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2014·新课标高考总复习·数学2-7对数与对数函数


2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

第七节

对数与对数函数

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1.对数的定义 一般地,对于指数式ab =N,我们把“以a为底N的对数b”记作 logaN ,即b= logaN (a>0,且a≠1),其中,数 a 叫做对数的底数, N 叫做真数. 2.两种常见对数

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二、对数的性质与运算法则
1.对数的性质(a>0且a≠1) (1)0和负数没有对数,

即N>0;
(2)1的对数为0,即loga 1= 0 ; (3)底的对数等于1,即loga a= 1 ; (4)aloga N= N ,loga aN=N. 2.对数的重要公式

(1)换底公式:



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三、对数函数
1.对数函数的定义 一般地,我们把函数y= logax(a>0,a≠1,x>0) 叫做对数函数,其 中 x 是自变量. 2.对数函数的图象与性质

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四、反函数 指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数y= 反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称. logax (a>0且a≠1)互为

[疑难关注] 1.对数函数图象上的三个关键点 画对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)的图象时抓住三个关键点为:
?1 ? ? ,-1?. (a,1)(1,0) ?a ?

2.解对数函数问题易忽视的两点 (1)注意函数的定义域; (2)注意对数底数的取值范围.
3.对数值取正、负的规律 当a>1且b>1或0<a<1且0<b<1时,logab>0; 当a>1且0<b<1或0<a<1且b>1时,logab<0.
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lg 2+lg 5-lg 8 1.(课本习题改编)化简 为( lg 5-lg 4 A.1 1 C. 2 B.-1 1 D.- 2

)

2×5 5 lg lg 8 4 解析:原式= = =1. 5 5 lg lg 4 4
答案:1

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1 2.(2013 年济南模拟)函数 y=lg 的大致图象为( |x+1|

)

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解析:由题知该函数的图象是由函数y=-lg|x|的图象左移一个单 位得到的,故其图象为D. 答案:D

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?1? -0.8 3.(2012 年高考天津卷)已知 a=2 ,b=? ? ,c=2log52,则 a, ? 2?
1.2

b,c 的大小关系为( A.c<b<a C.b<a<c

) B.c<a<b D.b<c<a

解析:利用中间值判断大小.
?1? b= ? ? - 0.8 =20.8<21.2 =a,c=2log52=log522<log55=1<20.8 =b,故 ?2?

c<b<a.
答案:A

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4.(课本习题改编)函数y=loga(x-2)+1(a>0且a≠1)的图象恒过一 定点是________. 解析:∵y=logax恒过定点(1,0),故y=loga(x-2)+1的图象恒过 定点(3,1). 答案:(3,1)

1 5.(2013 年安阳月考)若 y=(log a)x 在 R 上为减函数,则 a 的取值 2 范围是________.
1 1 解析:由题意知 0<log a<1,解得 <a<1. 2 2
?1 ? 答案:? ,1? ?2 ?

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考向一 对数式的化简求值 [例 1] 1 A. 4 C.2 (1)(2012 年高考安徽卷)(log29)· 34)=( (log 1 B. 2 D.4
a b

)

1 1 (2)(2013 年唐山模拟)已知 2 =5 = 10,则 + =( a b 1 A. 2 C. 2 B.1 D.2

)

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[解析]
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(1)利用对数的运算法则求解.

lg 9 lg 4 2lg 3· 2 2lg 解法一 原式= · = =4. lg 2 lg 3 lg 2· 3 lg log24 解法二 原式=2log23· =2×2=4. log23 (2)2a=5b= 10,∴a=log2 10,b=log5 1 1 + =log a b
102+log 105=log 1010=2.故选

10,利用换底公式可得:

D.

[答案] (1)D (2)D

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?ex, x≤1, 1.(2013 年济南模拟 )设 f(x)= ? 则 f(ln 3)= ?f?x-1?, x>1,

________.
3 解析:f(ln 3)=f(ln 3-1)=eln 3- 1=eln 3·-1= . e e
3 答案: e

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考向二 对数函数的图象与性质 [例 2] (2013 年南昌模拟)函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y= 1 log f(x)的图象大致是( 2 )

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1 [解析] 由函数 y=f(x)的图象知,当 x∈(0,2)时,f(x)≥1,所以 log 2 1 f(x)≤0.又函数 f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以 y=log 2 f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,2)上是减函数.结合各选项知,选 C.
[答案] C

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1 2.(2013 年沈阳三校联考)已知函数 f(x)=log |x-1|,则下列结论正 2 确的是( )
? 1? B.f(0)<f?- ?<f(3) ? 2? ? 1? D.f(3)<f(0)<f?- ? ? 2?

? 1? A.f?- ?<f(0)<f(3) ? 2? ? 1? C.f(3)<f?- ?<f(0) ? 2?

1 1 ? 1? 13 1 解析:依题意得,f(3)=log 2=-1<0,log 2<f?- ?=log <log 1, 2 2 ? 2? 22 2
? 1? 1 ? 1? ?- ?<0,又 f(0)=log 1=0,因此有 f(3)<f?- ?<f(0),选 C. 即-1<f 2 ? 2? ? 2?

答案:C

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考向三 对数函数的综合应用 [例 3]
?1 ? ? ,2?都 已知 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),如果对于任意的 x∈ ?3 ?

有|f(x)|≤1 成立,试求 a 的取值范围.
[解析] ∵f(x)=logax,
? ? 1? ? 1 ?f? ? ?-|f(2)|=loga +loga2 当 0<a<1 时, 3 3 ? ? ??

2 =loga >0, 3
? ? 1? ? 1 当 a>1 时,?f?3? ?-|f(2)|=-loga -loga2 3 ? ? ??

2 =-loga >0, 3
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? ? 1?? ∴?f?3??>|f(2)|总成立. ? ? ??

则 y=|f(x)|的图象如图.
?1 ? 要使 x∈? ,2? 时恒有|f(x)|≤1, ?3 ? ? ? 1? ? 1 只需?f?3??≤1,即-1≤loga ≤1, 3 ? ? ??

1 即 logaa ≤loga ≤logaa, 3
-1

1 即当 a>1 时,得 a ≤ ≤a,即 a≥3; 3
-1

1 1 当 0<a<1 时,得 a ≥ ≥a,得 0<a≤ . 3 3 ? 1? ?0, ?∪[3,+∞). 综上所述,a 的取值范围是 3? ?
-1

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本例条件若变为“在[2,+∞)上恒有f(x)>1成立”,求a的取值范 围. 解析:由题意知a>1时,f(x)为增函数. ∴当x∈[2,+∞)时f(x)≥loga2故要f(x)>1,只需loga2>1,即1<a<2. ∴a的取值范围是(1,2).

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【易错警示】 忽视定义域导致求值错误 x 【典例】 已知 lg x+lg y=2 lg(x-2y),求 的值. y

【错解】 因为 lg x+lg y=2lg(x-2y),所以 xy=(x-2y)2,即 x2- 5xy+4y2=0. x x 所以(x-y)(x-4y)=0,解得 x=y 或 x=4y,所以 =1 或 =4. y y 【错因】 错解中,lg x+lg y=2lg(x-2y)与xy=(x-2y)2对x,y
的取值范围要求是不相同的,即求解过程不等价,因此,得出解后要 代入原方程验证,这是求解过程中最易忽略的地方.
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x x 【解析】 同上,得到 =1 或 =4. y y x 由已知等式知,x>0,y>0,x-2y>0,而当 =1 时,x-2y<0,此时 y x x lg(x-2y)无意义,所以 =1 不合题意,应舍去;当 =4 时,将 x=4y 代 y y x 入已知条件,符合题意,所以 =4. y
【防范指南】 解决与对数有关的问题不论是求值,还是研究其
图象、性质、应用等问题时,首先要考虑的是保证各对数式有意义, 否则会造成错解.

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1 1. (2012 年高考大纲全国卷)已知 x=ln π, y=log52, z=e- , 则( 2 A.x<y<z C.z<y<x B.z<x<y D.y<z<x

)

解析:利用指数函数、对数函数的单调性求解. ∵x=ln π>ln e,∴x>1. 1 ∵y=log52<log5 5,∴0<y< . 2 1 1 1 1 1 ∴z=e- = > = ,∴ <z<1. 2 2 e 4 2 综上可得,y<z<x.
答案:D
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1 2.(2012 年高考课标全国卷)当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范 2 围是( )
? 2 ? ? ,1? B. ?2 ?

? 2? ?0, ? A. 2 ? ?

C.(1, 2)

D.( 2,2)

解析:利用指数函数和对数函数的性质求解. 1 ∵0<x≤ ,∴1<4x≤2,∴logax>4x>1,∴0<a<1,排除答案 C,D; 2 1 1 1 11 取 a= ,x= ,则有 4 =2,log =1,显然 4x<logax 不成立,排 2 2 2 22 除答案 A;故选 B.
答案:B
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3.(2012年高考北京卷)已知函数f(x)=lg x,若f(ab)=1,则f(a2) +f(b2)=________. 解析:利用对数的运算性质求解. ∵f(x)=lg x,∴f(a2)+f(b2)=2lg a+2lg b=2lg ab. 又f(ab)=1,∴lg ab=1,∴f(a2)+f(b2)=2.

答案:2

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