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新高一暑假作业数学


初高中衔接从观念开始
——致高一新同学
需要讨论的同学请加入礼嘉中学 2015 级数学群 109754984

现有初高中数学教材存在以下“脱节” : 1、绝对值型方程和不等式,初中没有讲,高中没有专门的内容却在使用; 2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲,而高中还在使用; 3、因式分解中,初中主要是限于二次项系数为 1 的二次三项式的分

解,对系数不为 1 的涉及不多, 而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求; 高中教材中许多化简求值都要 用到它,如解方程、不等式等; 4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中数学中 函数、不等式常用的解题技巧; 5 初中教材对二次函数的要求较低,学生处于了解水平。而高中则是贯穿整个数学教材 的始终的重要内容;配方、作简图、求值域(取值范围) 、解二次不等式、判断单调区间、 求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法; 6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系,根与系数的关系(韦达定理)初中 不作要求,此类题目仅限于简单的常规运算,和难度不大的应用题,而在高中数学中,它们 的相互转化屡屡频繁,且教材没有专门讲授,因此也脱节; 7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍,而在高中讲授函数时,则作为必备的基 本知识要领; 8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解,高中则作为重点,并无专 题内容在教材中出现,是高考必须考的综合题型之一; 9、几何中很多概念(如三角形的五心:重心、内心、外心、垂心、旁心)和定理(平 行线等分线段定理、 平行线分线段成比例定理、 射影定理、 相交弦定理) 初中早就已经删除, 大都没有去学习; 10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习,高中则在使用。 另外, 像配方法、 换元法、 待定系数法、 双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化, 甚至老师根本没有去延伸发掘,不利于高中数学的学习。 新的课程改革,难免会导致很多知识的脱节和漏洞,本书当然也没有详尽列举出来。我 们会不断的研究新课程及其体系,将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不 足,加以补充和完善。

欢迎广大读者提出宝贵意见,我们将不胜感激! 重心:中线的交点 内心:角平分线的交点,内切圆的圆心 外心:中垂线的交点,外接圆的圆心 垂心:高的交点

第一讲
一、乘法公式

数与式的运算

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (1)平方差公式 (2)完全平方公式

(a ? b)(a ? b) ? a2 ? b2 ; (a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 .

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式(高中经常使用 ) : ...... (1)立方和公式 (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 ; (2)立方差公式 (3)三数和平方公式 (4)两数和立方公式 (5)两数差立方公式

(a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 ; (a ? b ? c)2 ? a2 ? b2 ? c2 ? 2(ab ? bc ? ac) ; (a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 ; (a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 .

对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明. 【例 1】计算: ( x ? 1)( x ?1)( x2 ? x ? 1)( x2 ? x ? 1) .
2 2 2 2 解法一:原式= ( x ? 1) ? ?( x ? 1) ? x ? ?

6 = ( x2 ?1)( x4 ? x2 ? 1) = x ? 1 .

解法二:原式= ( x ? 1)( x2 ? x ? 1)( x ?1)( x2 ? x ? 1)
6 3 3 = ( x ? 1)( x ? 1) = x ? 1 .

【例 2】已知 a ? b ? c ? 4 , ab ? bc ? ac ? 4 ,求 a ? b ? c 的值.
2 2 2

解: a2 ? b2 ? c2 ? (a ? b ? c)2 ? 2(ab ? bc ? ac) ? 8 . 二、根式 一般地,形如 a (a ? 0) 的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方
2 2 2 的式子称为无理式. 例如 3a ? a ? b ? 2b , a ? b 等是无理式,而 2 x ?
2

2 x ?1, 2

x2 ? 2 xy ? y 2 , a2 等是有理式.
1.分母(子)有理化 把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化,需 要引入有理化因式的概念. 两个含有二次根式的代数式相乘, 如果它们的积不含有二次根式, 我们就说这两个代数式互为 有理化因式 ,例如

2 与 2 ,3 a 与 a , 3? 6 与
一般地, a x 与

3 ? 6 , 2 3 ? 3 2 与 2 3 ? 3 2 ,等等.

x , a x ?b y 与

a x ? b y , a x ? b 与 a x ? b 互为有理化因式.
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程; 而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中, 二次根式的乘法可参照多项式乘法进行, 运算中要运

用公式 a b ?

ab (a ? 0, b ? 0) ;而对于二次根式的除法,通常先写成分式的形式,然

后通过分母有理化进行运算; 二次根式的加减法与多项式的加减法类似, 应在化简的基础上 去括号与合并同类二次根式. 2.二次根式 a2 的意义

a2 ? a ? ?

?a, a ? 0, ??a, a ? 0.

【例 1】将下列式子化为最简二次根式: (1) 12b ; (2) a2b (a ? 0) ;
6 (3) 4 x y ( x ? 0) .

解: (1) 12b ? 2 3b ; (2) a b ? a
2

b ? a b (a ? 0) ;
3

(3) 4 x y ? 2 x
6

y ? ?2 x3 y ( x ? 0) .

【例 2】计算: 3 ? (3 ? 3) . 解法一:

3? (3 ?

3= )


3 3? 3



3 ? (3 ? 3) (3 ? 3)(3 ? 3)

3 ?1 3 3 ? 3 3( 3 ? 1) = = . 2 9?3 6

解法二:

3? (3 ?

3= )


3 3? 3



1 3 = 3 ?1 3( 3 ? 1)

3 ?1 3 ?1 = . 2 ( 3 ? 1)( 3 ? 1)
2 和 2 2- 6 . 6?4

【例 3】试比较下列各组数的大小: (1) 12 ? 11 和 11 ? 10 ; (2) 解: (1)∵ 12 ? 11 ?

12 ? 11 ( 12 ? 11)( 12 ? 11) 1 , ? ? 1 12 ? 11 12 ? 11 11 ? 10 ( 11 ? 10)( 11 ? 10) 1 , ? ? 1 11 ? 10 11 ? 10

11 ? 10 ?

又 12 ? 11 ? 11 ? 10 ,∴ 12 ? 11 < 11 ? 10 . (2)∵ 2 2- 6 ? 又 4>2 2,

2 2- 6 (2 2- 6)(2 2 + 6) 2 ? ? , 1 2 2+ 6 2 2+ 6
∴ 6+4> 6+2 2, ∴

2 < 2 2- 6 . 6?4

说明:(1)二次根式的化简结果应满足:①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被 开方数不含能开得尽方的因数或因式。

(2)二次根式的化简常见类型有下列两种:①被开方数是整数或整式。化简时,先将它分解 因数或因式,然后把开得尽方的因数或因式开出来;②分母中有根式(如 数有分母(如

3 2? 3

)或被开方

a x x x ).这时可将其化为 形式(如 可化为 ) ,转化为 “分母中有根 2 2 b 2

式”的情况.化简时,要把分母中的根式化为有理式,采取分子、分母同乘以一个根式进 行化简.(如

3 2? 3

化为

3(2 ? 3) (2 ? 3)(2 ? 3)

,其中 2 ? 3 与 2 ? 3 叫做互为有理化因式 )。 .....

【例 4】化简: ( 3 ? 2)2004 ? ( 3 ? 2)2005 . 解: ( 3 ? 2)2004 ? ( 3 ? 2)2005 = ( 3 ? 2)2004 ? ( 3 ? 2)2004 ? ( 3 ? 2) = ?( 3 ? 2) ? ( 3 ? 2) ?
2004

?

?

? ( 3 ? 2) = 12004 ? ( 3 ? 2) = 3 ? 2 .
(2) x ?
2

【例 5】化简: (1) 9 ? 4 5 ; 解: (1)原式 ? 5 ? 4 5 ? 4 ?

1 ? 2(0 ? x ? 1) . x2

( 5) 2 ? 2 ? 2 ? 5 ? 22

? (2 ? 5) 2 ? 2 ? 5 ? 5 ? 2 .
(2)原式= ( x ? ) ? x ?
2

1 x

1 , x

∵ 0 ? x ? 1 ,∴ 【例 6】已知 x ? 解: ∵ x ? y ?

1 1 ? 1 ? x ,所以,原式= ? x . x x

3? 2 3? 2 2 2 ,求 3x ? 5xy ? 3 y 的值 . ,y? 3? 2 3? 2 3? 2 3? 2 ? ? ( 3 ? 2)2 ? ( 3 ? 2)2 ? 10 , 3? 2 3? 2

xy ?
2

3? 2 3? 2 ? ?1, 3? 2 3? 2
2 2 2

∴ 3x ? 5xy ? 3 y ? 3( x ? y) ?11xy ? 3?10 ?11 ? 289 .

第二讲
一、公式法(立方和、立方差公式)

因式分解

在第一讲里,我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式:

(a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 (立方和公式) (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 (立方差公式)
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形,所以把整式乘法公式反过来写,就得到:

a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 )
这就是说, 两个数的立方和(差), 等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的 差(和)。 运用这两个公式,可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解。 【例 1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式: (1) 8 ? x
3 3

(2) 0.125 ? 27b

3

分析: (1)中, 8 ? 2 ,

(2)中 0.125 ? 0.53 , 27b3 ? (3b)3 。

解: (1) 8 ? x3 ? (2 ? x)(4 ? 2x ? x 2 ) ; (2) 0.125 ? 27b ? (0.5 ? 3b)(0.25 ? 1.5b ? 9b ) .
3

2

说 明 : (1) 在 运 用 立 方 和 ( 差 ) 公 式 分 解 因 式 时 , 经 常 要 逆 用 幂 的 运 算 法 则 , 如

8a3b3 ? (2ab)3 ,这里逆用了法则 (ab)n ? a n bn ;
(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时,一定要看准因式中各项的符号。

二、分组分解法 从前面可以看出,能够直接运用公式法分解的多项式,主要是二项式和三项式。而对于 四项以上的多项式, 如 ma ? mb ? na ? nb 既没有公式可用, 也没有公因式可以提取。 因此, 可以先将多项式分组处理。 这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法。 分组分解法的 关键在于如何分组。 1.分组后能提取公因式 【例 2】把 2ax ? 10ay ? 5by ? bx 分解因式。 解法一: 2ax ? 10ay ? 5by ? bx ? 2a( x ? 5 y) ? b( x ? 5 y) ? (2a ? b)(x ? 5 y) . 解法二: 2ax ? 10ay ? 5by ? bx = x(2a ? b) ? 5 y (2a ? b) ? (2a ? b)(x ? 5 y ) . 【例 3】把 ab(c ? d ) ? (a ? b )cd 分解因式。
2 2 2 2 2 2 2 2 解: ab(c ? d ) ? (a ? b )cd = abc ? abd ? a cd ? b cd
2 2 2 2

? ac(bc ? ad) ? bd(ad ? bc) ? (ac ? bd)(bc ? ad) .
2.分组后能直接运用公式 【例 4】把 x ? y ? ax ? ay 分解因式。
2 2

解: x2 ? y 2 ? ax ? ay = ( x ? y)(x ? y) ? a( x ? y) ? ( x ? y)(x ? y ? a) . 【例 5】把 2 x2 ? 4 xy ? 2 y 2 ? 8z 2 分解因式。 解: 2 x2 ? 4 xy ? 2 y 2 ? 8z 2 = 2 ( x2 ? 2 xy ? y 2 ? 4 z 2 ) ? 2[(x ? y) 2 ? (2 z ) 2 ]

? 2( x ? y ? 2z)(x ? y ? 2z) .
三、十字相乘法(高中经常使用 ) ...... 1. x2 ? ( p ? q) x ? pq 型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现,其特点是: (1) 二次项系数是 1;(2) 常数项是两个数之积;(3) 一次项系数是常数项的两个因数 之
2 2





x ? ( p ? q) x ? pq ? x ? px ? qx ? pq ? x( x ? p) ? q( x ? p) ? ( x ? p)( x ? q)
因此, x ? ( p ? q) x ? pq ? ( x ? p)( x ? q)
2

运用这个公式,可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式。 【例 6】分解因式: (1)x2-3x+2; (3) x ? (a ? b) xy ? aby ;
2 2
2

(2)x2+4x-12; (4) xy ? 1 ? x ? y .

解: (1)如图 1.1-1,将二次项 x 分解成图中的两个 x 的积,再将常数项 2 分解成- 1 与-2 的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为-3x,就是 x2-3x+2 中的一次项, 所以,有 x2-3x+2=(x-1)(x-2). x x -1 -2 1 1 -1 -2 1 1 图 1.1-3 -2 6 x x -ay -by

图 1.1-1

图 1.1-2

图 1.1-4

说明:今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图 1.1-1 中的两个 x 用 1 来表 示(如图 1.1-2 所示) . (2)由图 1.1-3,得 x2+4x-12=(x-2)(x+6). (3)由图 1.1-4,得 x ? (a ? b) xy ? aby = ( x ? ay)( x ? by)
2 2

x y

-1 1

(4) xy ? 1 ? x ? y =xy+(x-y)-1 =(x-1) (y+1) (如图 1.1-5 所示) . 2.一般二次三项式 ax ? bx ? c 型的因式分解
2

图 1.1-5

大家知道, (a1 x ? c1 )(a2 x ? c2 ) ? a1a2 x2 ? (a1c2 ? a2 c1 ) x ? c1c2 .反过来,就得到:

a1a2 x2 ? (a1c2 ? a2 c1 ) x ? c1c2 ? (a1 x ? c1 )(a2 x ? c2 )
我们发现,二次项系数 a 分解成 a1a2 ,常数项 c 分解成 c1 c2 ,把 a1 , a2 , c1 , c2 写成

a1 a2

c1 , ?c 2

这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到 a1c2 ? a2 c1 ,如果它正好等于 ax ? bx ? c 的一次项
2

系数 b , 那么 ax ? bx ? c 就可以分解成 (a1 x ? c1 )(a2 x ? c2 ) , 其中 a1 , c1 位于上一行, a2 , c2
2

位于下一行。 这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法。 必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝试,才能确定一 个二次三项式能否用十字相乘法分解。 【例 7】把下列各式因式分解: (1) 12 x ? 5 x ? 2
2

(2) 5x2 ? 6 xy ? 8 y 2

说明:用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是 1 时较困难,具体分解 时,为提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负数,用减法”凑”,看 是否符合一次项系数,否则用加法”凑”,先”凑”绝对值,然后调整,添加正、负号。 小结:一般地,把一个多项式因式分解,可以按照下列步骤进行: (1) 如果多项式各项有公因式,那么先提取公因式; (2) 如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式来分解; (3) 如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解; (4) 分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

第三讲

一元二次方程根与系数的关系

现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、 解法及应用, 而一元二次方程的 根的判断式及根与系数的关系, 在高中教材中的二次函数、 不等式及解析几何等章节有着许 多应用。本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述。 一、一元二次方程的根的判断式 一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ,用配方法将其变形为:

(x ?

b 2 b 2 ? 4ac ) ? 2a 4a 2
2

(1) 当 b ? 4ac ? 0 时,右端是正数。因此,方程有两个不相等的实数根:

x?

?b ? b 2 ? 4ac 2a
b 2a

2 (2) 当 b ? 4ac ? 0 时,右端是零。因此,方程有两个相等的实数根: x1,2 ? ?

(3) 当 b ? 4ac ? 0 时,右端是负数。因此,方程没有实数根。
2

由于可以用 b ? 4ac 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况。因此,把 b ? 4ac 叫做
2 2

一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的根的判别式,表示为: ? ? b ? 4ac
2

【例1】判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数),如果方程有实数根,写出方程 的实数根. (1)x2-3x+3=0; (3) x2-ax+(a-1)=0; (2)x2-ax-1=0; (4)x2-2x+a=0.

解:(1)∵Δ=32-4× 1× 3=-3<0,∴方程没有实数根. (2)该方程的根的判别式Δ=a2-4× 1× (-1)=a2+4>0,所以方程一定有两个不等的实数 根

x1 ?

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 , x2 ? . 2 2

(3)由于该方程的根的判别式为 Δ=a2-4× 1× (a-1)=a2-4a+4=(a-2)2, 所以, ①当a=2时,Δ=0,所以方程有两个相等的实数根 x1=x2=1;

②当a≠2时,Δ>0, 所以方程有两个不相等的实数根 x1=1,x2=a-1. (3)由于该方程的根的判别式为 Δ=22-4× 1× a=4-4a=4(1-a), 所以 ①当Δ>0,即4(1-a) >0,即a<1时,方程有两个不相等的实数根

x1 ? 1 ? 1 ? a , x2 ? 1 ? 1 ? a ;
②当Δ=0,即a=1时,方程有两个相等的实数根 x1=x2=1; ③当Δ<0,即a>1时,方程没有实数根. 说明:在第 3,4 小题中,方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而变化,于是,在 解题过程中,需要对 a 的取值情况进行讨论,这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想 方法是高中数学中一个非常重要的方法,在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问 题. 二、一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理) 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根

x1 ?
则有

?b ? b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac , x2 ? , 2a 2a

x1 ? x2 ?
x1 x2 ?

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac ?2b b ? ? ?? ; 2a 2a 2a a

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac b 2? (b 2? 4ac) 4ac c ? ? ? 2? . 2a 2a 4a 2 4a a
b c ,x1· x2= .这 a a

所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系: 如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x1,x2,那么 x1 ? x 2 ? ? 一关系也被称为韦达定理. 特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0,若x1,x2是其两根,由韦 达定理可知 x1+x2=-p,x1· x2=q, 即 p=-(x1+x2),q=x1· x2, 所以,方程x2+px+q=0可化为 x2-(x1+xx2=0,由于x1,x2是一元二次方程x2+px+q=0的两根,所以,x1,x2也是一元二次 2)x+x1· 方程x2-(x1+x2)x+x1· x2=0.因此有 以两个数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1· x2=0.

【例 2】已知方程 5 x ? kx ? 6 ? 0 的一个根是2,求它的另一个根及k的值.
2

分析:由于已知了方程的一个根,可以直接将这一根代入,求出k的值,再由方程解出另一 个根.但由于我们学习了韦达定理,又可以利用韦达定理来解题,即由于已知了方程的一 个根及方程的二次项系数和常数项,于是可以利用两根之积求出方程的另一个根,再由两 根之和求出k的值. 解法一:∵2是方程的一个根,∴5× 22+k× 2-6=0,∴k=-7. 所以,方程就为5x2-7x-6=0,解得x1=2,x2=- 所以,方程的另一个根为-

3 . 5

3 ,k的值为-7. 5 6 3 ,∴x1=- . 5 5

解法二:设方程的另一个根为x1,则 2x1=-

3 k )+2=- ,得 k=-7. 5 5 3 所以,方程的另一个根为- ,k的值为-7. 5
由 (- 【例3】已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根,并且这两个实数根的平 方和比两个根的积大21,求m的值. 分析: 本题可以利用韦达定理,由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程,从 而解得m的值.但在解题中需要特别注意的是,由于所给的方程有两个实数根,因此,其 根的判别式应大于零. 解:设x1,x2是方程的两根,由韦达定理,得 x1+x2=-2(m-2),x1· x2=m2+4. ∵x12+x22-x1· x2=21, ∴(x1+x2)2-3 x1· x2=21, 即 [-2(m-2)]2-3(m2+4)=21, 化简,得 m2-16m-17=0, 解得 m=-1,或m=17. 当m=-1时,方程为x2+6x+5=0,Δ>0,满足题意; 当m=17时,方程为x2+30x+293=0,Δ=302-4× 1× 293<0,不合题意,舍去. 综上,m=17. 【例 4】已知两个数的和为4,积为-12,求这两个数. 分析:我们可以设出这两个数分别为x,y,利用二元方程求解出这两个数.也可以利用韦

达定理转化出一元二次方程来求解. 解法一:设这两个数分别是x,y, 则 x+y=4, xy=-12. ② ①

由①,得 y=4-x, 代入②,得 x(4-x)=-12, 即 x2-4x-12=0,

∴x1=-2,x2=6. ∴?

? x1 ? ?2, ? x2 ? 6, 或? ? y1 ? 6, ? y2 ? ?2.

因此,这两个数是-2和6. 解法二:由韦达定理可知,这两个数是方程x2-4x-12=0的两个根. 解这个方程,得x1=-2,x2=6. 所以,这两个数是-2和6. 【例 5】若x1和x2分别是一元二次方程2x2+5x-3=0的两根. (1)求| x1-x2|的值; (2)求

1 1 ? 2 的值;(3)x13+x23. 2 x1 x2

解:∵x1和x2分别是一元二次方程2x2+5x-3=0的两根, ∴ x1 ? x2 ? ?

5 3 , x1 x2 ? ? . 2 2

(1)∵| x1-x2|2=x12+ x22-2 x1x2=(x1+x2)2-4 x1x2= (? ) ? 4 ? (? ) =
2

5 2

3 2

49 25 +6= , 4 4

∴| x1-x2|=

7 . 2
5 3 25 (? ) 2 ? 2 ? (? ) ?3 37 2 2 ? 4 ? 3 9 9 (? )2 2 4

x 2 ? x 2 ( x ? x2 )2 ? 2 x1 x2 1 1 (2) 2 ? 2 ? 1 2 22 ? 1 ? x1 x2 x1 ? x2 ( x1 x2 )2

(3)x13+x23=(x1+x2)( x12-x1x2+x22)=(x1+x2)[ ( x1+x2) 2-3x1x2] =(-

5 5 3 215 )× [(- )2-3× ( ? )]=- . 2 2 2 8

设x1和x2分别是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),则

x1 ?

?b ? b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac , x2 ? , 2a 2a

∴| x1-x2|=

?b ? b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac 2 b 2 ? 4ac b2 ? 4ac ? . ? ? ? ? 2a 2a 2a |a| |a|
2

于是有下面的结论:若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0),则| x1-x2|=

? 2 (其中 Δ=b -4ac). |a|
【例 6】若关于 x 的一元二次方程 x2-x+a-4=0 的一根大于零、另一根小于零,求实数 a 的取值范围. 解:设 x1,x2 是方程的两根,则 x1x2=a-4<0, 且 Δ=(-1) -4(a-4)>0. 由①得 由②得 a<4, 17 a< .∴a 的取值范围是 a<4. 4
2

① ②

第四讲 二次函数的最值问题
二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0) 是初中函数的主要内容,也是高中学习的重要基 础.在初中阶段大家已经知道:二次函数在自变量 x 取任意实数时的最值情况(当 a ? 0 时, 函数在 x ? ? 最大值

b b 4ac ? b 2 处取得最小值 ,无最大值;当 a ? 0 时,函数在 x ? ? 处取得 2a 2a 4a

4ac ? b 2 ,无最小值. 4a

本节我们将在这个基础上继续学习当自变量 x 在某个范围内取值时, 函数的最值问题. 同时 还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用. 【例 1】当 ?2 ? x ? 2 时,求函数 y ? x2 ? 2x ? 3 的最大值和最小值. 分析:作出函数在所给范围的及其对称轴的草图,观察图象的最高点和最低点,由此得 到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 x 的值. 解:作出函数的图象.当 x ? 1 时, ymin ? ?4 ,当 x ? ?2 时, ymax ? 5 .

2 【例 2】当 1 ? x ? 2 时,求函数 y ? ? x ? x ? 1 的最大值和最小值.

解:作出函数的图象.当 x ? 1 时, ymin ? ?1,当 x ? 2 时, ymax ? ?5 . 由上述两例可以看到, 二次函数在自变量 x 的给定范围内, 对应的图象是抛物线上的一 段.那么最高点的纵坐标即为函数的最大值,最低点的纵坐标即为函数的最小值. 根据二次函数对称轴的位置, 函数在所给自变量 x 的范围的图象形状各异. 下面给出一 些常见情况:

【例 3】当 x ? 0 时,求函数 y ? ? x(2 ? x) 的取值范围.
2 解:作出函数 y ? ? x(2 ? x) ? x ? 2x 在 x ? 0 内的图象.

可以看出:当 x ? 1 时, ymin ? ?1,无最大值. 所以,当 x ? 0 时,函数的取值范围是 y ? ?1 . 【例 4】当 t ? x ? t ? 1 时,求函数 y ?

1 2 5 x ? x ? 的最小值(其中 t 为常数). 2 2

分析:由于 x 所给的范围随着 t 的变化而变化,所以需要比较对称轴与其范围的相对位 置.

解:函数 y ?

1 2 5 x ? x ? 的对称轴为 x ? 1 .画出其草图. 2 2
当 x ? t 时, ymin ?

(1) 当对称轴在所给范围左侧.即 t ? 1 时:

1 2 5 t ?t ? ; 2 2

(2) 当对称轴在所给范围之间.即 t ? 1 ? t ? 1 ? 0 ? t ? 1 时:

1 2 5 ? 1 ? 1 ? ? ?3 ; 2 2 (3) 当对称轴在所给范围右侧.即 t ? 1 ? 1 ? t ? 0 时: 1 5 1 2 2 当 x ? t ? 1 时, ymin ? (t ? 1) ? (t ? 1) ? ? t ? 3 . 2 2 2
当 x ? 1 时, ymin ?

?1 2 ? 2 t ? 3, t ? 0 ? 综上所述: y ? ? ?3, 0 ? t ? 1 ?1 5 ? t2 ? t ? ,t ? 1 2 ?2
在实际生活中,我们也会遇到一些与二次函数有关的问题: 【例 5】某商场以每件 30 元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品每天的销售量

m (件)与每件的销售价 x (元)满足一次函数 m ? 162 ? 3x,30 ? x ? 54 .
(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件销售价 x 之间的函数关系式; (2) 若商场要想每天获得最大销售利润,每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利 润为多少? 解:(1) 由已知得每件商品的销售利润为 ( x ? 30) 元, 那么 m 件的销售利润为 y ? m( x ? 30) ,又 m ? 162 ? 3x .

? y ? ( x ? 30)(162 ? 3x) ? ?3x2 ? 252x ? 4860,30 ? x ? 54
(2) 由(1)知对称轴为 x ? 42 ,位于 x 的范围内,另抛物线开口向下

? 当 x ? 42 时, ymax ? ?3 ? 422 ? 252 ? 42 ? 4860 ? 432
? 当每件商品的售价定为 42 元时每天有最大销售利润,最大销售利润为 432 元.

第五讲

不等式

初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法。 高中阶段将进一步学 习一元二次不等式和分式不等式等知识。 本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知 识。 一、一元二次不等式及其解法 1 .形如 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) ( 其中 a ? 0)的不等式称为关于 x 的一元二次不等 式。 2.一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) 与二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0) 及 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的关系(简称:三个二次)。以二次函数 y ? x2 ? x ? 6 为例:
2

(1) 作出图象; (2) 根据图象容易看到,图象与 x 轴的交点是 (?3, 0), (2, 0) , 即 当 x ? ?3或2 时 , y ? 0 。 就 是 说 对 应 的 一 元 二 次 方 程

x 2 ? x ? 6 ? 0 的两实根是 x ? ?3或2 。
(3) 当 x ? ?3或x ? 2 时,y ? 0 , 对应图像位于 x 轴的上方。 就是说 x ? x ? 6 ? 0 的解是 x ? ?3或x ? 2 。
2

当 ?3 ? x ? 2 时, y ? 0 ,对应图像位于 x 轴的下方。就是
2 说 x ? x ? 6 ? 0 的解是 ?3 ? x ? 2 。

一般地,一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解,步骤如下: (1) 将二次项系数先化为正数; (2) 观测相应的二次函数图象。 ①如果图象与 x 轴有两个交点 ( x1 ,0),( x2 ,0) ,此时对应的一元二次方程有两个不相等 的实数根 x1 , x2 (也可由根的判别式 ? ? 0 来判断)。 那么(图 1): ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? x ? x1或x ? x2

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? x1 ? x ? x2

②如果图象与 x 轴只有一个交点 ( ?

b , 0) ,此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根 2a

xx ? x2 ? ?

b (也可由根的判别式 ? ? 0 来判断)。 2a

那么(图 2):

ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? x ? ?

b 2a

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? 无解
③如果图象与 x 轴没有交点,此时对应的一元二次方程没有实数根 ( 也可由根的判别式

? ? 0 来判断) 。
那么(图 3):

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? x 取一切实数 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? 无解

Δ =b2-4ac

Δ >0
y

Δ =0
y

Δ <0
y

y=ax2+bx+c>0 (a>0)的图象
x1 O x2 x
O x1 (x2) x O x

ax +bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集

2

x1=

?b ? b 2 ? 4ac 2a
2

?b ? b ? 4ac x2= 2a

x1= x2=-

b 2a

没有实数根

x<x1 或 x>x2 (x1<x2) x1<x<x2 (x1<x2)

x≠-

b 2a

全体实数 无解

无解

4、解一元二次不等式的一般步骤: (1)将原不等式化成一般形式 ax2+bx+c>0(a>0) (或 ax2+bx+c<0(a>0) ) ; (2)计算Δ =b2-4ac; (3)如果Δ ≥0,求方程 ax2+bx+c=0(a>0)的根;若Δ <0,方程 ax2+bx+c=0(a>0) 没有实数根; (4)根据上表,确定已经化成一般形式的不等式的解集,即为原不等式的解集。 【例 1】解下列不等式: (1)4x2-4x>15; (2)-x2-2x+3>0; (3)4x2-4x+1<0 解: (1)原不等式可化为:4x2-4x-15>0 Δ =b2-4ac=256>0 令 4x2-4x-15=0 解得 x1=即(2x+3) (2x-5)=0

3 5 ,x2= 2 2

∴原不等式的解集为 x<-

3 5 或 x> 。 2 2

(2)原不等式可化为:x2+2x-3<0 Δ =b2-4ac=16>0 令 x2+2x-3=0 解得 即(x+3) (x-1)=0 x1=-3,x2=1

∴原不等式的解集为-3<x<1。 (3)Δ =b2-4ac=0 令 4x2-4x+1=0 解得 x1=x2=即(2x-1)2=0

1 2

∴原不等式无解。 【例 2】 自变量 x 在什么范围取值时,函数 y=-3x2+12x-12 的值等于 0?大于 0?小于 0? 解:当 y=0 时,即-3x2+12x-12=0 解得 x1=x2=2 ∴当 x=2 时,y=0;当 x≠2 时,y<0;x 无论取何值,y 的值都不可能大于 0。 注意: (1)本题本来要解一个方程 -3x2+12x-12=0 和两个不等式-3x2+12x-12> 0 与 -3x2+12x-12<0,但一元二次方程和一元二次不等式有着密切的联系,故确定了一元二次方 程的解,便很容易确定一元二次不等式的解集。 (2) 我们知道二次函数 y=-3x2+12x-12 是开口向下的抛物线, 它与 x 轴只有一个交点, 除这点外,抛物线上的点都在 x 轴下方,故 x 无论取何值,y 的值都不可能大于 0。 【例 3】 若关于 x 的方程 x2-(m+1)x-m=0 有两个不相等的实数根,求 m 的取值范围。 解:Δ =[-(m+1)]2-4×1×(- m)=m2+6m+1>0 Δ 1=62-4×1×1=32>0 令 m2+6m+1=0 即 m= 整理,得 x2-4x+4=0

?6 ? 32 ? ?3 ? 4 2 2

解得 m1= ?3 ? 4 2 ,m2= ?3 ? 4 2 ∴当 m< ?3 ? 4 2 或 m> ?3 ? 4 2 时,原方程有两个不相等的实数根。 根据题意,关于 x 的方程要有两个不相等的实数根,它的判别式Δ >0,而Δ >0 是关 于 m 的一个一元二次不等式 m2+6m+1>0,这个不等式的解集就是 m 的取值范围。 要确定 m 的取值范围,判别式就是解关于 m 的一个一元二次不等式 m2+6m+1>0。 为解这个不等式,我们把它的记为Δ

高一数学暑假训练一
1. (2 ? 3)18 (2 ? 3)19 =



2 2 2.若 (1 ? a ) ? (1 ? a ) ? 2 ,则 a 的取值范围是



3.

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 1? 2 2? 3 3? 4 4? 5 5? 6



4. a ?

3a 2 ? ab 1 1 ? , b ? ,则 2 3a ? 5ab ? 2b 2 2 3



5.若 x2 ? xy ? 2 y 2 ? 0 ,则

x 2 ? 3xy ? y 2 ? x2 ? y 2



6.若 ? a ? b ? 2 ab ? (1) a ? b

?b ? ? a ,则
(2) a ? b (3) a ? b ? 0

. (4) b ? a ? 0

7.计算 a ?

1 等于 a



8.解不等式 (1) x ? 1 ? 3 ; (2) x ? 3 ? x ? 2 ? 7 ; (3) x ?1 ? x ? 1 ? 6 .

9.已知 x ? y ? 1 ,求 x3 ? y 3 ? 3xy 的值.

10.已知: x ?

y y 1 1 , y ? ,求 的值. ? 2 3 x? y x? y

11.解方程 2( x ?
2

1 1 ) ? 3( x ? ) ? 1 ? 0 . 2 x x

12.计算:

1 1 1 1 ? ? ?? ? . 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 9 ?11

高一数学暑假训练二
1.把下列各式分解因式: (1) x ? 5 x ? 6
2

(2) x ? 5 x ? 6
2

(3) x 2 ? ?a ? 1?x ? a

(4) x ? 11x ? 18
2

(5) 6 x ? 7 x ? 2
2

(6) 4m ? 12m ? 9
2

(7) 5 ? 7 x ? 6 x

2

(8) 12x 2 ? xy ? 6 y 2

(9) a ? 8ab ? 33b
2

2

(10) ?a ? b? ? 8?a ? b? ? 20
2

(11) 6?2 p ? q? ?11?q ? 2 p? ? 3
2

(12) a ? 5a b ? 6ab
3 2

2

(13) 2 y ? 4 y ? 6
2

(14) b ? 2b ? 8
4 2

(15) x ? y ? a ? b ? 2ax ? 2by
2 2 2 2

(16) a ? 4ab ? 4b ? 6a ? 12b ? 9
2 2

2. x 2 ? 4 x ?

? ?x ? 3??x ?

?
,b ? ,b ?

3.若 x 2 ? ax ? b ? ?x ? 2??x ? 4? 则 a ?
2

4.若多项式 x ? 3 x ? a 可分解为 ?x ? 5??x ? b? ,则 a ?

5.若 x 2 ? mx ? 10 ? ?x ? a??x ? b? 其中 a 、 b 为整数,则 m ? __________________ 6.填空: (1) m?x ? y ? ? n? y ? x? ? ?x ? y ? ? __________________ (2) m?x ? y? ? n? y ? x? ? ?x ? y? ? ____________________
2 2 2

(3) m?x ? y ? z ? ? n? y ? z ? x? ? ?x ? y ? z ? ? _____________________ (4) m?x ? y ? z ? ? x ? y ? z ? ?x ? y ? z ? ? ______________________ 7.计算 99 ? 99 =
2

8.用十字相乘法分解因式(十字画在书上) : (1) x ? 5 x ? 6 ;
2

(2) x ? 5 x ? 6 ;
2

(3) a ? 7a ? 6 ;
2

(4) 4 x ? 13x ? 9 .
4 2

(5) 2 x ? x ? 15
2

(6) 3x ? 7 x ? 6
2

(7) 2 x ? 5 x ? 3
2

(8) 3x ? 8 x ? 3
2

(9) 3x ? 4 xy ? y
2

2

(10) 8m ? 22m ? 15
2

高一数学暑假训练三
1.方程kx2+4x-1=0的两根之和为-2,则k= .

2.若关于x的方程x2+(k2-1) x+k+1=0的两根互为相反数,则k的值为



3.方程2x2-x-4=0的两根为α,β,则α2+β2=



4.已知关于x的方程x2-ax-3a=0的一个根是-2,则它的另一个根是



5.方程2x2+2x-1=0的两根为x1和x2,则| x1-x2|=



6.若m,n是方程x2+2005x-1=0的两个实数根,则m2n+mn2-mn的值等于



7.如果a,b是方程x2+x-1=0的两个实数根,那么代数式a3+a2b+ab2+b3的值是



8.若x1,x2是方程2x2-4x+1=0的两个根,则

x1 x2 ? 的值为 x2 x1



9.已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2-8x+7=0的两根,则这个直角三 角形的斜边长等于 .

10.若方程x2-8x+m=0的两根为x1,x2,且3x1+2x2=18,则m=



12.试判定当m取何值时,关于x的一元二次方程 m 2 x 2 ? (2m ? 1) x ? 1 ? 0 有两个不相等 的实数根?有两个相等的实数根?没有实数根?

13.若关于 x 的方程 x +x+a=0 的一个大于 1、另一根小于 1,求实数 a 的取值范围.

2

14.已知关于x的方程x2-kx-2=0. (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)设方程的两根为x1和x2,如果2(x1+x2)>x1x2,求实数k的取值范围.

15.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1和x2.求: (1)| x1-x2|和

x1 ? x2 ;(2)x13+x23. 2

16.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程x2-7x-1=0各根的相反数.

高一数学暑假训练四
1.二次函数y=2x -mx+n图象的顶点坐标为(1,-2),则m=
2

,n=



2.已知二次函数y=x2+(m-2)x-2m,当m= 当m= 时,函数图象的顶点在x轴上;当m=

时,函数图象的顶点在y轴上; 时,函数图象经过原点.

3.函数y=-3(x+2)2+5的图象的开口向 当x= 时,函数取最 值y=

,对称轴为 ,顶点坐标为 ; ;当x 时,y随着x的增大而减小.

4.已知二次函数的图象经过与x轴交于点(-1,0)和(2,0),则该二次函数的解析式可设为 y=a (a≠0) .

5.二次函数y=-x2+2 3x+1的函数图象与x轴两交点之间的距离为



6.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及y随x的变化情况,并画 出其图象. (1)y=x2-2x-3; (2)y=1+6 x-x2.

7.已知函数y=-x2-2x+3,当自变量x在下列取值范围内时,分别求函数的最大值或最 小值,并求当函数取最大(小)值时所对应的自变量x的值: (1) x ? ?2 ; (2) x ? 2 ; (3) ? 2 ? x ? 1 ; (4) 0 ? x ? 3 .

8.根据下列条件,求二次函数的解析式. (1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6); (2)当 x=3 时,函数有最小值 5,且经过点(1,11); (3)函数图象与 x 轴交于两点(1- 2,0)和(1+ 2,0),并与 y 轴交于(0,-2).

高一数学暑假训练五
1.解下列不等式: (1)3x2-x-4>0 (2)x2-x-12≤0

(3)x2+3x-4>0

(4)16-8x+x2≤0

(5)3x2-2x+1<0

(6)3x2-4<0

(7)2x-x2≥-1

(8)4-x2≤0

(9)4+3x-2x2≥0 ?

(10)9x2-12x>-4

2.若0<a<1,解关于x的不等式(x-a)(x-

1 )<0的解是 a



3.如果方程ax2+bx+b=0中,a<0,它的两根x1,x2满足x1<x2,那么不等式ax2+bx+b< 0的解是 .

4.解关于x的不等式x2+2x+1-a2≤0(a为常数).

5.解关于x的不等式x2-(1+a)x+a<0(a为常数).

6.关于 x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解为 x ? ?2或x ? ?
2

1 , 2

求关于 x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解.
2

高一数学暑假训练六
2 1.已知| 2x ? y | ? x ? 3 y ? 7 ? 0 , 则 ( x ? y) 的值为____________. y?x

2.化简: a ?

1 等于 ____________. a
2

2 3.若 2 x ? 5x ? 2 ? 0 ,则 4 x ? 4 x ? 1 ? 2 x ? 2 等于____________.

4.已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2-8x+7=0的两根,则这个直角三角 形的斜边长等于____________. 5. 已知关于 x 不等式 2x2 + bx - c > 0 的解集为 ?x | x ? ?1或x ? 3} ,则关于 x 的不等式

bx2 ? cx ? 4 ? 0 的解集为____________.
6.关于 x 的一元二次方程 mx2+(m-1)x+m=0 有实根,则实数 m 的取值范围是____________. 7.当 ? 1 ? x ? 1 时, 函数 y ? 2 x 2 ? 2ax ? 1 ? 2a 有最小值是 ?

3 , 则 a 的值为___________. 2

8.设 ?、? 是方程 4 x 2 ? 4mx ? m ? 2 ? 0 ( x ? R) 的两实根,则 ? 2 ? ? 2 的最小值为____. 9.二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象如图,则 a ______0; b _____0;
2

(填“>”或“<” 、 “=” ) c ______0; b 2 ? 4ac _______0. 10.已知 a ? b ? c ? 4 , ab ? bc ? ac ? 4 ,则 a ? b ? c _____________.
2 2 2

11.计算:

1 1 1 1 ? ? ?? ? =____________. 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 9 ?11

1 2 12.若二次函数 y ? ax ? bx ? c 的顶点为 ( ,25 ) ,与 x 轴交于两点,且这两点的横坐标的 2
立方和为 19,则这个二次函数的表达式为 .

13.已知 x ?

1 1 y x , y ? ,求 的值. ? 2 3 x? y x? y

14.分解因式: (1) 2 x ? 7 x ? 3 ;
2

(2) ( x 2 ? 2x) 2 ? 7( x 2 ? 2x) ? 8 ;

(3) x ? 2 x ? 15 ? ax ? 5a .
2

15.设函数 y ? x ? 2 x ? 2 ? 1, x ? R .
2

(1)作出函数的图象; (2)求函数 y 的最小值及 y 取最小值时的 x 值.

高一数学暑假训练七
1.若 a ? 0, b ? 0, 且 a ? b , 则a ? b 一定是 .

A.

正数

B.

负数
2

C.

非负数

D.
. .

非正数

2.若 x ? 3, 则 9 ? 6 x ? x ? x ? 6 的值是

a b c 3a ? b ? c ? ? ,则 的值为 3 4 7 b b a 1 1 1 ? 0 ,则 ? 的值为 4.实数 a、b满足 ? ? a b a b a?b
3. 若 5.若 x1 , x2是方程2x 2 ? 6x ? 3 ? 0 的两个根,则

. .

1 1 的值为 ? x1 x 2

6. 若 实 数 a ? b, 且 a、b满足a 2 ? 8a ? 5 ? 0, b 2 ? 8b ? 5 ? 0 则 为 . .

b ?1 a ?1 ? a ?1 b ?1

的值

7.已知菱形 ABCD 的边长为 5,两条对角线交与 O 点,且 OA、OB 的长分别是关于 x 的 方程 x 2 ? ?2m ? 1?x ? m 2 ? 3 ? 0 的根,则 m 等于 8. 若

4x a b ? ? ,则 a ? b = x ?4 x?2 x?2
2

. . .

9. 已知最简根式 a 2a ? b与a ?b 7 是同类根式,则满足条件的 a、 b 的值 10. 若方程 2 x ? (k ? 1) x ? k ? 3 ? 0 的两根之差为 1,则 k 的值是
2

11. 如果方程 (b ? c) x 2 ? (c ? a) x ? (a ? b) ? 0 的两根相等,则 a、b、c 之间的 大小关系是 . . 12. 已知方程 (k ? 1) x ? 3k ? 2 的解大于 1,求 k 的取值范围 13. 解方程: (1) x ? 2 x ? 2 2 x ? 3 ? 2 2 ? 0 ; (2) 1 ?
2

9 x ?4 ?4 x x?9

14.化简(1)

y x?x y xy ? y
2

?

x ? xy ? y x x?y y



(2)已知 x 2 ? 10xy ? 25y 2 ? 1 ? 0 ,化简 x 3 ? 5x 2 y ? x 2 .

15.对字母 m 讨论,求关于 x 的不等式 m x ? 2 ? 2m x ? m 的解.
2

16.求证:无论 a 取什么实数,二次函数 y ? x ? ax ? a ? 2 的图像都与 x 轴相交于两个不
2

同的点,并求这两点间距离最小时的二次函数解析式.

17. 某商场以每件 30 元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品每天的销售量 m (件) 与每件的销售价 x (元)满足一次函数 m ? 162 ? 3x,30 ? x ? 54. (10 分) (1)写出商场卖出这种商品的销售利润 y 与每件销售价 x 之间的函数关系式; (2)如果商场要想每天获得最大销售利润,每件商品的售价定为多少最合适?最大销售 利润为多少?

高一数学暑假训练八
一.填空题: 1. ? (?3) = ,?

1 = 2

, (?2015 )0 =

2 , = (2-1)

. .

2.已知一组数据为 1,2,1,2,4,2,则这组数据的众数是 3.∠A 的余角为 60°,则∠A 的补角为 °, tan A ?

,方差是 .

4.点 A 关于 x 轴对称的点的坐标为(2,-1) ,则点 A 的坐标为 离是 .
2

,点 A 到原点的距

5.若扇形的半径为 3cm,扇形的面积为 2π cm ,则该扇形的圆心角为 cm. 6.分解因式: 4 x 3 ? 4 x 2 y ? xy 2 ? 7 .已知点 P ( a, b) 在直线 y ? .

°,弧长为

1 x ? 1 上,点 Q (?a,2b) 在直线 y ? x ? 1 上,则代数式 2

a 2 ? 4b 2 ? 1 ?

. .

8.如图,将矩形纸片的两只直角分别沿 EF、DF 翻折,点 B 恰好落在 AD 边上的点 B′ 处, 点 C 恰好落在边 B′ F 上.若 AE=3,BE=5,则 FC=
A
E
B'

D

y

C'

O
B
F 第 8 题图

C

O1

O2

O3

x

第 9 题图

9.如图,圆心都在 x 轴正半轴上的半圆 O1 ,半圆 O2 ,?,半圆 On 与直线 y ?

3 x 相切, 3 设半圆 O1 ,半圆 O2 ,?,半圆 On 的半径分别是 r1 , r2 ,?, rn ,则当 r1 ? 1 时, r2015
= .

二、计算题 10.化简:⑴

27 ? 4 cos 30? ?

tan 60? tan 45?



a ?1 a ?1 ? ?1 a ?1 a2 ?1

11.⑴ 解方程:

3 1 ?1 ? x ?1 1? x

⑵ 解不等式组: ?

?? 2 x ? 5 7 x ? 1) ?2 x ? 3 ? ?(

三:解答题 12. 如图, 矩形 ABCD 中, 点 E, F 分别在 AB, CD 边上, 连接 CE、 AF, ∠DCE=∠BAF. 试 判断四边形 AECF 的形状并加以证明.
D F

C

A

E

B

13.如图,在同一平面内,两条平行高速公路 l1 和 l 2 间有一条“Z”型道路连通,其中 AB 段与高速公路 l1 成 30°夹角,长为 20 km ,BC 段与 AB、CD 段都垂直,长为 10 km , CD 段长为 30 km ,求两高速公路间的距离.(结果保留根号)
A

30 °
C

l1

B

D

l2

14.如图,每个网格都是边长为 1 个单位的小正方形,△ABC 的每个顶点都在网格的格点 上,且∠C=90° ,AC=3,BC=4. ⑴ 试在图中作出 △ ABC 以点 A 为旋转中心,按顺时针方向旋转 90° 后得到的图形 △AB1C1 ; ⑵ 试在图中建立直角坐标系,使 x 轴∥AC,且点 B 的坐标为(﹣3,5) ; ⑶ 在⑴与⑵的基础上,若点 P、Q 是 x 轴上两点(点 P 在点 Q 左侧) ,PQ 长为 2 个单 位,则当点 P 的坐标为
B

时,AP+PQ+QB1 最小,最小值是

个单位.

C

A

高一数学暑假训练九
一、填空题 1. ?3 的相反数是 ;?3 的倒数是 。

2. 计算

3 2

?

1 2

的结果是



3. 使式子 1?

1 有意义的 x 的取值范围是 x?1



4. 第二届亚洲青年运动会将于 2013 年 8 月 16 日至 24 日在南京举办,在此期间约有 13000 名青少年志愿者提供服务,将 13000 用科学记数法表示为 。

5. 如图,将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 A’B’C’D’的位置, 旋转角为? (0?<?<90?)。若?1=110?,则??= 。

A D’ B’ B 1 C’ F O C D

D C

6. 如图,将菱形纸片 ABCD 折迭,使点 A 恰好落在菱形的对 称中心 O 处,折痕为 EF。若菱形 ABCD 的边长为 2 cm, ?A=120?,则 EF= cm。
B E

A

7. △OAB 是以正多边形相邻的两个顶点 A、B 与它的中心 O 为顶点的三角形。若△OAB 的 一个内角为 70?,则该正多边形的边数为 。
x? 1 x? 1 y A D P B C x x

8. 已知如图所示的图形的面积为 24,根据图中的条件,可列出 方程: 。

x

9. 如图,在梯形 ABCD 中,AD//BC,AB=DC,AC 与 BD 相交 于点 P。已知 A(2, 3),B(1, 1),D(4, 3),则点 P 的坐标为 。
O

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10. 计算(1? ? ? ? )( ? ? ? ? )?(1? ? ? ? ? )( ? 2 3 4 5 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 3 ? 1 1 ? )的结果是 4 5 。

二、计算题: 11.化简( 1 b a ? 2 2 )? 。 a?b a ?b a?b 12. 解方程 2x 1 =1? 。 x?2 2?x

三、解答题 13.如图,在四边形 ABCD 中,AB=BC,对角线 BD 平分?ABC,P 是 BD 上一点,过点 P 作 PM?AD,PN?CD,垂足分别为 M、N。 (1) 求证:?ADB=?CDB; (2) 若?ADC=90?,求证:四边形 MPND 是正方形。
B P C N A M D

14. 某商场促销方案规定:商场内所有商品案标价的 80%出售,同时,当顾客在商场内 消费满一定金额后,按下表获得相应的返还金额。 消费金额(元) 300~400 400~500 500~600 600~700 700~900 返还金额(元) 30 60 100 130 150 ? ?

注:300~400 表示消费金额大于 300 元且小于或等于 400 元,其它类同。 根据上述促销方案,顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如,若购买标价为 400 元 的商品,则消费金额为 320 元,获得的优惠额为 400?(1?80%)?30=110(元)。 (1) 购买一件标价为 1000 元的商品,顾客获得的优惠额是多少? (2) 如果顾客购买标价不超过 800 元的商品,要使获得的优惠额不少于 226 元,那么该 商品的标价至少为多少元?

高一数学暑假训练十
一、填空题: 1.据中新社报道:2010 年我国粮食产量将达到 540000000000 千克,用科学记数法表示这 个粮食产量为______千克.

2.用一个半径为 6 ㎝的半圆围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的侧面积为 保留 ? ) 3.△ABC 中,AB=6,AC=4,∠A=45°,则△ABC 的面积为 4.若一次函数的图象经过反比例函数 y ? ? 次函数的解析式是 . .

㎝ .(结果

2

4 图象上的两点(1,m)和(n,2) ,则这个一 x

5.

某品牌的牛奶由于质量问题,在市场上受到严重冲击,该乳业公司为了挽回市场,加

大了产品质量的管理力度,并采取了“买二赠一”的促销手段,一袋鲜奶售价1.4元,一箱 牛奶18袋,如果要买一箱牛奶,应该付款 元.

6. 通过平移把点 A(2, -3)移到点 A? (4, -2), 按同样的平移方式, 点 B(3, 1)移到点 B′, 则点 B′的坐标是 ________ 北 7.如图,在甲、乙两地之间修一条笔直的公路, 从甲地测得公路的走向是北偏东 48°。甲、乙两地间 同时开工,若干天后,公路准确接通,则乙地所修公 路的走向是南偏西 度。
甲 乙



8.如图,M 为双曲线 y=

1 上的一点,过点M作x轴、y轴的垂线,分别交直线y=-x x

+m 于 D、C 两点,若直线y=-x+m 与y轴交于点A,与x 轴相交于点 B.则 AD·BC 的值为 .

二、计算题: 9.计算: (2cos30? ? 1) ?
0

??
1 3

?1

? (?5) 2 ? ?1

10.先化简,再请你用喜爱的数代入求值

(

x?2 x ?1 x?2 ? 2 )? 3 2 x ? 2x x ? 4x ? 4 x ? 4x

三、解答题: 11.如图,河中水中停泊着一艘小艇,王平在河岸边的 A 处测得∠DAC=α ,李月在河岸 边的的 B 处测得∠DCA=β ,如果 A、C 之间的距离为m,求小艇 D 到河岸 AC 的距离.

12.某书报亭开设两种租书方式:一种是零星租书,每册收费 1 元;另一种是会员卡租书, 办卡费每月 12 元,租书费每册 0.4 元.小军经常来该店租书,若每月租书数量为 x 册. (1)写出零星租书方式应付金额 y1(元)与租书数量 x(册)之间的函数关系式; (2)写出会员卡租书方式应付金额 y2(元 )与租书数量 x(册)之间的函数关系式; (3)小军选取哪种租书方式更合算?

13. 如图所示,矩形 ABCD 中,点 E 在 CB 的延长线上,使 CE=AC,连结 AE,点 F 是 AE 的中点,连结 BF、DF,求证:BF⊥DF

高一数学暑假训练十一
一、填空题: 1.若 1 ? 2a 和 8b ? 5 互为相反数,则 (

5 ) ? 2 =___________。 ab

2.以长为 8,宽为 6 的矩形各边中点为顶点的四边形的周长为_________.

3. 一项工程, 甲独做需 12 小时完成, 若甲、 乙合做需 4 小时完成, 则乙独做需 时完成。



4.三角形的两边长为 2cm 和 2 2 cm,则这个三角形面积的最大值为_____________cm2.

5.已知平行四边形 ABCD 中, ∠BCD 的平分线 交边 AD 于 E ,∠ABC 的平分线交 AD 于 F.若 AB=8,AE=3,则 DF= .

6. △ABC 中,D 为 BC 边上一点,∠BAD=∠C,AD∶AC=3∶5,△ABC 的面积为 25, 则△ACD 的面积为 7. 直线 y ? ? .

3 x ? 2 与 x 轴相交于点 A,与 y 轴相交于点 B,将△ABO 沿着 AB 翻折, 3


得到△ABC,则点 C 的坐标为

8.如图, AB 是半圆⊙O 的直径, 半径 OC⊥AB,⊙O 的直径是 OC, AD 切⊙O 1 于 D,交 OC 的延长线于 E.设⊙O 1 的半径为 r,那么用 含 r 的代数式表示 DE,结果是 DE=

二、计算题:9、 (1) 4 ? 3 ? 3

?2

0

(2)

a 1 ? 2 a ?b a ?b
2

三、解答题: 10.如图所示,在长和宽分别是 a 、 b 的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为 x 的正方形. (1)用 a 、 b 、 x 表示纸片剩余部分的面积; (2)当 a=8,b=6,且剪去部分的面积等于剩余部分的面积的一半时,求正方形的边长.

11.如图,在电线杆上的 C 处引拉线 CE、CF 固定电线杆,拉线 CE 和地面成 60°角,在离 电线杆 6 米的 B 处安置测角仪,在 A 处测得电线杆上 C 处的仰角为 30°,已知测角仪高 AB 为 1.5 米,求拉线 CE 的长(结果保留根号) 。

24.如图,A(2,1)是矩形 OCBD 的对角线 OB 上的一点,点 E 在 BC 上,双曲线y=

k 经过点 A,交 BC 于点 E,交 BD 于点 F,若 CE= x

2 3
(1)求双曲线的解析式; (2)求点 F 的坐标;

高一数学暑假训练十二
一、填空题: 1.分解因式: x ? 2 x =
2



2.请写出一个比 5 小的整数 3.估算 27 ? 2 的值
2


。 B 。 D 。 (图 7) 1 C A

4.把多项式 2 x ? 8 x ? 8 分解因式,结果正确的是

5.若 m+n=3,则 2m ? 4mn ? 2n ? 6 的值为
2 2

6. a、b 为实数,且 ab=1,设 P= “<”或“=”) .

a b 1 1 ? ? ,Q= ,则 P a ?1 b ?1 a ?1 b ?1

Q(填“>”、

,?A ? 40°, 7.如图7所示, A 、 B 、 C 、 D 是圆上的点, ?1 ? 70° 则 ?C ? 度.
8.如图,点 A 在双曲线 y ?

6 上,且 OA=4,过 A 作 AC⊥ x 轴,垂足 x


图8

为 C,OA 的垂直平分线交 OC 于 B,则△ABC 的周长为 9.已知, A、B、C、D、E 是反比例函数 y ?

16 (x>0)图象上五个整数点(横、纵坐标均 x

为整数) ,分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段,由垂线段 所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧, 组成如 图 9 所示的五个橄榄形(阴影部分) ,则这五个橄榄形的面 积总和是 (用含 π 的代数式表示) 二、计算题 10.(1)解不等式:5x–12≤2(4x-3) (2) 8-( 3-1) +|-1|.
0

图 99 99 5

三、解答题: 11、整理一批图书,如果由一个人单独做要花 60 小时。现先由一部分人用一小时整理,随 后增加 15 人和他们一起又做了两小时,恰好完成整理工作。假设每个人的工作效率相同, 那么先安排整理的人员有多少人?

12.在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°, AB=2,BC=3,CD=1,E是AD中点. 求证:CE⊥BE.
D C

E

A

B

13.如图8,在边长为1的小正方形组成的网格中, △ ABC 的三个顶点均在格点上, 请按要求完成下列各题: ... (1) 用签字笔画AD∥BC(D为格点),连接CD; (2) 线段CD的长为 ; ,则它所 .. (3) 请你在 △ ACD 的三个内角中任选一个锐角,若你所选的锐角是 对应的正弦函数值是 (4) 若E为BC中点,则tan∠CAE的值是 。

图8

高一数学暑假训练十三
一、填空题 1.为了估计湖里有多少条鱼,我们从湖里捕上 100 条做上标记,然后放回湖里,经过一段 时间待带标记的鱼完全混合于鱼群中后,第二次捕得 200 条,发现其中带标记的鱼 25 条, 通过这种调查方式,我们可以估计湖里有鱼
?2x+1>-1 2.不等式组? 的整数解为 ?x+2<≤3

条. . .

3.如图同心圆,大⊙O 的弦 AB 切小⊙O 于 P,且 AB=6,则圆环的面积为 4.函数 y ?

1 中,自变量 x 的取值范围为 2x ? 3



5.今年我省荔枝又喜获丰收. 目前市场价格稳定,荔枝种植户普遍获利. 据估计,今年全 省荔枝总产量为 50 000 吨,销售收入为 61 000 万元. 已知“妃子笑”品种售价为 1.5 万元 /吨,其它品种平均售价为 0.8 万元/吨,求“妃子笑”和其它品种的荔枝产量各多少吨. 如 果 设 “ 妃 子 笑 ” 荔 枝 产量 为 x 吨 , 其 它 品 种 荔枝 产 量 为 y 吨 , 那 么 可列 出 方 程 组 为 .

y
1 6.如图,正比例函数 y=kx 与反比例函数 y = 的图象相交于 A, x
B 两点,过 B 作 X 轴的垂线交 X 轴于点 C,连接 AC,则△ABC 的 面积是 . 7.在直角坐标系中,⊙O 的圆心在原点,半径为 3,⊙A 的圆心 A 的坐标为(- 3 , 1 ) ,半径为 1 ,那么⊙ O 与⊙ A 的位置关 系 . 8.一个均匀的立方体六个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6,如图是这个立方体表面的 展开图,抛掷这个立方体,则朝上一面的数字恰好等于朝下一面数字的 二、计算题 B C A

O

x

1 的概率是 2

.

? x2 4 ? x?2 9. (1)化简求值: ? ? x ?2 ? 2? x? ? ? x ? 1 , 其中x ? 2 ? 1 ? ?

(2)解方程:

3 1 = 2 x +x x -x
2

10.西部建设中,某工程队承包了一段 72 千米的铁轨的铺设任务,计划若干天完成,在铺 设完一半后,增添工作设备,改进了工作方法,这样每天比原计划可多铺 3 千米,结果提前 了 2 天完成任务。问原计划每天铺多少千米,计划多少天完成?

11.如图:已知 AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,OC 与⊙O 相交于点 D,连结 AD 并 延长,与 BC 相交于点 E。 (1)若 BC= 3 ,CD=1,求⊙O 的半径; (2) 取 BE 的中点 F, 连结 DF, 求证: DF 是⊙O 的切线。
A

O D

C

E

F

B

12.如图,一次函数 y ? ?

3 x ? 1 的图象与 x 轴、 y 轴分别交于点 A、B,以线段 AB 为边 3

在第一象限内作等边△ABC, (1) 求△ABC 的面积; (2) 如果在第二象限内有一点 P( a,

1 ) ,试用含 a 的式子表示四边形 ABPO 的面积,并求 2

出当△ABP 的面积与△ABC 的面积相等时 a 的值; (3)在 x 轴上,存在这样的点 M,使△MAB 为等腰三角形.请直接写出所有符合要求的点 M 的坐标.
y C B P O 12 题 图图 A x

高一数学暑假训练十四
一、填空题

1.如图是一个几何体的实物图,则其主视图是 2.方程组 ?

. . . .

?x ? y ? 2 的解是 2 x ? y ? 4 ?

3.点 M( ?2 ,1)关于 x 轴对称的点的坐标是 4.已知正六边形的边心距为 3 ,则它的周长是

5.在直角三角形 ABC 中,∠C=90°,BC=12,AC=9,则 AB=_________. 6.已知两圆的半径分别为 1 和 3.若两圆相切,则两圆的圆心距为_________. 7.函数 y ? x ? 3 中自变量 x 的取值范围是_________;若分式 x=_________. 8.如图所示,把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上,按照这样的规律摆下去, 则第 n (n 是大干 0 的整数)个图形需要黑色棋子的个数是_________.

2x ? 3 的值为 0,则 x ?1

二、计算 9.计算(1) 2 ? 9 ? 2cos 60
?1 0

(2)解不等式组: ?

??3x ? 6 ?2 ? x ? 5

10.先化简,再求值:

a2 ? 4 1 ? (1 ? ) ,其中 a ? ?3 . a ?3 a?2

三、解答题 11. 如图 7,在一方形 ABCD 中.E 为对角线 AC 上一点,连 接 EB、ED. (1)求证:△BEC≌△DEC: (2)延长 BE 交 AD 于点 F,若∠DEB=140°.求∠AFE 的度 数.

12.如图.矩形 ABCD 的对角线相交于点 0.DE∥AC,CE∥BD. (1)求证:四边形 OCED 是菱形; (2)若∠ACB=30°,菱形 OCED 的而积为 8 3 ,求 AC 的长.

13. 如图.一次函数 y ? x ? b 的图象经过点 B( ?1,0),且与反比例函数 y ? 等于 0 的常数)的图象在第一象限交于点 A(1,n).求: (1) 一次函数和反比例函数的解析式; (2)当 1 ? x ? 6 时,反比例函数 y 的取值范围.

k ( k 为不 x


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