当前位置:首页 >> 数学 >> 清北学堂 2012年暑假数学高端班(特训一)几何导学(知识点 模拟真题讲解)

清北学堂 2012年暑假数学高端班(特训一)几何导学(知识点 模拟真题讲解)


北京清北学堂教育科技有限公司

电话:010-88400806,010-88400903

网址:www.topschool.org

几何导学分为以下几部分: 一、 平面几何模拟真题及答案 二、 三角形的心知识点概括及模拟真题讲解 三、 面积问题、面积方法知识点概括及真题讲解 四、 四点或多点共圆问题

/>一、平面几何模块模拟测试题
· O 经过 ?ABC 的顶点 A 、 B ,且分别与边 CA 、 CB 一、如图 1,半径为为 R 的○ 交于点 D 、 E , AE 与 BD 交于点 P.求证: OC 2 ? OP 2 ? PC 2 ? 2 R 2 .
C D E P O

二、如图 1,已知 ABCD 是平行四边形,但非矩形和菱 形,CE ? AB 于 E , CF ? AD 于 F ,连结 FE , DB 并延长 交于点 P. 求证: PC ? AC .

A 图1

B

三、如图,△ PAB 中, E , F 分别是边 PA, PB 上的点, 在 AP, BP 的延长线上分别取点 C , D ,使 PC ? AE , PD ? BF ,

D
M

p

C

M , N 分别是△ PCD ,△ PEF 的垂心.

证明: MN ? AB .
E

F N

A

B

四、?ABC 中,D 是角 A 平分线上的任一点,E , F 分别是 AB, AC 延长线上的点,
BF ∥ CD ; 且 CE ∥ BD , 若 M , N 分别是 CE , BF 的中点;
A
D

证明: AD ? MN .
B

C

1
M N

E

F

北京清北学堂教育科技有限公司

电话:010-88400806,010-88400903

网址:www.topschool.org

平面几何模块模拟测试题答案
·O 的两条切线,切点分别 一、如图 2 所示,过点 C 作○ 为 M、N,连结 MA、MD、NB、NE、DE. 易证 ?CDM ∽ ?CMA ,?CEN ∽ ?CNB ,?CDE ∽
D M C E P O A 图2 B N

?CBA .
于是

DM CD NE CN AB CB ? , ? , ? . MA CM BN CB CE CD

由切线长定理知 CM ? CN ,所以

DM AB NE CD CN CB ? ? ? ? ? ? 1 ,于是由塞瓦定 MA BN ED CM CB CD
理可知 AE 、 BD 、 MN 相交于点 P. 即 OC 2 ? OP 2 ? PC 2 ? 2 R 2 .

又 MN ⊥ CO ,所以 PC 2 ? PO 2 ? NC 2 ? NO 2 ? OC 2 ? R 2 ? R 2 ,

二、证法 1:设 AC 与 BD 交于点 O, M 是 EF 的中点.因 E , F 在以 AC 为直径的圆 上,所以, OM ? EF . 过 E 作 EH // BD ,交 AF 于 H ,交 AC 于 G ,则 中点. 所以 GM // HF ,所以 ? EMG ?? EFH ? ECG ,故 E , C , M , G 四点共圆. 所 以 ?M C O , 所 以 O, P, C , M 四 点 共 圆 , 所 以 ?? M E G ?? M P O

GE OB ? ,从而 G 为 EH 的 GH OD

? OMP ?? OCP.
因为 OM ? EF ,所以 ? OMP ? 90 ? ,所以 ? OCP ? 90 ? ,所以 PC ? AC . 证法 2:设 AD ? a, AB ? b, ? BAD ? ? ,则 DF ? b cos ? , EB ? a cos ? . 由梅涅劳斯定理知

AD FP EB PE a 2 a2 ? ? ? 1 ,所以 ? 2 , EP ? 2 ? FE , DF PE BA PF b b ? a2

a2 b2 a2 CP ? CE ? EP ? CE ? 2 (CE ? CF ) = 2 CE ? 2 CF , b ? a2 b ? a2 b ? a2 CP ? AC ? 1 a2 CE ? CF , b2 ? a2 b2 ? a2
2

北京清北学堂教育科技有限公司

电话:010-88400806,010-88400903

网址:www.topschool.org

CP ? AC ?

1 (b 2 CE ? a 2 CF ) ? ( AD ? AB ) . 2 b ?a
2

注意到 AD ? CF ? 0, AB ? CE ? 0 ,则

CP ? AC ?

1 (b 2 a 2 sin ? ? a 2 b 2 sin ? ) ? 0 . 2 b ?a
2

所以 PC ? AC . 证法 3:延长 AF , PC 于点 Q ,设 EF , CD 交于点 M . 由 BE // MD, BC // AQ ,知

PE PB PC ,从而 EC // MQ . ? ? PM PD PQ

结合 AE // MD, ? CEA ? 90 ? ,则 ? QMD ? 90 ? . 而 ? CFQ ? 90 ? ,则 C , M , F , Q 四点共圆. 易知 A, E , C , F 四点共圆,从而 ? MQC ?? MFC ?? CAE ?? ACD . 于是

? ACP ?? ACE ? ? PCE ?? ACE ? ? MQC ?? ACE ? ? ACD ? 90 ? .
故 PC ? AC . 三、 证: 如图, 设线段 DE , CF , PF 的中点分别为 G, H , K ,则 K 也是 BD 的中点, 据中位线知,在△ BDE 中, KG ∥ BE , KG ?

1 BE ; 2

在△ PCF 中, KH ∥ PC , KH ?

1 PC ,即 2

KH ∥ AE , KH ?

1 AE ,所以△ KHG ?△ EAB , 2 1 AB . 2
D
Q W

且 HG ∥ AB , HG ?

为证 MN ? AB ,只要证 MN ? HG . 以 G 为圆心, DE 为直径作 ?G ,其半径记为 R ; 以 H 为圆心, CF 为直径作 ?H ,其半径记为 r ,设直
3
E G

p
K F T

C
H

M

S

N

A

B

北京清北学堂教育科技有限公司

电话:010-88400806,010-88400903

网址:www.topschool.org

线 AC 交 MD 于 Q , MC 交 BD 于 W ,由于点 M 是△ PCD 的垂心, 则 MD ? PQ , MC ? PD ,所以 DWCQ 共圆,故有 MQ ? MD ? MC ? MW … … 1 ○ 另一方面,由于 ?EQD ? 90? , ?FWC ? 90? , 可知, Q 在 ?G 上, W 在 ?H 上,从 而 1 化为 MG 2 ? R 2 ? MH 2 ? r 2 , MQ ? MD ? MG 2 ? R2 , MC ? MW ? MH 2 ? r 2 ,因此○ 即 MG 2 ? MH 2 ? R 2 ? r 2 … … ○ 2 又设直线 NF 交 AC 于 S , NE 交 BD 于 T ,由于点 N 是△ PEF 的垂心, ,则 NS ? PE , 3 NE ? PF ,所以 ETFS 共圆,故有 NT ? NE ? NF ? NS … … ○ 再由 ?DTE ? 90? , ?CSF ? 90? , 可知, T 在 ?G 上, S 在 ?H 上,从而 3 化为 NG 2 ? R 2 ? NH 2 ? r 2 , NT ? NE ? NG 2 ? R2 , NF ? NS ? NH 2 ? r 2 ,因此○ 即 NG 2 ? NH 2 ? R 2 ? r 2 … … ○ 4 据○ 2 、○ 4 得, MG 2 ? MH 2 ? NG 2 ? NH 2 ,所以 MN ? GH ,而 HG ∥ AB ,所以

MN ? AB .
四、证:如图,延长 BD, CD ,分别与 AC , AB 交于
H , G ,注意 ?DBG, ?DCH 关于顶点 D 的等高性及等角性,由面积
A G B D K H

比定理,

BG ?DBG DB ? DG ? ? , (记号 ? 表示面积) ,所以 CH ?DCH DC ? DH

BG ? DC ? DH ? CH ? DB ? DG …… ①
又由 CE ∥ BD , BF ∥ CD ,得

C

GB GD HC HD ? ? , ,所以 BE DC CF DB
……

N M P E F

BE BG ? DC ? DH BE ? ?1, E ? C F ……②, 由①、 ②得 即B CF CH ? DB ? DG CF
③. 取 BC 的中点 K ,据中位线知, MK ∥ BE , MK ?

1 1 BE , NK ∥ CF , NK ? CF . 2 2

4

北京清北学堂教育科技有限公司

电话:010-88400806,010-88400903

网址:www.topschool.org

由③, KM ? KN ,作角分线 KP ,则 KP ? MN ,因 MK ∥ AB , NK ∥ AC ,所 以其角分线 AD ∥ KP ,因 KP ? MN ,得 AD ? MN .

二、 三角形的心
知识点:
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心. 1、外心:三角形中垂线的交点,三角形外接圆的圆心,简称外心.与外心关系密 切的有圆心角定理和圆周角定理. 2、重心:三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比 2:1 及中线长度公式,便于解题. 3、垂心:三角形三条高的交战,称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个 等(外接)圆三角形,给我们解题提供了极大的便利. 4、 内心: 三角形角平分线的交点, 三角形内切圆的圆心, 简称为内心.对于内心, 要掌握张角公式,还要记住下面一个极为有用的等量关系: 5、旁心:三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点,是旁切圆的圆心,称为旁心.旁心常常与内心联系在一起, 旁心还与三角形的半周长关系密切.

模拟真题:
题 1:例 1、在△ABC 中,O 为外心,I 为内心,AB<AC,AB<BC,D 和 E 分别是 边 AC、BC 上的点,且满足 AD=AB=BE,求证:IO⊥DE。 分析一: 连结 OD、 OE、 ID 和 IE, 要证 IO ? DE , 只需证 ID 2 ? IE 2 ? OD 2 ? OE 2 。 证明一:设 BC=a,CA=b,AB=c,△ABC 的外接圆半径为 R,则 CD=b-c,CE=a-c。 在△OAC 和△OBC 中,由斯德瓦特定量,得

OD 2 ? R 2 ? c(b ? c) , OE 2 ? R 2 ? c(a ? c)
∴ OD 2 ? OE 2 ? c(a ? b) 连结 AI 和 BI,则△ADI≌△ABI≌△EBI ∴ID=BI,IE=AI 作 IH⊥AB 于 H,则由内心的性质,知 1 1 BH ? (a ? c ? b) , AH ? (b ? c ? a ) 2 2

A H B I O E D C

1 1 ∴ ID 2 ? IE 2 ? BI 2 ? AI 2 ? BH 2 ? AH 2 ? [ (c ? a ? b)] 2 ? [ (b ? c ? a)] 2 2 2 1 ? ? 2c ? 2(a ? b) ? c(a ? b) 4
5

北京清北学堂教育科技有限公司

电话:010-88400806,010-88400903

网址:www.topschool.org

于是得 ID 2 ? IE 2 ? OD 2 ? OE 2 ,故 IO ? DE 评述:在任意四边形 ABCD 中,若对边平方和相等,则对角线互相垂直。此 题正是应用这个结论而得证的,IDOE 构成一个凹四边形,对角线为 IO 和 DE。 分析二:由于 AB=AD 可得 AI⊥BD,延长 AI 交外 A 接圆于 M,连结 OM,则 OM⊥BC,故可发现△IOM 和△ DEB 的对应边互相垂直。 故只需证这两个三角形相似 即可。 I O 证明二: 连结 AI 并延长交△ABC 的外接圆于点 M, D 连结 OM、BD。 则有 OM⊥BC,IM⊥BD C B E ∴∠AMO=∠DBC MI BD 要证△ MIO ∽△ BDE ,则需证 ? M MO BE 又 由 内 心 的 性 质 得 MI ? MB , 故 只 需 证 MB BD ? MO BA 故只需证△ BAD ∽△ MOB 。 OB AD 因为 ? ? 1 , ?BAD ? ?BOM ,故△ BAD ∽△ MOB 得证。 MO BA ∴△ MIO ∽△ BDE ∴ IO ? DE :评述:如果两相似三角形有两组对边互相垂直,则第三组对边也垂直。当 两线段无公共点时,我们常用此法来证两线段垂直。 题 2:如图,△ABC 中,O 为外心,三条高 AD、BE、CF 交于点 H,直线 ED 和 AB 交于点 M,FD 和 AC 交于点 N,求证: (1)OB⊥DF,OC⊥DE; (2)OH⊥MN (2001 年全国高中数学联赛加试题一)

A O F H B M
证明: (1)∵A、C、D、F 四点共圆, ∴ ?BDF ? ?BAC , 1 又∵ ?OBC ? (180 ? ? ?BOC ) ? 90 ? ? ?BAC , 2
6

E C D N

北京清北学堂教育科技有限公司

电话:010-88400806,010-88400903

网址:www.topschool.org

∴ OB ? DF 同理 OC ? DE ( 2 ) 思 路 分 析 : 要 证 OH ⊥ MN , 由 例 1 的 方 法 可 知 , 只 须 证 明
MH 2 ? NH 2 ? MO 2 ? NO 2

(*)

而要证(*)式只须用题设条件中的垂直和证(1)中的垂直,可得到类似的 等式,将这些等式组合即可得(*) 。 证法一:∵ CF ? MA ,∴ MC 2 ? MH 2 ? AC 2 ? AH 2 ∵ BE ? NA ,∴ NB 2 ? NH 2 ? AB 2 ? AH 2 ∵ DA ? BC ,∴ BD 2 ? CD 2 ? BA 2 ? AC 2 ∵ OB ? DF ,∴ BN 2 ? BD 2 ? ON 2 ? OD 2 ∵ OC ? DE ,∴ CM 2 ? CD 2 ? OM 2 ? OD 2 ①-②+③+④-⑤,得
NH 2 ? MH 2 ? ON 2 ? OM 2



② ③ ④ ⑤

∴ OH ? MN 分析二: 要证 OH ? MN , 又有 BH ? AN , OB ? FN , 故可作 AG // MN ,交 NF 延长线于点 G 。故只需证 △ BOH ∽△ NGA 即可。 G 证法二: 过点 A 作 AG∥MN, 交 NF 延长线于点 G。 ∵ ?FDB ? ?BAE ? ?EDC ? ?BDM ∴ BD 为 ?MDF 的内角平分线 FA FD BF AE AF ? BF ? ? ? ? ∴ , MA DM MB MA AB AB ? AF 2 AF ? BF ∴ MA ? ,MF ? MA ? AF ? AF ? BF AF ? BF M MF 2 BF FN ? ? ∴ (∵ AG // MN ) MA AB NG ∵ ?DFC ? ?DAE ∴△ FNC ∽△ AND AD AN ? 有 FC FN AN 2 BF ? AD ? ? 2 sin B ? cot B ? 2 cos B 于是 NG AB ? FC BH BC BC ? ? ? 2 BD , 而 sin ?BCF sin ?BHC sin ?BAC BH BH AN ? 2 sin ?BCF ? 2 cos B ,从而 ? 则 BO BO NG
7

A O F H E B C D N

北京清北学堂教育科技有限公司

电话:010-88400806,010-88400903

网址:www.topschool.org

又 ?OBH ? ?ABC ? ?ABO ? ?CBE ? ?ABC ? (

?
2

? ?ACB ) ? (

?
2

? ?ACB )

? ?ACB ? ?BAC 则 ?ANG ? ?ACB ? ?NDC ? ?ACB ? ?BAC ? ?OBH 故△ BOH ∽△ NGA
∵ OB ? FN , BH ? AN ,∴ OH ? AG ,则 OH ? MN 题 3:在直角三角形中,求证:r+ra+rb+rc=2p. 式中 r,ra,rb,rc 分别表示内切圆半径及与 a,b,c 相切的旁切圆半径, p 表示半周.(杭州大学《中学数学竞赛习题》) 证明:设 Rt△ABC 中,c 为斜边,先来证明一个特性: p(p-c)=(p-a)(p-b). 1 1 ∵p(p-c)= (a+b+c)· (a+b-c) rc K 2 2 A O3 1 O2 = [(a+b)2-c2] 4 rb O r E 1 B = ab; ra C 2 O1 1 1 (p-a)(p-b)= (-a+b+c)· (a-b+c) 2 2 1 2 1 2 = [c -(a-b) ]= ab. 4 2 ∴p(p-c)=(p-a)(p-b). ① 观察图形,可得 ra=AF-AC=p-b, rb=BG-BC=p-a, rc=CK=p. 1 而 r= (a+b-c) 2 =p-c. ∴r+ra+rb+rc =(p-c)+(p-b)+(p-a)+p =4p-(a+b+c)=2p. 由①及图形易证. 题 4:M 是△ABC 边 AB 上的任意一点.r1,r2,r 分别是△AMC,△BMC,△ABC 内 切圆的半径,q1,q2,q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.证 明:
r1 r r · 2 = . q1 q2 q

(IMO-12) 分析:对任意△A′B′C′,由正弦定理可知 A' OD=OA′· sin 2
8

北京清北学堂教育科技有限公司

电话:010-88400806,010-88400903

网址:www.topschool.org

B' A' 2 =A′B′· · sin 2 sin ?A' O' B ' A' B' sin ? sin 2 2 , =A′B′· A'? B' sin 2 A' B' cos cos 2 2 . O′E= A′B′· A'? B ' sin 2 OD A' B' ∴ ? tg tg . O' E 2 2 亦即有 sin
r1 r A ?CMA ?CNB B · 2 = tg tg tg tg q1 q2 2 2 2 2

C' O A ' .. E D
. B '

O'

= tg

A B r tg = . 2 2 q

三、 面积问题面积方法
知识点:
1、面积公式 由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形, 故在面积公式中最基本的 是三角形的面积公式.它形式多样,应在不同场合下选择最佳形式使用.
a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边, ha 为 a 的高,R 、 设△ ABC , r 分别为△ ABC

外接圆、内切圆的半径, p ? (1) S ?ABC ? (2) S ?ABC
1 aha ; 2 1 ? bc sin A 2

1 (a ? b ? c) .则△ ABC 的面积有如下公式: 2

(3) S ?ABC ? (4) S ?ABC ? (5) S ?ABC

p( p ? a)( p ? b)( p ? c)

1 r (a ? b ? c) ? pr 2 abc ? 4R

(6) S ?ABC ? 2 R 2 sin A sin B sin C

9

北京清北学堂教育科技有限公司

电话:010-88400806,010-88400903

网址:www.topschool.org

(7) S ?ABC ? (8) S ?ABC ? (9) S ?ABC

a 2 sin B sin C 2 sin( B ? C )

1 ra (b ? c ? a ) 2 1 ? R 2 (sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2C ) 2

2.面积定理 (1)一个图形的面积等于它的各部分面积这和; (2)两个全等形的面积相等; (3)等底等高的三角形、平行四边形、梯形(梯形等底应理解为两底和相等) 的面积相等; (4)等底(或等高)的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的 高(或底)的比; (5)两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方; (6) 共边比例定理: 若△ PAB 和△ QAB 的公共边 AB 所在直线与直线 PQ 交于 M , 则 S ?PAB : S ?QAB ? PM : QM ; (7) 共角比例定理: 在△ ABC 和△ A?B?C ? 中, 若 ?A ? ?A? 或 ?A ? ?A? ? 180 ? , 则
S ?ABC AB ? AC ? . S ?A?B?C ? A?B ? ? A?C ?

?CPB ? ? , 3. 张角定理: 如图, 由 P 点出发的三条射线 PA, PB , PC , 设 ?APC ? ? , ?APB ? ? ? ? ? 180 ? ,则 A, B, C 三点共线的充要条件是:
sin ? sin ? sin( ? ? ? ) ? ? . PB PA PC

模拟真题:
题 1 : 设 点 D 为 等 腰 △ ABC 的 底 边 BC 上 一 点 , F 为 过 A 、 D 、 C 三 点 的 圆 在 △ ABC 内 的 弧 上 一 点 ,过 B 、 D 、 F 三 点 的 圆 与 边 AB 交 于 点 E 。求 证 : CD · EF + DF · AE = BD · AF 。
A

证 明 : 设 AF 的 延 长 线 交 △ BDF 于 K ,
2

? ?AEF ? ?AKB, ??AEF ? ?AKB ,

3

1



EK BK AE AK ? , ? 。 于 是 要 证 ( 1) , AF AB AF AB
B

F E

只 需 证 明 : CD ? BK ? DF ? AK ? BD ? AB (2) 又 注 意 到 ?KBD ? ?KFD ? ?C 。
10

D

C

北京清北学堂教育科技有限公司

电话:010-88400806,010-88400903

网址:www.topschool.org

1 我 们 有 S?DCK ? CD ? BK ? sin ?C 2

S ?ABD ?
进一步有

S ?ADK

1 BD ? AB ? sin ?C 2 1 ? AK ? DF ? sin ?C 2

因 此 要 证 ( 2) , 只 需 证 明 S?ABD ? S?DCK ? S?ADK ( 3 ) 而 ( 3 ) ? S?ABC ? S?AKC ? BK // AC (4) 事 实 上 由 ?BKA ? ?FDB ? ?KAC 知 ( 4 ) 成 立 , 得 证 题 2: (牛顿线)圆外接四边形的内切圆心和对角线中点共线。 (这是一个经典结论,它的证明很有创意,是面积法的经典之作) 证 明 : 如 图 , 四 边 形 ABCD 中 , M 和 N 为 对 角 线 AC 和 BD 的 中 点 , 连 接 AO,BO,CO,DO,AM,CM,DN,BN 于 是 S ?A D M ? S?
BCM

S ?ADN ? S ?BCN S ?ADO ? S ?BCO

1 S 2 四边形ABCD 1 ? S四边形ABCD 2 1 ? S四边形ABCD 2 ?

1 S 的点 P 2 四边形ABCD 的 轨 迹 是 一 条 直 线 , 所 以 , M、 O、 N 共 线 。 (证明简短,但是其中包含很多道理) 。 题 3 : 如 图 , E 为 圆 内 接 四 边 形 ABCD 的

由于平面上满足 S ?ADP ? S ?BCP ?

AB 边 得 中 点 ,

EF ? AD于F,FH ? BC于H , EG ? CD于G.

求 证 : EG 平 分 FH. 证 明 :设 ?HEP ? ? , ?FEP ? ? , ?EPF ? ? ,
?? 与?C互补,?A与 ?C互补 互 补 ?? =?A,同理? =?B

又 EF ? AE sin A ? AE sin ?
EH ? EB sin B ? EB sin ?
AE ? EB , 所 以

11

北京清北学堂教育科技有限公司

电话:010-88400806,010-88400903

网址:www.topschool.org

1?

S?PEF S?PEH ? S?PEF S?PEH

1 1 PE ? PF sin ? PE ? EH sin ? 2 ? 2 ? 1 1 PE ? EF sin ? PE ? PH sin(180? ? ? ) 2 2 PE 2 ? PF ? EH sin ? sin ? PF EH sin ? ? ? ? PE 2 ? EF ? PH sin ? sin ? PH EF sin ? PF EB ? sin ? sin ? PF ? ? ? PH AE ? sin ? sin ? PH
从 而 , PF=PH.

四、 四点或多点共圆问题
知识点:
1、 利用圆的定义证明 即要证 A、B、C、D 四点共圆,只需要找到一点 P,证得 PA=PB=PC=PD 即 可. 利用圆内接四边形性质定理的逆定理 (1) 若四边形的两个对角互补,则四点共圆 (2) 若四边形的一个外角等于它的内对角,则四点共圆. 利用圆周角定理的逆定理,即 两三角形有公共底边, 且在公共底边同侧又有相等的顶角, 则四顶点共圆. 利用圆幂定理的逆定理,即 (1) 若二线段 AB 和 CD 相交与 E,且 AE ? EB ?CE ?ED , 则 A、B、C、D 四点共圆; (2) 若 相 交 于 P 点 的 二 线 段 PB 、 PD 上 各 有 一 点 A 、 C , 且
P A? P B? P C ? P ,则 D A、B、C、D 四点共圆;

2、

3、 4、

5、

利用托勒密定理的逆定理,即 如果四边形 ABCD 的两组对边乘积的和等于它的两条对角线的乘积:
AB ? CD ? BC? DA? AC? BD , 则 A、B、C、D 四点共圆.

6、

7、

利用位似变换 如果两个几何图形 F 和 F ? 的任意一对对应点 A 和 A? 的连线都通过同一定 点 O ,且 OA? ? K ? OA (其中 K 是常数) ,那么这两个图形叫做位似图形. O 叫做位似中心, K 叫做位似系数.通常把从图形 F 到 F ? 得变换叫做位似 变换.如通过位似变换,图形 F 中共线的点在图形 F ? 中仍然共线,反之亦 成立. 多点共圆 (1) 通常先证其中四点共圆, 再证其余点中一一与共圆四点组中的三点 共圆;
12

北京清北学堂教育科技有限公司

电话:010-88400806,010-88400903

网址:www.topschool.org

(2) 利用位似变换.

模拟真题: 题 1:凸 四 边 形 ABCD 有 内 切 圆 , 内 切 圆 切 边 AB 、 BC 、 CD 、 DA 分 别 于
A1、 B1、 C1、 D1, 连 接 A1B1、 B1C1、 C1D1、 D1A1, 点 E、 F、 G、 H 分 别 为 A 1 B 1 、 B 1 C 1 、 C 1 D 1 、 D 1 A 1 的 中 点 , 证 明 : 四 边 形 EFGH 为 矩 形 的 充 要 条 件
为 A、 B、 C、 D 四 点 共 圆 。 证 明 : 连 接 AI 、 BI 、 CI 、 DI 、 A 1 I 、 D 1 I , 则 ∵ AA 1 、 AD 1 为 ⊙ I 的 切 线
H A

D1

∴ AI ⊥ A 1 D 1 , 且 A 、 H 、 I 三 点 共 线 在 Rt △ AID 1 中 , 由 射 影 定 理 得 : ID 1 2 = IH · IA 同 理 可 得 : IA 1 2 = IB · IE ∴ IH · IA = IB · IE ∴ H、 A、 B、 E 四 点 共 圆 ∴ ∠ EHI = ∠ ABI
B

A1 O E I G D

B1

F C

C1

同 理 可 得 : ∠ GHI = ∠ ADI , ∠ EFI = ∠ CBI , ∠ GFI = ∠ CDI ∴ ∠ EHG + ∠ EFG = ∠ ABC + ∠ ADC 当 四 边 形 EFGH 为 矩 形 时 , ∠ ABC + ∠ ADC = ∠ EHG + ∠ EFG =180 ? ∴ A、 B、 C、 D 四 点 共 圆 当 A、 B、 C、 D 四 点 共 圆 时 ∠ EHG + ∠ EFG = ∠ ABC + ∠ ADC =180 ? 又∵
B B1 F C C1 A1 O E I G D D1 H A

E 、 H 分 别 为 AB 、 AD 中 点

∴ 2 EH ∥ B 1 D 1 同 理 可 得 : 2 FG ∥ B 1 D 1 ∴ EH ∥ FG ∴ 四 边 形 EFGH 为 平 行 四 边 形 ∵ ∠ EHG = ∠ EFG ∴ ∠ EHG =90 ? ∴ 四 边 形 EFGH 为 矩 形
13

北京清北学堂教育科技有限公司

电话:010-88400806,010-88400903

网址:www.topschool.org

题 2:已 知 P 为 ⊙ O 外 一 点 , PA 、 PB 为 其 两 条 切 线 , A 、 B 为 切 点 。 设

Q 为 PO 与 AB 的 交 点 , 过 Q 作 ⊙ O 的 任 一 条 弦 CD 。 求 证 : △ PAB 与 △ PCD 有 相 同 的 内 心 。
证 明 : 设 PO 交 ⊙ O 于 I , 连 接 AI 、 BI 、 CI 、 DI , 则 ∵ PA 、 PB 为 切 线 ∴ PA = PB 又 OA = OB ∴ ∠ APO = ∠ BPO , ∠ AOP = ∠ BOP ∴ AI = BI ∴ ∠ BAI = ∠ ABI = ∠ PAI ∴ I 为 △ PAB 的 内 心 ∵ P、 A、 O、 B 四 点 共 圆 ∴ AQ · BQ = OQ · PQ ∵ A、 B、 C、 D 四 点 共 圆 ∴ AQ · BQ = CQ · DQ ∴ CQ · DQ = OQ · PQ ∴ P、 C、 D、 O 四 点 共 圆 ∵ OC = OD ? ∠ CPO = DPO ∴ ∠ CDP = ∠ COP = ∠ COI =2 ∠ CDI ∴ DI 平 分 ∠ CDP ∴ I 为 △ PCD 的 内 心 即 : △ PAB 与 △ PCD 有 相 同 的 内 心 题 3:
设? ABC是锐角三角形,其内心,外心,垂心分别为I,O,H,? ABC的内切圆与边BC切 于点D,若?B=?C,AO//HD,OD与AH交与点E,线段CI的中点为F,证明E,F,I,O四点共 圆。
B C A B C A

O

Q P D

O

Q P D

解:

14

北京清北学堂教育科技有限公司

电话:010-88400806,010-88400903

网址:www.topschool.org

首先看几个结论:(1)HG=GE (2) PM// OA(P为AH的中点,M为BC的中点。) (3) 若? ABC的内切圆与BC切于点D,?A内的旁切圆与BC切于点N, 则M是ND的中点。(提示:BD=CN) (4) AN//IM(提示:作圆I的直径DD',过D'作BC的平行线与AB,AC 分别交与B',C', ? A是? ABC的与? AB ' C '的位似中心, ? A,D',N三点 共线, ? ND'//MI) (5) ?BAO=?CAH
A D' C'

B' O

IH C

B

D N M E

证明:
设AH与圆O交与E', ? AH与 ? O交与E', ? HE'并与BC对称, ??HE'D=?E'HD=?E'AO=?AE'O ? O,D,E'三点共线? E=E'

设AH与圆O交与E', ? AH与 ? O交与E', ? HE'并与BC对称, ??HE'D=?E'HD=?E'AO=?AE'O ? O,D,E'三点共线? E=E' PM//OA,延长AO与BC交与点N,则M是ND的中点。 设AN与圆I交与点D',则DD'为圆I的直径
1 ? OM// DD'// ID ? OIDM是矩形 ? IO//BC 2 ? ?IFD=2?ICD=?C ?OEA=?OAE=?A-2?CAH=?A-2(90? -?C)=?C-?B ??OEC=?C-?B+?B=?C ? D,E,C,F共圆, ??CFE=?CDE=?IOE
题 4:给 定 锐 角 △ ABC , 在 BC 边 上 取 点 A 1 、 A 2 ( A 2 位 于 A 1 与 C 之 间 ) ; 在 CA 边 上 取 点 B 1 、B 2 ( B 2 位 于 B 1 与 A 之 间 ) ;在 AB 边 上 取 点 C 1 、C 2 ( C 2 位 于 C 1 与 B 之 间 ) 。 使 得 ∠ AA 1 A 2 = ∠ AA 2 A 1 = ∠ BB 1 B 2 = ∠ BB 2 B 1 = ∠ CC 1 C 2 = ∠

CC 2 C 1 。 直 线 AA 1 、 BB 1 、 CC 1 可 构 成 一 个 三 角 形 , 直 线 AA 2 、 BB 2 、 CC 1 可
构成另一个三角形,求证:这两个三角形的六个顶点共圆。
15

北京清北学堂教育科技有限公司

电话:010-88400806,010-88400903

网址:www.topschool.org

A C1 U C2 Y B A1 V Z A2 C X B2 W B1

证 明 : 设 上 述 两 个 三 角 形 分 别 为 图 中 所 示 的 △ UVW 和 △ XYZ , 则 ∵ ∠ BB 2 B 1 = ∠ CC 1 C 2 ∴ ∠ AB 2 B = ∠ AC 1 C ∵ ∴ ∠ BAB 2 = ∠ CAC 1 ∴ △ AB 2 B ∽ △ AC 1 C

AC 1 AB 2 = 且 ∠ ABB 2 = ∠ ACC 1 AC AB

同 理 可 得 : ∠ BAA 1 = ∠ BCC 2 ∴ ∠ A 1 VB = ∠ BAA 1 + ∠ B 1 BB 2 + ∠ ABB 2 = ∠ BCC 2 + ∠ C 1 CC 2 + ∠ ACC 2 = ∠ ACB 同 理 可 得 : ∠ ACB = ∠ AXB 2 ∠ AUC 1 在 △ ABV 中 : ∴ ∠ A 1 VB = ∠ AXB 2 同 理 可 得 : ∠ A 2 ZC =

AV sin ∠ ABV AB
=

=

AB sin ∠ AVB AC

=

AB AB = sin ∠ A 1 VB sin ∠ ACB

同理可得:

sin ∠ ACB AC sin ∠ AZC

sin ∠ ABC
=



AZ sin ∠ ACZ
∴ AV = AZ 又

=

AC sin ∠ A 2 ZC

=

AC sin ∠ ABC

同 理 可 得 : BW = BX ; CU = CY

AC 1 AC 1 AB 2 AU AC AB = = · = · sin ∠ AC 1 U sin ∠ AUC 1 AC sin ∠ ABC AB sin ∠ ACB

=

AB 2 AX = sin ∠ AXB 2 sin ∠ AB 2 X
同 理 可 得 : BV = BY ; CW = CZ ∴ ∠ AUX = ∠ AA 1 A 2 = ∠ BB 1 B 2 = ∠ BWX

∴ AU = AX

∴ UX ∥ BC ; WY ∥ CA

∴ X 位 于 △ UVW 的 外 接 圆 上 同 理 可 得 : Y 位 于 △ UVW 的 外 接 圆 上 ; Z 位 于 △ UVW 的 外 接 圆 上 ∴ U、 V、 W、 X、 Y、 Z 六 点 共 圆 。

16


更多相关文档:

北京2012 暑假数学VIP高端班课程表

北京2012 暑假数学特训一课... 1页 免费 清北学堂...清北学堂 2012 年暑假(北京校区)数学高端班课程表上课...30 陶平生教授 几何模拟 真题精讲 14:00-17:00...

组合特训一导学

2010年暑假特训一导学--(T... 9页 免费 2012年暑假数学高端班(特训... ...几何特训一导学 9页 2财富值 同余式与不定方程 8页 免费 清北学堂高中数学...

2012年五一数学集训二几何导学

组合特训一导学 12页 2财富值 数论特训一导学 13页 2财富值 清北学堂2011年...几何导学一、立体几何 知识点:基本定理 定理 1 如果一条直线与平面内的两条...

几何特训一导学

北京清北学堂数学竞赛导学材料几何特训一导学一、几个重要定理: 1、梅涅劳斯定理:设 A' , B' , C ' 分别是 ΔABC 的三边 BC,CA,AB 或其延长线上的点,...

2010年暑假数学集训三导学-(JX3-几何)

2012年暑假数学高端班(特训... 16页 1财富值 [导学教程]【北师大版】20.....几何导学一.圆锥曲线与方程 [一]知识系统 一圆 内容 圆的 定义 点集: {...

(导学教程)2012届高三数学(理)二轮复习试题:解析几何专题检测(五)(北师大版))

(导学教程)2012届高三数学(理)二轮复习试题:解析几何专题检测(五)(北师大版))_数学_高中教育_教育专区。(导学教程)2012届高三数学(理)二轮复习试题:解析几何专题...

【高考数学冲刺】2012新题分类汇编:解析几何(高考真题+模拟新题)

【高考数学冲刺】2012新题分类汇编:解析几何(高考真题+模拟新题)。【高考数学冲刺】2012新题分类汇编(高考真题+模拟新题) 完整版课标...

(导学教程)2012届高三数学(理)二轮复习试题:立体几何专题检测(四)(北师大版)1

(导学教程)2012届高三数学(理)二轮复习试题:立体几何专题检测(四)(北师大版)1...答案 C 9.(2011· 合肥模拟)一个四棱锥的三视图如图所示,其侧视图是等边三角...

2011暑期化学导学资料——结构化学(一)《关于晶胞》 (适合特训一、VIP精品班)

2011 暑期化学导学资料——结构化学(一) 《关于晶胞》 (适合特训一、VIP 精品班)晶胞概念是晶体学基本概念,本应在建立点阵概念后再作讨论,但点阵概念较抽象,许...
更多相关标签:
高中立体几何知识点 | 初中几何知识点总结 | 立体几何知识点总结 | 高中几何知识点 | 立体几何知识点 | 高中解析几何知识点 | 平面解析几何知识点 | 高一立体几何知识点 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com