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浙江省嘉兴市2013届高三第二次模拟考试数学文试题 Word版含答案


嘉兴市 2013 年高三教学测试(二)
文科数学 试题卷 第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.设集合 A ? {1,2,3} , B ? {1,3,9} , x ? A ,且 x ? B ,则 x ? A.1 2.在复平面内,复数 A.第一象限 C.第三象限 3.若 log 1 (1 ? x) ? log 1 x ,则
2 2

B.2
i 1? i

C.3

D.9

对应的点位于 B.第二象限 D.第四象限

A. 0 ?

x?1

B. x ?
2

1 2

C. 0 ?

x?

1 2

D.

1 2

? x?1

4.若于指数函数 f ( x) ? a ," a ? 1" ,是“ f ( x) 在 R 上的单调”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5。在正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点,则构成的四边形是梯形的概率为 A.
1 5

B.

2 5

C.

1 6

D.

1 8

6.已知直线 l , m 与平面 ?、? 、? ,满足 ? ? ? ? l , l / /? , m ? ? ,则必有 A. ? ? ? 且m//? D. ? ? ? 且l ? m 7。6.某几何体的三视图如图所示,其中 三角形的三边长与圆的直径均为 2, 则该几何体的体积为 A. C.
4? 3 32 ? 3 3 π 3 π

B. ? //? 且? ? ?

C. m//? 且l ? m

B. D.

32 ? 8 3 3 4? 3 3 3

π

正视图

侧视图

π

8。 函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的部分如图所示,点 A、

俯视图

(第 7 题)

B 是最高点,点 C

第1页

是最低点,若 ?ABC 是直角三角形,则的值为 ? ? A. B.
2 4

C.

?
3

D. ?

9。设 F 是双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a, b ? 0) 的左焦点,是其右顶点,过 F 作 x 轴的垂线与双曲线交于 A、B 两

点,若 ?ABC 是钝角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是 A. (1, 2) C. (1,1 ? 2) B. (1 ? 2, ??) D. (2, ??)
1 ab

10。已知正实数 a, b 满足 a ? 2b ? 1 ,则 a 2 ? 4b 2 ? A.
7 2

的最小值为 D.
17 2

B.4

C.

161 36

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.设数列 {a n } 满足 a1 ? 1 , an ? 1 ? 3an ,则 a5
?
开始



i ?1

12。一个样本数据按从小到大的顺序依次排列为 2001,2004, 2009,x,2015,2016,2019,2020,中位数为 2014, 则 x=___________。
? ? ? ? ? 13。已知两非零向量 a, b 满足 a ? 2 , a ? b ? 1 ,则

s?0
1 i
9 4


s? s?

i ? i ?1

向量 a 与 b 夹角的最大值是_______. 14.若某程序框图如图所示,则运行结果为 15。在 ?ABC 中, sin A ? cos A ? 则 ?ABC 的面积是___________. 16.在平面直角坐标系中,不等式组 ?
?x ? 2 ? ? y?2 ? x ?
2 2

?

?

s?

?







输出 i

, AC ? 4, AB ? 5

结束

(第 14 题)

表示的平面区域的面积是________.

17.已知点 A(?3,0) 和圆 O : x 2 ? 是圆 O 上的动点, PD ?
| CM | ? | CN | 为定值.

y ? 9 , AB 是圆 O
2

的直径,M 和 N 是 AB 的三等分点,P (异于 A, B ) 交于 C ,则当 ?
?

AB 于 D , PE ? ? ED ( ? ? 0) ,直线 PA 与 BE



时,

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
第2页

18. (本题满分 14 分) 在△ ABC 中,角 A, B , C 所对的边分别为 a , b, c ,满足 (Ⅰ)求角 C ; (Ⅱ)求
a?b c a?c b ? sin A ? sin B sin A ? sin C



的取值范围.

19.已知数列 ?an ? 中, 1 ? 2, an ?1 ? 3an ? 2 。 (Ⅰ)记 bn ? an ? 1 ,求证:数列 ?bn ? 为等比数列; (Ⅱ)求数列 ?nan ? 20. (本题满分 15 分) 如图,在△ ABC 中, ?C
? 90?

的前 n 项和 S n

, AC ? BC ? 3a ,点 P 在 AB 上, PE // BC 交 AC 于 E , PF // AC
? 平面 ABC

交 BC 于 F .沿 PE 将△ APE 翻折成△ A' PE ,使平面 A' PE
B' PF

;沿 PF 将△ BPF 翻折成△

,使平面 B' PF

? 平面 ABC



(Ⅰ)求证: B'C // 平面 A' PE . (Ⅱ)若 AP=2PB,求二面角 A'? PC ? E 的平面角的正值。
C

E

A

A'

B' F P F B B P
C

E

A

(第 20 题)

21. (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ?
a 2 x 2 ? 2 x ? ( a ? 4) ln x, a ? 0 。

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在 (1, 2) 上有极值,求 a 的取值范围。 22. (本题满分 15 分) 如图,已知抛物线 C 1
:x
2

? 2 py 的焦点在抛物线 C 2 : y ?

1 2

x ? 1 上.
2

(Ⅰ)求抛物线 C 1 的方程及其准线方程;

第3页

(Ⅱ)过抛物 C 1 上的动点 P 作抛物线 C 2 的两条切线 PM、PN,切点 M 、 N 。若 PM、P 的斜率积为 m,且 m ? ? 2, 4? ,求 OP 的取值范围.
C2 C1
M y

N P

O

x

(第 22 题)

2013 年高三教学测试(二)
文科数学 参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分) 1.B; 6.D; 2.A; 7.C; 3.C; 8.A; 4.A; 9.D;
第4页

5.B; 10.D.

第 10 题 提 示 : 因 为
a
2

1 ? a ? 2b ? 2 2ab ? ab ? 1 ab 1 2

1 8

,当且仅当

a ? 2b ? 1 t

1 2

时取等号.又因为
1 8 ]

? 4b

2

?

1 ab

? 2a ? ( 2b ) ?

1 ab

? 4ab ?

.令

t ? ab

,所以

f ( t ) ? 4t ?



( 0,

单调递减,所以

1 17 f ( t ) min ? f ( ) ? 8 2

.此时 a ? 2b ?



二、填空题(本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分) 11.13; 15.
5 2?5 6 2

12.2013; ;

13. 30? ; 16.4;
1 1? ?

14.5; 17.
1 8
y0 x0 ? 3 ( x ? 3) ?①



第 17 题提示:设 P ( x 0 , y 0 ) ,则 E ( x 0 ,
1 BE : y ? 1? ? y0

y 0 ) , PA : y ?

x0 ? 3

( x ? 3) ?②
2

由①②得 y 2
y
2

?

y0

2 2

( ? ? 1)( x 0 ? 9)
9 1? ?

(x

2

? 9) ,

2 2 将 y 0 ? 9 ? x 0 代入,得

x

?

9

9 1? ?

? 1 .由 9 ?

? 1 ,得到 ? ?

1 8



三、解答题(本大题共 5 小题,第 18、19、22 题各 14 分,20、21 题各 15 分,共 72 分) 18. (本题满分 14 分) 在△ ABC 中,角 A, B , C 所对的边分别为 a , b, c ,满足 (Ⅰ)求角 C ; (Ⅱ)求 解: (Ⅰ)
a?b c a?c b ? sin A ? sin B sin A ? sin C
2 2 2

a?c b

?

sin A ? sin B sin A ? sin C



的取值范围.
? a?b a?c

,化简得 a 2 ? b 2 ? ab ? c 2 ,
?

?4 分 ?7 分

所以 cos C

?

a ?b ?c 2ab

?

1 2 ?

,C
2 3

?
3


2? 3

(Ⅱ)

a?b c

?

sin A ? sin B sin C

[sin A ? sin(

? A)] ? 2 sin( A ?

?
6

).

?11 分

因为 A ? (0,
a?b c

2? 3

), A?

?
6

?(

? 5?
, 6 6

) ,所以 sin( A ?

?
6

)? (

1 2

,1] .

故,

的取值范围是 (1,2] .

?14 分

19. (本题满分 14 分)
第5页

已知数列 ? a n ? 中, a1 (Ⅰ)记 bn

? 2 , a n ? 1 ? 3a n ? 2 .

? a n ? 1 ,求证:数列 ? bn ?为等比数列;

(Ⅱ)求数列 ? na n ? 的前 n 项和 S n . 解: (Ⅰ)由 an ? 1 ? 3an ? 2 ,可知 an ? 1 ? 1 ? 3(an ? 1) . 因为 bn
? a n ? 1 ,所以 bn ? 1 ? 3bn ,

…4 分

又 b1 ? a1 ? 1 ? 3 , 所以数列 ? bn ?是以 3 为首项,以 3 为公比的等比数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 1 ? 3n , 所以 S n
2 n

…6 分
n

a n ? 3 ? 1 ,所以 nan ? n3 ? n .
n

? ( 3 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 3 ) ? (1 ? 2 ? ? ? n)

…9 分

其中 1 ? 2 ? ? n ? 记 Tn
2

n ?n 2

2

? 3 ? 2? 3 ? ?? n? 3

n


n n?1

3Tn ? 3 ? 2 ? 3 ? ? ? ( n ? 1) ? 3 ? n ? 3

2

3


? 3?3
n?1

两式相减得 ? 2Tn
Tn ? 2n ? 1 4
? 2n ? 1 4

? 3 ? 3 ??? 3 ? n? 3

2

n

n?1

?2

? n? 3

n?1

…13 分

?3

n?1

?

3 4

所以 S n

?3

n?1

?

2n ? 2n ? 3 4

2

…14 分

20. (本题满分 15 分) 如图,在△ ABC 中,?C
BC ? 90?

, AC

? BC ? 3a

,点 P 在 AB 上, PE // BC 交 AC 于 E , PF // AC 交
? 平面 ABC

于 F . PE 将△ APE 翻折成△ A' PE , 沿 使平面 A' PE
? 平面 ABC

; PF 将△ BPF 翻折成△ B' PF , 沿

使平面 B' PF



(Ⅰ)求证: B'C // 平面 A' PE ; (Ⅱ)若 AP ? 2 PB ,求二面角 A'? PC ? E 的平面角的正切值.
C

E

A

A'

B' F P F B B

C

第6页 E

A

P

解: (Ⅰ)因为 FC // PE , FC 因为平面 A' PE 同理, B' F

? 平面 A' PE

,所以 FC // 平面 A' PE . ,所以 A' E
? 平面 ABC

? 平面 PEC

,且 A' E

? PE



?2 分 ?4 分 ?6 分

? 平面 ABC

,所以 B' F // A' E ,从而 B' F // 平面 A' PE .

所以平面 B'CF // 平面 A' PE ,从而 B'C // 平面 A' PE . (Ⅱ)因为 AC 所以 CE
?a ? BC ? 3a

, AP

? 2 BP

, ?8 分

, EA? ? 2a , PE ? 2a , PC ? 5a .
? PC

过 E 作 EM

,垂足为 M,连结 A? M .
A'

B'

C

E A

M F P B

(第 20 题)

由(Ⅰ)知 A' E ? 平面ABC ,可得 A? E 所以 PC ? 面A? EM ,所以 A? M
? PC

? PC



. …12 分

所以 ?A' ME 即为所求二面角 A'? PC ? E 的平面角,可记为 ? . 在 Rt△ PCE 中,求得 EM 所以 tan ?
? A? E EM ? 2a 2 5 5a ?
? 2 5 5 a,

5



…15 分

21. (本题满分 15 分) 已知函数
f ( x) ? a 2 x ? 2 x ? ( a ? 4) ln x , a ? 0 .
2

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数

f ( x ) 的极值;

第7页

(Ⅱ)若函数

f ( x ) 在 (1,2) 上有极值,求 a 的取值范围.
f ( x) ? 1 2 x
2

解: (Ⅰ)若 a ? 1 ,则
f ' ( x) ? x ? 2 ? 3 x ?

? 2 x ? 3 ln x

. . …2 分 …4 分 …6 分

x

2

? 2x ? 3 x

?

( x ? 3)( x ? 1) x

当 x ? (0,3) 时,

f ' ( x ) ? 0 ;当 x ? ( 3,?? ) 时, f ' ( x ) ? 0 .
f ( 3) ? ? 3 2 ? 3 ln 3 ,无极大值.
ax
2

所以函数有极小值 (II)

f ' ( x ) ? ax ? 2 ?

a?4 x

?

? 2x ? a ? 4 x

( x ? 0) .

记 h( x ) ? ax 2

? 2x ? a ? 4 .

若 f ( x ) 在 (1,2) 上有极值,则 h( x ) ? 0 有两个不等根且在 (1,2) 上有根. …8 分 由 ax 2
? 2 x ? a ? 4 ? 0 得 a( x
2

? 1) ? 2( x ? 2) ,

所以 a ?

2( x ? 2) x
2

?1

? ( x ? 2) ?

2 5 x?2
8 5


?4

…10 分

因为 x ? 2 ? ( 3,4) ,所以 a ? ( 经检验当 a ? (
8 5

,3) .

…14 分

,3) 时,方程 h( x ) ? 0 无重根.

故函数 f ( x ) 在 (1,2) 上有极值时 a 的取值范围为 (

8 5

, 3) .

…15 分

22. (本题满分 14 分) 如图,已知抛物线 C1 : x 2
? 2 py

的焦点在抛物线 C 2 : y ?

1 2

x ? 1 上.
2

(Ⅰ)求抛物线 C1 的方程及其准线方程; (Ⅱ)过抛物线 C1 上的动点 P 作抛物线 C 2 的两条切线 PM 、 PN , 切点为 M 、 N .若 PM 、 PN 的斜率乘积为 m ,且 m ? [2, 4] ,求 | OP | 的取值范围.
C2 C1
M

y

N P

O

x

(第 22 题) 第8页

解: (Ⅰ) C 1 的焦点为 F (0, 所以
p 2

p 2

),

?2 分 ?4 分 ?6 分
? k ( x ? 2t ) .

? 0?1, p ? 2 .

故 C 1 的方程为 x 2 ? 4 y ,其准线方程为 y ? ?1 . (Ⅱ)任取点 P ( 2t , t 2 ) ,设过点 P 的 C 2 的切线方程为 y ? t 2
? y ? t 2 ? k ( x ? 2t ) ? 由? ,得 x 2 ? 2kx ? 4tk ? 2t 2 ? 2 ? 0 . 1 2 x ?1 ?y ? 2 ?

由?

? ?2k ? ? 4( 4tk ? 2t
2

2

? 2) ? 0 ,化简得 k

2

? 4tk ? 2t

2

? 2 ? 0,

…9 分

记 PM , PN 斜率分别为 k 1 , k 2 ,则 m 因为 m ? [2, 4] ,所以 t 2 ? [2, 3] 所以 OP 所以 OP
2

? k 1 k 2 ? 2t

2

?2,

…12 分

? 4t ? t ? ( t ? 2) ? 4 ? [12, 21] ,
2 4 2 2

? [2 3 ,

21 ] .

…14 分

第9页


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