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有关三角形的几个心的向量式问题


有关三角形的几个心的向量式问题
1、 ?ABC 的外心是三条边 AB、BC、CA 的线段垂直平分线的交点 结论: O 为 ?ABC 的外心 ? OA ? OB ? OC 2、 ?ABC 的重心是三条中线的交点
2 2 2

结论: O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 . 3、 ?ABC 的垂心是三条高线的交点 结论: O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA . 4、 ?ABC 的内心是三条内角平分线的交点 结论: O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 . 5、 ?ABC 的旁心是两条外角平分线和一条内角平分线的交点 结论: O 为 ?ABC 的 ? A 的旁心 ? aOA ? bOB ? cOC 6、综合应用 要会证明

(1)?ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H,OH ? m(OA ? OB ? OC) , 则实数 m = 1 (2)如果 ?ABC 的外接圆的圆心为 O, OH ? OA ? OB ? OC ,那么 H 是 ?ABC 的垂心 (3)O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足

OP ? OA ? ? (

AB

| AB | | AC |

?

AC

) , ? ? ?0 , +?? ,则 P 的轨迹一定通过△ABC 的( )

(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 (4)O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足

? ? ? AB AC ? ? OP ? OA ? ? ? ? ? ? ? R 则 P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) ? AB sin B AC sin C ? ? ?

?

?

(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 (5)O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足

? ? ? AB AC ? ? OP ? OA ? ? ? ? ( ) ? ? ? R 则 P 的轨迹一定通过△ABC 的 ? AB cos B AC cosC ? ? ?

?

?

(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 (6)已知 A,B,C 是平面上不共线上三点,O 为 ?ABC 外心,动点 P 满足
? ? ? ? 1? ? () OP ? ?(1 ? ? ) OA? (1 ? ? ) OB? (1 ? 2? ) OC? (? ? R且? ? 0) ,则 P 的轨迹定过 ?ABC 的 3? ?

A 内心

B 垂心

C 重心

D AB 边的中点

下面证明:设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,则

O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 .

证明:?

DO OA

?

DC b

?

BD c

?

a b?c

?aOA ? ?b ? c?DO ? ?b ? c? DB ? BO
c ? ? ? ?b ? c ?? OB ? OC ? BO? b?c ? ?

?

?

?

?

? cOB ? cOC ? bBO ? c BO ?aOA ? bOB ? cOC ? 0
▲给出直线的方向向量 u ? ?1, k ? 或 u ? ?m, n?, m ? 0 ,等于已知直线的斜率为
2

k或

n m

▲ 给 出 OA ? OB与AB 相 交 , 等 于 已 知 OA ? OB过AB 的 中 点 ▲ 给 出

OA ? OB与OC 共 线 , 等 于 已 知 OC与OM 共 线 , 其 中 M是AB 的 中 点 ▲ 给 出
PM ? PN ? O 等于已知 P是MN 的中点▲给出 OP ?
的中点▲给出 PN ?

1 OM ? ON 等于已知 P是MN 2

?

?

1 MN ? 0 等于已知 P是MN 的中点▲给出 AP ? AQ ? ? BP ? BQ 2

?

?

等于已知 A, B与PQ 的中点三点共线▲给出以下情形之一① AB ∥ AC ,②存在实数

?, 使AB ? ? AC, ③ 若 存 在 实 数 ? , ? 且 ? ? ? ? 1, 使OC ? ? OA, ? ? OB, 等 于 已 知
OA ? ? OB ,等于已知 P是AB 的定比分点点,? 1? ? 为定 比,即 AP ? ? PB ▲对 于不共线的 向量 MA, MB, 给出 MA ? MB ? 0 , 等于已知
A, B, C 三点共线▲给出 OP ?
MA ? MB
? ? ? MA MB ? 即 ?AMB 是直角(什么情况下为锐角或钝角呢?)▲给出 ? ? ? ? ? MP ? MA MB ? ? ? 等 于 已 知 MP 是 ?AMB 的 平 分 线 ▲ 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 , 给 出

?AB ? AD?? ?AB ? AD? ? 0 等于已知 ABCD 是菱形,给出 AB ? AD ? AB ? AD 等于已
BA ? t BC ? AC ,则 ?ABC 一定为
1 ?AMB 的面积为 m 2

知 ABCD 是矩形,▲已知 ?ABC ,若对任意 t ? R,

直角三角形,且 ?C 为直角。▲在 ?ABC 中,给出 MA ? MB ? m cot ?AMB 等于已知


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