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吉林省长春市十一中2016届高三上学期期中考试数学试题(含答案)


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长春市十一高中 2015-2016 学年度高三上学期期中考试 数 学(理)试 题
一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A ? x x( x ? 3) ? 0 , B ? x x ? 1 ? 2 ,则“ x ? A ”是“ x ?

B ”的( A.充分不必要条件 C.充分条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
y A

?

?

?

?



2.如图,在复平面内,若复数 z1 , z 2 对应的向量分别是 OA, OB ,则 复数 z ? z1 z 2 ? z1 ? z 2 ? i 所对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 ) D.第四象限 C.第三象限

O B

x

3.若向量 a, b 的夹角为 A.

? 6

? ,且 a ? 2, b ? 1,则向量 a 与向量 a ? 2b 的夹角为( 3 ? 2? 5? B. C. D. 3 6 3




4. S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a3 ? a11 ? 12 ,则 S13 ? ( A. 60 B. 78 C. 156 D.不确定

? ? ? ) ? ?2 ,则 5.已知 tan(
A. 3 B.

2 5

1 ?( cos 2? ? cos 2 ? 5 C. ? 2

) D.

?3
a 的最小值是 x1 x 2

6. 已知关于 x 的不等式 x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 (a ? 0) 的解集为 ( x1 , x2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ( A. )

6 3

B.

2 3 3

C.

2 6 3

D.

4 3 3

7. 函数 y ?
y

2 x sin(

5? ? 6 x) 2 的图象大致为( 4x ?1
y


y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D

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8.如图所示程序框图中,输出 S ? ( A. ? 1 B. 0

) C. 1 D.

3

9.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图曲线部分是两个半径为 1 的圆弧,则这个几何体的体积 是( ) A. 8 ?

?
4
开始

B. 8 ?

?
2

C. 8 ? ?

D. 8 ? 2?

n=1 S=0
1 1 1 1

S=S+cos

nπ nπ +sin 3 3

2

2

n=n+1 n>2016?
是 否
2

正视图 1

侧视图

1 俯视图

9 题图

输出S
结束

8题

? x ? y ?1 ?0 ? x ? 1 ? x 10.由不等式组 ?e ? y ? 0 确定的平面区域为 M ,由不等式组 ? 确定的平面区域为 N ,在 ?0 ? y ? e ? 0 ? x ?1 ?
N 内随机的取一点 P ,则点 P 落在区域 M 内的概率为( ) 3 3 1 2 A. 1 ? B. 1 ? 2 C. 1 ? D. 1 ? 2e e e e x 2 2 11.已知函数 f ( x) ? e ? e x ,方程 f ( x) ? af ( x) ? a ? 1 ? 0 有四个不同的实数根,
则 a 的取值范围为( A. (??,? ) B. (??, e )
2

e2 ? 1 ) e

C. (1 ? e ,1)
2

D. (?2e ,1 ? e )
2 2

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12. 已知点 P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 上非顶点的动点,F1 , F2 分别为椭圆的左、 右焦点,O 是坐标原点, 16 8


若 M 是 ?F1 PF2 的平分线上一点,且 F1 M ? MP ? 0 ,则 OM 的取值范围是( A. ?0,3? B. (0, 2 2 ) C. 2 2 , 3

?

?

D. ?0, 4?
y

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分)

? ? 13. 函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? ? )(? ? 0, ? ? ? ? ) 的部分图象 2 2 ?
所示,则 f ( ) ?

2 11π O 5π 12 -2 12
x

如图

4

.

x2 14. 已知点 P (?1 , 1) 在曲线 y ? 上, 则曲线在点 P 处的切 x?a
程为_____________.

线方

15. 定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,对于 ?x ? R ,都有 f ( ? x) ? f ( ? x) ,且满足 f (4) ? ?2 ,

3 4

3 4

f ( 2) ? m ?

3 ,则实数 m 的取值范围是 m

.

16.给出下列四个命题: ① ?? ? R , sin ? ? cos ? ?

7 ; 5

② 函数 f ( x) ? 3 sin 2x ? cos2x 图像的对称中心是 ( ③ 函数 f ( x) ?

k? ? ? ,0 ) k ? Z ; 2 6

sin x 是周期函数, 2? 是它的一个周期; 3 ? cos x

④ (tan14? ? 1)(tan31? ? 1) ? (tan16? ? 1)(tan29? ? 1) 其中正确命题的序号是 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(本小题满分 12 分) 数列 ?an ? 满足: a1 ? 3 , an?1 ? 1 ? an ? 1 ? 1 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; .

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(2)设 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . an ? n

18. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,设函数 f ( x) ? (a ? b) sin(

1 ? x? )?a 2 6

? 5? ? ?7 ? x ? ?0, ? 的值域为 ? ,5? . ? 3? ?2 ?
(1)求 a, b 的值; (2)若 a ? b ? 8 ,且 cos 2C ?

7 , C 为锐角,求 ?ABC 的 AB 边上高 h 的值. 18

19. (本小题满分 12 分) 如 图 , 四 棱 柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 , 侧 棱 AA1 ? 底 面 ABC D, AB ∥ DC , AB ? AD ,

AD ? CD ? 1, AA1 ? AB ? 2 , E 为棱 AA1 中点.
(1)证明: B1C1 ? CE ; (2)求二面角 B1 ? CE ? C1 的正弦值
C A

B

B1

C1 A1 E

D

D1

20.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 上点 T (3, t ) 到焦点 F 的距离为 4 .
2

(1)求 t , p 的值; (2)设 A, B 是抛物线上分别位于 x 轴两侧的两个动点,且 OA ? OB ? 5 (其中 O 为坐标原点) .求 证:直线 AB 过定点,并求出该定点的坐标;

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y

A O x

B

21.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

x ? ax . ln x

(1)若函数 f ( x) 在 (1,??) 上为减函数,求实数 a 的最小值; (2)若存在 x1 , x2 ? e, e 2 ,使 f ( x1 ) ? f ?( x2 ) ? a 成立,求实数 a 的取值范围.

?

?

22.(本小题满分 10 分)选修 4——1:几何证明选讲 如图所示,已知圆 O 外有一点 P ,作圆 O 的切线 PM , M 为切点,过 PM 的中点 N 作割线 NAB , 交圆于 A 、 B 两点,连接 PA 并延长,交圆 O 于点 C ,连接 PB 交圆 O 于点 D ,若 MC ? BC . (1)求证:△ APM ∽△ ABP ; (2)求证:四边形 PMCD 是平行四边形.
C O A D B M N P

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23. (本小题满分 10 分)选修 4——4:极坐标与参数方程选讲 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆 C1 ,直线 C 2 的极坐标方程 分别为 ? ? 4 sin ? , ? cos(? ?

?
4

)?2 2.

(1)求 C1 与 C 2 的直角坐标方程,并求出 C1 与 C 2 的交点坐标;
3 ? ? x?t ?a b (2)设 P 为 C1 的圆心, Q 为 C1 与 C 2 交点连线的中点.已知直线 PQ 的参数方程为 ? y ? t3 ?1 ? 2 ?

( t 为参数, t ? R ),求 a, b 的值.

24.(本题满分 10 分)选修 4——5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 3x ? 1 ? ax ? 3 . (1)若 a ? 1 ,解不等式 f ( x) ? 4 ; (2)若 f ( x) 有最小值,求实数 a 的取值范围.

长春市十一高中 2015-2016 学年度高三上学期期中考试 数 学 试 题 (理)参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 B 5 C 6 D 7 B 8 B 9 C 10 A 11 C 12 B

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13. 1 14.

y ? 3x ? 4

15.

m ? ?1 或 0 ? m ? 3

16. ①③④

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.解析:

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(1)由条件知数列

? a ? 1?是首项为
n

a1 ? 1 ? 2 ,公差 d ? 1 的等差数列,………3 分

所以: an ? 1 ? 2 ? n ? 1 ? n ? 1 ,解得: an ? n 2 ? 2n ………………6 分 (2)由 bn ?

1 1 1 1 ………………9 分 ? 2 ? ? an ? n n ? n n n ? 1
1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 1? ………………12 分 2 2 3 n n ?1 n ?1

所以: S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1 ? 18.解析: (1)由条件当 x ? ?0,

1 ? 1 ? ? ? 2? ? ? 5? ? ? 1 ? 时, x ? ? ?? , ,所以: sin( x ? ) ? ?? ,1? ………2 分 ? ? 2 6 2 6 ? 6 3 ? ? 3? ? 2 ?

(ⅰ)当 a ? b 时,由条件知 ? 2

7 ? 1 ?? (a ? b) ? a ? 2 ,解得: a ? 4, b ? 3 ………………4 分 ? ? (a ? b) ? a ? 5

? 1 ?? ( a ? b ) ? a ? 5 9 11 (ⅱ)当 a ? b 时,由条件知 ? 2 ,解得: a ? , b ? ………………6 分 7 2 2 ? ( a ? b) ? a ? 2 ? 7 7 2 (2)若 a ? b ? 8 ,由(1)知: a ? 4, b ? 3 ,由 cos 2C ? ,即: 2 cos C ? 1 ? , 18 18
所以: cos C ?

5 11 ( C 为锐角)且 sin C ? ………………8 分 6 6

2 2 2 由余弦定理: c ? a ? b ? 2ab cosC ? 5 ,所以 c ?

5 ………………10 分

S ?ABC ?

1 1 ab sin C 2 55 ab sin C ? ch , h ? ………………12 分 ? 2 2 c 5

19.解析 (1)由已知条件,以 A 为原点, AD, AA 1 , AB 所在直线分别为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系,……1 分 则: A1 (0,2,0), B1 (0,2,2), C (1,0,1), C1 (1,2,1) , E 是 AA 1 中点, 则 E (0,1,0) …………3 分
C A E D D1 C1 A1

z
B B1

y

x

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B1C1 ? (1,0,?1) , CE ? (?1,1,?1) ………5 分
所以: B1C1 ? CE ? ?1 ? 0 ? 1 ? 0 , 故 B1C1 ? CE ,即: B1C1 ? CE ……………6 分 (2)由已知条件: B1C1 ? CC1 结合(1)知 B1C1 ? 平面 CEC1 ,故平面 CEC1 的一个法向量为

B1C1 ? (1,0,?1) …………3 分
由条件: B1C ? (1,?2,?1) , CE ? (?1,1,?1) ,设平面 B1CE 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,则

? ? B1C ? n ? x ? 2 y ? z ? 0 ,取 x ? 3, y ? 2, z ? ?1 得 n ? (3,2,?1) …………10 分 ? ? CE ? n ? ? x ? y ? z ? 0 ?
所以 B1 ? CE ? C1 的余弦值 cos? ?

B1C1 ? n B1C1 n

?

4 14 2

?

2 7

故二面角 B1 ? CE ? C1 的正弦值为 sin ? ? 20. (1)由抛物线定义得, 3 ?
2

21 …………12 分 7

p ? 4 ? p ? 2 …………………2 分 2
代入点 T (3, t ) ,可解得 t ? ?2 3 . ………5 分

所以抛物线方程为 y ? 4 x ,………3 分 (2)设直线 AB 的方程为 x ? my ? n , A(

y12 y2 , y1 ) , B ( 2 , y 2 ) 4 4

联立 ?

? y 2 ? 4x 2 消元得: y ? 4my ? 4n ? 0 ,则: y1 ? y 2 ? 4m , y1 y 2 ? ?4n …………8 分 x ? m y ? n ?
( y1 y 2 ) 2 ? y1 y 2 ? 5 ,所以: y1 y2 ? ?20 或 y1 y 2 ? 4 (舍去) 16

由 OA ? OB ? 5 得:

即 ? 4n ? ?20 ? n ? 5 ,所以直线 AB 的方程为 x ? m y ? 5 , 所以直线 AB 过定点 P(5,0) 21.解析: (1)函数定义域为: x x ? 0, 且x ? 1 ,对函数 f ( x) 求导: f ?( x) ? ………… 12 分

?

?

ln x ? 1 ? a, ln 2 x

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若函数 f ( x) 在 (1,??) 上为减函数,则 f ?( x ) ?

ln x ? 1 ? a ? 0 在 (1,??) 恒成立 ln 2 x

? ( x) ? 0 ………2 分 所以: f max
ln x ? 1 1 1 1 1 1 1 ? ( x) ? ? a ? 0 ? a ? ?( ? ) 2 ? ? a ,故当 ? ,即 x ? e 2 时, f max 2 ln x 2 4 ln x 2 4 ln x 1 1 所以: a ? ,所以 a 的最小值是 ………………5 分 4 4
由 f ?( x) ? (2)若存在 x1 , x2 ? e, e 2 ,使 f ( x1 ) ? f ?( x2 ) ? a 成立,则问题等价为:

?

?

? ( x) ? a 当 x1 , x2 ? e, e 2 时, f min ( x) ? f max
由(1)知: f ?( x) 在 x ? e, e 2 的最大值为 所以问题转化为: f min ( x ) ? (ⅰ)当 a ?

?

?

? ?

1 1 ? ( x) ? a ? ? a ,所以 f max 4 4

1 ………………7 分 4

1 时,由(1)知: f ( x) 在 e, e 2 是减函数, 4
2

?

?

所以 f ( x) 的最小值是 f (e ) ?

e2 1 1 1 ? ae2 ? ,解得: a ? ? 2 2 4e 2 4

(ⅱ)当 a ?

1 1 1 1 1 ? ? ? ) 2 ? ? a 在 e, e 2 的值域是 ?? a, ? a ? 时, f ?( x ) ? ?( 4 ln x 2 4 4 ? ?

?

?

①当 ? a ? 0 ,即 a ? 0 时, f ( x) 在 e, e 2 是增函数,于是:

?

?

f min ( x) ? f (e) ? e ? ae ? e ?
②当 ? a ? 0 , 即0 ? a ?

1 ,矛盾 4

1 时, 由 f ?( x) 的单调性和值域知: 存在唯一的 x0 ? e.e 2 , 使得 f ?( x0 ) ? 0 4

? ?

且当 x ? ?e, x0 ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数;当 x ? x0 , e 2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函数 所以: f ( x) 的最小值为 f ( x0 ) ?

?

?

x0 1 ? ax0 ? , ln x0 4

即: a ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ,矛盾 2 ln x0 4 x0 ln e 4e 2 4e 4
1 1 ? 2 2 4e

综上有: a ?

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22. 证明: (1)∵ PM 是圆 O 的切线, NAB 是圆 O 的割线, N 是 PM 的中点,

PN NA ? , BN PN 又∵ ?PNA ? ?BNP , ∴△ PNA ∽△ BNP , ∴ ?APN ? ?PBN , 即 ?APM ? ?PBA . ∵ MC ? BC , ∴ ?MAC ? ?BAC , ∴ ?MAP ? ?PAB , ∴△ APM ∽△ ABP . ………5 分
∴ MN 2 ? PN 2 ? NA ? NB , ∴

M N P C O A D B

(2)∵ ?ACD ? ?PBN ,∴ ?ACD ? ?PBN ? ?APN ,即 ?PCD ? ?CPM , ∴ PM // CD , ∵△ APM ∽△ ABP ,∴ ?PMA ? ?BPA , ∵ PM 是圆 O 的切线,∴ ?PMA ? ?MCP , ∴ ?PMA ? ?BPA ? ?MCP ,即 ?DPC ? ?MCP , ∴ MC // PD , ∴四边形 PMCD 是平行四边形. ………10 分 23.解析: (1)由极直互化公式得:

C1 : x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4

C2 : x ? y ? 4 ? 0 ………4 分

联立方程解得交点坐标为 (0,4), (2,2) ………5 分 (2)由(1)知: P(0,2) , Q(1,3) 所以直线 PQ : x ? y ? 2 ? 0 , 化参数方程为普通方程: y ?

b ab x? ? 1, 2 2

? b ? 2 ?1 对比系数得: ? , a ? ?1, b ? 2 ………10 分 ab ?1 ? ?2 2 ?
24.解析 (1) a ? 1 , f ( x) ? 3x ? 1 ? x ? 3 ? 4 ,即: 3x ? 1 ? 1 ? x

x ? 1 ? 3x ? 1 ? 1 ? x ,解得: 0 ? x ?

1 ? 1? ,所以解集为: ?0, ? ………5 分 2 ? 2?

1 ? ?(3 ? a) x ? 2, x ? 3 ?a ? 3 ? 0 (2) f ( x) ? ? , f ( x) 有最小值的充要条件为: ? , 1 ?a ? 3 ? 0 ?(a ? 3) x ? 4, x ? 3 ?

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即: ? 3 ? a ? 3 ………10 分 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org


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