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2.6指数函数(第二课时)


指数函数(第二课时) ? 【学习目标】 1.加深理解指数函数的图象和性质,并能用于解决简单问题. 2.能熟练解决与指数函数有关的复合函数的单调性与奇偶性问题. ? 【学习障碍】 1.对指数函数的函数值与 1 的比较把握不准,不能准确、迅速地应用到解题中去. 2.对指数函数恒过的定点(0,1)理解不深刻,不能变通应用. 3.复合函数单调性、奇偶性的判断技巧运用不熟练. ? 【学习策

略】 Ⅰ.学习导引 1.阅读课本 P72~75. 2.本课时重点是指数函数图象的运用,难点是指数函数单调性的应用,以及函数图象的平 移变换. 3.主要基础知识:指数函数的图象及性质.复合函数:一般地,如果 y 是 u 的函数,而 u 又是 x 的函数,即 y=f(u) ,u=g(x) ,那么 y 是 x 的函数,y=f[g(x) ]叫做函数 f 和 g 的复合函数,u 叫做中间变量. 复合函数的增减性:一般地,在复合函数 y=f[g(x) ]中,如果 u=g(x)和 y=f(x)的 增减性相同,则为增函数;如果 u=g(x)和 y=f(x)增减性相反,则为减函数.另外还 有函数图象的平移交换. Ⅱ.知识拓宽 在同一坐标系中,利用图象的变换画出下列各组函数的图象: (1)y=3x 与 y=-3x; (2)y=3x 与 y=-3-x. 解: (1)y=3x 与 y=-3-x 的图象关于 x 轴对称. (2)函数 y=3x 与 y=-3-x 的图象关于原点对称,那么由 y=3x 的图象可以作出 y=-3x 和 y=-3-x 的图象如图. 说明:主要利用函数图象的变换,根据熟悉的函数图象作图.其中,轴对称变换,关于原点 的对称变换,坐标之间存在以下关系:①关于 x 轴对称是(x,y)对应(x,-y) ;②关于 y 轴对称是, (x,y)对应(-x,y) ;③关于原点对称是, (x,y)对应(-x,-y) ;④关于 直线 y=x 对称是, (x,y)对应(y,x) . Ⅲ.障碍分析 1.怎样求 y=(a>0 且 a≠1)型函数的值域? 解:易得 f(x)的定义域为{x|x∈R}. 由 y=,解得 ax=- ① ∵ax>0,当且仅当->0 ② 方程①有解.解②得-1<y<1 ∴f(x)的值域为{y|-1<y<1} 点评:形如 y=等函数的值域都可利用反解的方法,再利用 ax,x2,sinx 有界性(即有范

围)来求得函数值域. 2.如何作“类指数函数”的图象并研究其性质? y=2x+1 或 y=3x+1 这一类函数,我们可以称之为“类指数函数” .这类函数的图象和性质 可以利用指数函数的有关知识和方法来讨论. 这里要用到函数变换的几个结论,介绍如下:①把函数 y=f(x)的图象作下列变换,可得 到相应的新的函数的图象(其中 a>0) : f(x)向左平移 a 个单位得到函数 y=f(x+a) f(x)向右平移 a 个单位得到函数 y=f(x-a) f(x)向上平移 a 个单位得到函数 y=f(x)+a f(x)向下平移 a 个单位得到函数 y=f(x)-a f(x)的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 a 倍得到 y=af(x) f(x)的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的倍得到 y=f(ax) 3.如何判断 y=ax-3+3(a>0 且 a≠1)恒通过的定点? 分析:赋值法 解析:令 x-3=0 即 x=3,则 ax-3+3=a0+3=4, ∴函数 y=ax-3+3 恒通过定点(3,4) . 点评:赋值法,指数函数的函数值为 1 时,自变量取 0,即函数恒通过定点(0,1) , (即不 管 a 取何值,指数函数都恒过(0,1)点)在研究与指数函数有关的复合函数时,常令指数 为 0,以发现该函数通过的定点. 4.与指数函数有关的几类典型习题: 第一类:设 0≤x≤2,求函数 y=-3?2x+5 的最大值和最小值. 分析指导:注意到 4x=(2x)2,设 2x=u,则原来的函数成为 y=u2-3u+5,利用闭区间 上二次函数的值域求法,可求得函数的最值. 解:设 2x=u,由 0≤x≤2 知,1≤u≤4.→利用换元法,函数成为 y=,u∈[1,4] ,对称 轴 u=3∈[1,4] ,故函数最小值为?32-3?3+5=,因端点 u=1 较 u=4 距对称轴 u=3 远,故函数的最大值为?12-3?1+5=2. 小结:换元法是一种常用的数学方法,在涉及指数形式的换元时,经常用到 4x=(2x)2, 9x=(3x)2 等. 第二类:比较(a>0 且 a≠1)的大小. 分析指导:解答此题既要讨论幂指数 2x2+1 与 x2+2 的大小关系,又要讨论底数 a 与 1 的 大小关系. 解:令 2x2+1>x2+2,得 x>1 或 x<-1. ①当 a>1 时,有:x>1 或 x<-1 时,2x2+1>x2+2,从而 ②a=±1 时,2x2+1=x2+2,从而 a2x2+1=ax2+2 ③当 0<a<1 时,同理可得: 1°x>1 或 x<-1 时, 2°x=±1 时, 3°-1<x<1 时, 点评:分类讨论是一种重要的数学方法,运用分类讨论法时,首先要确定分类的标准,涉及 到指数函数问题时,通过将底数与 1 的大小关系作为分类标准. 第三类:已知函数 y=(,求它的单调区间. 分析:这是一个复合函数问题,注意应用复合函数单调性的判断方法. 解:令 y=()t,则 y 是关于 t 的减函数,令 t=x2-2x,则 t 在(-∞,1]上是减函数, 在[1,+∞)上是增函数,可得 y=(在(-∞,1]上是增函数而在[1,+∞)上是减

函数. 点评:问题的一般结论为:复合函数 y=f[g(x) ] ,t=g(x) ,若 f(t)为增函数,则 f(g (x) )与 g(x)单调性相同; 若 f(t)为减函数,则 y=f(g(x) )的单调性与 g(x)的单调性相反. 第四类:已知函数 f(x)=(a>0 且 a≠1) . (1)讨论 f(x)的奇偶性; (2)讨论 f(x)的单调性; 思路:f(x)=,通过分离常数,使变量集中,那么讨论函数的性质就比较容易了. 解:f(x)=(分离常数法) . (1) ∵f(-x)==-f(x)且定义域为 R, ∴f(x)是奇函数. (2)对 a 分类讨论: ①当 a>1 时,∵ax 为增函数, ∴为减函数,从而 f(x)=1-为增函数; ②当 0<a<1 时,类似地,可得 f(x)=1-为减函数. 故当 a>1 时,f(x)=在 R 上为增函数;当 0<a<1 时,f(x)=在 R 上为减函数. 点评:此题(2)中的困难在于:若 a>1,则 ax 增,ax-1 增,ax+1 也增,因此无法判明的 增减性.造成这一困难的原因在于:变量分布的“范围”太大,因而变化因素不集中,通过 分离常数: f(x)=,使变量集中于分母,就容易判断其增减性了. 这种变量集中的思想在数学解题中具有广泛的应用. 如二次函数求最值时, 常常使用配方法, 就是这种思想的体现. Ⅳ.思维拓展 函数 y=的反函数是 A.奇函数,它在(0,+∞)上是减函数 B.偶函数,它在(0,+∞)上是减函数 C.奇函数,它在(0,+∞)上是增函数 D.偶函数,它在(0,+∞)上是增函数 分析:先要知道 e≈2.7>1,ex 在(0,+∞)上是增函数.e-x=()x 在(0,+∞) 上是减函数,但-e-x 是增的,根据增+增=增.我们知道 f(x)=是增的在(0,+∞) 上.再根据原函数增,反函数也增,我们知道 f -1(x)也是增的. 对 f(-x)==-f(x) ∴f(x)是奇函数. 又∵原函数是奇函数,反函数是奇函数, ∴我们知道 f -1(x)是奇函数,所以选 C. Ⅴ.探究学习 已知 f(x)=) (a>0,且 a≠1) . ①判断 f(x)的奇偶性和单调性. ②对于 f(x)当 x∈(-1,1)时,有 f(1-m)+f(1-m2)<0,求实数 m 的集合 M. ? 参考答案: 解:①f(-x)+f(x)=0,∴f(-x)=-f(x) ,∴f(x)为奇函数. 当 a>1 时,>0,ax,-a-x 在(-∞,+∞)上都为增函数, ∴f(x)在(-∞,+∞)为增函数.

当 0<a<1 时,<0,ax,-a-x 在(-∞,+∞)上都为减函数 ∴f(x)在(-∞,+∞)为增函数 ②f(1-m)+f(1-m2)<0f(1-m)<f(m2-1) ∴0<m<1. ? 【同步达纲练习】 一、选择题 1.设 f(x)=()|x|,x∈R 那么 f(x)是 A.奇函数且在(0,+∞)上是增函数 B.偶函数且在(0,+∞)上是增函数 C.奇函数且在(0,+∞)上是减函数 D.偶函数且在(0,+∞)上是减函数 2.函数 y=的值域是 A. (0,+∞) B. (-∞,1) C. (0,1) D. (1,+∞) 3.函数 f(x)=(1+ax)2?a-x(a>0,且 a≠1) A.是奇函数但不是偶函数 B.是偶函数但不是奇函数 C.既不是奇函数又不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 4.函数 y=(为增函数的区间是 A. [-1, ] B. (-∞,-1) C. [2,+∞ D. [,2] ? 二、填空题 5.函数 y=的值域是______________. 6.函数 f(x)=(a>0 且 a≠1)的最值为______________. 7.若函数 f(x)=a+为奇函数,则 a=______________ ? 三、解答题 8.已知函数 f(x)=(x3 (1)求 f(x)的定义域; (2)讨论 f(x)的奇偶性; (3)证明 f(x)>0. 9.已知 f(x)=10x,且 f(x)=g(x)+h(x) ,其中 g(x)为偶函数,h(x)为奇函数. (1)求 g(x) ,h(x) ; (2)判断 h(x)的单调性. ?

参考答案 【同步达纲练习】 一、1.D 提示:函数 f(x)=()|x|为偶函数,设 y=f(x) ,t=|x|则 y=()t 函数 t =|x|在(0,+∞)上递增,因此 f(x)=()|x|在(0,+∞)上递减. 2.C 提示:由 y=得 3x=由 3x>0 即>0∴0<y<1 3.B 提示:由 f(-x)=(1+a-x)2ax=(1+ax)2?a-x=f(x) . 4.D 提示:设 t=,则 y=()t 由-x2+x+2≥0 得-1≤x≤2 函数 t=(-1≤x≤2)的递减区间[,2]即为函数 y=的递增区间. 二、5. (0,2] 提示:由 t=x2-2x+=(x-1)2-得 t≥- 当 t∈[-,+∞)时,函数 y=0.25t 的取值范围为 0<y≤即 0<y≤2 6.- 提示:设 y=f(x) ,t=ax,则 t>0, y=t2-3t+2=(t-)2- 当 t=时,函数取到最小值为- 7.- 提示:∵函数 f(x)=a+为奇函数且定义域为 R. ∴f(0)=0 即 a+=0,∴a=- 三、8. (1)解:要使 f(x)有意义,必须 2x-1≠0 即 x≠0, ∴函数 f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞) (2)解:∵f(-x)=(-x)3 =(- =(x3=f(x) , ∴f(x)是定义域上的偶函数. (3)证明:当 x>0 时,2x>1,x3>0,∴f(x)>0, 又 f(x)是偶函数,故当 x<0 时,也有 f(x)=f(-x)>0 故 f(x)>0. 9.解: (1)∵g(x)+h(x)=10x ① 将 x 换为-x 得 g(-x)+h(-x)=10-x 即 g(x)-h(x)=10- ② 由①②联立得:g(x)=,h(x)= (2)设 x1<x2 ∴ ①,且 ② ①+②得: 即 h(x1)<h(x2) ,因此 h(x)在(-∞,+∞)上递增.


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