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教学设计函数的零点与方程的根


习题 3.1 教学设计

教学目标 知识与技能 1.深刻理解函数零点的定义; 2.理解零点存在性定理及二分法的适用范围; 3.通过习题讲解及变式探究熟练掌握函数零点与其相应方程的实数根之间的等价关 系。 过程与方法 1.通过课前自测培养学生化归与转化的思想,将求函数零点转化为求其相应方程的 实数根; 2.通过数形结合思想的渗透,培养学生主动应用数学思想的意识; 3.通过习题讲解与变式探究的设置,引导学生得出判断函数的零点个数和所在区间 的方法; 情感、态度与价值观 1.让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题 时的意义与价值; 2.培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯; 3.使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感。 教学的方法与手段 授课类型:习题 课 教学方法:启发式教学、探究式学习 教学课件:自制 Powerpoint 课件 多媒体设备:计算机与电子白板 学情分析 本节课的授课对象是普通高中高一艺术特长生,学生的动手,动脑能力,以及观察、 归纳能力都没有很全面的基础,在本节课的学习上还是会遇到较多的困难,所以我 在本节课的教学过程中,从学生已有的经验出发,环环紧扣提出问题引起学生对结 论需求的愿望,将学生置于主动参与的地位。
1

重点难点 教学重点 函数零点与方程的根的等价关系及零点存在性的判定。 教学难点 探究判断函数的零点个数和所在区间的方法. 教学过程 【准备】 学生活动:学生做课前自测题. (1)函数 f(x)= x -x-6 的零点为______; (2)函数 f(x)=2x-4 的零点为_________; (3)函数 f(x)=log 4 x +1 的零点为______。
2

【导入】 教师活动:前两节课我们学习了函数的零点与方程的根及它们的关系,并且了解了零点存在 性定理及二分法.这节课我们要对这些知识做进一步地理解和深化,并做一下有关函数与方 程的习题. 教师活动:板书标题(习题 3.1 方程的根与函数的零点)。 【回顾】 教师活动:首先填一填基础知识,这是本节课的知识要点(学案上有),一会儿找同学回答. 学生活动:做学案(基础知识填空)(2 分钟) 师生共同活动:1.函数零点的概念 教师活动:强调零点是实数(应用电子白板笔勾画) 函数的零点就是其相应方程的根,求零点就是求方程的根.我们的课前自测是不是这样做的? 学生活动:是. 师生共同活动:对答案.学生回答 1,2 题,3 出现计算问题师强调对数运算要加强训练 师生共同活动:2.函数零点与方程根的关系.

2

教师活动:应用电子白板:

零点分同号零点与异号零点,我们今后主要研究异号零点( 师生共同活动:3.零点存在性定理 教师活动:应用电子白板:

)

零点存在性定理用于判断异号零点 师生共同活动:4.二分法 师强调二分法适用范围(异号零点)

【例析】学生活动:做典例 1 并回答

学生活动:甲选 AC 乙选 BD. 教师活动:为什么选 AC 学生活动:甲说因为 AC 都是同号零点,二分法不能用于同号零点。 乙说,噢!我没看见“不能”俩字儿。 教师活动:所以我们做题时一定要审清题意。 学生活动:做变式 1 并回答
3

变式 1.下图 4 个函数的图象的零点不能用二分法求近似值的是(



A、②

B、①③

C、①②④

D、②④

教师活动:这次看清题意了,好,请坐。 学生活动:做典例 2 并回答

教师活动:师逐个观察学生的做题情况并做指导。 教师活动:函数在哪几个区间内有零点,这几个区间应该满足什么条件呢? 学生活动:区间端点的函数值一正一负。 教师活动:对!所以应选哪个区间呢? 学生活动:丙说(2,3),(3,4),(4,5)。因为 f(2)>0,f(3)<0,f(4)>0,f(5)<0. 教师活动:好,请坐,说得很好。刚才我在下面巡视的时候,看见有的同学是画的图像,咱 请他来画一画好不好? 学生活动:好。丁上台画图像(电子白板蓝笔)

教师活动:画的不错,确实能体现出在这几个区间内有零点。那(5,6)上有没有零点呢?

4

学生活动:有,没有,有,没有,…… 教师活动:用电子白板红笔勾画出(5,6)内有零点。

学生活动:好奇,难道(5,6)也得写上?是!不是!…… 教师活动:(5,6)内有时有零点,有时没有零点,这就不能肯定地说有零点,不能肯定 地说有就是没有, 这体现了我们数学知识的准确严密性。 那有零点的区间就一定有一个零点 吗? 学生活动:是!不是!…… 教师活动:谁来画一下? 学生活动:戊上台画图(电子白板绿笔)

教师活动:好,看来有零点的区间不一定只有一个零点,可以有多少个? 学生活动:无数个!

5

教师活动:那什么时候有一个零点呢? 学生活动:你一言我一语的讨论,不拐弯的。 教师活动:不拐弯就是单调,这是函数的性质(忘了吧?当函数在某个区间上单调增或单调 减都称函数具有单调性),所以当函数在(2,3)上单调时只有一个零点,那么老师要问 了,函数 f(x)至少有多少个零点呢? 课件显示: 延伸:函数 f(x)至少有多少个零点? 学生活动:3 个 教师活动:显示课件:

典例 3:函数 f(x)=3x-2 在下列哪个区间内有零点( )
A.(-1,0) C.(1,2) B.(0,1) D.(2,3)

学生活动:做典例 3 教师活动:巡视并提示:在哪个区间内肯定有零点呢?应该是区间端点函数值一正一负。上 题有个图表,能看出正负,这个题没有图表,怎么办? 学生活动:代入算算发现选 B. 教师活动:课件显示: 解析:f(-1)=3-1-2<0 f(0)=30-2<0 f(1)=31-2>0 所以选 B 学生活动:做变式 3

变式 3.函数 f(x)= e x +x-2 的零点所在的一个区间是(
A.(-2,-1) C .(0,1) B .(-1,0) D.(1,2)

)

教师活动:巡视并做个别指导。 学生活动:学生己觉得 AB 带负号不好算,直接算 C,没想到一算就是 C。 教师活动:很好,这也是一种技巧,先算好算的、顺眼的,不错。肯定有同学先算 A 再算 B 然后算 C 的,这体现了一种经验。高考两个小时,很多同学做不完,但也有天才一个小时 做完的,他肯定有技巧,有经验。但我们知道天才=1%的灵感+99%的汗水,如果没有 99% 的汗水付出,怎么可能会得到 1%的灵感呢?所以我们要脚踏实地,认真努力。 学生活动:学生庚问 e 是什么?(高一特长生基础不同)

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教师活动:e 是一个无理数,我们讲对数时说的, e ? 2.71828 …还有几个无理数一定要记 住哟,如 ? , 2 , 3, 5 。 学生活动:学生做自主探究题

自主探究
求函数 y= x -2x-8 在 y>0 时,x 的取值范围. y 教师活动:可以讨论讨论。 (几分钟) 教师活动:想一想这个题与这节课的零点问题有没有关系,y>0 什么意思,怎么用?画图试 试。 学生活动:y>0 表示图像的 x 轴上方。 4 2 解:∵y= x -2x-8=(x+2)(x-4), 2 ∴函数的两个零点是-2 和 4,由图象可知 当 x∈(-∞,-2)∪(4,+∞)时,y>0. 教师活动:此题由图像解出,体现了数形结合思想。 【总结】 师生共同活动: 1 贯穿本节课所有例题及变式的一个等价关系,也是一个灵魂所在。 函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点
2

x

方程 f(x)=0 有实数根 数

形 数 函数 y=f(x)有零点

2

零点的判断

图象法

代数法

教师活动:板书:数形结合思想、转化与化归思想。 教师活动:这节课收获了多少?检验一下自己。课件展示自我检测。
7

【自测】

自 我 检 测 1 . y= 2x - 1 的图象与 x 轴的交点坐标及其零点 分别是( ) 1 1 B.( ,0); 2 2 1 1 D.(- ,0);- 2 2

1 1 A.(0, ); 2 2 1 1 C .(0,- );- 2 2

2.函数 y=x2-3x+1 的零点个数是( A.0 B .1 C. 2

) D.不确定

3.已知函数 f(x)在区间[a,b]上单调,且 f(a)·f(b)<0,则函数 f(x)在区间 (a,b)上( ) A.至少有三个零点 B.可能有两个零点 C.没有零点 D.必有唯一的零点 4.若函数 f(x)=x2+2x+a 没有零点,则实数 a 的取值范围是( A.a<1 B.a>1 C.a≤1 D.a≥1 )

5.已知函数 f(x)为偶函数,其图象与 x 轴有四个交点,则该函数所有零点 之和 为______.

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