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【数学】上海市大同中学高三第一学期末考试针对性训练[4]


大同中学高中测试卷

-1-

一、填空题: 1、若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于 M ,N 两点,则 MN 的最大值为

2、一个总体分为 A,B 两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本。已知 B 层中每个个体 被抽到的概率都

为 3、观察下列等式:
1 C5 ? C55 ? 2 3? 2 , 1 5 9 C9 ? C9 ? C9 ? 27 ? 23 , 1 5 9 13 C13 ? C13 ? C13 ? C13 ? 211 ? 25 , 1 3 1 C1 7 ? C 5 ? C 9?7C 1?1C ? 7 7 ? 1 5 , 2 2 17 1 7 1 7

1 ,则总体中的个体数为 12

………由以上等式推测到一个一般的结论:
1 5 9 4 n?1 对于 n ? N , C4n?1 ? C4n?1 ? C4n?1 ? ?? C4n?1 ?
*

4、已知 f ( x) ? a x (a ? 1), g( x) ? bx( b ?1), 当f ( x1) ? g( x2) ?2 时,有x1 ? x2,则a、b 的大小关系是 5、给出下列图象 y y y y

O

x

O

x

O

x

O

x

① ② ③ ④ 其中可能为函数 f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R)的图象的是_____ ① 6、棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图 1,则图中三角形(正 四面体的截面)的面积是 7、如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥” ,四条侧棱称为它的腰,以下 4 个命题中,假 . 命题是( ) .. A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 8、在同一平面直角坐标系中,函数 y ? cos( 9、设数列 {xn } 满足 loga

1 x 3? ? )( x ? [0, ]) 的图象和直线 y ? 的交点个数是 2? 2 2 2

xn?1 ? 1 ? loga xn (a ? 0, a ? 1) ,若 x1 ? x2 ? ? ? ? ? x100 ? 100,

则 x101 ? x102 ? ? ? ? ? x200 ?

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-2-

10、设 a1 , a2 ,...a50 是从-1,0,1 这三个整数中取值的数列,若 a1 ? a2 ? ... ? a50 ? 9, 且

(a1 ? 1) 2 ? (a2 ? 1) 2 ? ? ? ? ? (a50 ? 1) 2 ? 107, 则 a1 , a2 ,...a50 中有 0 的个数为
二、解答题: 11、某公司拟资助三位大学生自主创业,现聘请两位专家,独立地对每位大学生的创业方案进行评审.假 设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是

1 .若某人获得两个“支持” ,则给予 10 万元的创业 2

资助;若只获得一个“支持” ,则给予 5 万元的资助;若未获得“支持” ,则不予资助. (理)令 ? 表示该公司的资助总额. (1)写出 ? 的分布列; (2)求数学期望 E? 。 (文)求: (1)该公司的资助总额为零的概率; (2)该公司的资助总额超过 15 万元的概率。

12、如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 四边长为 1 的菱形, ?ABC ?

?
4
O

, OA ? 底面ABCD ,

OA ? 2 , M 为 OA 的中点, N 为 BC 的中点
(1)证明:直线 MN‖ 平面OCD ;

(2)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (3)求点 B 到平面 OCD 的距离。

M

A B N C

D

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-3-

13、设 △ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a cos B ? b cos A ? (1)求 tan A cot B 的值; (2)求 tan( A ? B) 的最大值。

3 c. 5

14、已知函数 f (x) 满足下列条件: ①函数 f (x) 的定义域为[0,1]; ②对于任意 x ? [0,1], f ( x) ? 0, 且 f (0) ? 0, f (1) ? 1; ③对于满足条件 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1的任意两个数 x1 , x 2 , 有f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ). (1)证明:对于任意的 0 ? x ? y ? 1, 有f ( x) ? f ( y) ; (2)证明:于任意的 0 ? x ? 1, 有f ( x) ? 2 x ; (3)不等式 f ( x) ? 1.9 x 对于一切 x∈[0,1]都成立吗?试说明理由。

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15、已知数列 { f (n)}满足 nf 2 (n) ? (n ? 1) f 2 (n ? 1) ? f (n) f (n ? 1) ? 0 且 f (n) ? 0 (1)求 { f (n)}的通项公式; (2)令 an ? 31 / f ( n) , bn ? 4 / f (n) ? 1 (n ? N ? ) ,若在数列 {an } 的前 100 项中,任取一项 an ,问 an 同 时也在数列是的某项的概率为多少?为什么? (3)若将(2)中的前 100 项推广到前 n 项 (n ? N ? ) ,且记上述概率为 Pn ,试猜测 lim Pn (不必证明) 。
n ??

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-5-

上海市大同中学 2009—2010 学年度高三第一学期末考试

针 对 性 训 练 [4] 参 考 答 案
一、填空题: 1、 2 ; 2、120; 3、 2
4 n ?1

? ? ?1? 22 n ?1
n



4、a<b; 5、①③;

6、 2 ; 7、B; 8、1; 9、 100a 二、解答题:

100

; 10、2026;

11、 (理)解: (1) ? 的所有取值为 0,5,10,15, 20, 25,30

1 3 15 5 P (? ? 5 )? P(? ? 10) ? P(? ? 1 5 ? ) 64 32 64 16 15 3 1 P (? ? 20) ? P (? ? 25) ? P (? ? 3 0 ? ) 64 32 64 3 15 5 15 3 1 ? 10 ? ? 15 ? ? 20 ? ? 25 ? ? 30 ? ? 15 . (2) E? ? 5 ? 32 64 16 64 32 64 P (? ? 0) ?
(文)解: (1)设 A 表示资助总额为零这个事件,则 P( A) ? ? ? ?
6

?1? ?2?

6

1 64
6 6

?1? ? 1 ? ? 1 ? 11 (2)设 B 表示资助总额超过 15 万元这个事件,则 P( B) ? 15 ? ? ? ? 6 ? ? ? ? ? ? ? ?2? ? 2 ? ? 2 ? 32
? 12、方法一(综合法) (1)取 OB 中点 E,连接 ME,NE ? ME‖AB,AB‖ CD, ME‖ CD
又? NE‖ OC,?平面MNE‖ 平面OCD (2)? CD‖AB,

? MN‖ 平面OCD

∴ ?MDC 为异面直线 AB 与 MD 所成的角(或其补角)

∴CD ? MP 作 AP ? CD于P, 连接 MP ∵OA ? 平面A B C D ,
∵ ?ADP ?

?
4

,∴DP =

2 2

MD ? MA2 ? AD2 ? 2 ,

∴ cos ?MDP ?

? DP 1 ? ,所以 AB 与 MD 所成角的大小为 ? , ?MDC ? ?MDP ? 3 MD 2 3

∴ (3)∵ AB‖ 平面OCD, 点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等,连接 OP,过点 A 作 AQ ? OP 于点 Q,

大同中学高中测试卷

-6-

∵ AP ? CD, OA ? CD,∴CD ? 平面OAP,∴ AQ ? CD
又 ∵ AQ ? OP,∴ AQ ? 平面OCD ,线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离

∵OP ? OD2 ? DP 2 ? OA2 ? AD2 ? DP 2 ? 4 ? 1 ?

1 3 2 2 , AP ? DP ? ? 2 2 2

2 OA?AP 2 ? 2 ,所以点 B 到平面 OCD 的距离为 2 ∴ AQ ? ? 3 OP 3 3 2 2 2?
方法二(向量法)作 AP ? CD 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x, y, z 轴建立坐标系

A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), P(0,
(1) MN ? (1 ?

2 2 2 2 2 , 0), D(? , , 0), O(0, 0, 2), M (0, 0,1), N (1 ? , , 0) , 2 2 2 4 4

???? ?

??? ? ???? 2 2 2 2 2 , , ?1), OP ? (0, , ?2), OD ? (? , , ?2) 4 4 2 2 2

设平面 OCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n? OP ? 0, n? ? 0 OD

??? ?

??? ?

? 2 y ? 2z ? 0 ? ? 2 即 ? 取 z ? 2 ,解得 n ? (0, 4, 2) 2 2 ?? ? 2 x ? 2 y ? 2z ? 0 ?
???? ? 2 2 ∵ MN ?n ? (1 ? , , ?1)? 4, 2) ? 0 (0, 4 4

z O

M

A x B N CP

D y

? MN‖ 平面OCD
(2)设 AB 与 MD 所成的角为 ? ,∵ AB ? (1,0,0), MD ? (?

??? ?

???? ?

2 2 , , ?1) 2 2

??? ???? ? ? AB?MD ? 1 ? , AB 与 MD 所成角的大小为 ∴c o ? ? ??? ???? ? ∴? ? s , ? ? 3 3 AB ? MD 2
(3)设点 B 到平面 OCD 的距离为 d ,则 d 为 OB 在向量 n ? (0, 4, 2) 上的投影的绝对值,

??? ?

??? ? OB ? n 2 ??? ? 2 ? ,所以点 B 到平面 OCD 的距离为 由 OB ? (1,0, ?2) ,,得 d ? 3 n 3
13、解: (1)在 △ ABC 中,由正弦定理及 a cos B ? b cos A ? 可得 sin A cos B ? sin B cos A ?

3 c 5

3 3 3 3 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B 5 5 5 5

大同中学高中测试卷

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即 sin A cos B ? 4 cos A sin B ,则 tan A cot B ? 4 ; (2)由 tan A cot B ? 4 得 tan A ? 4 tan B ? 0

tan A ? tan B 3 tan B 3 3 ? ? ≤ 2 1 ? tan A tan B 1 ? 4 tan B cot B ? 4 tan B 4 1 当且仅当 4 tan B ? cot B, tan B ? , tan A ? 2 时,等号成立, 2 1 3 故当 tan A ? 2, tan B ? 时, tan( A ? B) 的最大值为 。 2 4 14、解: (1)证明:对于任意的 0 ? x ? y ? 1, 则0 ? y ? x ? 1, 可得f ( y ? x) ? 0, tan( A ? B) ?

所以f ( y) ? f ( y ? x ? x) ? f ( y ? x) ? f ( x) ? f ( x), 即对于任意的 0 ? x ? y ? 1, 有f ( x) ? f ( y).
(2)证明:由已知条件可得 f (2 x) ? f ( x) ? f ( x) ? 2 f ( x).

当x ? 0时, f (0) ? 0 ? 2 ? 0,即当x ? 0时, f ( x) ? 2 x. ? 1 1 ? 假设存在x0 ? ?0,1?, 使得f ( x0 ) ? 2 x0 , 则x0一定在某个区间 k , k ?1 ?(k ? N * )上. ? ?2 2 ?
? 1 1 ? 设x0 ? ? k , k ?1 ? , 则2 x0 , 4 x0 ,? , 2 k ?1 x0均在区间? 0,1?内则f (2 x0 ) ? 4 x0 , f (4 x0 ) ? 8 x0 ,?, f (2 k ?1 x0 ) ? 2 k x0 . . ?2 2 ? 1 ? 1 1 ? 由x0 ? ? k , k ?1 ? , 可知 ? 2k ?1 x0 ? 1, 且2k x0 ? 1, 所以f (2k ?1 x0 ) ? f (1) ? 1, 2 ?2 2 ? k ?1 k 又f (2 x0 ) ? 2 x0 ? 1.从而得到矛盾,因此不存在x0 ? 0,1? , 使得f ( x0 ) ? 2 x0 .
所以对于任意的 0 ? x ? 1, 有f ( x) ? 2 x.
1 ? ?0,0 ? x ? 2 , 则 f (x) 显然满足题目中的(1) (2)两个条件, 任意取两个数 ? (3)解:取函数 f ( x) ? , ? 1 ?1, ? x ? 1. ? 2 ?

x1 , x2 , 使得x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1,
1 1 ?1 ? 若x1 , x2 ?[0, ], 则f ( x1 ? x2 ) ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ), 若x1, x2分别属于区间[0, ]和? ,1? 中一个, 2 2 ?2 ?

?1 ? 则f ( x1 ? x2 ) ? 1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ), 而x1 , x2不可能都属于 ? ,1? , ?2 ? 综上可知, f ( x)满足题目中的三个条件而f (0.51) ? 1 ? 1.9 ? 0.51 ? 0.969. .
即不等式 f ( x) ? 1.9 x并不对所有 ? [0,1]都成立 x . 15、解: (1)由已知 (nf (n) ? (n ? 1) f (n ? 1))( f (n) ? f (n ? 1)) ? 0 且 f (n) ? 0

? nf (n) ? (n ? 1) f (n ? 1) ,? nf (n) ? (n ? 1) f (n ? 1) ? ? ? 1 ? f (1) ? 1 ? f (n) ? 1 / n
n m m (2) an ? 3 , bn ? 4n ? 1 ,当 n ? 2 m ,? an ? 9 ? (8 ? 1) ? ? ? 8Q ? 1 ? 4(2Q) ? 1?{bn }

当 n ? 2m ? 1 ,?an ? 3(8 ? 1) ? ? ? 4(6Q) ? 3 ?{bn }
m

大同中学高中测试卷

-8-

? 在 {an } 中前 100 项中,所求的概率 P ?
(3)? Pn ? ?

50 1 ? 100 2 1 2

1 2 (n为偶数) n ? 1 (n为奇数) 2n

? lim Pn ?
n??


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