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河北省唐山一中2015-2016学年高二下学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案


唐山市第一中学 2015—2016 学年度第二学期期末考试

高二年级
说明:

数学(文)试卷 审核人:张晶晶

命题人: 罗茹芳 郝刚

1.考试时间 120 分钟,满分 150 分。2.将卷Ⅰ答案用 2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案答 在答题纸上。3.Ⅱ卷答题纸卷头和答题卡均填涂本次

考试的考号。

卷Ⅰ(选择题

共 60 分)

一.选择题(共 12 小题,每小题 5 分,计 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个 选项符合题意) 1.已知 R 是实数集, M ? {x | A.(1,2) 2.复数 B.[0,2] 的共轭复数等于

2 ? 1}, N ? { y | y ? x ? 1 ? 1}, N ? C R M ? ( x
C. [1,2] D. ? (

)

1 ? 3i 3 ?i



A. i

B. ? i

C. 3 ? i

D.

3 ?i

3. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的 生产能耗 y (吨)的几组对应数据,根据下表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归程为

y ? 0.7 x ? 0.35 ,则下列结论错误的是
x y
3 2.5 4

?





t

5 4

6 4.5

A.线性回归直线一定过点 (4.5,3.5) B.产品的生产能耗与产量呈正相关 C. t 的取值是 3.15 D. A 产品每多生产 1 吨,则相应的生产能耗约增加 0.7 吨 4.若命题 p : ?x ? (0,?? ), log 2 ( x ? 题为真命题的是 A. p ? q B. p ? q C. (?p) ? q D. (?p) ? (?q) ( )

1 2 ) ? 1 ,命题 q : ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则下列命 x
( )

2 2 5. a ? b 是直线 y ? x ? 2 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? 2 相切的

A.充分不必要条件 C.充要条件 6. 函数 y ?

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

x ?5 在(-1,+∞)上单调递增,则 a 的取值范围是 ( x?a?2 A. a ? ?3 B. a ? 3 C. a ? ?3 D. a ? ?3

?3x , ( x ? 1), ? 7. 已知函数 f ( x ) ? ?log x, ( x ? 1), ,则函数 y ? f (1 ? x) 的 1 ? ? 3
大致图象是 y O x y O x y O x y O D
1 1 1 1





x

A B C 8. 一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图曲线部 分是两个半径为 1 的圆弧,则这个几何体的体积是 ( ) A. 8 ?

2

2

?
4

B. 8 ?

?
2
2

正视图 1

侧视图

C. 8 ? ?

D. 8 ? 2?

1

9. 已知 f ( x) 为 R 上的可导函数,且对

俯视图

?x ? R, 均有f ( x) ? f ' ( x) ,则有





A. e 2016 f (?2016 ) ? f (0), f (2016 ) ? e 2016 f (0) B. e 2016 f (?2016 ) ? f (0), f (2016 ) ? e 2016 f (0) C. e 2016 f (?2016 ) ? f (0), f (2016 ) ? e 2016 f (0) D. e 2016 f (?2016 ) ? f (0), f (2016 ) ? e 2016 f (0) 10. 曲线 y ? a x (a ? 0) 与 y ? ln x 有公共点,且在公共点处的切线相同,则 a =( A. e B. e
2



C.

1 e2

D.

1 e


? 2 x ? a, x?2 ? 11. 设 f ? x ? ? ? ,若 f ? x ? 的值域为 R ,则实数 a 的范围是( ?9 ? 2 ?log 1 ? 4 ? x ? ? a , x ? 2 ? ? 2?
A. (??, ?1] ? [2, ??) B. [?1, 2] C. (??, ?2] ? [1, ??) D. [?2,1]

12. 已知 x 0 是函数 f ( x) ? 2 sin x ? ? ln x( x ? (0, ? )) 的零点, 0 ? x1 ? x2 ? ? ,则 ① x 0 ? (1, e) ;② x0 ? (e, ? ) ;③ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ;④ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 其中正确的命题是 ( ) B.②④ C.①③ D.②③

A.①④

13. 函数 f ?x ? ? loga ?x ? 2? ? 1 必过定点

卷Ⅱ(非选择题 共 90 分) 二.填空题(共 4 小题,每小题 5 分,计 20 分)

14.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如下表: 非统计专业 性别 男 女 专业 13 7 10 20 统计专业

为了判断主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,所以判定主修统计专业与 .( K ? ?
2 2

性别有关系,那么这种判断出错的可能性为

n(ad ? bc)2 ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.001 10.828

P(K2≥k) k

0.050 3.841

0.010 6.635

15. 若函数 f ( x) ? 1 ? 是________ .

2 x ?1 ? sin x 在区间 [?k , k ](k ? 0) 上的值域为 [ m, n] , 则 m ? n 的值 2x ? 1

16. 记 Sk ? 1k ? 2k ? 3k ???? ? nk ,当k ? 1, 2,3, ?时,观察下列

1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? n, S 2 ? n3 ? n 2 ? n , S3 ? n 4 ? n3 ? n 2 , S 4 ? n5 2 2 3 2 6 4 2 4 5 1 4 1 3 1 1 5 ? n ? n ? n, S5 ? An6 ? n5 ? n 4 ? Bn 2 , ??? , 2 3 30 2 12 S1 ?
观察上述等式,由 S1 , S2 , S3 , S4 的结果推测 A ? B ? _______. 三.解答题(共 6 小题) 17. (本小题满分 12 分) 已知命题 p:方程 2x +ax-a =0 在[-1,1]上有解;命题 q:只有一个实数 x 满足不 等式 x +2ax+2a≤0,若命题“p∨q”是假命题,求 a 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分) 某商区停车场临时停车按时段收费, 收费标准为: 每辆汽车一次停车不超过 1 小时收费 6 元, 超过 1 小时的部分每小时收费 8 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算) .现有甲、乙二人在该 商区临时停车,两人停车都不超过 4 小时. (1)若甲停车 1 小时以上且不超过 2 小时的概率为 甲停车付费恰为 6 元的概率;
2 2 2

1 5 ,停车付费多于 14 元的概率为 ,求 3 12

(2)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙二人停车付费之和为 36 元的概 率. 19. (本小题满分 12 分) 在三棱柱ABC—A1B1C1中, 侧棱CC1⊥底面ABC, ∠ACB = 90°,且AC = BC = CC1,O为AB1中点。 (1)求证:CO⊥平面ABC1; (2)求直线BC与平面ABC1所成角的正弦值。 20. (本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? e x ? ax ? 1(a ? 0, e为自然对数的底数) . ⑴求函数 f ( x) 的最小值; ⑵若 f ( x) ≥0对任意的 x ? R 恒成立,求实数a的值. 21. (本小题满分12分) 已知抛物线 与直线 没有公共点,设点P为直线l上的动点,

过P作抛物线C的两条切线,A,B为切点. (1)证明:直线AB恒过定点Q; (2)若点P与(1)中的定点Q的连线交抛物线C于M,N两点,证明: 数学选考题 请考生从给出的 22、23、24 三题中任选一题作答 .

22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图所示,已知圆 O 外有一点 P ,作圆 O 的切线 PM ,

M 为切点,过 PM 的中点 N ,作割线 NAB ,交圆于 A 、 B 两点,连接 PA 并延长,交圆 O 于点 C ,连接 PB 交圆 O
于点 D ,若 MC ? BC . (1)求证:△ APM ∽△ ABP ; (2)求证:四边形 PMCD 是平行四边形. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4: 坐标系与参数方程.

1 ? x ? 1 ? t, ? ? 2 (t 为参数), 曲线 C : ? x ? cos ? , 已知直线 ? : ? 1 ? ? y ? sin ? , ? y ? 3 t. ? 2 ? (1)设 ? 与 C1 相交于 A, B 两点,求 | AB | ;

( ? 为参数).

(2) 若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的

3 1 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得到曲线 2 2 C2 ,设点 P 是曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 ? 的距离的最小值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4 – 5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 2 | (1)求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? t ? 3t 在 [0,1] 上无解,求实数 t 的取值范围.
2

唐山市第一中学 2015—2016 学年度第二学期期末考试

高二年级
一.选择题 CBCAA DDCDD AA 二.填空题 13. ?3,1? 14.0.05 15.4 16.

数学(文)试卷答案

1 4

三.解答题 17. 17. 由 2x2+ax-a2=0, 得(2x-a)(x+a)=0, a ∴x= 或 x=-a, 2 a? ∴当命题 p 为真命题时,? ?2?≤1 或|-a|≤1, ∴|a|≤2. 又“只有一个实数 x 满足不等式 x2+2ax+2a≤0”, 即抛物线 y=x2+2ax+2a 与 x 轴只有一个交点, ∴Δ=4a2-8a=0, ∴a=0 或 a=2. ∴当命题 q 为真命题时,a=0 或 a=2. ∵命题“p∨q”为假命题, ∴a>2 或 a<-2. 即 a 的取值范围为 a>2 或 a<-2. 18(Ⅰ)解:设“甲临时停车付费恰为 6 元”为事件 A , 则 P ( A) ? 1 ? ( ?

1分

1 5 1 )? . 3 12 4
1 . 4
4分 6分

所以甲临时停车付费恰为 6 元的概率是

(Ⅱ)解:设甲停车付费 a 元,乙停车付费 b 元,其中 a, b ? 6,14, 22,30 .

则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为:

(6,6),(6,14),(6, 22),(6,30),(14,6),(14,14),(14, 22),(14,30),(22,6),(22,14),(22, 22),
(22,30),(30,6),(30,14),(30, 22),(30,30) ,共 16 种情形.
其中, (6,30),(14, 22),(22,14),(30,6) 这 4 种情形符合题意. 故“甲、乙二人停车付费之和为 36 元”的概率为 P ? 19. : (Ⅰ)证明:取 AB 中点 M ,连结 CM , OM , ?10 分 ?12 分 ???13 分

4 1 ? . 16 4

? AC ? BC ? CM ? AB. ,


?OM // BB1 ,?OM ? AB, OM ? CM ? M , OM , CM ? 平面 OCM ,

? AB ? 平面 OCM ,? AB ? CO ,
连结 且 又

CA1 ,? BC ? AC, BC ? CC1 ,? BC ? 平面 A1 ACC 1 ,

AC1 ? 平面 A1 ACC1 ,? BC ? AC1 ,

? AC ? AC1 ,且 AC 1 1 ? BC ? C , AC 1 , BC ? 平面 A 1BC ,

? AC1 ? 平面 A1BC , CO ? 平面 A1BC , ?CO ? AC1 , AB ? AC1 ? A ,又? AB, AC1 ? 平面 ABC1 ,? CO ? 平面 ABC1
(Ⅱ)解:连结

MC1 交 CO 于 N ,连结 BN ,

? CO ? 面 ABC1 ,??CBN 为 BC 与平面 ABC1 所成的角,


AC ? BC ? CC1 ? a ,
C1C ? a, CM ? 2 6 a,? MC1 ? a, 2 2

Rt?C1CM 中, 在

2 a?a 3 2 ? CN ? ? a 3 6 a ?C N ? M 1C ?CN ? MC1 ? CM ? CC1, 2 ,

3 a CN 3 3 sin ?CBN ? ? ? ? C B? a CB a 3 , ,? Rt ? CBN 中,

?

3 ABC 1 所成角的正弦值为 3 直线 BC 与平面

20.解: (1)由题意 a ? 0, f ?( x) ? e x ? a ,由 f ?( x) ? e x ? a ? 0 得 x ? ln a . 当 x ? (??, ln a ) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (ln a, ??) 时, f ?( x) ? 0 . ∴ f ( x) 在 (??, ln a ) 单调递减,在 (ln a, ??) 单调递增. 即 f ( x) 在 x ? ln a 处取得极小值,且为最小值, 其最小值为 f (ln a ) ? eln a ? a ln a ? 1 ? a ? a ln a ? 1. (2) f ( x)≥0 对任意的 x ? R 恒成立,即在 x ? R 上, f ( x) min ≥0 . 由(1) ,设 g (a ) ? a ? a ln a ? 1. ,所以 g (a )≥0 . 由 g ?(a ) ? 1 ? ln a ? 1 ? ? ln a ? 0 得 a ? 1 . ∴ g (a ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1, ??) 上单调递减, ∴ g (a ) 在 a ? 1 处取得极大值 g (1) ? 0 . 因此 g (a )≥0 的解为 a ? 1 ,∴ a ? 1 .

21.解:(1)设

,则

.





,所以

. ,即 . 设 . , 同 理 有

于是抛物线 C 在 A 点处的切线方程为 设 , 则 有 . 所以 AB 的方程为 ,即

,所以直线 AB 恒过定



.

(2)PQ 的方程为

,与抛物线方程

联立,消去 y,得



,

,则

,





,









,



由(1)知,(2)式

左边

. 故(2)式成立,从而结论成立. 22. 证明:(1)∵ PM 是圆 O 的切线, NAB 是圆 O 的割线, N 是 PM 的中点,

PN NA ? , BN PN 又∵ ?PNA ? ?BNP , ∴△ PNA ∽△ BNP , ∴ ?APN ? ?PBN , 即 ?APM ? ?PBA . ∵ MC ? BC , ∴ ?MAC ? ?BAC , ∴ ?MAP ? ?PAB , ∴△ APM ∽△ ABP .
∴ MN ? PN ? NA ? NB , ∴
2 2

???5 分

(2)∵ ?ACD ? ?PBN ,∴ ?ACD ? ?PBN ? ?APN ,即 ?PCD ? ?CPM , ∴ PM // CD , ∵△ APM ∽△ ABP ,∴ ?PMA ? ?BPA , ∵ PM 是圆 O 的切线,∴ ?PMA ? ?MCP , ∴ ?PMA ? ?BPA ? ?MCP ,即 ?DPC ? ?MCP , ∴ MC // PD , ∴四边形 PMCD 是平行四边形. ???10 分 23.解: (Ⅰ) ? 的普通方程为 y ? 联立方程组

3 ( x ? 1), C1 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1.

? 1 3 ? y ? 3 ( x ? 1), 解得 ? 与 C1 的交点为 A(1,0) , B ( ,? ) ,则 | AB |? 1 . ? 2 2 2 2 ? x ? y ? 1 , ? 1 ? ? x ? 2 cos ? , 1 3 ? (Ⅱ) C2 的参数方程为 ? sin ? ) , (? 为参数).故点 P 的坐标是 ( cos ? , 3 2 2 ?y ? sin ? . ? 2 ?

3 3 cos ? ? sin ? ? 3 | 3 ? 2 2 从而点 P 到直线 ? 的距离是 d ? ? [ 2 sin(? ? ) ? 2] , 2 4 4 6 ? 由此当 sin(? ? ) ? ?1 时, d 取得最小值,且最小值为 ( 2 ? 1) . 4 4 |
24.

1 ? x? ? x ? 3, 2 ? 1 ? 解: (Ⅰ) f ( x) ? ??3 x ? 1, ?2 ? x ? ,所以原不等式转化为 2 ? x ? ?2 ? 3 ? x, ? ? ? 1 1 ? ? x ? ?2 4? ? x? ??2 ? x ? ? 所以原不等式的解集为 ? ??, ? ? ? ? 6, ?? ? 2 或? 2或? ? 3? ? ?3 ? x ? 3 ?x ? 3 ? 3 ? ? ?3 x ? 1 ? 3 ?
(Ⅱ)只要 f ( x) max ? t 2 ? 3t , 由(Ⅰ)知 f ( x) max ? ?1 ? t 2 ? 3t 解得 t ?

3? 5 3? 5 或t ? 2 2


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