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2014高考数学(理)二轮专题突破训练 第1部分 专题5 第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质 Word版含解析]


考 点 椭 圆

考 情 1.对椭圆的考查以椭圆的标准方程及几何性质为主要考查对 象,有时也考查椭圆定义的应用,尤其要熟记椭圆中参数 a,b,c 之间的内在联系及其几何意义. 2.对于双曲线的考查主要有两种形式:一是求双曲线方程; 二是通过方程研究双曲线的性质,如 2013 年新课标全国卷 Ⅰ T4,2013 年浙江 T9. 3.高考对抛物线定义的考查主要体现

在抛物线的标准方程、 焦

双 曲 线 抛 物 线

圆锥曲线的综合问题

点等问题上,考查方程主要有两个方面,一是用定义或待定系数 法求抛物线方程;二是利用抛物线方程研究几何性质,如 2013 年 新课标全国卷 Ⅱ T11. 4.圆锥曲线综合问题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系, 如 2013 年天津 T5.

x2 y2 5 1.(2013· 新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,则 C a b 2 的渐近线方程为( 1 A.y=± x 4 1 C.y=± x 2 ) 1 B.y=± x 3 D.y=± x

x2 y2 b 解析: 选 C 因为双曲线 2- 2=1 的焦点在 x 轴上, 所以双曲线的渐近线方程为 y=± a b a a2+b2 c x.又离心率为 e= = = a a 1 =± x. 2 b?2 5 b 1 1+? ?a? = 2 ,所以a=2,所以双曲线的渐近线方程为 y

x2 2.(2013· 浙江高考)如图,F1,F2 是椭圆 C1: +y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点,A,B 4 分别是 C1,C2 在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是( )

A. 2 3 C. 2

B. 3 D. 6 2

x2 y2 解析:选 D 设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0)①,点 A 的坐标为(x0,y0). a b 由题意得 a2+b2=3=c2②,则|OA|=c= 3,
2 2 ? ?x0+y0=3, 8 1 8 2 1 2 2 2 2 所以? 2 解得 x0 = ,y2 0= ,又点 A 在双曲线上,代入①得, b - a =a b 2 3 3 3 3 ?x0+4y0=4, ?

c 6 ③,联立②③解得 a= 2,所以 e= = . a 2 3.(2013· 新课标全国卷Ⅱ)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF| =5.若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为( A.y2=4x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x )

B.y2=2x 或 y2=8x D.y2=2x 或 y2=16x

p ? 解析:选 C 由已知得抛物线的焦点 F? ?2,0?,设点 A(0,2),抛物线上点 M(x0,y0),则 p ? ? y0 ? AF =? AM =0,即 y2 0-8y0+16=0,因而 ?2,-2?, AM =?2p,y0-2?.由已知得, AF · 8 ? y0=4,M? ?p,4?.由|MF|=5 得,
2

?8-p?2+16=5,又 p>0,解得 p=2 或 p=8. ? p 2?

x2 y2 4.(2013· 天津高考)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线 y2=2px(p a b >0)的准线分别交于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2, △AOB 的面积为 3, 则 p=( A.1 C.2 ) 3 B. 2 D.3

c 解析:选 C 因为双曲线的离心率 e= =2,所以 b= 3a, a b p 所以双曲线的渐近线方程为 y=± x=± 3x,与抛物线的准线 x=- 相交于 a 2 1 p p 3 p 3 A?- , p?,B?- ,- p?,所以△AOB 的面积为 × × 3p= 3,又 p>0,所以 p= 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ?

2.

1.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称 定义 椭圆 |PF1|+|PF2|=2a(2a> |F1F2|) x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2 双曲线 ||PF1|-|PF2||=2a(2a <|F1F2|) x2 y2 - =1(a>0, b>0) a2 b2 抛物线 |PF|=|PM|点 F 不在 直线 l 上, PM⊥l 于 M y2=2px(p>0)

标准方程

图像 c e= = a b2 1- 2(0<e< a 1) 渐近线 2.直线与圆锥曲线相交时的弦长 设而不求,根据韦达定理,进行整体代入.即当直线与圆锥曲线交于点 A(x1,y1),B(x2, y2)时,|AB|= 1+k2|x1-x2|= 1 1+ 2|y1-y2|,而|x1-x2|= ?x1+x2?2-4x1x2. k c e= = a b2 1+ 2(e> a 1) b y=± x a

几何 性质

离心率

e=1

3.抛物线的过焦点的弦长 p ? p2 ,0 的弦 AB,若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x2= , 抛物线 y2=2px(p>0)的过焦点 F? ?2 ? 4 y1y2=-p2,弦长|AB|=x1+x2+p.同样可得抛物线 y2=-2px,x2=2py,x2=-2py 类似的性 质.

热点一

圆锥曲线定义及标准方程

3 [例 1] (1)(2013· 广东高考)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0), 离心率等于 , 2 则 C 的方程是( x y A. - =1 4 5 x2 y2 C. - =1 2 5
2 2

) x2 y2 B. - =1 4 5 x2 y2 D. - =1 2 5

x2 y2 (2)设 F1,F2 分别为双曲线 - =1 的左、右焦点,过 F1 引圆 x2+y2=9 的切线 F1P 交 9 16 双曲线的右支于点 P, T 为切点, M 为线段 F1P 的中点, O 为坐标原点, 则|MO|-|MT|等于( A.4 C.2 B.3 D.1 )

(3)已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是________. [自主解答] (1)由题意可知 c=3,a=2,b= x2 y2 程为 - =1. 4 5 1 1 1 1 1 (2)连接 PF2、OT,则有|MO|= |PF2|= (|PF1|-2a)= (|PF1|-6),|MT|= |PF1|-|F1T|= 2 2 2 2 2 1 1 ? ?1 ? |PF1|- c2-a2= |PF1|-4,于是有|MO|-|MT|=? ?2|PF1|-3?-?2|PF1|-4?=1. 2 (3)直线 l2:x=-1 为抛物线 y2=4x 的准线,由抛物线的定义知, P 到 l2 的距离等于 P 到抛物线的焦点 F(1,0)的距离.故本题可化为在 抛物线 y2=4x 上找一个点 P 使得 P 到点 F(1,0)和直线 l1 的距离之和最 小.如图所示,距离之和的最小值为焦点 F(1,0)到直线 l1:4x-3y+6 =0 的距离,即 dmin= [答案] (1)B |4-0+6| =2. 5 c2-a2= 32-22= 5,故双曲线的方

(2)D (3)2

互动探究 本例(3)中把直线 l1 换成点 A(2,3),如何求点 P 到点 A 和直线 l2 的距离之和的最小值? 解析:直线 l2:x=-1 为抛物线 y2=4x 的准线,由抛物线定义知,P 到 l2 的距离等于 P 到抛物线焦点 F(1,0)的距离.故本题可以转化为在抛物线上找一个点 P,使得|PA|+|PF|最小, 即|AF|为所求,A(2,3),F(1,0),|AF|= ?2-1?2+32= 10. 答案: 10

——————————规律· 总结—————————————————————— 圆锥曲线方程的求法 求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”. (1)定型.就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准方程. (2)计算.即利用待定系数法求出方程中的 a2,b2 或 p.另外,当焦点位置无法确定时, 抛物线常设为 y2=2ax 或 x2=2ay(a≠0),椭圆常设 mx2+ny2=1(m>0,n>0),双曲线常设 为 mx2-ny2=1(mn>0).

1.已知 F1,F2 为双曲线 C:x2-y2=2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|,则 cos∠F1PF2=( 1 A. 4 ) 3 B. 5 3 C. 4 4 D. 5

解析:选 C 因为 c2=2+2=4,所以 c=2,2c=|F1F2|=4,由题意可知|PF1|-|PF2|=2a = 2 2 , |PF1| = 2|PF2| ,所以 |PF2| = 2 2 , |PF1| = 4 2 ,由余弦定理可知 cos ∠ F1PF2 = ?4 2?2+?2 2?2-42 3 = . 4 2×4 2×2 2 x2 y2 2.已知抛物线 y2=8x 的准线过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点, 且双曲线的 a b 离心率为 2,则该双曲线的方程为________. 解析:抛物线 y2=8x 的准线 x=-2 过双曲线的一个焦点,所以 c=2,又离心率为 2, y2 所以 a=1,b= c2-a2= 3,所以该双曲线的方程为 x2- =1. 3 y2 答案:x2- =1 3

热点二

圆锥曲线的几何性质

1 x2 [例 2] (1)(2013· 山东高考)抛物线 C1:y= x2(p>0)的焦点与双曲线 C2: -y2=1 2p 3 的右焦点的连线交 C1 于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线, 则 p=( A. ) 3 16 B. 3 8

2 3 C. 3

4 3 D. 3

x2 y2 (2)(2013· 福建高考)椭圆 Γ: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c, a b 若直线 y= 3(x+c)与椭圆 Γ 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1, 则该椭圆的离心率等 于________. p 0, ?,双曲线的右焦点坐标为(2,0),所以上述两 [自主解答] (1)抛物线的焦点坐标为? ? 2? x 2y 3 1 1 点连线的方程为 + =1.双曲线的渐近线方程为 y=± x.对函数 y= x2 求导, 得 y′= x. 2 p 3 2p p 1 3 3 1 x 2y 设 M(x0,y0),则 x0= ,即 x0= p,代入抛物线方程得,y0= p.由于点 M 在直线 + = p 3 3 6 2 p

1 上,所以

3 2 p 4 4 3 p+ × =1,解得 p= = . 6 p 6 3 3

(2)直线 y= 3(x+c)过点 F1, 且倾斜角为 60° , 所以∠MF1F2=60° , 从而∠MF2F1=30° , 2c 2c 所以 MF1⊥MF2.在 Rt△MF1F2 中, |MF1|=c, |MF2|= 3c, 所以该椭圆的离心率 e= = 2a c+ 3c = 3-1. [答案] (1)D (2) 3-1

——————————规律· 总结—————————————————————— 两类离心率问题 c b b (1)椭圆的离心率:e2= 2=1- 2, = a a a c2 b2 b (2)双曲线的离心率:e2= 2=1+ 2, = a a a
2 2

1-e2; e2-1.

x2 y2 3.已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2.若抛物线 C2:x2=2py(p>0)的焦 a b 点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为( 8 3 A.x2= y 3 C.x2=8y 16 3 B.x2= y 3 D.x2=16y )

a2+b2 x2 y2 c 解析:选 D ∵双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2,∴ = =2,∴b a b a a p? = 3a,∴双曲线的渐近线方程为 3x± y=0,∴抛物线 C2:x2=2py(p>0)的焦点? ?0,2?到双 p? ? 3×0± 2? ? 2 =2,∴p=8.∴所求的抛物线方程为 x2=16y.

曲线的渐近线的距离为

x2 y2 4.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交于 A,B 两点, a b 4 连接 AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF= ,则 C 的离心率 e=________. 5 解析:设椭圆的右焦点为 F1,在△ABF 中,由余弦定理可解得|BF|=8,所以△ABF 为 直角三角形,又因为斜边 AB 的中点为 O,所以|OF|=c=5.连接 AF1,因为 A,B 关于原点 5 对称,所以|BF|=|AF1|=8,所以 2a=14,a=7,所以离心率 e= . 7 5 答案: 7

热点三

直线与圆锥曲线的位置关系

[例 3] (1)(2013· 安徽高考)已知直线 y=a 交抛物线 y=x2 于 A,B 两点.若该抛物线上 存在点 C,使得∠ACB 为直角,则 a 的取值范围为________. x2 y2 (2)(2013· 东城模拟)已知抛物线 y2=2px 的焦点 F 与双曲线 - =1 的右焦点重合,抛 7 9 物线的准线与 x 轴的交点为 K,点 A 在抛物线上且|AK|= 2|AF|,则△AFK 的面积为( A.4 B.8 C.16 D.32 )

[自主解答] (1)法一:设直线 y=a 与 y 轴交于点 M,抛物线 y=x2 上要存在点 C,只要 以|AB|为直径的圆与抛物线 y=x2 有交点即可,也就是使|AM|≤|MO|,即 a≤a(a>0),所以 a≥1. 法二:易知 a>0,设 C(m,m2),由已知可令 A( a,a),B(- a,a),则 AC =(m- a, m2-a),BC =(m+ a,m2-a),因为 AC ⊥ BC ,所以 m2-a+m4-2am2+a2=0,可得(m2 -a)(m2+1-a)=0.因为由题易知 m2≠a,所以 m2=a-1≥0,故 a∈[1,+∞). (2)由题意知,抛物线焦点坐标为(4,0).作 AA′垂直于抛物线的准线,垂足为 A′,根 据抛物线定义知|AA′|=|AF|,所以在△AA′K 中,|AK|= 2|AA′|,故∠KAA′=45° .此时 不妨认为直线 AK 的倾斜角为 45° ,则直线 AK 的方程为 y=x+4,代入抛物线方程 y2=16x 中,得 y2=16(y-4),即 y2-16y+64=0,解得 y=8,点 A 的坐标为(4,8),故△AFK 的面积 1 为 ×8×8=32. 2 [答案] (1)[1,+∞) (2)D ——————————规律· 总结—————————————————————— 求解直线与圆锥曲线的位置关系的方法 在涉及直线与二次曲线的两个交点坐标时, 一般不是求出这两个点的坐标, 而是设出这 两个点的坐标, 根据直线方程和曲线方程联立后所得方程的根的情况, 使用根与系数的关系 进行整体代入, 这种设而不求的思想是解析几何中处理直线和二次曲线相交问题的最基本方 法.

x2 y2 5.已知点 A(1,0),椭圆 C: + =1,过点 A 作直线交椭圆 C 于 P,Q 两点, AP =2 4 3

QA ,则直线 PQ 的斜率为(
A. 5 2 2 5 B. 2

) 2 5 C.± 5 D.± 5 2

解析:选 D 设点 P,Q 坐标分别为 P(x1,y1),Q(x2, y2),则 AP =(x1-1,y1), QA

=(1-x2,-y2).因为 AP =2 QA ,所以 x1-1=2(1-x2),整理得 x1+2x2=3

①.设直线

PQ 的斜率为 k,则其方程为 y=k(x-1),代入椭圆方程,得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0. 4k2-12 8k2 于是 x1+x2= 2 ②,x1x2= 2 ③.联立①②③, 4k +3 4k +3 5 解得 k=± . 2 6.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点.若 AB 的中点坐标为(2,2),则直线 l 的方程为________. 解析: 由已知得抛物线的方程为 y2=4x.当直线 l 的斜率不存在时, 根据抛物线的对称性, 点(2,2)不可能是 AB 的中点,故直线 l 的斜率存在,设其为 k,则直线 l 的方程为 y-2=k(x -2)且 k≠0,与抛物线方程联立得 y2-4? y-2 ? 4 8 +2 =0,即 y2- ky+k -8=0.设 A(x1,y1), ? k ?

y1+y2 4 2 B(x2,y2),则 y1+y2= ,又因为 =2,即 =2,解得 k=1,故所求的直线方程是 y-2 k 2 k =x-2,即 y=x. 答案:y=x

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