 变为 “a≠0” 时对应的规律; 3、 思考“分离参数法” ,查阅相关资料,为 以后学习、解决恒成立问题作一些准备。

祝愿同学们学业有成!健康成长!

问题六:方程满足下列条件x2+(m-3)x+m=0,

求m的范围。
(4) 一个正根,一个负根且正根绝对值较大
解法一:设方程的两实根分别为x1、x2,则

?? ? ( m ? 3 ) ? 4m ? 0 ? ? x1 ? x 2 ? 3 ? m ? 0 ?x x ? m ? 0 ? 1 2
2

? ?m

m ? 0?

问题六:方程满足下列条件x2+(m-3)x+m=0,

求m的范围。
(4) 一个正根,一个负根且正根绝对值较大
解法二:设f(x)= x2+(m-3)x+m,要使二次函数与x轴 的交点分别在x轴的正、负半轴且对称轴在y轴右侧,由 图像知只需满足:

? =>0 ?2 ? 2a ? f ( 0 )= m < 0 ? b 3 -m

y

??m

mx ? 0 ?


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