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浙江省新阵地教育研究联盟2015届高三联考数学(文科)试题卷及答案


浙江省新阵地教育研究联盟 2015 届高三联考

数学(文科)试题卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页, 选择题部分 1 至 2 页, 非选择题部分 3 至 4 页。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的姓名、 准考证号用黑色字迹的签

字笔或钢笔分别填写在答题纸规定 的位置上。 2. 每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
参考公式: 球的表面积公式 S=4πR2 球的体积公式 V=
4 3

柱体的体积公式 V=Sh 其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 台体的体积公式 V=

πR 3

其中 R 表示球的半径 锥体的体积公式 V=

1 h(S1+ S1 S2 3

+S2)

其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高

1 Sh 3

其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高

第 I 卷(选择题

共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.设集合 A ? {x | ?2 ? x ? 3} , B ? {x | x ? 1 ? 0} ,则集合 A A. {x | ?2 ? x ? ?1} B. {x | ?2 ? x ? ?1}

B 等于

C. {x | ?1 ? x ? 3} D. {x |1 ? x ? 3}

2.下列函数中,其图象既是轴对称图形又在区间 (0, ??) 上单调递增的是 A. y ?

1 x

B. y ? ? x ? 1
2

C. y ? 2


x

D. y ? lg | x ? 1|

数学(文科) 试题卷

第 1 页 共 8 页

3.如图,三棱锥 V ? ABC 的底面是以 B 为直角顶点的等腰直角三角形,侧面 VAC 与底面 ABC 垂 直,已知其正视图的面积为 2 3 ,则其侧视图的面积是

4.若 m , n 为两条不重合的直线, ? , ? 为两个不重合的平面, 下列命题正确的是 A.若 m // ? , n // ? , 则 m // n B.若 m ? ? , n ? ? , 且 ? // ? ,则 m // n C.若 ? ? ? , m ? ? , 则 m // ? D.若 ? ? ? , m ? n ,且 m ? ? ,则 n ? ?

3 A. 2

V

B. 3

C. 2 3

D. 3

A

C
B
(第 3 题图)

5.设数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? 1, a3 ? 2 ,且对任意正整数 n ,都有 an an?1an?2 ? 1 ,又

an an?1an?2an?3 ? an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ,则 a1 ? a2 ?
A.200 B.180 C.160

? a100 的值为
D.100

6.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名命名的函数 f ( x ) ? ?

?1, x ? Q,

?0, x ? ?R Q. 被称为狄利克雷函数,其中 R 为实数集, Q 为有理数集,则关于函数 f ( x ) 有如下四个命题: ① f ( f ( x)) ? 1 ;②函数 f ( x ) 是偶函数;③任取一个不为零的有理数 T , f ( x ? T ) ? f ( x) 对任 意的 x ? R 恒成立;④存在三个点 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) ,C ( x3 , f ( x3 )) ,使得△ ABC 为
等边三角形.其中真命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4

7.如图,在△ OMN 中, A, B 分别是 OM , ON 的中点,若 OP ? xOA ? yOB( x, y ? R ),且点 P 落在四边形 ABNM 内(含边界),则

y ?1 的取值范围是 x? y?2
N
B

1 2 3 3 1 3 C. [ , ] 4 4
A. [ , ]

1 3 3 4 1 2 D. [ , ] 4 3
B. [ , ]

P A

O
P 在底面 ABCD 内, 8.在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,动点
且 P 到棱 AD 的距离与到面对角线 BC1 的距离相等,则点 P 的轨迹是 A.线段 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分

M

(第 7 题图)

D.抛物线的一部分

数学(文科) 试题卷

第 2 页 共 8 页

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

注意事项: 1. 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上, 不能答在试题卷上。 2. 在答题纸上作图, 可先使用 2B 铅笔, 确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二、填空题:本题共 7 小题,第 9 ? 12 题每空格 3 分,第 13 ? 15 题每空格 4 分,共 36 分.。将答案直 接答在答题卷上指定的位置。 9. 向量 m ? ? ? ? 1,1? , n ? ? ? ? 2, 2 ? ,若 m ∥ n , 则 ? = _____; 若 m ? n ? m ? n ,则 ? = ______.

?

? ?

?

π 1 ? cos 2? ) ? _______; = __________. 4 sin 2? ?a, a ? b, 11.函数 f ( x) ? min{ x,| x ? 2 |} ,其中 min{a, b} ? ? ,则 f ( x ) 的最小值为__________; ?b, a ? b. 若直线 y ? m 与函数 y ? f ( x) 的图象有三个不同的交点,则实数 m 的取值范围是 .
10. 已知点 P(cos ? ,sin ? ) 在直线 y ? ?3x 上, 则 tan(? ? 12.已知点 E 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的左顶点, 点 F 是该双曲线的右焦点, 过点 F 且 a 2 b2 垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A , B 两点,若△ ABE 是直角三角形,则该双曲线的离心率
是________,渐近线的方程为___________.

13.已知 p :

5 ? 1 , q : x2 ? 2x ? 1 ? m2 ? 0 (m ? 0) ,若 p 是 q 的必要不充分条件,则实数 x ?1

m 的取值范围是_____________. 14.已知实数 a, b, c 成等差数列,点 P(?3, 0) 在动直线 ax ? by ? c ? 0( a , b 不同时为零)上的射影
点为 M ,若点 N 的坐标为 (2,3) ,则线段 MN 长度的最大值是_____________. 15.已知函数 f ( x) ? x ? 1 ,若 ?x ? R ,使得不等式 f ( x) ? x[ f ( x) ? x] ? af ( x)[ f ( x) ? x] ? 0 成
2 2

立,则实数 a 的取值范围为___________.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 15 分)在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边是 a , b , c , 且 a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc . (Ⅰ)求角 A 的大小;

3 S ? cos B cos C 的最大值. 3 17. (本小题满分 15 分)已知数列 {an } 是公差不为零的等差数列, a1 ? 1 ,且 a2 , a4 , a 8 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;
(Ⅱ)若 a ? 3 , S 为△ ABC 的面积,求

数学(文科) 试题卷

第 3 页 共 8 页

(Ⅱ)设数列 {bn } 满足: a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 数列 {cncn?1} 的前 n 项和 Sn .

? anbn ? 2n?1 , n ? N ? ,令 cn ?

bn ?1 ? , n ? N ,求 n ?1 2

18. (本小题满分 15 分)如图,在直角梯形 ABCD 中, AD ∥ BC ,?ABC ? 90? ,?BCD ? 45? , E 为 AD 上的点, EF ? BC ,垂足为 F ,沿 EF 将矩形 ABFE 折起,使二面角 A ? EF ? C 的大小为 60 ? ,连结 AD , AC , BC . (Ⅰ)若 M 为 FC 的中点,求证: AC ∥平面 BEM ; (Ⅱ)求直线 CD 与平面 ABFE 所成角的正弦值.

A A E D B D B F

C

E F M

(第 18 题图)

C

19. (本小题满分 15 分)已知 a ? R ,设函数 f ( x) ? x | x ? a | ? x . (Ⅰ) 若 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ) 若 a ? 1 ,对于任意的 x ? [0, t ] ,不等式 ?1 ? f ( x) ? 6 恒成立,求实数 t 的最大值及此时 a 的值.

20. (本小题满分 14 分)已知中心在原点的椭圆 ?1 和抛物线 ?2 有相同的焦点 (1, 0) ,

1 ,抛物线 ?2 的顶点为原点. 2 (Ⅰ) 求椭圆 ?1 和抛物线 ?2 的方程; (Ⅱ) 设点 P 为抛物线 ?2 准线上的任意一点,过点 P 作抛物
椭圆 ?1 的离心率为 线 ?2 的两条切线 PA , PB , 其中 A , B 为切点. (ⅰ )设直线 PA , PB 的斜率分别为 k1 , k2 ,求证: k1k2 为定值; (ⅱ) 若直线 AB 交椭圆 ?1 于 C ,D 两点,S△PAB ,S△PCD

y

A C

P O D
(第 20 题图)

S 分别是△ PAB ,△ PCD 的面积,试问: △ PAB 是 S△ PCD
否有最小值?若有,求出最小值;若没有,请说明理 由.
数学(文科) 试题卷 第 4 页 共 8 页

B

x

图)

浙江省新阵地教育研究联盟 2015 届高三联考 数学(文科)参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1—4 C D B B 5—8 A D C D 二、填空题(第 9 ? 12 题每小题 6 分,第 13 ? 15 题每小题 4 分,共 36 分) 9.0,3 13. ? 0, 2? 10.2, ?

1 3 14. 5 ? 5

11.0, (0,1) 15. a ? 1

12.2, 3x ? y ? 0

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分) 16. (本小题满分 15 分) (I)因为 a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc ,由余弦定理得 cos A ? 又因为 0 ? A ? π ,所以 A ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? …………………4 分 2bc 2

π . …………………………………………………7 分 3 π a b c ? ? (II)由 A ? , a ? 3 及正弦定理 ,得 b ? 2sin B, c ? 2sin C , sin A sin B sin C 3 3 S ? cos B cos C ? sin B sin C ? cos B cos C ? cos( B ? C ) ,………………12 分 则 3 3 π S ? cos( B ? C ) 的最大值为1 . 当 A ? B ? C ? 时, cos( B ? C ) 的最大值为 1,即 3 3
…………………………………………………………………………………………15 分 17. (本小题满分 15 分) (I)设等差数列 {an } 的公差为 d ,因为 a1 ? 1 ,且 a2 , a4 , a8 成等比数列.
2 所以 a4 ? a2 ? a8 ,即 (a1 ? 3d )2 ? (a1 ? d )(a1 ? 7d ) ,

解得 d ? 0 (舍)或 d ? 1 ……………………………………………………………5 分 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? a1 ? (n ?1)d ? n ,即 an ? n . ………………7 分 (II)由 a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ?

? anbn ? 2n?1 , ? an?1bn?1 ? 2n ( n ? 2 ) ? 2n ? 2n ,即 bn ?
2n (n ? 2) ,……………………10 分 n

a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ?
两式相减得 anbn ? 2 则 cn ?
n?1

bn ?1 b ?2 1 1 ? ? , cn ?1 ? n , n ?1 n?2 2 n ?1 2 n?2 1 1 1 ? ? 所以 cn cn ?1 ? ,……………………………………13 分 (n ? 1)( n ? 2) n ?1 n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? ? ? ? 则 Sn ? ? ? ? ? ? . …………15 分 2 3 3 4 n ? 1 n ? 2 2 n ? 2 2(n ? 2)
数学(文科) 试题卷 第 5 页 共 8 页

18. (本小题满分 15 分) (I)连结 AF 交 BE 于 N ,连结 MN , 则 N 是 AF 的中点,又因为 M 为 FC 的中点, 则 MN ∥ AC ,……………………………4 分 因为 MN ? 平面 BEM , AC ? 平面 BEM ,所以 AC ∥平面 BEM . …………………………………………… 7 分 (II)过 E 作 EG ∥ DC 交 FC 于 G , 则直线 CD 与平面 ABFE 所成角 就是 EG 与平面 ABFE 所成角, 过 G 作 GH ? BF 于 H ,连结 EH , 因为 EF ? BF , EF ? CF , BF

A
B

D
E F

H

M

G

C

(第 18 题图)

CF ? F ,所以, ?BFC ? 60? ,

EF ? 平面 BFC ,又 GH ? 平面 BFC ,所以 EF ? GH ,则 GH ? 平面 AEFB , 故 ?GEH 就是 EG 与平面 ABFE 所成角, ……………………………………10 分
在直角△ EFG 中, EG ? 2FG ,

3 6 FG ,即 GH ? EG , 2 4 GH 6 在直角△ EGH 中, sin ?GEH ? , ? EG 4 6 即直线 CD 与平面 ABFE 所成角的正弦值为 .………………………………15 分 4
在直角△ HFG 中, GH ? 19. (本小题满分 15 分)
2 ? ?? x , x ? 1, (I)当 a ? 1 时, f ( x) ? ? 2 , …………………………………………3 分 ? ? x ? 2 x, x ? 1, 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (??, 0) , (1, ??) ,单调递减区间为 (0,1) . ……6 分 2 ? ?? x ? (a ? 1) x, x ? a, (II) f ( x) ? ? 2 ? ? x ? (a ? 1) x, x ? a. a ?1 a ?1 ? ? 0 , f ( x) 在 [0, t ] 单调递增, f ( x)min ? f (0) ? 0 ①当 a ? ?1 时, a ? 2 2 f ( x)max ? f (t ) ? t 2 ? (a ? 1)t ,由题意得 f ( x)max ? 6 ,即 t 2 ? (a ? 1)t ? 6 ,

(a ? 1) ? (a ? 1)2 ? 24 , 2 m2 ? 24 ? m 12 令 m ? ?(a ? 1) ? 0 , h(m) ? 在 [0, ??) 单调递减, ? 2 m2 ? 24 ? m
解得 0 ? t ?
数学(文科) 试题卷 第 6 页 共 8 页

所以 h(m)max ? h(0) ? 6 ,即当 a ? ?1 时, tmax ? 6 .…………………………9 分

a ?1 a ?1 a ?1 ?a?0? ] 单调递减, , f ( x ) 在 [0, 2 2 2 a ?1 a ?1 (a ? 1)2 1 , ??) 单调递增, f ( x)min ? f ( )?? ? [? , 0) , 在[ 2 2 4 4 2 满足 f ( x)min ? ?1, f ( x)max ? f (t ) ? t ? (a ? 1)t ,由题意得 f ( x)max ? 6 ,
②当 ?1 ? a ? 0 时,

(a ? 1) ? (a ? 1)2 ? 24 , 2 m ? m2 ? 24 令 m ? a ? 1 ? 0 , h(m) ? 在 (0,1] 单调递增, 2 所以 h(m)max ? h(1) ? 3 ,即当 a ? 0 时, tmax ? 3 . ……………………………12 分 a ?1 a ?1 a ?1 ?0?a? ] 单调递减, ③当 0 ? a ? 1 时, , f ( x ) 在 [0, a], [a, 2 2 2 a ?1 a ?1 (a ? 1) 2 1 , ??) 单调递增, f ( x) min ? f ( )?? ? [?1, ? ) , 在[ 2 2 4 4 2 满足 f ( x)min ? ?1, f ( x)max ? f (t ) ? t ? (a ? 1)t ,由题意得 f ( x)max ? 6 ,
即 t 2 ? (a ? 1)t ? 6 ,解得 0 ? t ? 即 t ? (a ? 1)t ? 6 ,解得 0 ? t ?
2

(a ? 1) ? (a ? 1)2 ? 24 , 2

同②得 h(m) ? 所以 h(m)max

m ? m2 ? 24 在 (1, 2] 单调递增, 2 ? h(2) ? 1 ? 7 ,即当 a ? 1 时, tmax ? 1 ? 7 ,

综上所述, tmax ? 1 ? 7 ,此时 a ? 1 .……………………………………………15 分 20. (本小题满分 14 分) (I)设椭圆 ?1 和抛物线 ?2 的方程分别为

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), y 2 ? 2 px ( p ? 0) 2 a b ? a ? 2, c 1 p p ? 2 , ……………………………3 分 由题意得, ? , c ? 1, ? 1 ,即 ? a 2 2 ?c ? 1, x2 y 2 ? ? 1 ,抛物线 ?2 的方程为 y 2 ? 4x .………………5 分 所以椭圆 ?1 的方程为 4 3

2 (II) (ⅰ )设 P(?1, t ) ,过点 P 与抛物线 y ? 4 x 相切的直线方程为 y ? t ? k ( x ? 1) ,

由?

? y ? t ? k ( x ? 1), ? y ? 4 x,
2

消去 x 得 y ?
2

4 4t y? ?4?0, k k

由 ? ? 0得

1 t ? ? 1 ? 0 ,即 k 2 ? tk ? 1 ? 0 ,则 k1k2 ? ?1.……………………8 分 2 k k

数学(文科) 试题卷

第 7 页 共 8 页

1 2 2 1 , y2 ? ,则 x1 ? 2 , x2 ? 2 , k2 k1 k2 k1 y ? y1 2 直线 AB 的方程为 y ? y1 ? 2 ( x ? x1 ) ,即 y ? ? ( x ? 1) , x2 ? x1 k1 ? k2 即直线 AB 过定点 (1, 0) .………………………………………………………10 分 y 2 2 法二:以 A 为切点的切线方程为 y ? y1 ? ( x ? x1 ) ,即 y ? x? 1 y1 y1 2 即 y1 y ? 2( x ? x1 ) ,同理以 B 为切点的切线方程为 y2 y ? 2( x ? x2 ) ,
(ⅱ)法一:设 A( x1 , y1 ) B( x1 , y2 ) ,由(ⅰ )得 y1 ? 因为两条切线均过点 P(?1, t ) ,所以 ?

?ty1 ? 2( ?1 ? x1 ), ?ty2 ? 2( ?1 ? x2 ).

则切点弦 AB 的方程为 ty ? 2( x ? 1) ,即直线 AB 过定点 (1, 0)

1 d ? AB AB S 设 P 到直线 AB 的距离为 d , △ PAB ? 2 . ? 1 S△ PCD CD d CD 2 ①当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) , D( x4 , y4 ) ,
由?

? y 2 ? 4 x, ? y ? k ( x ? 1),
2

消去 y 得 k 2 x2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 , k ? 0 时 ? ? 0 恒成立.

AB ?

?1 ? k ? ? x

2

? x1 ?

2

16 ? 16k 2 4 ?1 ? k ? ?1 ? k ? ? k4 k2
2

2

?.

? x2 y 2 ? 1, ? ? 由? 4 消去 y 得 (3+4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 , ? ? 0 恒成立. 3 ? y ? k ( x ? 1), ? 2 12 ?1 ? k 2 ? 2 2 2 144 ? 144k CD ? ?1 ? k ? ? x3 ? x4 ? ? ?1 ? k ? ? , ………12 分 (3 ? 4k 2 ) 2 3 ? 4k 2

所以

S△PAB 3 ? 4k 2 1 4 4 k2 = ? ? 2? ? . S△PCD 12 ?1 ? k 2 ? 3k 2 k 3 3
3 ? 4k 2

4 ?1 ? k 2 ?

②当直线 AB 的斜率不存在时,直线 AB 的方程为 x ? 1 , 此时, AB ? 4 , CD ? 3 , 所以,

S△PAB 4 ? S△PCD 3
.………………………………………14 分

S△PAB 4 的最小值为 . 3 S△PCD

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