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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1练习:1章综合素质检测]


第一章综合素质检测
时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的) 1.设原命题:若 a+b≥2,则 a、b 中至少有一个不小于 1,则原命题与其逆命题的真 假情况是( ) B.原命题假,逆命题真 D.原命题与逆命题均为假命题

A.原命题

真,逆命题假 C.原命题与逆命题均为真命题 [答案] A

[解析] 因为原命题“若 a+b≥2,则 a、b 中至少有一个不小于 1”的逆否命题为“若 a、b 都小于 1,则 a+b<2”,显然为真,所以原命题为真;原命题“若 a+b≥2,则 a、b 中至少有一个不小于 1”的逆命题为“若 a、b 中至少有一个不小于 1,则 a+b≥2”,是假 命题,反例为 a=1.2,b=0.3. 2. (2014· 重庆万州市分水中学高二期中)已知命题 p: ?x∈R, ax>0(a>0 且 a≠1), 则( A.? p:?x∈R,ax≤0 C.? p:?x0∈R,ax0>0 [答案] D [解析] ∵命题 p 为全称命题,∴? p 为特称命题,由命题的否定只否定结论知 ax>0 的 否定为 ax≤0, ∴选 D. 3.(2013· 琼海市模拟)命题“tanx=0”是命题“cosx=1”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] B [解析] x=π 时,tanx=0,但 cosx=-1;cosx=1 时,sinx=0,故 tanx=0.所以“tanx =0”是“cosx=1”的必要不充分条件. 4.(2014· 南昌市高二期中)设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,给 出下列命题:①若 m∥α,n∥α,则 m∥n;②若 α∥β,β∥γ,m⊥α,则 m⊥γ;③若 m⊥α, n∥α,则 m⊥n;④若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β.其中真命题的序号是( A.①② C.③④ [答案] B [解析] 由平行于同一平面的两条直线可能平行、相交,也可能异面知①为假命题; B.②③ D.①④ ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) B.? p:?x∈R,ax>0 D.? p:?x0∈R,ax0≤0 )

α∥β? ? ??α∥γ ? β∥γ ? ?m⊥γ,∴②为真命题;③过 n 作平面 β 交 α 于 l,∵n∥α,∴n∥l,又 n⊥α

? ? ?

m⊥α,∴m⊥l,∴m⊥n,故③为真命题;由长方体交于同一顶点的三个面知,④为假命题, 故选 B. 5. 设 x, y, z∈R, 则“lgy 为 lgx, lgz 的等差中项”是“y 是 x, z 的等比中项”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] A [解析] 由题意得,“lgy 为 lgx,lgz 的等差中项”,则 2lgy=lgx+lgz?y2=xz,则“y 是 x,z 的等比中项”;而当 y2=xz 时,如 x=z=1,y=-1 时,“lgy 为 lgx,lgz 的等差中 项”不成立,所以“lgy 为 lgx,lgz 的等差中项”是“y 是 x,z 的等比中项”的充分不必要 条件,故选 A. 6.(2014· 重庆理,6)已知命题 p:对任意 x∈R,总有 2x>0; q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件, 则下列命题为真命题的是( A.p∧q C.? p∧q [答案] D [解析] 命题 p 是真命题,命题 q 是假命题,所以选项 D 正确.判断复合命题的真假, 要先判断每一个命题的真假,然后做出判断. 7.已知 α,β,γ 是三个不同的平面,命题“α∥β,且 α⊥γ?β⊥γ”是真命题.如果把 α,β,γ 中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所有新命题中,真命题有( A.0 个 C.2 个 [答案] C [解析] 依题意得, 命题“a∥b, 且 a⊥γ?b⊥γ”是真命题(由“若两条平行线中的一条 与一个平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”可知);命题“a∥β,且 a⊥c?β⊥c”是假 命题(直线 c 可能位于平面 β 内,此时结论不成立);命题“α∥b,且 α⊥c?b⊥c”是真命题 (因为 α∥b,因此在平面 α 内必存在直线 b1∥b;又 α⊥c,因此 c⊥b1,∴c⊥b).综上所述, 其中真命题有 2 个,选 C. 8.在△ABC 中,设命题 p: a b c = = ,命题 q:△ABC 是等边三角形,那么 p sinB sinC sinA B.1 个 D.3 个 ) ) B.? p∧? q D.p∧? q B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

是 q 的(

) B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 [答案] C bsinB b2 2 [解析] 由已知 a= = ?b =ac. sinC c

同理 a2=bc,c2=ab,故有(a+c)(a-c)=b(c-a). 若 a≠c,则 a+c=-b 与 a、b、c 是△ABC 的三边矛盾,故 a=c,同理得到 b=c, 于是 a=b=c,于是充分性得证,必要性显然成立. 9.已知命题 p:“对?x∈R,?m∈R,使 4x+2xm+1=0”.若命题? p 是假命题,则 实数 m 的取值范围是( A.-2≤m≤2 C.m≤-2 [答案] C 4x+1 [解析] 由题意可知命题 p 为真,即方程 4x+2xm+1=0 有解,∴m=- x =-(2x+ 2 1 )≤-2. 2x 10.下列命题中,错误的是( ) ) B.m≥2 D.m≤-2 或 m≥2

A.命题“若 x2-5x+6=0,则 x=2”的逆否命题是“若 x≠2,则 x2-5x+6≠0” x+y 2 B.已知 x,y∈R,则 x=y 是 xy≥( ) 成立的充要条件 2 C.命题 p:?x∈R,使得 x2+x+1<0,则? p:?x∈R,则 x2+x+1≥0 D.已知命题 p 和 q,若 p∨q 为假命题,则命题 p 与 q 中必一真一假 [答案] D x+y 2 x+y 2 [解析] 由逆否命题的定义知 A 正确;当 x=y 时,xy≥( ) 成立;xy≥( ) 成立 2 2 时,有 xy≥ |x+y| ,故 x=y,∴B 为真命题;由特称命题的否定为全称命题知 C 为真命题; 2

∵p∨q 为假,∴p 假且 q 假,∴D 为假命题. 11.(2013· 天津理,4)已知下列三个命题: 1 1 ①若一个球的半径缩小到原来的 ,则其体积缩小到原来的 ; 2 8 ②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等; 1 ③直线 x+y+1=0 与圆 x2+y2= 相切. 2 其中真命题的序号是( )

A.①②③ C.①③ [答案] C

B.①② D.②③

4 1 [解析] 对于①,设球半径为 R,则 V= πR3,r= R, 3 2 4 1 πR3 1 ∴V1= π×( R)3= = V,故①正确;对于②,两组数据的平均数相等,标准差一般 3 2 6 8 不相等;对于③,圆心(0,0),半径为 故①,③正确. 12.设 a,b∈R,现给出下列五个条件:①a+b=2;②a+b>2;③a+b>-2;④ab>1; ⑤logab<0,其中能推出:“a,b 中至少有一个大于 1”的条件为( A.②③④ C.①②③⑤ [答案] D [解析] ①a+b=2 可能有 a=b=1;②a+b>2 时,假设 a≤1,b≤1,则 a+b≤2 矛盾; ③a+b>-2 可能 a<0, b<0; ④ab>1, 可能 a<0, b<0; ⑤logab<0, ∴0<a<1, b>1 或 a>1,0<b<1, 故②⑤能推出. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 13.命题“同位角相等”的否定为________,否命题为________. [答案] 有的同位角不相等 若两个角不是同位角,则它们不相等 [解析] 全称命题的否定是特称命题;“若 p,则 q”的否命题是“若? p,则? q” 14.写出命题“若方程 ax2-bx+c=0(a≠0)的两根均大于 0,则 ac>0”的一个等价命 题是______________________________________________. [答案] 若 ac≤0,则方程 ax2-bx+c=0(a≠0)的两根不全大于 0. [解析] 根据原命题与它的逆否命题是等价命题可直接写出. 15.已知 p(x):x2+2x-m>0,如果 p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数 m 的取值范 围是________. [答案] 3≤m<8 [解析] ∵p(1)是假命题,p(2)是真命题,
? ?3-m≤0, ∴? 解得 3≤m<8. ?8-m>0. ?

2 2 ,圆心(0,0)到直线的距离 d= ,故直线和圆相切, 2 2

)

B.②③④⑤ D.②⑤

16.下列命题中,________是全称命题,________是特称命题. ①正方形的四条边相等;②有两个内角是 45° 的三角形是等腰直角三角形;③正数的平 方根不等于 0;④至少有一个正整数是偶数;⑤一定有偶数 x0,y0,使得 3x0-2y0=10 成立.

[答案] ①②③ ④⑤ 三、解答题(本大题共 6 个大题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)命题:已知 a、b 为实数,若关于 x 的不等式 x2+ax+b≤0 有非 空解集,则 a2-4b≥0,写出命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断这些命题的真假. [解析] 逆命题,已知 a、b 为实数,若 a2-4b≥0,则关于 x 的不等式 x2+ax+b≤0 有 非空解集. 否命题: 已知 a、 b 为实数, 若关于 x 的不等式 x2+ax+b≤0 没有非空解集, 则 a2-4b<0. 逆否命题:已知 a、b 为实数,若 a2-4b<0,则关于 x 的不等式 x2+ax+b≤0 没有非空 解集. 原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题. 18.(本小题满分 12 分)写出下列命题的否定,并判断其真假: (1)p:?m∈R,方程 x2+x-m=0 必有实数根; (2)q:?x∈R,使得 x2+x+1≤0. [解析] (1)? p:?m∈R,使方程 x2+x-m=0 无实数根. 若方程 x2+x-m=0 无实数根,则 1 Δ=1+4m<0,∴m<- , 4 ∴当 m=-1 时,? p 为真. (2)? q:?x∈R,使得 x2+x+1>0. 1 3 ∵x2+x+1=(x+ )2+ >0 2 4 ∴? q 为真. 19.(本小题满分 12 分)已知 P={x|a-4<x<a+4},Q={x|x2-4x+3<0},且 x∈P 是 x ∈Q 的必要条件,求实数 a 的取值范围. [解析] P={x|a-4<x<a+4},Q={x|1<x<3}. ∵x∈P 是 x∈Q 的必要条件 ∴x∈Q?x∈P,即 Q?P
?a-4≤1, ?a≤5, ? ? ∴? ?? ? ? ?a+4≥3, ?a≥-1.

∴-1≤a≤5. 20.(本小题满分 12 分)(2014· 邢台一中第二次月考)已知命题 p:方程 a2x2+ax-2=0 在 [-1,1]上有解;命题 q:只有一个实数 x 满足不等式 x2+2ax+2a≤0,若命题“p 或 q”是 假命题,求实数 a 的取值范围. 2 1 [解析] 由 a2x2+ax-2=0,得(ax+2)(ax-1)=0,显然 a≠0,∴x=- 或 x= , a a

2 1 ∵x∈[-1,1],故| |≤1 或| |≤1,∴|a|≥1. a a 只有一个实数 x 满足不等式 x2+2ax+2a≤0. 即抛物线 y=x2+2ax+2a 与 x 轴只有一个交点, ∴Δ=4a2-8a=0,∴a=0 或 a=2. 又命题“p 或 q”是假命题, 故 a 的取值范围为-1<a<0 或 0<a<1. 21. (本小题满分 12 分)求使函数 f(x)=(a2+4a-5)x2-4(a-1)x+3 的图象全在 x 轴上方 成立的充要条件. [解析] ∵函数 f(x)的图象全在 x 轴上方,
2 ? ?a +4a-5>0, ? ∴ 或 2 2 ?Δ=16?a-1? -4?a +4a-5?×3<0, ? 2 ? ?a +4a-5=0, ? ?a-1=0. ?

解得 1<a<19 或 a=1,故 1≤a<19. 所以使函数 f(x)的图象全在 x 轴的上方的充要条件是 1≤a<19. 1 22.(本小题满分 14 分)在△ABC 中,三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a+b + 1 3 = ,试问 A,B,C 是否成等差数列,若不成等差数列,请说明理由.若成等 b+c a+b+c

差数列,请给出证明. [解析] A、B、C 成等差数列. 证明如下: ∵ ∴ ∴ 1 1 3 + = , a+b b+c a+b+c a+b+c a+b+c + =3. a+b b+c c a + =1, a+b b+c

∴c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), ∴b2=a2+c2-ac. 在△ABC 中,由余弦定理,得 a2+c2-b2 ac 1 cosB= = = , 2ac 2ac 2 ∵0° <B<180° ,∴B=60° . ∴ A+C=2B=120° .

∴A、B、C 成等差数列.


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